UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA FACULTAD DE INGENIERÍA MEXICALI

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1 PROGRAMA EDUCATIVO PLAN DE ESTUDIO CLAVE DE UNIDAD DE APRENDIZAJE NOMBRE DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Tronco Común Álgebra Lineal PRÁCTICA No. NOMBRE DE LA PRÁCTICA DURACIÓN (HORAS) 7 Producto punto y producto cruz 2 1. INTRODUCCIÓN Las operaciones de producto punto (o producto interno) y de producto cruz (o producto externo) tienen muchas aplicaciones matemáticas y físicas. El producto punto (producto interno) entre los vectores y está denotado como y se lee como punto da como resultado un escalar, de aquí que también sea referido como producto escalar. Esta operación es aplicable a vectores en R 2 y en R 3 y haciendo una generalización es aplicable a cualquier espacio R n. El producto punto es conmutativo por lo que = El producto cruz (producto externo) entre los vectores y está denotado como y se lee como cruz da como resultado un vector, de aquí que también sea referido como producto vectorial. Esta operación es aplicable solo a vectores en R 3. El producto cruz no es conmutativo por lo que, sin embargo =. 2. COMPETENCIA Aplicar los conceptos de vectores y matrices a través de operaciones escalares, vectoriales y con matrices para representar gráficas de dos y tres dimensiones en forma organizada y reflexiva. 3. FUNDAMENTO Producto punto El producto escalar entre los vectores y está denotado como. El producto escalar mide la tendencia de dos vector a apuntar hacia una misma dirección. Si definimos a los vectores como una combinación lineal, suma de versores, y su producto escalar: ( )( ) Formuló Revisó José Alfredo Abad Padilla Nombre y Firma del Maestro Araceli Celina Justo López Nombre y Firma del Responsable de Programa Educativo Página 1 de 6

2 desarrollando la multiplicación de los vectores y ya que los versores son ; y, las multiplicaciones componente a componente entre versores distintos es igual a cero, por ejemplo, por otra parte, si se multiplican dos versores iguales el resultado es uno, por lo que la expresión se reduce a Figura 1. Ángulo entre los vectores y Por otro lado, para calcular el ángulo que se forma entre 2 vectores se puede utilizar el producto escalar de los vectores. Si dos vectores no son paralelos y sus direcciones son y, como se muestra en la figura 1, el ángulo entre y (o entre y ) es el ángulo del triángulo que forman los puntos A, 0 y B. Aplicando las leyes de los cosenos al triángulo se tiene y como el vector que va de A a B: consecuentemente, ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) y se reduce a dividiendo ambos lados entre -2 ya que tenemos que el producto punto también se puede calcular de la forma donde es el ángulo que se forma entre los dos vectores. Cuando son perpendiculares el producto es cero ya que el ángulo entre ellos es de 90 ( ), se dice entonces que los vectores son ortogonales. Cuando el ángulo entre ellos es o el producto es la multiplicación de sus módulos positivo y negativo, respectivamente. Para calcular el ángulo entre los vectores tenemos que Página 2 de 6

3 Producto cruz El producto cruz de los vectores y está denotado como. A diferencia del producto escalar el resultado es un vector, este vector es perpendicular al plano formado por los vectores del producto (vea la figura 2) y cuyo módulo es igual al área del paralelogramo que los vectores y forman, por su parte, el sentido de este vector resultante lo determina la regla de la mano derecha. Figura 2. Producto cruz El producto vectorial mide la tendencia de dos vectores a ser perpendiculares entre ellos y su aplicación es la medición de la rotación o giro de los objetos. Para el cálculo de este producto se utiliza determinantes. El cálculo de determinantes de orden 2 se define como: El cálculo de determinantes de orden 3 está dado por Tomando esta última definición para determinantes de orden 3 y sustituyendo, y por los vectores unitarios, y, para el cálculo del producto vectorial se utiliza aplicando el cálculo de determinantes se obtiene ( ) ( ) y como terna ordenada es (( ) ( )) Área del paralelogramo Si el ángulo entre los vectores y es entonces se puede calcular el módulo del producto cruz (área del paralelogramo) de la forma Y para calcular el área del triángulo que se forma entre los vectores producto cruz de y entre 2. y se divide el módulo del Página 3 de 6

4 Aun cuando el producto vectorial solo está definido para R 3 se puede hacer el cálculo del producto vectorial para vectores en R 2 extendiendo estos, es decir, extendido, entonces si los vectores y están en el espacio vectorial R 2 obteniéndose ( ) ( ) ( ) ( ( )) El resultado será un vector en R 3 con solo la componente z. Cuando se realiza el producto punto de un vector utilizado en un producto cruz por el vector resultante del producto cruz dará como resultado cero. Por ejemplo, o. 4. PROCEDIMIENTO (DESCRIPCIÓN) A) EQUIPO NECESARIO B) MATERIAL DE APOYO Calculadora Regla Apuntes C) DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Operaciones con vectores, producto punto y producto cruz y cálculo de dependencia lineal entre vectores. D) CÁLCULOS 1. Dados los siguientes vectores en el espacio vectorial R 2 y R 3 realiza las operaciones Página 4 de 6

5 a) b) c) d) e) f) g) h) i) Ángulo que se forma entre y j) Ángulo que se forma entre y k) Área del triángulo que se forma entre y l) Área del triángulo que se forma entre y 2. Aplicación El cálculo de la orientación de avión necesaria para contrarrestar la velocidad del viento y situarse a lo largo de la ruta deseada hacia un destino, es un problema clásico en la navegación aérea. Calcular el ángulo de orientación de avión (β) y la velocidad respecto al suelo ( ), si la velocidad del aeroplano es de 1120 Km/hr ( ) y la velocidad de viento es de 105 Km/hr ( ), el ángulo θ (diferencia entre la dirección del viento y la dirección deseada) es de 35 grados. Utilice leyes de senos y cosenos (ver anexo). 5. REFERENCIAS Álgebra lineal. Stanley I. Grossman McGraw-Hill. Página 5 de 6

6 6. ANEXO Leyes de los senos y cosenos Página 6 de 6

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