APUNTES DE CRISTALOGRAFÍA: RETÍCULO RECÍPROCO Màrius Vendrell RETÍCULO RECÍPROCO

Transcripción

1 RETÍCULO RECÍPROCO A pti el etíulo efinio nteiomente, en el que omo nuo oespone un motivo o llmemos etíulo ieto, es posible efini oto etíulo (que llmemos eípoo) en el ul los tes vetoes funmentles son: b ; b ; b b b b po tnto, ulquie veto e este etíulo se expes omo ( ) kb l Si se nlizn sus móulos (po ejemplo en el so el ) b b el numeo epesent un veto pepeniul b y, el moulo el ul es el áe el plelogmo efinio po b y, o que b b sinα mients que el enomino es el volumen e l el funmentl el etíulo ieto efini po, b y (V). Po tnto, el moulo e vle e V y omo el volumen es igul l áe el plelogmo efinio po y b, po l ltu - que es el espio etiul e los plnos efinios po b y, es ei los (00) -, se puee esibi e e igulmente, se puee eui que b 00 y 00

2 De ls nteioes expesiones que efinen los vetoes funmentles, b y se puee eui b b o que si se multipli po los os téminos e l efiniión e, que ( b ) b V V, y igulmente p b y. Tmbién, pti e ls efiniiones e los vetoes, b y se eue que b b b b 0 y que el veto es pepeniul b y, b lo es y, y y b. El etíulo eípoo tiene os popiees funmentles: ) un veto () el etíulo eípoo es pepeniul l plno () el etíulo ieto. b) el moulo el veto () es igul l inveso el espio etiul e los plnos () el etíulo ieto. ) El plno () más póximo l oigen ot los ejes x, y y z, b k, l, espetivmente, po tnto el veto ( b k ) está ontenio en el plno (), y si es sí, el pouto vetoil e mbos ebeá se nulo: b ( kb l ) k b 0 k esollno l expesión:

3 y omo que kb l b kb b b l 0 k k k onsieno que lgunos e los téminos se nuln poque es pepeniul b y, et., que b b 0 b k po tnto () es pepeniul ( ) Igulmente se puee emost que () es pepeniul ulquie e los otos vetoes ontenios en el plno (): ( ) l ( ) l b k, y po tnto es pepeniul (). b) Si n es un veto unitio pepeniul l plno (), l istni ente plnos (el espio etiul (kl)) seá osϕ ( os ϕ ) n osϕ n, l nteio euión se puee esibi omo n el veto unitio n equivlente l veto () iviio po su moulo, n y po tnto o

4 el pouto vle l uni, y po tnto kb l ( ) k b k l Poqué el seguno y tee téminos se nuln y el pimeo vle uno. Es fáil emost, emás, que el etíulo eípoo el etíulo eípoo es el etíulo ieto Es ei: ( ) b b Si se multipli po el seguno temino e l expesión e los vetoes funmentles (), b ( ) b y po tnto, ( ) ; ( b) b ; ( ) De too lo que se euio st o se puee onlui que los vetoes el etíulo eípoo epesentn fmilis e plnos el etíulo ieto, e tl mne que veto () es pepeniul () i su moulo es invesmente popoionl l espio etiul e est fmili e plnos. Conseuentemente, es posible lul el espio etiul e un fmili e plnos () pti e los vetoes el etíulo eípoo: os 0º one se eue que 2

5 RELACIONES ENTRE FILAS Y PLANOS RETICULARES A) L oniión p que un fil etiul [uvw] esté inlui en un plno etiul () es u kv lw 0 De ueo on l figu junt, el veto () el etíulo eípoo es pepeniul l plno () y po tnto, tmbién lo es l veto [uvw] el etíulo ieto que epesent l fil etiul, po tnto, su pouto esl seá eo: uvw kb l ( u vb w) ( ) [ ] ( ) esollno el pouto e los os polinomios, u( ) v( b) w( ) ku( b ) kv( b b) kw( b ) lu( ) lv( b) lw( ) ( u kv lw) one b b 0 ; y b b Y si los os vetoes son pepeniules, el esulto e se eo. B) P lul l fil etiul en l ul se intesen os plnos etiules () y ( k l ), se puee eoe l pouto vetoil e los os vetoes el etíulo eípoo que epesentn estos plnos, tl omo se muest en l figu

6 ( ) ( ''') k l [ uvw] esollno el pouto ( kb l ) ( ' k' b l' ), esult '( ) k'( b) l'( ) k'( b ) kk'( b b) kl'( b ) l'( ) lk'( b) ll'( ) one los poutos vetoiles e un veto po si mismo, se nuln: b b 0 y p el esto e téminos, y que onsie ls efiniiones que los vetoes, b y se pueen expes en funión e los vetoes funmentles el etíulo eípoo b b ; b ; V V V pti e ls ules, los poutos vetoiles ente vetoes funmentles, b y, se pueen expes en funión e los el etíulo ieto, y el nteio pouto que ( ) ( ''' ) ( ' ' ) ( ' ' ) ( ' ' ) k l k V k V l V l V b kl V lk V V y iviieno po el fto omún quen los oefiientes e un veto el etíulo ieto u ( kl' lk'); v ( l' l'); w ( k' k') Este veto equivle l soluión el siguiente eteminnte

7 b k l ' k' l' efinio po os fils C) De mne simil l so nteio, se puee lul ul es el plno etiul Hieno el pouto vetoil e [uvw] po [u v w ] se obtiene un veto pepeniul ls os fils, y po tnto l plno que fomn, que expeso en funión e los vetoes funmentles el etíulo eípoo, sus oefiientes seán los ínies e Mille e este plno. [ ] [ ] uvw u'' v w' ( ) que equivle l soluión el eteminnte b u v w u' v' w' (Se sugiee que el estuinte lo euz po su uent) D) De mne nálog, se puee plnte si tes fils etiules son oplnis. En este so su pouto mixto equivle l volumen el plelepípeo que fomn, y si son oplnis, este es eo, po tnto [ u v w ] [ u v w ] [ u v w ] u v w u2 v2 w2 0 u v w 3 3 3

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