Física: Repaso Matemático, Vectores y Sistemas de Referencia

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Julián Romero Ponce
hace 8 años
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1 Física: Repaso Matemático, Vectores y Sistemas de Referencia Dictado por: Profesor Aldo Valcarce 2 do semestre 2014

2 Fechas de pruebas C1: Miércoles 13 de agosto (8:30 hrs cátedra) C2: Viernes 29 de agosto (14:00 hrs) I1: Lunes 8 septiembre (18:30 hrs) C3: Viernes 26 de septiembre (14:00 hrs) C4: Viernes 3 de octubre (14:00 hrs) I2: Lunes 13 octubre (18:30 hrs) C5: Viernes 24 de octubre (14:00 hrs) I3: Lunes 10 noviembre (18:30 hrs) C6: Viernes 14 de noviembre (14:00 hrs) Ex: Martes 2 diciembre (8:30 hrs)

octubre (14:00 hrs) I2: Lunes 13 octubre (18:30 hrs) C5: Viernes 24 de octubre (14:00 hrs) I3:

3 Repaso Matemático Notación científica: es un modo conciso de representar números mediante la técnica llamada coma flotante aplicada al sistema decimal = 1; 10 1 = 10; 10 2 = 100; 10 3 = 1000; 10 4 = El resultado de la potencia 10 n es igual a la unidad (1) seguida de n ceros. En el caso de una potencia entera negativa 10 n es igual a 1/10 n, o equivalentemente 0, n 1 ceros 1 : 10 1 = 1/10 = 0,1; 10 3 = 1/1000 = 0,001; 10 5 = 1/ = 0,00001 Utilidad: Números grandes y pequeños pueden escribirse en menos espacio y es más difícil equivocarse: = 1, , = 7,

En el caso de una potencia entera negativa 10 n es igual a 1/10 n, o equivalentemente 0, n 1 ceros 1 : 10 1 = 1/10 = 0,1; 10 3 = 1/1000 = 0,001; 10 5 =

4 Repaso Matemático Notación científica Operaciones Matemáticas Adición: se suman los coeficientes y se mantiene el exponente, por lo que siempre se debe tener el mismo exponente = = = = 2, Multiplicación: se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes ( ) ( ) = = 1, División: se dividen los coeficientes y se restan los exponentes ( )/( ) = 0, = 7, Potenciación: se potencia el coeficiente y se multiplican los exponentes ( ) 3 = = = 1, Radicación: se obtiene la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el índice de la raíz =

10 7 = 1,2 10 8 División: se dividen los coeficientes y se restan los exponentes (6 10 3 )/(8 10 7 ) = 0,75 10 4 = 7,5 10 5 Potenciación: se potencia el coeficiente y se

5 Repaso Matemático Despejar variables de una ecuación Muchas de las ecuaciones típicas que se verán en clases tienen las siguientes formas: Problema: Solución: E p = mg v f = v i + at se quiere despejar se quiere despejar a Nos damos cuenta que tanto m y g están multiplicando, por lo cual pasan dividiendo al otro lado: = E p mg Sabemos que v i que está sumando pasa al otro lado restando v f v i = at ; y ahora t que está multiplicando pasa al otro lado dividiendo: a c = v2 r se quiere despejar v a = v f v i t Como r está dividiendo pasa al otro lado multiplicando a c r = v 2 ; ahora sacando la raíz cuadrada a ambos lados: v = a c r

lado: = E p mg Sabemos que v i que está sumando pasa al otro lado restando v f v i = at ; y ahora t que está multiplicando pasa al otro lado dividiendo: a c =

6 Repaso Matemático Despejar variables de una ecuación Muchas de las ecuaciones típicas que se verán en clases tienen las siguientes formas: Problema: Solución: 2a x = v f 2 v i 2 se quiere despejar vf Como el término v i 2 está restando pasa al otro lado sumando 2a x + v i 2 = v f 2 ; ahora se saca la raíz cuadrada a ambos lados quedando: v f = 2ax + v i 2 y = vt g 2 t2 se quiere encontrar t En este caso, como t no se puede despejar directamente, se deberá recurrir a la solución de la Hay que reescribir adecuadamente esta ecuación: g 2 t2 vt + y = 0 a = g ; b = v; c = y 2 ecuación cuadrática, la cual indica que si se tiene una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, los posibles valores de x serán: t = v ± v2 2gy x = b ± b2 4ac g 2a

2 t2 se quiere encontrar t En este caso, como t no se puede despejar directamente, se deberá recurrir a la solución de la Hay que reescribir adecuadamente esta ecuación: g 2 t2 vt + y =

7 Repaso Matemático Transformación de unidades Muchas veces en física se necesitará cambiar de unidades para lo cual se utiliza el factor de conversión, donde unidad antigua factor de conversión = unidad nueva Por ejemplo, se quiere cambiar 2 horas a minutos Se quiere cambiar 30 cm a metros O cambiar 120 km/hr a m/s

conversión, donde unidad antigua factor de conversión = unidad nueva Por

8 Repaso Matemático Transformación de unidades Un poco más complicado es cuando se deben cambiar unidades que se encuentran elevadas a alguna potencia. Por ejemplo, cambiar un volumen de 0,4 m 3 a cc (1 cc = 1 cm 3 ) 0,4 (metro) 3 = 0,4 metro 100 cm 1 metro También se puede querer cambiar 500 lb 2 pies 3 r 1 al sistema MKS 3 = 0, cm 3 = cc 0,4536 kg 500 lb2 lb pie 3 r = lb 3 0,305 m pie 1 pie r s 1 r = 500 = 1,007 kg2 m 3 s 0,2057kg 2 0,02837m s

Por ejemplo, cambiar un volumen de 0,4 m 3 a cc (1 cc = 1 cm 3 ) 0,4 (metro) 3 = 0,4 metro 100 cm 1 metro También se

9 Ejercicio Propuesto Cuántas botellas de coca-cola de 200 cc se necesitan para tener un metro cúbico (1 m 3 ) de coca-cola?

10 Vectores y Sistemas de Referencia

11 Magnitudes Físicas Escalares: definidos por un número Ej.: masa, tiempo, presión, temperatura, energía, voltaje, Vectoriales: definidas por magnitud, dirección y sentido Ej.: fuerza, velocidad, aceleración, desplazamiento, campo eléctrico, campo magnético,

Vectoriales: definidas por magnitud, dirección y sentido Ej.

12 Sistemas de Referencias Un sistema de referencia (o marco de referencia) es un conjunto de convenciones usadas por un observador para poder medir la posición y otras magnitudes físicas de un sistema físico y de mecánica. Cómo informarle a otra persona la posición de un punto en una hoja? El punto B se encuentra en: (6 en x, 5 en y) ó (6, 5). Coordenadas Cartesianas o rectangular (x, y).

13 Sistemas de Referencias 2 En ocasiones es más conveniente representar un punto de acuerdo a sus coordenadas polares (r,θ). La estrella se encuentra en: (13 en r, 23 en θ) ó (13, 23 ). Coordenadas Polares (r,θ).

14 Sistemas de Referencias 3 Las transformaciones de las coordenadas cartesianas a las polares (y viceversa) se pueden realizar usando las siguientes relaciones trigonométricas. y sen θ = y r cos θ = x r r tan θ = y x r = x 2 + y 2 θ x

pueden realizar usando las siguientes relaciones

15 Vector Geométrico Sentido A Magnitud: largo del vector Dirección

16 Propiedades de vectores: Igualdad Tienen igual magnitud, dirección y sentido

17 Propiedades de vectores: Suma

18 Ejemplo: suma de dos vectores Si una persona camina 3 metros al este y luego 4 metros al norte Cuál es la distancia desde el punto inicial? Cuál es la dirección?

19 Suma de vectores: regla del paralelogramo La suma de dos vectores que parten desde el mismo origen es la diagonal del paralelogramo que forman sus proyecciones.

20 Suma de 4 vectores

21 La suma es conmutativa

22 La suma es asociativa

23 Ejemplo 1 Pasos: 1.- Hacer figura. 2.- Qué se busca? 3.- Cuál es la magnitud y dirección del vector AC?

24 Vectores: Neutro, Inverso y Resta inverso neutro

25 Ponderación: Multiplicación por un escalar λ A A 2 A

26 Componentes de un vector Se definen los vectores unitarios i y j que indican la dirección en los ejes x e y, respectivamente.

27 Signos de las componentes

28 Componentes de un vector Se definen los vectores unitarios i y j que indican la dirección en los ejes x e y, respectivamente. Representación de los vectores que conectan los puntos: D y B: D y A: D y C: 6 i + 5 j 5 i + 3 j 4,5 i 3,5 j

29 Se conocen las componentes: cuáles son las magnitud y dirección? Magnitud Dirección: Φ θ tan tan A A A A y x x y

30 Se conocen la magnitud y dirección: cuáles son las componentes? En esta figura: A x A y Acos Asin y A x 0, A y 0 ϕ θ Entonces, usando el ángulo θ Tenemos:

31 Base de vectores en cartesianas

32 Suma de Vectores por componentes

33 Suma de Vectores por componentes R = A + B

34 Ponderación: Multiplicación por un escalar λ A A 2 A

35 Ejemplo 1: continuación Pasos: 1.- Hacer figura. 2.- Qué se busca? 3.- Cuál es la magnitud y dirección del vector AC?

36 Ejemplo 2

37 Resumen Repaso matemático. Las magnitudes físicas pueden ser escalares o vectoriales. La posición en un plano se puede representar en el sistemas de coordenadas i) cartesianas o ii) polares. sen θ = y r cos θ = x r tan θ = y x r = x 2 + y 2 Repaso de vectores: Se pueden sumar y restar entre si. Se pueden ponderar (multiplicar por un escalar). Se pueden descomponer dependiendo del sistema de referencia.

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