x 2-4 intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión.

Transcripción

1 . [ANDA] [JUN-A] De la función f: definida por f() = a 3 +b +c+d se sabe que tiene un máimo en = -, que su gráfica corta al eje O en el punto de abscisa = y tiene un punto de infleión en el punto de abscisa = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = tiene pendiente 9.. [ANDA] [JUN-B] Sea f la función definida para 0 por f() = +. a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus etremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). c) Esboza la gráfica de f. 3. [ANDA] [SEP-A] Sea f: la función definida por f() = (-) e -. a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula, si eisten, sus etremos relativos o locales y sus etremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). c) Esboza la gráfica de f. 4. [ARAG] [JUN-A] Sea la función f() = 4+sen. Determinar el dominio de f e indicar si f tiene límite finito en algún punto que sen3 no sea del dominio. 5. [ARAG] [JUN-A] Calcular los etremos y los puntos de infleión de la función f() = e sen en el intervalo [0, ]. 6. [ARAG] [JUN-B] Queremos construir un marco rectangular que encierre una superficie de un metro cuadrado. Sabemos que el coste de cada centímetro en los lados horizontales es de euros, mientras que en los lados verticales es de 8 euros. Determinar las dimensiones que hemos de elegir para que el marco nos resulte lo más barato posible. 7. [ARAG] [SEP-A] Sea la función f() = e sen. Determinar sus etremos y sus puntos de infleión en el intervalo [-, ]. 8. [ASTU] [JUN] Se dispone de una tela metálica de 00 metros de longitud para vallar una región como la de la figura. Cuáles son los valores de e y que hacen que el área encerrada sea máima? 9. [ASTU] [SEP] Se dispone de una tela metálica de 00 metros de longitud para vallar una región rectangular. Cuáles son los valores de e y, dimensiones del rectángulo, que hacen que el área del romboide, formado por la unión de los puntos medios de los lados, sea máima? 0. [ASTU] [SEP] Dibuja aproimadamente la gráfica de la función f() = -4 calculando su dominio de definición, sus asíntotas, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máimos y mínimos, sus intervalos de concavidad y conveidad y sus puntos de infleión.. [C-LE] [JUN-A] Calcúlese lim ln() + e. [C-LE] [JUN-A] Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos, demuéstrese que para > 0 se verifica: Página de 5

2 arctg()-arctg() < [C-LE] [JUN-B] Sea f() = e +ln(), (0,+ ). (a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas. (b) Pruébese que f tiene un punto de infleión en el intervalo, y esbócese la gráfica de f. 4. [C-LE] [SEP-A] Calcúlense los valores de 0 para los cuales lim 0 sen = -. cos ( ) - 5. [C-LE] [SEP-B] Calcúlese lim ln() sen() [C-MA] [JUN] Una imprenta recibe el encargo de diseñar un cartel con las siguientes características: La zona impresa debe ocupar 00 cm, el margen superior debe medir 3 cm, el inferior cm, y los márgenes laterales 4 cm cada uno. Calcula las dimensiones que debe tener el cartel de modo que se utilice la menor cantidad de papel posible. 7. [C-MA] [JUN] a) Enuncia la regla de L'Hôpital. - sen b) Resuelve el siguiente límite: lim 0 tg - sen. 8. [C-MA] [SEP] De todos los prismas rectos de base cuadrada y tales que el perímetro de una cara lateral es de 30 cm, halla las dimensiones del que tiene volumen máimo. 9. [C-MA] [SEP] Estudia el crecimiento y la concavidad de la función f:(0,+ ) definida por f() = L (L=Logarimo neperiano). 0. [C-MA] [SEP] a) Halla los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función y = 3 +b +c+d corte al eje O en el punto (0,-), pase por el punto (,3) y, en ese punto, tenga tangente paralela al eje O. b) Una vez hallados esos valores, halla los máimos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la citada función.. [CANA] [JUN-A] Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que dada la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipoa o de tipo B; además asegura que la seguridad dela empresa se puede epresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas y el cuadradodel número de alarmas instaladas de tipo B. Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maimizar la seguridad?. [CANA] [SEP-A] a) Determinar la abscisa de los puntos en los que la recta tangente a la función dada f() = Ln + - la recta de ecuación +3y = 4. b) Obtener la ecuación de la recta tangente a la función dada en el apartado anterior en el punto de abscisa = 3. es paralela a Página de 5

3 3. [CANA] [SEP-A] Dada la gráfica de h'(), deduce la monotonía y etremos relativos de h(), así como la curvatura y sus puntos de infleión, eplicandocómo lo haces. 4. [CANA] [SEP-B] Dada la función f() =, determinar razonadamente: - a) El dominio. b) Los puntos de corte con los ejes de coordenadas. c) Las ecuaciones de sus asíntotas, si las tiene. d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos. e) Su representación gráfica. 5. [CATA] [JUN] Halle los máimos y mínimos relativos de la función f() = [CATA] [JUN] Sea la parábola y = ++ y sea A el punto de la parábola de abscisa 0. a) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto A. b) En qué punto de la parábola la recta tangente es perpendicular a la recta que ha hallado en el apartado anterior? 7. [CATA] [SEP] Considere la función f() = 3- y un punto de su gráfica, M, situado en el primer cuadrante 0, y 0. Si por el punto M trazamos paralelas a los ejes de coordenadas, su intersección con O y O determina dos puntos A y B respectivamente. a) Haz un gráfico de los elementos del problema. b) Halle las coordenadas del punto M para el cual el rectángulo OAMB tenga el área máima. 8. [ETR] [JUN-A] Hallar la derivada en = 0 de la función f f(), donde f() = (+) [ETR] [JUN-B] Representar gráficamente la función f() = sen en el intervalo - < <, determinando sus etremos (máimos y mínimos relativos). 30. [ETR] [SEP-A] Enunciar el teorema del Valor medio del cálculo diferencial. Usarlo para demostrar que para cualesquiera números reales < y se verifica que cosy - cos y-. 3. [ETR] [SEP-B] Hallar la derivada en el punto = 0 de la función f f(), donde f() = sen. 3. [MADR] [JUN-B] Calcular los siguientes límites: a) lim b) lim arctge [MADR] [SEP-A] Dada la función f() =, se pide: a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto a,f(a), para a > 0. b) Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en a) con los dos ejes coordenados. c) Hallar el valor de a > 0 que hace que la distancia entre los dos puntos hallados en b) sea mínima. Página 3 de 5

4 34. [MADR] [SEP-B] Dada la función f() = ln donde ln significa logaritmo neperiano, definida para >, hallar un punto a,f(a) tal - que la recta tangente a la gráfica de f() en ese punto sea paralela al eje O. 35. [MURC] [JUN] Se considera la curva definida por la función y = 3. Se pide: + a) Dominio de definición, cortes a los ejes y simetrías. b) Asíntotas. c) Intervalos de crecimiento de la función. Tiene etremos la función? d) Representación aproimada de la curva. e) Cuál será la gráfica de la curva y = 3 +? [MURC] [JUN] De entre todos los números reales positivos,y tales que +y = 0, encontrar aquellos para los que el producto p = y es máimo. 37. [MURC] [SEP] La curva de ecaución y = 3 +a +b+c pasa por los punto (,0) y (0,-) y tiene un mínimo para =. Se pide: (a) Encontrar a, b y c. (b) Representar de forma aproimada dicha curva. 38. [MURC] [SEP] De entre todos las rectángulos de diagonal 6, encontrar las dimensiones del de perímetro máimo. 39. [RIOJ] [SEP] Estudia y representa la función y = e [VALE] [JUN-A] Probar que el volumen de cualquier cono recto inscrito en una esfera es menor que el 30% del volumen de la misma. 4. [VALE] [JUN-B] Hallar las constantes reales a y b para que f() =. ln+a si > 0 b si = 0 sen si < 0 sea una función continua para todo valor de 4. [VALE] [JUN-B] La concentración en sangre de un fármaco después de su toma es: C(t) = 0'9483t+0'0453t -0'00035t 3 mg/ml, donde t es el tiempo transcurrido en minutos. Se pide: a) Calcular el período de tiempo durante el cual el fármaco actúa. b) Determinar en qué instante la concentración del fármaco es máima. 43. [VALE] [SEP-A] a) El perímetro de un sector circular de radio R es 4 m. Cuántos radianes debe medir su ángulo central para que su área sea máima? Nota: Perímetro = R+R. Área = R. b) El área de otro sector circular es m. Para qué radio es mínimo su perímetro? 44. [VALE] [SEP-B] En el plano se tiene la curva y = +-. Encontrar razonadamente las ecuaciones de las rectas que passan por el punto (,3) y son tangentes a dicha curva. 45. [VALE] [SEP-B] El trazado de dos canales navegables en un mapa discurre según las rectaf y = e y = -. Dos lanchas motoras A y B salen al mismo tiempo de puntos situados sobre cada uno de los canales a distancias de 0 y 5 kilómetros, respectivamente, del punto P de confluencia de ambos. La lancha A se dirige a P con velocidad de 30 km/h y la lancha B se dirige a ese mismo punto Página 4 de 5

5 P con velocidad de 60 km/h. Se considera despreciable la anchura de los canales y la longitud de las lanchas y se pide calcular: a) La distancia entre las lanchas en función del tiempo desde que inician su recorrido. b) La distancia mínima a la que pueden estar las lanchas. Soluciones., 0, -3,. a) =0, y= b) Creciente: -,-,+. Ma: -,, min:,. c) a) y=0 b) Creciente:,3. Ma: 3, 4, min:,0 c) e D: k / k Z ; lim f() = 5. Ma: ; min: : p.i: y 3 6. horiz: m; vert: 0,5 m. 7. Ma: 3 4 ; min: - 4 ; p.i: 8. 3,43 ; 4,86 9. =y= (a) Creciente: (0,+ ); as. vert: = 0 (b) ,65 cm de largo,9 cm de alto lado base: 0 cm, altura: 5 cm 9. Creciente: (0,e). Cóncava: 0,e e 0. a) -5, 8, - b) ma: 4 3 ; min: ; Creciente: -,4 (,+ ). 3 de A y 6 de B 3. a) b) y = Ln 3. Creciente: (-3,) (6,7) (7,+ ) ; Ma: ; Min: 3, 6 ; Cóncava: (0,4) (7,+ ) ; P.i: 0, 4 4. a) -{-,} b) (0,-) c) y = 0; = -; = d) creciente: (-,0); ma: (0,-) e) no tiene 6. a) y = + b) -, 7. b) (,) a) - b) no 33. a) +a ya = 0 b) a,0, 0, a c) 34. (,ln4) 35. a), (0,0), simétrica respecto al origen b) A. oblicua: y = c) Creciente en. Sin etremos d) - - e) , (a) -4, 4, - (b) b) a) rad b) m. 44. y =-; y = a) 5 80t 0t+5 b) Cuadrado de lado a = b = 4. a) Página 5 de 5