PRÁCTICO N o 2. Introducción a la Lógica Proposicional. Ejercicio 1:

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1 Ejercicio 1: PRÁCTICO N o 2 Introducción a la Lógica Proposicional Dadas las siguientes frases identifique e indique cuáles son proposiciones simples: 1. Pedro es alto? 2. La cantante triunfa inesperadamente. 3. Llévame a pasear es un número par. 5. Los senadores debaten con tranquilidad. 6. Z > Todo número real elevado a la cero da uno. 8. Salta la cuerda. 9. Salta la cuerda! * 10 = 340. Ejercicio 2: Para cada una de las siguientes proposiciones, identifique las proposiciones elementales representándolas con las letras (A, B, C,...) respectivamente. 1. Ustedes pueden usar las cámaras digitales o las cámaras de sus teléfonos celulares o ambas. 2. Siempre que llueve, las plantas se riegan. 3. A pesar de que el coche no aceleró, hubo un accidente. Ejercicio 3: Indique si las siguientes son fórmulas bien formadas (fbfs), en caso de no serlo justifique: 1. P Q R 2. ((Q (P R) P) 3. ((P Q) (S R)) 4. ( (R ( Q))) Ejercicio 4: Identifique con letras (A, B, C,...) las proposiciones elementales y escriba, utilizando los símbolos de la lógica proposicional, las proposiciones compuestas: 1. El Sr. Perez es feliz si la Sra. Perez es feliz y la Sra. Perez es feliz si el Sr. Perez es feliz. 2. Elías toma café o té y toma café solamente si contiene azúcar. 3. Resuelvo los prácticos sólo si leo los manuales. Práctico 2: Lógica Proposicional Página 1 Dpto. de Informática

2 4. Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy loco de remate y dejaría que me internaran en un psiquiátrico. Ejercicio 5: Dadas las siguientes frases: 1. Si aumenta la inflación y quiebran algunas empresas, entonces aumentará la criminalidad. 2. Llueve y las brujas no se peinan o bien está soleado y las brujas no se peinan. 3. Las interfaces permiten la interacción usuario-sistema sólo si son inteligentes. a) Escriba fbfs que las representen. b) Niegue las fbfs escritas en a). c) Escriba frases que representen las fbfs escritas en b). Ejercicio 6: Para cada una de las fórmulas bien formadas que siguen, escriba otra lógicamente equivalente: 1. (P Q) 2. ((P Q) R ) 3. (R Q) Justifique en cada caso. Ejercicio 7: Use una tabla de verdad para determinar si bajo las premisas P Q y P R es válido concluir Q R. (((P Q) ( P R)) (Q R)) Nota: Esto es equivalente a verificar que sea una tautología. Ejercicio 8: Sabiendo que v( P Q) = V, qué puede decir del valor de verdad de las siguientes fórmulas, conociendo el comportamiento de cada conectivo? 1. ( P R ) ( Q R ) 2. ( P R ) (Q R) Ejercicio 9: Examine cada una de las últimas 5 columnas de la siguiente tabla de verdad y verifique si alguna representa la tabla de verdad de la fórmula ((P Q ) ( R Q)). P Q R V V V F V V V V V V F V V V V F V F V F F F V V V F F V V V V V F V V F V V V F F V F V V V V F F F V F F V V V F F F V V V V V Práctico 2: Lógica Proposicional Página 2 Dpto. de Informática

3 Ejercicio 10: Dadas las siguientes expresiones, elimine tantos paréntesis como le sea posible de manera que, considerando la jerarquía y la propiedad asociativa de los conectivos, se mantenga el significado de la fórmula original: 1. (( P ( Q )) R ) 2. (( P ( Q R )) 3. ((( P ( Q )) R ) S ) 4. ( (( ( ( P Q ))) ( P Q ))) Ejercicio 11: Encuentre en la siguiente lista de fórmulas cúal se corresponde con el significado de: P Q R. 1. P ( Q R ) 2. P ( Q R ) 3. ( P ( Q R )) Ejercicio 12: a. Pruebe que los conectivos de negación y disyunción forman un conjunto adecuado de conectivos. Es decir, que se puede expresar el resto de los conectivos sólo usando el conjunto {, }. b. Qué pasa si ahora se usa y? Ejercicio 13: Dada las siguientes fórmulas bien formadas: (P (P Q)) ((P Q ) P )) Exprese fórmulas bien formadas equivalentes a cada una de ellas: 1. Usando sólo los conectivos y. 2. Usando sólo el conectivo. 3. Usando sólo los conectivos y. 4. Usando sólo el conectivo. En la determinación de las nuevas fbfs indique, en cada paso, cuáles fueron las fbfs equivalentes utilizadas para lograrlas. Práctico 2: Lógica Proposicional Página 3 Dpto. de Informática

4 Ejercicio 14: Determine la expresión lógica que describa los siguientes problemas: 1. La alarma suena si la llave está en el contacto, o la puerta está abierta y el motor no está funcionando; o si las luces están encendidas y la llave no está en el contacto, o el cinturón de seguridad del conductor no está ajustado y el motor está funcionando; o el asiento del pasajero está ocupado y su cinturón de seguridad no está ajustado. 2. Si tuvieran que justificarse ciertos hechos por su enorme tradición entonces, si estos hechos son inofensivos y respetan a todo ser viviente y al medio ambiente, no habría ningún problema. Pero si los hechos son bárbaros o no respetuosos con los seres vivientes o el medio ambiente, entonces habría que dejar de justificarlos o no podríamos considerarnos dignos de nuestro tiempo. Ejercicio 15: En Lógica Proposicional existen reglas, llamadas reglas de inferencia, que sintácticamente permiten asegurar que ciertas fórmulas bien formadas tomarán el valor de verdad Verdadero, a partir de asumir con valor de verdad Verdadero a otras fórmulas tomadas como hipótesis. Estas reglas pueden aplicarse independientemente del significado de las proposiciones que cada una representa. Las reglas de inferencia más conocidas son: Sean P, Q y R fórmulas bien formadas cualesquiera: Modus Ponens (MP): de la veracidad de ( P Q) y de P, se puede asegurar la veracidad de Q. Modus Tollens (MT): de la veracidad de ( P Q) y de Q, se puede asegurar la veracidad de P. Silogismo Hipotético (SH): de la veracidad de ( P Q) y de (Q R), se puede asegurar la veracidad de (P R). Silogismo Disyuntivo (SD): de la veracidad de ( P Q) y de P, se puede asegurar la veracidad de Q. Adjunción (ADJ): de la veracidad de P y de Q, se puede asegurar la veracidad de ( P Q). Simplificación (SIMP): de la veracidad de ( P Q), se puede asegurar la veracidad de P y de Q. Adición (ADI): de la veracidad de P y para cualquier otra proposición Q, se puede asegurar la veracidad de ( P Q). Resuelva utilizando las reglas de inferencia: 1. Por medio de las reglas de inferencia pruebe T a partir de las siguientes premisas: P Q, Q R, P S y T R S. 2. Demuestre U a partir de P T, P Q, Q (R S), R T U. 3. Demuestre que R Q a partir de (R S) y S Q. Práctico 2: Lógica Proposicional Página 4 Dpto. de Informática

5 Ejercicio 16: Dadas los siguientes razonamientos: 1. Si Juan es comunista, Juan es un ateo. Juan es comunista. Por lo tanto, Juan es un ateo. 2. Platón está en lo cierto si y sólo si Aristóteles no lo está. Si Aristóteles y los estoicos tienen razón, entonces el alma no es separable del cuerpo. Si los estoicos no tienen razón entonces el alma no es eterna. Pero el alma es separable y eterna. Por lo tanto, Platón está en lo cierto. 3. Renato será contratado si pasa todas las entrevistas. Si Renato tiene experiencia previa y no participa activamente en las reuniones, será contratado. Renato tiene experiencia previa. Además, Renato pasará todas las entrevistas si participa activamente en las reuniones. Renato participa activamente de las reuniones. Entonces Renato será contratado. Represente cada frase como una fórmula bien formada y luego verifique si la última frase (la conclusión) puede ser verdadera. Para esta última parte utilice de ser posible las reglas de inferencia anteriores y, en caso de no ser posible, utilice las tablas de verdad. Ayuda: En general, para verificar si una conclusión es verdadera a partir de las hipótesis, se pueden utilizar las reglas de inferencia o verificar si es tautología la implicación de la conjunción de las suposiciones o hipótesis (fórmulas que representan las frases anteriores) con la fórmula que representa la última frase o conclusión. Es decir, si el conjunto de proposiciones que representan las frases tomadas como hipótesis es {P 1, P 2,..., P n } y la conclusión se representa por la proposición Q, entonces se debe demostrar que la fórmula (( n i=1 P i) Q) es una tautología (o recíprocamente también se puede mostrar que (( n i=1 P i) Q) es una contradicción). Práctico 2: Lógica Proposicional Página 5 Dpto. de Informática