t = ( ) En una tienda de ropa figura la siguiente información: Tres pantalones cuestan lo mismo que una camisa y cuatro

Transcripción

1 Bárbara Cánovas Conesa Junio 011 ada la ecuación matricial: I + 3X + AX = B. Se pide: a) Resuelve matricialmente la ecuación b) Si A = ( 3 0 ), calcula la matriz X que cumple AX = I, donde I es la matriz identidad de orden. 7 1 I + 3X + AX = B 3X + AX = B I (3I + A)X = B I (3I + A) 1 (3I + A)X = (3I + A) 1 (B I) IX = (3I + A) 1 (B I) X = (3I + A) 1 (B I) AX = I A 1 AX = A 1 I IX = A 1 X = A 1 A = ( ) A 1 = 1 A (Adj. A)t A = 3 Adj. A = ( ) A 1 = 1 (Adj. A) { t = ( ( ) ) X = ( ) En una tienda de ropa figura la siguiente información: Tres pantalones cuestan lo mismo que una camisa y cuatro jerséis. Cinco pantalones cuestan lo mismo que cinco camisas y cuatro jerséis. Un pantalón, una camisa y un jersey cuestan 85 euros. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. b) etermina el precio de un pantalón, de una camisa y de un jersey. Llamamos: X: un pantalón Y: una camisa Z: un jersey Lo resolvemos por Gauss: 3x = y + 4z { 5x = 5y + 4z x + y + z = 85 x + y + z = 85 { 3x y 4z = 0 5x 5y 4z = ( ) E = 3E 1 E ( E 3 = 5E 1 E ) ( E 3 = 10E 4E ) 850 x + y + z = 85 { 4y + 7z = 55 z = 5 y = 0 x = 40 34z = 850 Es decir, un pantalón cuesta 40, una camisa 0 y un jersey 5. Se considera la función f(x) = { (x + 1) + 1 si x 0. Se pide: x si x > 0 a) Continuidad en x=0 b) Extremos relativos en el intervalo (-, ). Para que la función sea continua en x = 0, se tiene que cumplir: lim x 0 f(x) = lim f(x) = f(0) { + x 0 lim x 0 (x + 1) + 1 = lim+ x = x 0 f(0) =

2 Es decir, f(x) es continua en x = 0. PAEG _ Matemáticas CCSS _ CLM Para hallar los extremos relativos en el intervalo (-, ), primero trabajamos con el valor absoluto de la función: f (1/) < 0 f () > 0 x + x + si x 0 x 1 = 0 x = 1 f(x) = { x + si 0 < x < x si x 1 Para ver los extremos relativos no vamos a estudiar la primera derivada ya que la función es a trozos y tenemos que estudiarlos todos en el intervalo que nos han dado. Hacemos la representación gráfica de la función: Por tanto, hay dos mínimos, uno en (-1, 1) y otro en (1, 1) La función f(x) = x + ax + b tiene un mínimo en el punto (, -5). Se pide: a) etermina el valor de a y de b b) Para los valores hallados en el apartado anterior, escribe el intervalo en donde la función es creciente. Si tiene un mínimo en el punto (, -5), podemos afirmar que: f() = a + b = 5 a + b = 13 f () = 0 f (x) = 4x + a 8 + a = 0 a = 8 ( 8) + b = 3 b = 3 La función queda: f (x) = x 8x + 3. Para ver el intervalo donde la función es creciente, trabajamos con la primera derivada: f (x) = 4x 8 4x 8 = 0 x = f (0) < 0 f (3) >0 Crece : (, +) En una empresa se producen dos tipos de sillas: A y B, en una proporción de 1 a 3, respectivamente. La probabilidad de que una silla tipo A sea defectuosa es 0.0 y de que una silla de tipo B sea defectuosa es a) Cuál es la proporción de sillas defectuosas? b) Se escoge al azar una silla y resulta no defectuosa, cuál es la probabilidad de que sea del tipo B? Para responder a las preguntas hacemos un diagrama de árbol. Si llamamos a los sucesos: - A = silla tipo A - B = silla tipo B - = silla defectuosa - = silla no defectuosa Para calcular la proporción de sillas defectuosas, usamos el teorema de la probabilidad total: P() = P(A) P( A ) + P(B) P( B ) = P() = /4 3/4 0.0 A ,09 B 0.91

3 Bárbara Cánovas Conesa Por tanto, la proporción de sillas defectuosas es del 7.5% Junio 011 Para calcular la probabilidad de que sabiendo que la silla es no defectuosa sea del tipo B, empleamos la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes: P ( B P(B ) ) = P( ) = P ( B ) P(B) P( ) = P ( B ) = 39 = La duración de las llamadas de teléfono, en una oficina comercial, sigue una distribución normal con desviación típica 10 segundos. Se toma una muestra aleatoria de 100 llamadas y la media de duración obtenida en esa muestra es de 50 segundos. Se pide: a) Calcular un intervalo de confianza al 97% para la duración media de las llamadas. b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. c) Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido, si la encuesta se hubiera realizado con 100 llamadas de un único empleado? Razona tu respuesta. El intervalo de confianza para la media es: IC = (x ± Zα σ x = 50 = 10 n = = 0.97 = α = α = n ) El valor crítico Zα es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z Zα ) 1 α buscamos en la tabla P (Z Zα ) Zα =.17 IC = (x ± Zα σ n ) = (50 ± ) = (50 ±.17) IC = (47. 83, 5. 17) 100 Según el intervalo obtenido podemos afirmar con un nivel de confianza del 97% que la duración media de las llamadas telefónicas estará comprendida entre y 5.17 segundos. Es decir, que hay una probabilidad del 0.97 de que tomada una llamada al azar, dure entre y 5.17 segundos. Únicamente sería válido si se entiende que estamos analizando la duración de las llamadas de ese empleado en concreto. Si lo que se está analizando es la duración de las llamadas de cualquier persona de una población determinada con más de un individuo, está claro que estamos sesgando la muestra al tomar un solo comunicante ya que este puede no representar a la población en estudio. Queremos invertir una cantidad de dinero en dos tipos de acciones y queremos que: la cantidad invertida en las acciones de tipo A no puede superar los euros, la cantidad invertida en acciones de tipo B no puede superar los 1000 euros y la suma de las cantidades invertidas no pueden exceder de euros. El interés anual estimado por las acciones de tipo A es del 10% y el ofrecido por las acciones de tipo B es del 11 %. a) ibuja la región factible. b) etermina las cantidades que debe invertir en cada uno de los tipos para que el beneficio sea lo mayor posible. Siendo: x: invertidos en acciones tipo A y: invertidos en acciones tipo B Función a maximizar: B(x, y) = 1. 1x y

4 4 PAEG _ Matemáticas CCSS _ CLM A (0, 1000) x { 0 y 1000 x + y A = (0, 1000) B = (3000, 1000) C = (10000, 5000) = (10000, 0) { E = (0, 0) B (3000, 1000) C (10000, 5000) (10000, 0) E(0, 0) Los valores que toma la función B(x, y) = 0.1x y en cada uno de los vértices: En el vértice A : B(0, 1000) = 1330 En el vértice B : B(3000, 1000) = 1660 En el vértice C : B(10000, 5000) = En el vértice : B(10000, 0) = En el vértice E : E(0, 0) = 0 Por tanto la solución óptima se encuentra en el vértice B, es decir, para 3000 invertidos en acciones de tipo A y 1000 en acciones de tipo B el beneficio máximo es de Al 50% del total de los alumnos de una clase les gusta sólo el fútbol, al 0% del total les gusta sólo el baloncesto y el resto, que son 6 alumnos, no les gustan estos deportes. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. b) Calcula el total de alumnos y el número de los aficionados al fútbol y al baloncesto. Llamamos: X: total de alumnos Y: aficionados al fútbol Z: aficionados al baloncesto 0.5x = y { 0.x = z x = 0 y = 10 z = 4 0.3x = 6 Es decir, hay un total de 0 alumnos de los cuales 10 son aficionados al fútbol y 4 al baloncesto. x 6x 8 si x Se considera la función f(x) = { 0 si x x 6x + 8 si x > a) Límites laterales en x = - b) Representación gráfica de la función. Los límites laterales en x = - son: lim x ( x 6x 8) = 0 lim 0 = 0 x Como f(0) = 0, la función es continua en x = -. Si x - f(x) = x 6x 8 Si x - f(x) = x 6x + 8 Vértice (-3, 1) Vértice (3, -1) 1-1

5 Bárbara Cánovas Conesa Junio 011 La temperatura T, en grados centígrados, de una reacción química viene dada en función del tiempo t, en horas, por la expresión T(t) = 10t(3 t), en donde 0 t 3. Se pide: a) Temperatura que habría a los 30 minutos de comenzada la reacción. b) En qué momento se alcanza la máxima temperatura y cuál es ésta? La temperatura a los 30 minutos, es decir, 0.5 horas, nos la da T(0.5): T(0.5) = (3 0.5) = 1. 5 Para calcular cuándo se produce la máxima temperatura trabajamos con la primera derivada T (t) = 0: T (t) = 10(3 t) + 10t( 1) T (t) = 30 0t T (t)=0 30 0t = 0 t = 1. 5h Para comprobar que a las 1.5 horas la temperatura es máxima, trabajamos con la segunda derivada T (1.5) < 0: T (t) = 0 T (t) < 0 Es decir, la máxima temperatura se produce a la hora y media y será: T(1. 5) =. 5 t [0, 3] Según un estudio, el 40% de los hogares europeos tienen contratado acceso a internet, el 33% tiene contratada televisión por cable, y el 0% disponen de ambos servicios. a) Si elegimos un hogar al azar y tiene televisión por cable, cuál es la probabilidad de que tenga acceso a internet? b) Se selecciona un hogar europeo al azar. Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos servicios? Si llamamos a los sucesos: A = tener internet : P(A) = 0.4 B = tener TV por cable : P(B) = 0.33 Además, nos dicen que P(A B) = 0. La probabilidad de que teniendo TV por cable, tenga acceso a internet será: P( A P(A B) B ) = = 0. P(B) 0.33 P(A B ) = La probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos servicios será P(A B ). Este suceso es el contrario del suceso tener contratado alguno de los dos servicios, es decir: P(A B ) = 1 P(A B) = 1 [P(A) + P(B) P(A B)] = 1 [ ] P(A B ) = Se ha extraído una muestra de 10 familias de residentes en un barrio obteniéndose los siguientes datos: 19987, 0096, 19951, 063, 0014, 007, 003, 1994, 0078, Se supone que la renta familiar de los residentes en el barrio sigue una distribución normal de desviación típica 150 euros. a) Encontrar el intervalo de confianza al 95% para la renta familiar media. b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. c) Crees que será válido el intervalo de confianza obtenido, si la muestra se hubiera elegido entre las familias con más ingresos del barrio? Razona tu respuesta El intervalo de confianza para la media es: IC = (x ± Zα σ ) n

6 6 x = x = = 150 n = 10 1 = 0.95 = α = α = PAEG _ Matemáticas CCSS _ CLM El valor crítico Zα es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z Zα ) 1 α buscamos en la tabla P (Z Zα ) Zα = 1.96 IC = (x ± Zα σ 150 ) = (0045 ± 1.96 ) = (0045 ± 9.97) IC = ( , ) n 10 Por tanto, el intervalo de confianza al 95% para la renta familiar es ( , ). Esto significa que la renta familiar del barrio en cuestión está entre los y los con una probabilidad del 95%. Si lo que se está estudiando es la renta familiar de un barrio, y tomamos para el estudio las familias con más ingresos, estaríamos sesgando la muestra, ya que ésta puede no es representativa de la población en estudio.