PROGRAMA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICA V

Transcripción

1 PROGRAMA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICA V CONTENIDOS CONCEPTUALES. Udd : Cojuto de los Números Complejos. Números mgros: Cocepto, defcó. Udd mgr, potec de u udd mgr. El complejo ddo como u pr de ordedo de úmeros reles, e form ómc y e form polr (el águlo por medcó). Represetcó gráfc. Complejos cojugdos. Complejos opuestos. Propeddes. Ls opercoes co úmeros complejos: sum, rest, multplccó, dvsó y poteccó: cudrdo y cuo de u úmero complejo. Opercoes comds. Ecucoes co complejos. Ejerccos y prolems. Udd : L fucó cudrátc. Form cóc de l fucó cudrátc. Represetcó gráfc. Domo e mge. Uccó del vértce. Eje de smetrí. Desplzmeto horzotl y vertcl. Fórmul polómc de l fucó cudrátc. Represetcó gráfc. Orded l orge. Ceros o ríces de l fucó. Método de completr el cudrdo. Ecucoes de segudo grdo. Ecucó resolvete. Form fctorzd de l fucó de segudo grdo. Fórmul del dscrmte. Aálss del dscrmte. Propeddes de ls ríces. Recostruccó de u ecucó, dds ls ríces. Ejerccos y prolems. Udd : L fucó epoecl y l fucó logrítmc. Fucó epoecl e su form cóc. Desplzmeto. Represetcó gráfc. Domo e mge. Ecucoes epoecles. Fucó logrítmc como l vers de l fucó epoecl. Represetcó gráfc. Domo e mge. Logrtmo: defcó y propeddes. Logrtmos decmles. Elemetos: crcterístcs y mts. Uso de l clculdor pr est opercó. Atlogrtmo. Opercoes co logrtmos. Logrtmos turles o eperos. Cmo de se. Ecucoes epoecles y logrítmcs. Aplccó de los logrtmos e l resolucó de dferetes cálculos. Ejerccos y prolems. Udd : Sucesoes Sucesoes. Cocepto y Dsttos ejemplos de sucesoes. Térmo geerl. Dsttos tpos de sucesoes: Covergetes y dvergetes. Progresoes rtmétcs y geométrcs, deduccó de ls fórmuls fudmetles. Límtes de u sucesó. Ejerccos y prolems.

2 PROGRAMA COMBINADO PARA EXAMEN Pl 00. Vgete prtr de 0. Udd Números mgros, defcó. Opercoes comds de úmeros complejos. L fucó de segudo grdo: represetcó gráfc. Ecucó de º grdo. L fucó epoecl y l fucó logrítmc: represetcó gráfc. Ecucoes epoecles y logrítmcs. Sucesoes: defcó. Térmo geerl. Arreglo o Vrcoes: defcó y deduccó de fórmul. Ecucoes. Bomo de Newto. Propeddes. Udd Udd mgr. Potecs de udd mgr. Cudrdo y cuo del complejo. Form cóc de l fucó de segudo grdo: domo e mge. Uccó del vértce. Relcoes co ls otrs forms Ecucó de segudo grdo. Ejerccos y prolems. Permutcoes: defcó, ejerccos y prolems. Logrtmcó: defcó y propeddes. Opercoes. Cmo de se. Progresoes rtmétcs y geométrcs. Udd El complejo ddo como u pr de úmeros reles, e form ómc y como u vector. Opercoes comds de úmeros complejos. Ecucó de segudo grdo complet, su resolucó. Recostruccó de l ecucó de segudo grdo dds sus ríces. Propeddes de los logrtmos: ejerccos y prolems. Ecucoes logrítmcs. Comcoes: defcó, ejerccos y prolems. Números comtoros. Propeddes. Ecucoes. Bomo de Newto. Propeddes. Progresoes: deduccó de l fórmul fudmetl. Udd Represetcó gráfc del complejo. Complejos cojugdos y opuestos. Propeddes. Form fctorzd de l fucó de segudo grdo. Ecucó de segudo grdo: su resolucó. Método de completr el cudrdo. Fucó logrítmc: represetcó gráfc, domo e mge. Logrtmos decmles: propeddes y ecucoes. Vrcoes y comcoes. Ecucoes. Bomo de Newto. Sucesoes covergetes y dvergetes. Límte de u sucesó. Udd Opercoes comds co úmeros complejos. Fucó de segudo grdo e form polómc. Ceros de l fucó. Ecucó de segudo grdo: fórmul del dscrmte, su álss. Propeddes de ls ríces. Fucó epoecl: crcterístcs, domo e mge. Logrtmo: defcó y opercoes plcdo propeddes. Ecucoes epoecles y logrítmcs. Cmo de se. Progresoes rtmétcs: defcó y fórmuls. Límtes de u sucesó. Bomo de Newto. Propeddes.

3 SÍMBOLOS Y NOTACIONES : perteece : este por lo meos u : o perteece : es sucojuto de : mplc Icluye : mplc dolemete o s y solo s : terseccó : tles que : uó : y : o : por lo tto : es el cojuto de úmeros turles : es meor que : determ : o es meor que : cojuto vcío : es myor que U : cojuto uversl : o es myor que A : complemeto de A : es meor o gul que : es dsjuto de : es myor o gul que : es múltplo de : pr todo : es dvsor de : y sí sucesvmete : cogruete

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5 Números Complejos Udd Itroduccó El cojuto de los úmeros complejos fue credo pr resolver lguos prolems mtemátcos que o tee solucó e el cojuto de úmero reles. El ejemplo más secllo es l ecucó 0 ; ddo que o este u úmero rel que elevdo l cu- drdo se gul uo. Cocepto E el ño, el mtemátco Crdo, de orge tlo, trj e l solucó del sguete prolem: Es posle epresr l úmero 0 como l sum de dos úmeros tles que su producto se gul 0? Pr resolver este prolem, vmos plter u sstem de ecucoes, que se estudó el ño teror. Llmremos e y los úmeros que uscmos. y 0 y 0 Pr resolver este sstem, utlzremos el método de susttucó, despejremos l cógt y de l prmer ecucó y l reemplzremos e l segud. y S plcmos propedd dstrutv otedremos u ecucó de segudo grdo y despejdo, os qued. 0 0 o e 0 0 Este tpo de ecucó podemos resolverl por el método de completr cudrdo. Este método cosste e sumr u msmo úmero mos memro de l guldd, por l propedd uforme de l sum. Dcho úmero es l mtd del coefcete de térmo de prmer grdo elevdo l cudrdo, esto permtrá formr u tromo cudrdo perfecto de l form El prmer memro se puede fctorer, queddo:

6 0 0 Despejdo, se otee: dode ls solucoes so: Como puedes ver o hy u úmero rel que elevdo l cudrdo de cómo resultdo. Etoces, o se puede epresr l úmero 0 como l sum de úmeros reles tles que su producto se gul 0. Este prolem permecó por muchos ños hst que e el ño 777, Leordo Euler trodujo el símolo (por mgro) pr dcr u úmero tl que o e Utlzdo, result, por ejemplo: Reemplzdo, teemos: E geerl, culquer ecucó cudrátc que o teg solucó e el cojuto, tedrá como solucoes dos úmeros de l form y. 6

7 Defcó Llmremos úmero complejo u úmero z que se escre de l form dode y so úmeros reles, e verfc:. Al úmero se lo deom prte rel de z y l úmero, prte mgr de z., prte rel prte mgr Se desg co Re z l prte rel del úmero complejo z y co Im z l compoete mgr de z. Codcó de guldd Dos úmeros complejos so gules cudo tee l msm prte rel y l msm prte mgr. Defcó cojuto de úmero complejo Se deom co l letr C l cojuto de todos los úmeros complejos: Not: C z / z ;, U úmero complejo cuy prte mgr es cero se detfc co u úmero rel que se deom complejo rel. Ejemplo: 0 Todo úmero rel puede cosderrse u úmero complejo cuy prte mgr es cero. U úmero complejo cuy prte rel es cero se deom mgro puro. Por ejemplo: 0 Dos úmeros complejos se deom cojugdos s tee l msm prte rel y ls prtes mgrs opuests. El complejo cojugdo del complejo z se dc co z ; luego z Ejemplo: S z 8, su complejo cojugdo es z 8 z, su complejo cojugdo es z 7

8 Dos úmeros complejos so opuestos s tee prte rel y l prte mgr opuests. El complejo opuesto del complejo z se dc co z ; luego z Ejemplo: S z 8., su complejo opuesto es z 8. z, su complejo opuesto es z Uccó del cojuto de los úmeros complejos El cojuto de los úmeros reles está cludo e el cojuto de los úmeros complejos: C, porque s, es z 0, y, etoces, z C Nturles ( N) N0 Eteros ( Z) Rcoles Eteros Negtvos Frccoros Irrcoles o ( Q) Re les ( ) Complejos ( ) Im grosim ( C) Represetcó de los úmeros complejos Nos pregutmos s podemos represetr gráfcmete los úmeros complejos. Cosderdo que u úmero complejo puede cosderrse como el puto de u plo de coordeds (; ), dode es l prte rel y es l prte mgr. Los úmeros complejos reles se represetr e el eje de ls scss (eje rel) y los úmeros complejos mgros puros sore el eje de ls ordeds (eje mgro). z 0 Este plo formdo se deom plo complejo C. Eje rel 8

9 Forms de epresr u úmero complejo Podemos epresr los úmeros complejos de cutro forms dstts. S lo epresmos de l form se deom form orml o ómc S lo epresmos ; se deom form de pr ordedo, dode l prmer compoete es l prte rel y l segud es l prte mgr. El puto ; se deom fjo de z. Ls otrs dos forms l vmos omrr, pero l deduccó se verá e ños posterores. S oservs l sguete fgur, l fjr el puto z qued determdo u trágulo rectágulo oz del que se cooce ls medds de sus ctetos y y se puede clculr su hpoteus por el teorem de Ptágors. A l medd de ést l desgremos co r y l llmremos módulo del vector o del ú- mero complejo. Etoces r El vector form u águlo φ co el semeje postvo de ls scss tomdo e el setdo thorro. Dcho águlo se deom rgumeto del vector. El vlor de puede determr mtemátcmete por trgoometrí o e por medcó. E este curso usremos est últm form. Y s decmos que z r,, estremos desgdo los úmeros complejos e otcó polr o form polr. Este otr form de epresr l úmero complejo, que es l form trgoométrc, que se estudrá el ño sguete. Eje mgro z r 0 Eje rel Opercoes co los úmeros complejos Sum Pr sumr dos úmeros complejos, se sum seprdmete sus prtes reles e mgrs 9

10 E símolo: Ejemplo: c d c d Not L sum de dos úmeros complejos cojugdos es u úmero rel gul l duplo de l compoete rel del úmero complejo. E símolo: Ejemplo: Dferec E el cso de l rest etre úmeros complejos, se oper de l sguete mer. Ejemplo: c d c d c d Not L dferec de dos úmeros complejos cojugdos es u úmero mgro puro gul l duplo de l compoete mgr del úmero complejo. E símolo: Ejemplo: Multplccó Pr multplcr co úmeros complejos, se oper co ellos como s se trtr de polomos, teedo e cuet que c d c d c d c d c d c d d c 0

11 Ejemplo: Not El producto de dos úmeros complejos cojugdos es u úmero rel gul l l sum de los cudrdos de l compoete rel y l compoete mgr de uo culquer de esos úmeros complejos. E símolo: Ejemplo: Dvsó Pr dvdr dos úmeros complejos, se multplc dvdedo y dvsor por el complejo cojugdo del dvsor, multplcdo umerdores y deomdores etre sí. d c d c d c d c d c d c d c d c d c d c d cd cd c d c d c d c d c d c d c

12 Ejemplo: Poteccó Veremos, e prmer lugr, ls potecs sucesvs de l udd mgr, descompoedo e potecs de gul se o o L tercer colum de gulddes se epres que Ls potecs sucesvs de se repte cd cutro vlores prtr de los vlores de,, -; -. o, doptdo

13 Clculr 6 como Not E geerl, s l dvdr m por, el cocete c y el resto r, se tedrá que: r c r c r c m r c r m Tod potec de epoete turl de tee el msmo vlor que l potec de de epoete gul l resto de l dvsó eter de ese epoete ddo por cutro. Cudrdo y cuo de u úmero complejo S se tee presete l defcó de potec, result fácl poer e evdec, que pr el cálculo del cudrdo o del cuo de u úmero complejo, l form ómc se comport como u omo. Es decr que: Ejemplo: 9 9 9

14 Pr el cuo de u complejo Ejemplo: Susttuyedo

15 EJERCICIOS DE APLICACIÓN Udd. Clculr ) 6 ) c) 00 d) 9 e) 69 f) g) 6 8 h) 0, 000 ) 0 j) 7 k) 7 l). Represetr, e u sstem de coordeds crtes, los úmeros complejos: z z z 7 z z z 0 z z z6 z 8 z. Idcr qué úmero complejo correspode cd uo de los sguetes fjos: A 7 A 6 A A A A 0 A 8 A

16 6. Completr l sguete tl: z z z z 6, 0 6. Clculr, pr cd pr de úmeros complejo ddos, z z ; z z ; z z ; z z : ) z z ) z z c) z z d) z z e) z z f) z z 6. Resolver ls opercoes dcds y escrr el resultdo e form ómc ) ) 8 c) d) e) f) g) h) ) j)

17 7. Clculr Resolver ls sguetes potecs ) ) c) d) e) f) g) h) ) j) 9. Resolver los sguetes ejerccos comdos: 7 96 ) c) 0, ) 7 d) e) f) g) h) ) k) l) j) 7 0. Verddero o flso? Justfcr l respuest. L ríz cudrd de u úmero rel es sempre u úmero rel.. Pr culquer úmero complejo z, el producto z z rel. es u úmero complejo 7

18 c. S z es u complejo tl que Rez 0 e Im 0 Imz 0. z ; etoces, Re 0 d. El cocete de dos úmeros complejos uc es u complejo rel. z e e. E u sstem de coordeds crtess, los fjos de z y de z so smétrcos co respecto l eje mgro. f. L sum de u complejo y su cojugdo es sempre u úmero rel.. Clculr el vlor de z e cd u de ls sguetes epresoes: ) z 7 7 ) z 6 z d) c) z z e) f) z g) z. Clcul los úmeros reles e y de modo que y. Ddos los complejos z y z compror que: z z z z. z z z z. Esto es váldo pr culquer pr de complejo z y z?. Justfcr. Ddo z, compror que Re( z) Imz Esto es váldo pr culquer complejo z?. Justfcr. Ddo z z z, verfcr que Rez z z y que Esto es váldo pr culquer complejo z?. Justfcr Im z. Ecotrr, s es posle:. Dos úmeros complejos cuy sum se u complejo mgro puro. 8

19 . U complejo cuyo cudrdo se u úmero rel postvo. c. U complejo cuyo cudrdo se u úmero rel egtvo. d. Dos complejos cuyo cocete se u complejo mgro puro. e. U complejo cuyo cudrdo se u complejo mgro puro.. E u sstem de coordeds crtess, represetr todos los complejos, tles que: Re z Imz Rez Imz Rez Imz z z z z 6. Determr los vlores de y 7. Determr s este 8. Determr s este C úco? 9. Determr s este, tles que 6, tles que, tles que, tles que el complejo. E cso frmtvo, Es se mgro puro. 0. Determr s este dos complejos z y z, tles que verfque l vez: z z z. Comprue que es solucó de l ecucó 0 y tmé z (Ayud: susttuye l por estos úmeros y hz ls opercoes). Determr el vlor de pr que el módulo del cocete. Cómo dee ser u úmero complejo pr que su cudrdo se. mgro puro. úmero rel postvo c. úmero rel egtvo. Determ el vlor de pr que el producto. Se u úmero rel. Se u úmero mgro puro se 9

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21 Fucó Cudrátc Udd Itroduccó Ls fucoes cudrátcs permte costrur modelos de stucoes referds dstts áres como l Físc, l Bologí, l Ecoomí, l Astroomí, l Comuccó y l Geometrí, etre otrs. E l tgüedd, los gregos, desde Eucldes, resolví ecucoes cudrátcs sádose e u método geométrco dode hcí terver cudrdos y rectágulos. E el sglo XVII, después de que Johes Keppler epuser ls leyes que rge el movmeto de los plets, los stróomos descurero que ls órts de los plets y comets respodí modelos cudrátcos. Cocepto U egoco de decorcó, Alfomr Cofort, cofecco tpces cudrdos que mde etre y metros de ldo, co dseños eclusvos y peddo. Queremos ver que superfce tee los tpces. Teedo e cuet que l es el ldo del tpz y t su áre, completmos l sguete tl de vlores y prtr de estos vlores relzremos u represetcó gráfc. l (m) t (m ),00,00,0.,00,00,0 6.,00 9,00 Como l logtud del ldo puede tomr vlores etre y metros, los vlores del áre estrá compreddos etre m y 9 m. Por cosguete, el domo y l mge de l fucó t(l) so: Dom ; Im t l ;9 l t m m

22 Fucoes cudrátc de l fórmul L fórmul cudrátc que se usó pr costrur el ejemplo teror es u cso prtculr de f co perteecete los reles dsttos cero 0 Ests fucoes está defds pr todo úmero rel, es decr que su domo turl result: Domf E cd cso, l represetcó gráfc es u práol y ls coordeds de los putos del plo que perteece l práol verfc l ecucó cudrátc y. E el cso teror, el domo teí como tervlo [; ] y l fucó defd es f. Como el cudrdo de u úmero es y sempre postvo o cero, el cojuto de 9 l mge es el tervlo 0 ;. f Como l fucó f tom el msmo vlor pr los vlores opuesto de, su gráfco es smétrco co respecto l eje de ls ordeds, su ecucó es 0 y se deom eje de smetrí de l práol. El úco puto de l práol que perteece l eje de smetrí es el vértce. E este ejemplo es el puto v = (0; 0) Los putos de terseccó de u práol co el eje de ls scss so quellos e que l orded es cero; e este cso sí y = 0; result que 0 y est ecucó tee como úc solucó 0. El puto de terseccó es el vértce. Represetcó gráfc de l fucó f f E todos los gráfcos de este tpo de fucoes se puede oservr que el eje de smetrí es el eje de ls ordeds (y) co el vértce e el orge del sstem v 0;0. E lguos csos el vértce es u vlor mímo y e otros csos es el vlor mámo. Cudo el coefcete es postvo y l orded del vértce ul es meor tods ls ordeds resttes, que so postvs. E cosecuec el vértce es el meor vlor de l fucó.

23 Cudo el coefcete es egtvo, sucede lo cotrro, l orded ul del vértce es myor ls resttes ordeds, que so egtvs. E cosecuec el vértce es el mámo vlor de l fucó. Tmé puede oservrse que pr dsttos vlores de, l rpdez co l que crece ls rms de cd u de ls práols es dferete. Por ejemplo, dd l fucó y, s, el gráfco se otee dltdo vertclmete el de y ; por el cotrro sí co 0 vertclmete el de y., el gráfco se otee cotryedo Trslcoes de l fucó f Trslcoes e l dreccó del eje de ls ordeds (y) L fórmul de l fucó que permte costrur u modelo co l stucó teror es u cso prtculr de f k. Veremos como se otee los gráfcos de ls fucoes de este tpo prtr del gráfco de y co. Gráfco de l fucó y k Compremos ls tls de vlores de ls fucoes y ; y e y y y y

24 Los vlores de y, se otee, como es lógco, sumdo uddes de l fucó y. Por lo tto, l gráfc de y se logr suedo tres uddes l gráfc de y. Como l práol scede uddes, el vértce se trsldó v 0;, l mge es hor el tervlo ;. Tmé podemos decr que l práol o tee terseccó co el eje de ls scss; porque l fucó o se ul pr gú vlor de. Teedo l msm cosdercó teror, l gráfc y se otee jdo cco uddes l de y. El vértce tee coorded v 0; mge l tervlo ;., cmdo l E este cso, l práol tee dos putos de terseccó co el eje de ls scss, so los putos dode l orded es gul cero y 0. Dchos putos se deom ceros, ríces o scss l orge de l fucó. Pr uestro cso, se otee de l sguete mer: 0 Ls coordeds so ;0 y ;0. E el prmer cso, o hlmos de ceros o ríces porqué l resolucó de l ecucó so dos úmeros complejos cojugdos. 0 Podemos gregr demás que tods ls práols tee como eje de smetrí l eje de ls ordeds (y), que es l rect 0. El vértce se desplz vertclmete segú los dferetes vlores de k. E resume, prtr del gráfco de y, pr grfcr y k se trsld k uddes ls ordeds de los putos de l práol de l sguete mer: s k es postvo, hc rr y hc jo, s k es egtvo. v 0;k y el eje de smetrí es 0. El vértce tee coordeds

25 Trslcoes e l dreccó del eje de ls scss () L fórmul de l fucó que permte costrur u modelo co l stucó teror es u cso prtculr de f h. Veremos como se otee los gráfcos de ls fucoes de este tpo prtr del gráfco de y co. Gráfco de l fucó y h Compremos ls tls de vlores de ls fucoes y ; y y e y y Ahor el vértce de y se ecuetr e el puto dode 0, es decr el puto ;0, hy u desplzmeto del vértce e dreccó horzotl gul h, o lterdo el rgo de l mge del domo co respecto y. Hy u desplzmeto del eje de smetrí Aálogmete, el vértce de y estrá e el puto ;0 y su eje de smetrí es Podemos decr e geerl, l gráfc de y h se otee de l gráfc y trsldádol u trmo h e l dreccó del eje de ls scss (). y

26 Trslcoes e culquer dreccó E lgus ocsoes, ls fucoes cudrátcs puede epresrse medte l ecucó f h k Est fucó tee l prtculrdd de que permte vsulzr ls coordeds del vértce de l práol que está dcds e l fórmul, de l sguete mer: y h k o e y v yv v v ; y v Veremos como se otee los gráfcos de ls fucoes de este tpo prtr del gráfco de y. Pr trsldr l práol y trsformremos su ecucó del sguete modo: y y se trsld de modo que su vértce se stúe e el puto k h uddes horzotlmete y h se trsld k uddes vertcl y h k Por ejemplo, vmos trsldr l práol v ;. e el puto L práol h h;, y de modo que su vértce se ecuetre y se trsld uddes l derech y se trsld uddes hc rr y. Vemos que el eje de smetrí se trsldó uddes. El domo de l fucó o se lteró, pero l mge es hor el tervlo ;. Aálogmete, podemos decr que y es u práol como y co su vértce e ; o que y es u práol como co su vértce e ;. y E cosecuec podemos decr que u fucó del tpo y h k, está compuest por dos movmetos, uo horzotl y otro vertcl, sguedo los coceptos de trslcó vsto terormete. Cudo u fucó cudrátc se epres de l form y h k o y v yv, se l deom form cóc de l fucó cudrátc. Pr clculr determr los putos, dode l fucó cort l eje de ls scss, o se los ceros, ríces o scss l orge, se procede de l sguete mer: Prtmos que e dchos putos es y 0, como muestr l sguete fgur pr los putos y. 6

27 7 Por lo tto gulmos cero l epresó cóc. k h k h k h k h k h. 0. k h k h Ejemplo: Clculr ls ríces de l fucó 8 y Como 0 y, teemos que: Ls coordeds de ls ríces so: ;0 ;0 Otro puto crcterístco es l orded l orge, es el puto dode l fucó cort l eje de ls ordeds, por lo tto como culquer puto de este eje tee scs ul, podemos escrr 0 e l fucó cóc. k h y k h y 0.. k h y. despejmos ;0 ;0

28 Ejemplo: Clculr l orded l orge y 8 Como 0, teemos que: y 6 L coorded de l orded l orge es y 0 y y 9 8 y 0;6 8 8 Otr form de epresr u fucó de segudo grdo Vmos que se deom form cóc de l fucó de segudo grdo s se epres de l form: y h k S, hor, se epres e fucó de sus ríces de l sguete mer: y se deom form fctorzd de l fucó cudrátc. S se desrroll el cudrdo del omo y se sum de l form cóc o se plc propedd dstrutv l producto de los omos de l form fctorzd, se otee u uev form del tpo: y c que se deom form polómc, dode el coefcete es el msmo vlor e tods ls forms y c es l orded l orge de l práol es el coefcete del térmo de segudo grdo es el coefcete del térmo lel o de prmer grdo c es el térmo depedete Pr psr de l form polómc l form cóc se puede utlzr y c Gráfco de l fucó polómc Vmos grfcr hor l fucó cudrátc de l form polómc; o se y c, dode ; ; c y 0. Tmé est fucó se l deom fucó cudrátc complet. Pr poder grfcr este tpo de fucó será ecesro ecotrr putos crcterístcos. 8

29 9 Orded l orge Es el puto de terseccó de l práol y el eje de ls ordeds; es decr = 0 Su coorded es ;c 0 Ascss l orge, ríces o ceros Ls scss l orge, ríces o ceros de l fucó so los putos de terseccó de l práol co el eje de ls scss; es decr y=0. Pr ecotrr estos putos procedemos completdo el cudrdo. Se hce l fucó gul cero (y=0) 0 c. Se etre fctor comú 0 c. E el prétess se complet u tromo cudrdo perfecto 0 c Los tres prmeros térmos del prétess form u tromo cudrdo perfecto que se puede epresr como el cudrdo de u omo. 0 c. Se despej c c c c c. L fórmul resolvete es c ;

30 0 Deemos clrr, que tmé lo podemos resolver por el método de completr el cudrdo vsto terormete. Ejemplo Resolver l sguete ecucó 0 Como =, = - y c =, podemos reemplzr el l fórmul resolvete c ; 9 6 ; ; ; ; Vértce de l práol Es el vlor mámo o mímo, segú el tpo de práol, que puede tomr l fucó. Pr clculr ests coordeds se puede proceder de dos forms dferetes. Trsformdo l fucó de form polómc e form cóc, procededo de l sguete mer:. Se etre fctor comú c y c y. Se sum y se rest, formdo u tromo cudrdo perfecto c y c y

31 c. Aplcdo propedd dstrutv y c d. Llmdo h y k c y reemplzdo el l fucó teror, teemos y h k dode h y k so ls coordeds del vértce, es decr: o e v h; k v ; c. Como l práol tee eje de smetrí, etoces dee psr por el medo de ls ríces, es decr h y reemplzdo e l fucó otedremos el vlor de l orded. Los putos grfcr so los sguetes y k h c h c Orded l orge Vértce Ríces

32 Ejemplo Grfcr l fucó y 0 Aplcdo ls fórmuls correspodetes teemos:. Orded l orge: 0 ;0. Ceros de l fucó ; c S = =- c = 0 y reemplzdo ; ; 6 ; 8 ; Vértce h h h k k h h c k k 8 v ; 8 0

33 . Eje de Smetrí h U vez otedo los putos crcterístcos y podemos hcer u grfc promd Dscrmte Dd l ecucó de segudo grdo c 0, cuy fórmul resolvete es c ;, se deom dscrmte l epresó c y se lo smolz co l letr greg Δ (delt). c El dscrmte determ qué tpo de ríces tee l fucó de segudo grdo, socd su ecucó. Segú l resolucó del dscrmte, puede suceder tres csos:

34 . 0, l ecucó tee dos ríces reles dstts. Está socdo u fucó cudrátc cuyo gráfco trves e dos putos el eje de ls scss.. 0, l ecucó tee u ríz rel dole. Está socdo u fucó cudrátc cuyo gráfco toc e u solo puto el eje de ls scss.. 0, l ecucó tee dos ríces complejs cojugds. Está socdo u fucó cudrátc cuyo gráfco o toc e dos putos el eje de ls scss. Propeddes de ls ríces. S summos memro memro ls ríces y de l fórmul de l resolvete de u ecucó de segudo grdo de l form c 0, po- demos decr que: + c c L sum de ls ríces de u ecucó de segudo grdo es gul l rzó del coefcete lel y el coefcete prcpl cmdo de sgo.. S multplcmos, hor, ms ríces y de l fórmul de l resolvete de u ecucó de segudo grdo de l form c 0, teemos: c c

35 c c c c c c El producto de ls ríces de u ecucó de segudo grdo es gul l rzó del coefcete depedete y el coefcete prcpl. Ecucoes Cudrátcs Llmmos ecucoes cudrátcs o ecucoes de segudo grdo, ls ecucoes que puede reducrse l form c 0. Cudo gulmos cero l fórmul de u fucó cudrátc pr vergur sus ríces, pltemos u ecucó cudrátc. Ls solucoes reles de est ecucó, que puede ser dos, u o gu, será los vlores uscdos. Decmos que u ecucó cudrátc es complet cudo sus coefcetes o c so ulos. Tods puede resolverse plcdo l fórmul resolvete o de Bhskr (prmero se reduce l form c 0 relzdo tods ls opercoes posles) c ; O por el método de completr el cudrdo que cosste e: A prtr de l ecucó c 0, se ps el térmo c l segudo memro c Se sc fctor comú el coefcete del térmo de segudo grdo y se lo ps l segudo memro como dvsor c c Trtdo de formr u tromo cudrdo perfecto, se sum y rest l mtd del coefcete del térmo lel elevdo l cudrdo, queddo sí u tromo cudrdo perfecto

36 6 c c Ahor despejmos : c c Ls ríces del polomo so: c c Dode y so l ríces del polomo. Ejemplo: 0 ) ( p S l ecucó o tee térmo lel ( = 0), se despej drectmete l cógt. S l ecucó o tee térmo depedete (c = 0), se etre fctor comú. E este cso, = 0 es sempre u de ls solucoes. L otr solucó se otee guldo cero el otro fctor.

37 Sstem mto de dos ecucoes U sstem mto de ecucoes es u sstem formdo por u fucó cudrátc (práol) y u fucó lel (rect). Es decr uscmos l terseccó de rect co práol. Pr clculr los putos de corte de u práol de ecucó y c co u rect y m, se resuelve el sstem de ecucoes: y c y m El método que se puede usr es el de gulcó. Sedo que s los prmeros memros so gules los segudos tmé lo so, por lo tto teemos: c m Despejdo y grupdo m c 0 Oteemos u ecucó de segudo grdo, que se resuelve por los métodos y estuddo. Est ecucó puede teer tres tpos de resultdo, segú se el dscrmte.. > 0, l rect cort l práol e dos putos, y. Se dce que l rect es secte.. = 0, l rect toc l práol e u puto, =. Se dce que l rect es tgete l práol.. < 0, l rect o cort l práol. Pr oservr ls poslddes, presetremos los sguetes ejemplos. y y 8 8 Iguldo ls ecucoes, se otee: Aplcdo l fórmul pr resolver u ecucó cudrátc, result:

38 Los putos de terseccó so: 8 y y ;8 ; y y y ; ; y. 7 y y Iguldo ls ecucoes, se otee: Aplcdo l fórmul pr resolver u ecucó cudrátc, result: Los putos de terseccó so: y y ; ; y

39 9. 6 y y Iguldo ls ecucoes, se otee: Aplcdo l fórmul pr resolver u ecucó cudrátc, result: 8 7 Como est ríz cudrd o tee solucó e, o este vlores de que verfque l ecucó plted. Por lo tto, o hy gú puto de terseccó etre l práol y l rect.

40 Sítess L fucó cudrátc So fucoes de l form y c 0. Dom ( f ) : Su gráfco es u curv llmd práol. Sgo y vlor soluto del coefcete prcpl : Pr epresr u fucó cudrátc e l form y c (form polómc, se desrroll ls opercoes dcds Ríces y ceros de l fucó: so ls scss de los putos de terseccó de l práol co el eje de ls scss. Pr hllrls, s es que este, e l fórmul de l fucó se reemplz l vrle y por 0 y se resuelve l ecucó por culquer método. Desplzmetos de f ( ) Al desplzr h uddes e setdo horzotl y k uddes e setdo vertcl del gráfco de f(), se otee el gráfco de l fucó: g h k h k g Su vértce es el puto: v ( h; k). El eje de smetrí es l rect de ecucó = h. L fucó sí epresd se deom form cóc. Ecucoes cudrátcs k h Tods puede resolverse plcdo l fórmul resolvete (prmero se reduce l form c 0 relzdo tods ls opercoes posles). 0

41 c ; S l ecucó o tee térmo lel ( = 0), se despej drectmete l cógt. S l ecucó o tee térmo depedete (c = 0), se etre fctor comú. E este cso, = 0 es sempre u de ls solucoes. L otr solucó se otee guldo cero el otro fctor. Costruccó del gráfco Se plc l fórmul resolvete y se otee ls ríces y. S ests so reles, se mrc los putos de cotcto sore el eje de ls scss. Coordeds del vértce: Pr clculr v se puede usr: v v y f, es decr se reemplz v e l fórmul de l fucó. v v Vértce v ; v y v Eje de smetrí es u rect vertcl que ps por l scs del vértce (se mrc co líe puted. 0 ;c. Puto de cotcto co eje de ls ordeds. Se provech el eje de smetrí pr oteer putos smétrcos. Orded l orge: Form Cóc f h k o f v yv Pr hllr l fórmul de u fucó cudrátc de l que se cooce el vértce y otro puto que perteece l práol, se reemplz tods ls coordeds e l fórmul f v y y se despej. v Dscrmte c Mámo y mímo Δ > 0 dos ríces reles Δ = 0 u ríz rel dole Δ < 0 dos ríces complejs cojugds S el domo de u fucó cudrátc es, lcz u mámo o mímo e l orded del vértce de su gráfco.

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43 EJERCICIOS DE APLICACIÓN Udd. Hllr l fórmul de l fucó cuyo gráfco es como el de f, pero trslddo:., uddes hc l zquerd y 0, uddes hc rr.. uddes hc l derech y uddes hc jo. c. udd hc l zquerd y uddes hc jo. d. 6 uddes hc l derech y uddes hc rr.. Ls fucoes g, h y j grfcds fuero ote- ds desplzdo el gráfco de f. Escr l fórmul de cd u de ls fucoes.. Idque cuáts y cules so ls ríces reles del ejercco teror.. Hllr, s es que este, ls ríces reles de ls sguetes fucoes: ) f 9 ) g c) g d) j e) k f) g) m 6. Epresr e form fctorzd ls sguetes fucoes cudrátcs: ) f ) h 6 7 c) k 6 d) g e) j 7 f) p

44 6. Ls sguetes fucoes cudrátcs está escrts e form cóc. Eprésel e form fctorzd.. f. h 0 c. k d. g e. j f. q 9 7. Escrr ls sguetes fucoes cudrátcs e ls otrs dos forms:. f 6 9. h 8 j c. g d. 8. Hcer los cálculos ecesros y completr el cudro. Epresó Polómc Epresó Fctorzd c Resolver ls sguetes ecucoes cudrátcs del tpo + c = 0 ) 0 ) c) 0 d) 9 0 f) 0 e) 0. 8 g) 0 h) 0 ) 0 j)

45 k) 7 l) m) 0 7 ) o) 7 p) q) r) 0. Resolver ls sguetes ecucoes cudrátcs del tpo + = 0 ) 0 ) 0 c) 0 d) 0. 9 e) f) 0 9 g) 0 6 h) ) 0 j) 0 k). l) m) 0 ) o) 8 0. p) q) r) 6 s) t) u) 6 v) w) )

46 y) z) 6 ) 0 ) cc) dd) m m 6. Resolver ls sguetes ecucoes cudrátcs del tpo + + c = 0 ) 8 0 ) 0 c) 0 d) e) 0 f) 6 g) 7 h) 8 ) j) 06 0 k) l) m) 0 ) 8 o) 0 p) 0 q) r) s) u) t) 6 w) y) ) v) ) z) ) 6

47 7 cc) dd) 6 ee) 0 ff) 6 9 gg) 0 hh) m m ) jj) 6, kk) ll) mm) ) 0 oo) pp) qq) m m rr) ss) tt) 6 m m uu) 0 vv) 6. Hllr los úmeros eteros que verfque l codcó pedd e cd uo de los sguetes csos.. L dferec etre el cudrdo de su trple y el cudrdo de su dole es.. El producto de su cosecutvo y su tecesor es 99 c. El trple del cudrdo de su cosecutvo es 7. Grfcr ls sguetes fucoes. Pr ello, determr prevmete ls ríces, coordeds del vértce, eje de smetrí y orded l orge.. 8 m. 9 6 c., l d., 0, p e. q

48 . Idque el sgo de los coefcetes,, c de l fórmuls polómcs correspodetes ls fucoes cudrátcs grfcds.. Hllr l fórmul de l fucó cudrátc que cumpl co ls codcoes pedds e cd cso.. Su gráfco ps por el puto ;. El vértce de su gráfco es 0; c. El vértce de su gráfco es ; y su vértce es v ;0 v y es ríz. v y l orded l orge es. d. Ls ríces so y y el mámo es. 6. Pr cd u de ests fucoes grfcds:. Hllr su fórmul polómc.. Sus ríces c. Idcr cuál es el mámo o mímo. 7. Grfcr e u msmo sstem de coordeds l fucó f y luego ls fucoes g y h que se otee multplcdo los coefcetes de f por y por -, respectvmete. Oservr Los gráfcos y scr u coclusó 8. S resolverls, dque el tpo de ríces que tee cd u de ls sguetes ecucoes:. 0, 0 8

49 . 0 c d Hllr el vlor de e cd u de ls sguetes fgurs, utlzdo l formcó dd. (ls logtudes está epresds e cm y ls áres e cm ; P = perímetro; A = áre) 9

50 0. Idcr como es el dscrmte socdo cd u de ls sguetes fucoes represetds e el sguete gráfco:. Complet ls ecucoes de ests tres gráfcs:. y y c. y Los úmeros que flt puede ser postvos o egtvos. Hllr el vlor de k pr que ls ecucoes propuests cumpl co l codcó pedd e cd cso. Ngu solucó rel Úc solucó Dos solucoes reles dstts.- k 0 c.- k 0 e.- k k 0 d.- 6 k 0 f.- 0, k 0. Hllr los posles vlores de k pr que se cumpl ls codcoes pedds e cd cso.. L fucó f k tee ríz dole.. L ecucó k 0 o tee solucó e. 0

51 c. El gráfco de l fucó k dos putos. g tersec l eje de ls scss e d. L ecucó k tee dos ríces reles dstts. e. L ecucó k 0 tee l msm ctdd de ríces reles que l ecucó. Hllr l epresó polómc de l fucó cudrátc f que reúe ls sguetes codcoes. Su coefcete cudrátco es y tee dos ríces reles cuy sum es 6 y su producto es 8.. El producto de ls ríces de u fucó cudrátc es 9, su sum es ul y el gráfco tersec l eje de ls ordeds e 8. Ls ríces de u fml de fucoes cudrátcs sum y su producto es y ls rms de sus gráfcos v hc jo. Escr l fórmul de u de ests fucoes e form polómc. 6. Hllr u epresó cudrátc f cuyo coefcete lel es cutro y cuyo gráfco cotee los putos p ;0 y q 0;8. 7. Ecotrr l fucó cudrátc g, e form fctorzd, cuyo gráfco cotee el puto p ; y cuyo vértce es el orge de coordeds. 8. Ecotrr l fucó cudrátc h, e form fctorzd, cuyo gráfco cotee el puto p ;0 y cuyo vértce es v ;. 9. El gráfco de l fucó cudrátc t tersec l eje de ls scss e dos putos smétrcos co respecto = 0, cort l eje y e y = y ps por el puto p ; 9. Escrr l form fctorzd de dch fucó. 0. U fucó cudrátc f de coefcete lel 6 tee dos ríces reles cuy sum es y cuyo producto es -. Hllr su epresó polómc.. Clculr el vlor de pr que l práol y 0 teg vértce e el puto (, ).. Cuál es el eje de smetrí?. Cuáles so los putos de corte co los ejes?. Clculr los úmeros cuy sum y producto so: ) Sum: -; producto: ) Sum: -; producto: 6 c) Sum: ; producto: 6 d) Sum: ; producto: 9

52 e) Sum: ; producto: 6 f) Sum: ; producto: g) Sum: -6; producto: h) Sum: ; producto: -6 ) Sum: 0; producto: - j) Sum: ; producto: 0 k) Sum:,7; producto: l) Sum: 6; producto: 0 8 m) Sum: -; producto: - ) Sum: 8 ; producto: - o) Sum: 7 ; producto: - p) Sum: 6 ; producto: - q) Sum: ; producto: - r) Sum: ; producto: 6 s) Sum: 7 0 ; producto: t) Sum: 0; producto:. Cuál es l fucó cudrátc que tee dos ríces reles que sum 7 y cuyo producto es 0; sedo que su gráfco cort l eje de ls ordeds e -.. L sum de ls ríces de u fucó cudrátc g es -9 y su producto es 0. Escrr l epresó polómc de g cosderdo que g 8. L fucó cudrátc h es tl que el producto de sus ríces es 0 y su sum es -. Ecotrr u epresó de h sedo que l coorded y del vértce de su gráfco es y 6. v 6. El domo de l fucó cudrátc j es. L sum de sus ríces es 8 y su producto es 7. Escrr l epresó de l fucó cosderdo que el mímo vlor que tom es Cuáles so los úmeros eteros que cumple l codcó de que su cudrdo más el duplo del cosecutvo es gul 677? 8. Cuál es el úmero turl que sumdo l cudrdo de su cosecutvo d 09? 9. Cuál es el úmero turl tl que l mtd del producto por su cosecutvo es gul 6?

53 0. L curt prte de u úmero, multplcd por ese úmero umetdo e dos uddes, es gul ses veces dcho úmero más l mtd del msmo. Cuáles so los úmeros que cumple es codcó?. S del úmero se rest el producto del duplo de u úmero por sí msmo, el resultdo otedo es gul ses veces ese úmero, dsmudo e uddes. Cuáles so los úmeros que cumple es codcó?. S l trplo de u úmero se le sum l mtd de su cudrdo, se otee el duplo del msmo úmero. Cuáles so los úmeros que cumple es codcó?. L sum de los cudrdos de tres úmeros turles y pres, cosecutvos, es gul 00. Cuáles so esos úmeros?. L sum de los cudrdos de tres úmeros postvos cosecutvos es gul. Cuáles so esos úmeros?. dos úmeros turles mpres y cosecutvos so tles que l dferec etre el cudrdo del meor meos el cudrdo del myor, es gul l dferec etre el cudrdo del úmero pr compreddo etre ellos y el úmero 60. Cuáles so esos úmeros? 6. L sum de dos úmeros es, y l de sus cudrdos es. Cuáles so los úmeros? 7. L sum de dos úmeros es -, y l sum de sus cudrdos es 06. Cuáles so los úmeros? 8. L sum de dos úmeros es, y l rzó de sus cudrdos es. Cuáles so los úmeros eteros que cumple es codcó? 9. El producto de dos úmeros es 0, el prmero de ellos es gul l duplo del otro más uo. Cuáles so los úmeros postvos que cumple es codcó? 0. El cuádruplo de l sum de u úmero, más el duplo de su verso, es gul. Cuáles so los úmeros que cumple es codcó?. Dvdr el úmero e dos prtes postvs tles que l rzó de sus cudrdos se gul. Dvdr el úmero e dos prtes postvs tles que l rzó de sus cudrdos se 6 gul 6. L superfce de u rectágulo es de 08 cm. Sedo que uo de los ldos es gul los del otro, Clculr ls dmesoes del rectágulo.

54 . L superfce de u rectágulo es de,8 m, y el perímetro de 8 m. Clculr ls dmesoes del rectágulo.. L superfce de u trágulo es de 60 cm. Cuál es l ltur, sedo que tee cm más que l se? 6. E u trágulo rectágulo, el cteto meor es gul los del cteto myor y es 6 uddes meor que l hpoteus. Clculr los tres ldos del trágulo. 7. L superfce de u coro crculr es de 6,80 cm. Clculr el rdo myor y el rdo meor, sedo que l coro tee cm de cho. 8. Clculr u cteto de u trágulo rectágulo tl, que tee 6 cm más que su proyeccó sore l hpoteus, y que ést es de cm. 9. Hllr l epresó polómc de l fucó cudrátc f sedo que su coefcete lel es - y que su gráfco ps por los putos p ; 7 y q ; 60. El gráfco de l fucó g, cuyo coefcete depedete es ulo, ps por los putos p ; y q ;8. Ecotrr u epresó pr g. 6. Hllr l fucó cudrátc cuyo gráfco ps por los putos p ;6, ; r ;6. q y 6. L fucó cudrátc m tee sus tres coefcetes gules, y su gráfco ps por el puto p ;8. Ecotrr l fucó m. 6. Puede drse el cso de que est u fucó cudrátc co sus tres coefcetes gules, de modo que su gráfco pse por el orge de coordeds? Por qué?. 6. L fucó cudrátc tee térmo depedete ulo y su gráfco ps por el puto p ; y por su smétrco co respecto l eje de ls ordeds. Cuál es su epresó? 6. Puede drse el cso de que est u fucó cudrátc de coefcete lel o ulo, de modo que su gráfco pse por u puto p y por su smétrco co respecto l eje de ls ordeds? por qué? 66. El gráfco de l fucó cudrátc f tersec los ejes e los msmos putos e que lo hce el gráfco de l fucó lel g 6 y, demás, u de sus ríces es smétrc l de g co respecto l eje y. Escrr l fucó f.. Grfcr ms fucoes e u msmo gráfco.

55 67. Los gráfcos de ls fucoes leles r y, 6 q se tersec e el puto m. El gráfco de l fucó cudrátc ps por dcho puto e tersec l eje de ls scss e los msmos putos que r y q.. E u msmo sstem de coordeds, grfque ms fucoes leles.. Escr l fórmul de l fucó f e form polómc. c. Grfque e el msmo sstem teror l fucó cudrátc. 68. Sore el eje de ls scss de u sstem crteso se ucó uo de los ldos de u trágulo equlátero, de modo que su vértce feror cocde co el orge de coordeds. L medd e cetímetros del perímetro del trágulo es. El gráfco de u fucó cudrátc ps por los tres vértces del trágulo.. Grfcr promdmete l stucó. s e sus tres forms.. Escr l epresó de 69. Hllr l terseccó de los sguetes sstems de ecucoes y grfcr.. c. e. f g t u c 6. d. f. h j m p k Demostrr que los gráfcos de ls fucoes k y tersec.. Grfcr ms fucoes e u msmo sstem. m, se otee otr k se tersec. Qué coef-. S se cremet e u udd lguo de los coefcetes de fucó p, de modo que los gráfcos de y de cete de m cmrí pr oteer p? 7. Los gráfcos de ls fucoes p y el puto m,.. Hllr los vlores de los coefcetes y.. Idcr s ms fucoes se tersec e otro puto. c. Grfcr ms fucoes e u msmo sstem. m o se q se tersec e 7. Cosdere ls fucoes r c c de modo que los gráfcos de r y s :. Se terseque e putos.. Se terseque e puto. c. No se terseque. y s. Hllr los vlores de

56 7. Idem ejercco teror pr los sguetes sstems f 0. g k. m k k 6

57 Fucó Epoecl Udd Itroduccó E feómeos t dversos como l evolucó de polcoes, l destegrcó rdoctv y l reproduccó de cters se ecuetr mgtudes que vrí co u rtmo muy celerdo, producedo umetos y decrecmetos muy rápdos, corde co u modelo epresdo por u fucó llmd epoecl. Por el cotrro, ls fucoes logrítmcs, que so verss de ls epoecles, vrí muy letmete, por lo cul proporco escls umércs decuds pr medr y represetr feómeos turles que volucr ctddes muy grdes o muy pequeñs, como l tesdd de los movmetos sísmcos o l cocetrcó de prtículs e u solucó químc. Cocepto Al omrder u átomo de uro co eutroes, su úcleo se dvde e dos úcleos más lvos, lerdo eergí y eutroes. Bjo certs codcoes, es decr, s este u ms crítc de uro, se c u reccó e cde: cd uo de los eutroes lerdos choc l úcleo de otro átomo, l que dvde e dos úcleos, lerdo e cd colsó gr ctdd de eergí y tres eutroes, y sí sucesvmete, como muestr l fgur. S costrumos u tl de vlores pr l fucó que relco l ctdd de eutroes lerdos e cd choque, co el úmero de choque y l choque, o mometo cl, co el eutró que omrde el prmer átomo y lo grfcmos, oteemos: : Nº de choque F()= Ctdd de eutroes 0 = 0 = 9 = 7 = 8 = Se llm ms crítc de uro l ctdd de ms mím que se ecest pr mteer u reccó e cde.

58 Fucó epoecl de l form f U fucó es epoecl s se epres de l form f k. Sedo u úmero rel postvo dstto de y k u úmero rel dstto de cero k 0. se deom se y k, coefcete de l fucó epoecl provee de que l vrle fgur e el epoete. Alzremos hor l fucó f dode k Pr ello grfcremos l sguete fucó: f f X 8

59 El domo turl de l fucó epoecl es el cojuto de los úmeros Reles dom f. Metrs que l mge so los reles postvos Im f 0, sedo el eje de ls scss u sítot horzotl. L fucó es crecete y ps por el puto 0,, que es l orded l orge. Al teer sítot e el eje de ls scss, l fucó o tee ríces. Qué psrá hor co l fucó Es decr 0 f - f o f Como puedes oservr, l fucó hor es decrecete, pero mteédose ls msms crcterístcs del domo, mge, orded l orge y sítot horzotl. Es decr que ms so smétrcs co respecto l eje de ls ordeds. Asítot es u rect l cul l curv se prom defdmete, s llegr tocrl ES crecmeto vertgoso se deom crecmeto epoecl 9

60 Alzremos el comportmeto de ls fucoes f, g y t decr co f g t S lo grfcmos, oteemos: , es 60

61 Los gráfcos de ls fucoes de l form f, co tee crcterístcs comues: Ls curvs tee l msm orded l orge y es el puto (0;). Ls curvs so crecetes, y crece tto más rápdo cuto myor se l se. L mge tom vlores postvos, es decr Im f 0 L curv o cort l eje de ls scss, ose que tee l msm sítot y est es y = 0 Que cosdersoes podemos hcer s l se est compredd etre 0 y, es decr 0. Vemos los sguetes gráfcos: g t f Los gráfcos de ls fucoes de l form f, co 0 tee crcterístcs comues: Ls curvs tee l msm orded l orge y es el puto (0;). Ls curvs so decrecetes, y decrece tto más rápdo cuto meor se l se. L mge tom vlores postvos, es decr Im f 0 L curv o cort l eje de ls scss, ose que tee l msm sítot y est es y = 0 Gráfco de fucoes de l form f k co y k 0 Estudremos que fluec tee el coefcete de l fucó epoecl (k), e l fucó f, co k gul ; ;. 6

62 Pr ello hremos l sguete tl. f g h t Grfcdo, oteemos S lzmos este gráfco, veremos que Ls curvs cort l eje de ls ordeds e el puto 0 ;k, o se es l orded l orge Ls curvs so decrecetes, y decrece tto más rápdo cuto meor se l se. L vrle y tom todos los vlores postvos, es decr, Im f 0. 6

63 Ls curvs o cort l eje de ls scss, es decr o tee ríces reles; cudo los vlores postvos de umet, los correspodetes vlores de y se cerc cero, pero o lcz uc ese vlor. Respecto de ls fucoes epoecles f k, co k 0, presetmos el sguete gráfco pr k gul -; - y -, como ejemplo. Como puedes oservr posee crcterístcs smlres l teror. Podrís decr cules so ls dferecs? Trslcoes de ls fucoes epoecles Trslcó vertcl L fucó epoecl de l form f, es u trslcó vertcl de l fu- có geérc g. Pr ello grfcremos ls sguetes fucoes epoecles: t, y su fucó geérc g. g f t f ; 6

64 S grfcmos ests fucoes epoecles, oteemos: f t sítots Comprdo los gráfcos, podemos scr ls sguetes coclusoes: L fucó se h desplzdo uddes hc rr o jo, o modfcdo su form. L orded l orge es el puto 0 ; L sítot es l fucó y. El domo es el cojuto de los úmeros reles y l mge so los úmeros reles myores Im f. Hcer ls cosdercoes pr los dsttos vlores de k. Trslcó horzotl c L fucó epoecl de l form f, es u trslcó horzotl de l fu- có geérc g. Pr ello grfcremos ls sguetes fucoes epoecles: f ; t, y su fucó geérc g. Pr smplfcr el gráfco, modfcremos, solmete, los vlores de ls scss pr oteer el msmo vlor de l fucó g f t 6 8 6

65 S grfcmos ests fucoes epoecles, oteemos: f t Ahor, lzdo los gráfcos, podemos scr ls sguetes coclusoes: L fucó se h desplzdo c uddes hc l derech o zquerd, e sgo cotrro l vlor de c, o modfcdo su form. L sítot es l fucó y 0, por lo tto o tee ríces. El domo es el cojuto de los úmeros reles y l mge so los úmeros reles myores 0, Im f 0. Ejercco. Hcer ls cosdercoes pr los dsttos vlores de k.. Cómo serí u fucó epoecl co dos desplzmetos, uo horzotl y el otro vertcl? Ecucoes epoecles U ecucó e l que l cógt prece e u epoete, se llm ecucó epoecl. Pr eteder, oserv el sguete prolem: Queremos vergur el tempo que trd e duplcrse ls mes e u certo cultvo. Pr ello hcemos l sguete eperec: Colocmos cutro mes e cultvo y, l co de tres dís justos, cotmos ls que hy: 6.8. Nos pregutmos cuáts veces se h duplcdo. 6

66 S pltemos l epresó, teemos: 6.8 Dode es el úmero de prtcoes que se produce cd dí. Como ves, est es u ecucó epoecl y podrás resolverl s recuerds ls propeddes de ls potecs y de ls ríces, que se estudro e ños terores. Ahor vmos resumrls: p q pq p q pq.-.- p p p 7.- p 6.- p 8.- p q pq p U potec cuyo epoete es u frccó de deomdor pr(por ejemplo ), o tee setdo pr vlores egtvos de l se. Por eso, cudo se trj co fucoes o ecucoes epoecles, l se será sempre u úmero postvo. S volvemos l prolem teror, pr resolverl, es coveete epresr mos memros e potecs de se dos 6.8 Por propedd de producto de potecs de gul se S plcmos propedd cceltv, l se, teemos: Hy muchs forms de ecucoes epoecles, pero sempre que se pued, será coveete epresr como potec de l msm se. Ahor resolveremos otro tpo de ecucoes epoecles: p. 7 Trjdo co los epoetes se plte 66

67 Epresmos todos los úmeros e potecs de Por propedd del cocete de potecs de Trjdo co los epoecles se otees Aplcmos propedd dstrutv Ests ecucoes epoecles o se puede resolver por el método descrto terormete, por o poder descompoer los úmeros 00 y 0 e potecs de se Ls resolveremos, cudo termemos de ver los sguetes tems. Número e E mtemátcs, úmero de gr mportc, t sólo comprle l de (p), por su gr vredd de plccoes. El úmero e suele defrse como el vlor que tom l epresó cudo tede hc fto. Alguos vlores de est epresó pr determdos vlores de l se muestr e l tl sguete: Oservdo l colum de l derech de l tl teror, se puede ver que medd que crece el vlor de l epresó se prom, cd vez más, u vlor límte. Este vlor es, L terpretcó geométrc o es t secll como el úmero. Aprece e l fucó epoecl e, es l úc fucó cuyo cremeto es gul 67

68 su prop mgtud, y es por tto l fucó ásc de ecucoes que descre crecmeto u otros tpos de cmos. Ests fucoes prece e los prolems de polcó, destegrcó, terés cro, etc., como vemos e el sguete cudro. Aplccó Ecucó Gráfc Ejemplos práctcos Crecmeto lmtdo y c e c, k 0 kt Crecmeto corto plzo de polcoes. Iversoes de cptl terés cotuo. Decrecmeto epoecl y c e c, k 0 kt Destegrcó rectv. Crcutos Eléctrcos. Asorcó de luz. Crecmeto lmtdo y c e c, k 0 kt Apredzje. Rtmo de vets. Puto de sturcó Crecmeto logístco M y c e c, k, M 0 kt Crecmeto lrgo plzo de polcoes. Vets de productos uevos. 68

69 E geometrí, el úmero e es u compoete ecesro pr descrr muchs curvs, como l cter f e e, l supuest form de u cuerd o cde suspedd por sus etremos, como vemos e los teddos eléctrcos. E el estudo de los úmeros mgros, el úmero e prece e l ecucó etrordr e. Logrtmo E u rector ucler, se produce u reccó e cde cotrold, como l descrpt e l stucó cl. Nos teres ser e qué úmero de choque fuero lerds certs ctddes de eutroes: ; 00; 9.09; ; Revs l tl, correspodete l fórmul f, que relco el úmero de choque co l ctdd de eutroes lerdos. : Nº de choque F()= Ctdd de eutroes 0 = 0 = 9 = 7 = 8 = = 6 79 = = = = = Como ves, los vlores del úmero de choque pr ; 9.09 so y 0 respectvmete. El úmero 00 o fgur e l tl, pero podemos decr que está compreddo etre el quto y seto choque, se puede segurr que o es potec eter de. Por lo tto, co gú úmero de choque se ler es ctdd. Los úmeros y o fgur e l tl teror y so myores l décmo choque, por lo tto hrí que cotur l tl. Nos pregutmos hor, como podemos despejr de u epresó k. Se podrí hcer s se coocer u fucó vers de g, como puedes ver e l sguete fgur. 69

70 g f log Est uev fucó, se llm fucó logrítmc de se, y se epres sí: f log Ahor podemos decr que s k etoces, lo que sgfc que es l orded de l fucó, cudo k es l scs E geerl, f log es l fucó vers de g Vmos defr logrtmo: Logrtmo de u úmero, respecto de u se dd, es el epoete que hy que elevr l se pr oteer el úmero E símolo log y y El úmero se deom se, y el úmero y se deom rgumeto del logrtmo. Ejemplos:. log 8 8. log Propeddes de los logrtmos. De dos úmeros reles dsttos tee myor logrtmo el myor de esos úmeros, co respecto l msm se m log m log 6 8 log 6 log 8 70

71 . Todo úmero rel o postvo o tee logrtmo e el cojuto de los úmeros reles m 0 log m. El logrtmo, e culquer se, de es gul cero log 0 0. Pr tod se, el logrtmo de l se es gul log. El logrtmo de u potec de l se es el epoete de dch potec log 6. El logrtmo de u producto de dos o más fctores, respecto de culquer se, es gul l sum de los logrtmos de esos fctores, respecto de l msm se. log y log log y Demostrcó: Supogmos que m log m log log Pero por defcó m log Reemplzdo log log y log y y y y m m m y m y log y m y log log y 7. El logrtmo de u cocete etre úmeros reles postvos, respecto culquer se, es gul l dferec etre el logrtmo del dvdedo y el logrtmo dvsor, respecto de l msm se. log log - log y y Demostrcó: Supogmos que m log m log y y S multplcmos Aplcmos logrtmo e se e mos Por propedd 7

72 log y y y y m m m log log m y Pero por defcó m log Reemplzdo log log y y log - m log y S dvdmos Aplcmos logrtmo e se e mos Por propedd 8. El logrtmo de tod potec de u úmero rel postvo es gul l epoete por el logrtmo de l se de dch potec. log log Demostrcó Supoemos que m log Etoces Elevmos l m potec log log log m m log m m log Aplcmos logrtmo de se Por propedd Por defcó de m 9. El logrtmo de l ríz eésm de u úmero rel postvo es gul l cocete etre el logrtmo del rdcdo y el ídce de l ríz log log log log Demostrcó Semos que 7

73 Etoces Por propedd 9 log log Ejemplo: log 8 log 8 log log 0 Sedo que log 0, Clculr log, 6 Clculr 7 log 0, 06 log Logrtmos decmles y turles L fórmul f log log log 6 log,6 log 0 log 6 log 0 0,68, 7 0,06 log 0, log log 6 log log log log log , ,7, co domo e mge l cojuto de los úmeros reles, defe, pr cd vlor de, u fucó. Se epres, tmé, que es fórmul, pr cd vlor de defe u sstem de logrtmo. De todos esos sstems os teres, e prtculr, el de los logrtmos de se 0, defdo por l fórmul: f log0 o más smplemete: f log 7

74 El sstem rece el omre de sstem de logrtmo decmles, vulgres o de Brggs. Este sstem tee l prtculrdd que: log 0 0 log0 0 log00 0 log S queremos clculr el logrtmo de 00, como este úmero está compreddo etre 00 y 000, deducmos que su logrtmo está etre y. Por lo tto, log00 es u úmero decml co su prte eter y u prte decml que o coocemos y o podemos clculrl hor. Más delte veremos que: log00,77 L prte eter del logrtmo rece el omre de crcterístc y l prte decml se dstgue co el omre de mts. L crcterístc tee l prtculrdd de que es u úmero gul l ctdd de cfrs eters meos pr los logrtmos de úmeros myores que. Que sucede hor co u umero postvo meor que log 0, log log 0,0 log log 0,00 log Y l crcterístc del logrtmo postvo, meor que l udd, tee u úmero de uddes egtvs gul l úmero que epres el lugr que ocup l prmer cfr sgfctv del úmero después de l com decml. Pr l determcó de l mts podemos usr l clculdor cetífc o tls relzds. Además podemos decr que l mts del logrtmo de u úmero es l msm mts del logrtmo del úmero que se otee l multplcr o dvdr l prmer úmero por u potec de 0, de epoete turl. Ejemplo mts mts log A mts loga0 mts log :0 log 0 mts log 00 mts log 00 Mtemátco glés Hery Brggs, que compló l prmer tl de logrtmos comues (los de se 0) 7

75 Otros logrtmos que se utlz co much frecuec so los logrtmos turles l, o eperos, cuy se es el úmero e, vsto terormete. Cmo de se Como semos, los logrtmos decmles y turles se puede clculr por clculdor cetífc. Podremos clculr el logrtmo de culquer se por med de est? Pr respoder est pregut, lzremos ls sguetes relcoes: m log m S plcmos logrtmo de otr se, oteemos m log log Despejdo m: m log log log m log El logrtmo de u úmero e el uevo sstem es gul l recíproco del logrtmo de l uev se, multplcdo por el logrtmo del úmero, tomdos estos dos logrtmos del sstem prmtvo. Ejemplo: log000 log 000 log Fucoes logrítmcs 0,00 9,9678 Llmmos fucó logrítmc tod fucó cuy epresó se de l form: f log 0; ; Ampldo más el cocepto podemos decr que: U fucó es logrítmc s se epres de l form f k log. Sedo u úmero rel dstto de y k u úmero rel dstto de cero k 0. k se deom coefcete de l fucó logrítmc provee de que l vrle fgur e el epoete. Alzremos hor l fucó f log Pr ello grfcremos l sguete fucó: f log Es e homeje l mtemátco escocés Joh Nper, l que se truye l crecó del cocepto de logrtmo. 7

76 log f El domo turl de l fucó logrítmc es el cojuto de los úmeros Reles postvos domf. Metrs que l mge so los reles Im f, sedo el eje de ls ordeds u sítot vertcl. L fucó es crecete y ps por el puto,0, que es l scs l orge. Al teer sítot e el eje de ls ordeds, l fucó o tee orded l orge. Qué psrá hor co l fucó f log o f log 76

77 Es decr 0 f log Como puedes oservr, l fucó hor es decrecete, pero mteédose ls msms crcterístcs del domo, mge, ríz y sítot vertcl. Es decr que ms so smétrcs co respecto l eje de ls scss. Alzremos el comportmeto de ls fucoes f log, g log t log, es decr co log log 8 f g t log y S lo grfcmos, oteemos: 77

78 t log f log g log Los gráfcos de ls fucoes de l form f log, co tee crcterístcs comues: Ls curvs tee l msm ríz y es el puto ( ; 0). Ls curvs so crecetes, y crece tto más rápdo cuto myor se l se. El domo dee tomr vlores postvos, es decr Domf 0 L curv o cort l eje de ls ordeds, ose que tee l msm sítot y est es = 0 Que cosdersoes podemos hcer s l se est compredd etre 0 y, es decr 0. Veremos los gráfcos, que represet ls sguetes fucoes logrítmcs: f, g y m log log log Como podrás ver los gráfcos de ls fucoes de l form f log, co 0 tee crcterístcs comues: Ls curvs tee l msm ríz y es el puto (; 0). Ls curvs so decrecetes, y decrece tto más rápdo cuto meor se l se. El domo dee tomr vlores postvos, es decr Domf 0 L curv o cort l eje de ls ordeds, ose que tee l msm sítot y est es = 0 78

79 m g f log log log Gráfco de fucoes de l form f k log co y k 0 Estudremos que fluec tee el coefcete de l fucó logrítmc (k), e l fucó log g, co k gul ; ;. Pr ello hremos l sguete tl. log log g f log f

80 Grfcdo, oteemos log log f g f log S lzmos este gráfco, veremos que Ls curvs tee l msm ríz y es el ; 0, o se es l orded l orge Ls curvs so decrecetes, y decrece segú el vlor de k El domo es el cojuto de los úmeros reles postvos, es decr, Dom f 0. Ls curvs o cort l eje de ls ordeds, por lo tto o tee orded l orge Trslcoes de ls fucoes logrítmcs Trslcó vertcl L fucó epoecl de l form f log fucó geérc g log. 80, es u trslcó vertcl de l Pr ello grfcremos ls sguetes fucoes epoecles: log f, y su fucó geérc log. log f X log f f 8 f log log f ;

81 0-0 8 S grfcmos ests fucoes epoecles, oteemos: f log f log t log Comprdo los gráfcos, podemos scr ls sguetes coclusoes: L fucó se h desplzdo uddes hc rr o jo, o modfcdo su form. L sítot es l fucó 0. El domo es el cojuto de los úmeros reles postvos, Dom f 0. Cm el vlor de l ríz. Trslcó horzotl L fucó epoecl de l form f log c fucó geérc g log. Pr ello grfcremos ls sguetes fucoes epoecles: log f, y su fucó geérc log., es u trslcó horzotl de l f ; log f Pr smplfcr el gráfco, modfcremos, solmete, los vlores de ls scss pr oteer el msmo vlor de l fucó log f f 8 f log - - log

82 S grfcmos ests fucoes epoecles, oteemos: f t f log f log f log Ahor, lzdo los gráfcos, podemos scr ls sguetes coclusoes: L fucó se h desplzdo c uddes hc l derech o zquerd, e sgo cotrro l vlor de c, o modfcdo su form. L sítot es l fucó c, por lo tto o tee ríces. El domo es el cojuto de los úmeros reles myores c, Dom f c y l mge so los úmeros reles, Im f. sítots Ejerccos. Cómo serí u fucó logrítmc co dos desplzmetos, uo horzotl y el otro vertcl? Ecucoes logrítmcs U ecucó e l que l cógt es el rgumeto o l se de u logrtmo, se llm ecucó logrítmc. 8

83 8 Pr resolverls, tedremos presete que: Pr despejr u cógt coted e el rgumeto, se plc l defcó de logrtmo. Sempre que se posle, covee grupr los logrtmos e uo solo, pr lo cul se plc ls propeddes. Solo este logrtmos de úmeros postvos, por lo cul se descrt como solucoes los vlores que o verfque l ecucó orgl. Resolveremos hor ls sguetes ecucoes:. log log log 0 log 9. Descrtmos, porqué o este u logrtmo de u úmero egtvo, por lo tto l solucó es.. log 7 log 7 7 log Despejmos Aplcmos l defcó de logrtmo Por propedd de l multplccó Aplcmos l defcó de logrtmo Aplcmos propedd dstrutv co respecto l sum Resuelvo l ecucó de segudo grdo Por propedd de l dvsó Aplcmos l defcó

84 Despejmos log log Como e u fucó logrítmc dos vlores dsttos del domo sempre tee mágees dstts, e l ecucó, los logrtmos de gul se sólo puede ser gules s los rgumetos so gules, por lo tto:. log log 8 log log 8 8 log 8 8 Despejmos 8 6. log log9 Aplcmos el cmo de se l logrtmo que teemos e se 9, pr psrlo se : log log9 log 9 log log9 Reemplzmos y resolvemos Despejmos Aplcmos ls propeddes de l potec y l multplccó Aplcmos l defcó 8

85 log log 9 log log log Aplccoes de l fucó logrítmc Sustcs rdctvs M 0, 866 L reduccó de l ms por l destegrcó rdctv de certs sustcs, como el croo-, se descre medte fucoes epoecles. Co l yud de los logrtmos, hor podemos resolver l ecucó, que srve pr vergur l edd de u fósl, y que l fucó represettv es, dode M (e grmos) es l ctdd de croo- que qued, M o es l ms cl y t es el tempo trscurrdo, epresdo e mles de ños. Por ejemplo: Se h ecotrdo u fósl co 00 grmos de croo- y coteí 00 grmos del msmo cudo est vvo, clculr l edd promd del fósl? S pltemos l ecucó t M 0, 866 M o , t 0, t log log0,866 log t log 0,866 log t log 0,866 t,878 Aplcmos ls propeddes de l dvsó y rdccó Rcolzmos el deomdor Despejmos S redodemos el vlor de t, podemos decr t = 88 ños. Este vlor se deom período de destegrcó, que es el tempo que trdó l ms cl del croo- e reducrse l mtd. t M o t 8

86 Itesdd sísmc L escl de Rchter, utlzd pr medr l tesdd de los terremotos, es u escl logrítmc de se 0. L mgtud de u terremoto e es escl está dd por l fórmul: M log p Dode M es el grdo e l escl Rchter y p es l potec, qué dc cuáts veces myor fue l mpltud de l od sísmc del terremoto e comprcó co u od de referec correspodete l stucó orml. Por ejemplo, s u terremoto fue myor que otro co u dferec de grdos e l escl Rchter, sgfc que su tesdd fue 0 veces myor. El fctor ph y cdez de ls solucoes L cocetrcó de oes de hdrógeo e u solucó determ su grdo de cdez. Como se trt de ctddes muy pequeñs, se vetó u escl logrítmc que fclt su mejo. L fórmul que relco el ph de u solucó co l cocetrcó de oes de hdrógeo es l sguete: Dode H ph log H represet los moles de oes de hdrógeo por ltro. El gu tee ph = 7 y se l cosder como eutr. S el fctor es myor que 7, se dce que l solucó es ásc, so será ácd, s el fctor es meor que este. 86

87 Sítess Fucó epoecl So fucoes de l form y k co k 0 ; 0; ; k, fjos. Gráfcos S es crecete S es decrecete y k Domo: Asítot horzotl: y 0(eje y) S ls se so recíprocs, ls fucoes so smétrcs co respecto l eje de ls ordeds. f k g k S los coefcetes so opuestos, ls fucoes so smétrcs co respecto l eje de ls scss. f g k k 87

88 Fucó Logrítmc So fucoes de l form y log co 0 ; 0; ;, fjos. Gráfcos S es crecete S es decrecete f log g log Domo: +, 0 Asítot vertcl: 0 (eje ) S ls se so recíprocs, ls fucoes so smétrcs co respecto l eje de ls scss. f g log log Desplzmeto horzotl: y log Domo: / Asítot vertcl: ; f log ; g log 88

89 Logrtmos Defcó: log c c ; 0; ; 0 Propeddes:. log 0. log. log y log log y. log log log y y. log log 6. log log Cmo de se: log log log Logrtmo decml: so los de se 0. Geerlmete, l se o se escre, es decr: log log0 Logrtmo decml: so los de se e, que es u úmero rrcol. Se los escre co L, es decr: Ecucoes Epoecles L log e e, So quells e ls que l cógt fgur e l meos u epoete. E muchos csos result coveete epresr mos memros como potecs de u msm se. Pr despejr cógts que prece e el epoete, es útl usr logrtmos. Hy que teer e cuet que culquer logrtmo puede oteerse co u clculdor cetífc. Ecucoes Logrítmcs So ls que tee l cógt e el rgumeto del logrtmo. Pr despejr u cógt coted e el rgumeto, se plc l defcó de logrtmo. E muchos csos result coveete grupr los logrtmos e uo solo, pr lo cul se plc ls propeddes. Sólo este logrtmos de úmeros postvos, por lo tto dee descrtrse como solucoes los vlores que o pued ser verfcdos e l ecucó orgl. 89

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91 EJERCICIOS DE APLICACIÓN Udd Propeddes de l Potec. Completr m c.. Fctorce cd úmero y eprese cd cálculo como u potec Señlr l respuest correct e cd u de ls sguetes stucoes. U ceerg perde l curt prte de su volume e u ño. Cuál es l frccó que qued luego de dos ños? 9 I. II. III. IV U vededor quere umetr el preco de todos sus rtículos e u %. Cuál es el vlor costte por el que deerí multplcr cd preco?. I. 0, II. III.,0 IV., c. Ur co flech cd epresó coloqul co l epresó lgerc que le correspod.. El opuesto del cudrdo de u úmero. El cudrdo del opuesto de u úmero. El dole del cudrdo de u úmero v. El dole del cudrdo del opuesto de u úmero km d. L velocdd de l luz es de y u ño luz es l dstc recorrd por l luz e u ño. Cuátos klómetros equvle u ño luz? s 0 I. 9,608 km II. 9,608 0 km III. 9,608 0 km IV. 9,608 0 km

92 Fucó Epoecl. L myorí de ls etddes fcers trj ddo u terés compuesto sore los depóstos. Stétcmete, esto sgfc que los tereses se copl l cptl y geer tereses. E este cso vmos cosderr es u co que otorg tereses e form tl que el cptl depostdo se duplc l co de u ño trscurrdo. Supog que u perso depostó $ e este co y o hce gú retro. Completr l sguete tl y relzr su gráfco correspodete Tempo (ños) 0 6 Dero ($). Ecotrr u epresó que relcoe el dero cumuldo D co el tempo trscurrdo. c. Al co de cuáto tempo cumul $6? d. Cuáto dero tee l co de 0 ños?. Este sustcs químcs que e codcoes ormles de presó y tempertur se evpor. Teemos ltros de u sustc líqud que evpor e form cotu l mtd de su volume por hor.. Completr l sguete tl y relzr su gráfco correspodete Tempo (h) 0 6 Volume (l). Ecotrr u epresó que relcoe el volume del líqudo V co el tempo trscurrdo. c. Al co de cuáto tempo quedrí 0,06 ltros del líqudo? d. Qué volume de líqudo quedrí luego de u dí etero? 6. Represetr ls sguetes fucoes e u msmo sstem crteso: f g ; h ; m. Cuáles fucoes so smétrcs?. Co respecto cuál eje? c. Decr s ls fucoes so crecetes o decrecetes. d. Defr domo, mge y sítots. y respoder ls sguetes preguts. ; 7. Grfcr ls sguetes fucoes, cosderdo como domo el cojuto de los úmeros reles: g f, j 0, h Pr cd u, dcr el cojuto mge, l sítot y l terseccó co el eje, cudo se posle. 9

93 8. Se se que f, y que f f. Qué puedes frmr cerc de? 9. Ecuetre l fórmul de l fucó epoecl f k codcoes pedds e cd cso.. Ps por el puto ( 0;) y. 0, 00 ; c. y su orded l orge es 6 k y ps por el puto d. Su se es y su coefcete es 0 6 e. Ps por el puto ; y cort el eje de orded e y ;0,0 ; 7 f. Ps por los putos y 0. Hllr los vlores de y k, tles que l curv y k. Cort e el eje de ordeds e 0, que cumpl co ls y y pse por el puto ;,. Cort e el eje de ordeds e y y pse por el puto ; c. Pse por los putos ; y ;7 d. Pse por los putos ; y ; 8,. Grfcr e u msmo sstem de coordeds, ls sguetes curvs e dcr el tpo de smetrí:.- y ; y 0,.- y ; y c.- y 0 ; y 0. Hllr l fórmul de l fucó epoecl f grfcd Escr l fórmul de u fucó que se smétrc respecto l eje de ls scss. Cosdere ls fucoes f. Hllr f y g g 0, 0 y. Idcr, s es posle, pr qué vlores de se cumple que:. f 0 9

94 . f 0. g 0 v. g. U cptl de $0.000 se depost e u co que pg u % mesul de terés compuesto.. Epres l relcó que hy etre el Cptl cumuldo y el tempo trscurrdo e meses.. Cuáto dero se logr cumulr e u ño?. De u determd semll ce u plt. De est plt se otee semlls uevs. De ells ce seds plts que su vez d semlls cd u, y sí sucesvmete. Llmremos geercó cero l prmer semll.. Cuáts semlls correspode l set geercó?. Llme m l úmero de geercó y escr u fórmul que permt clculr l ctdd de semlls e fucó de m. c. Busque u uev fórmul que permt epresr l ctdd de semlls correspodete l geercó m, pero supoedo que l geercó cero está compuest por 8 semlls. 6. E u certo cultvo se reproduce cters que se trplc drmete. Clcule cuáts cters hrá l co de dís.. S clmete hy u cter. S se comez co 00 cters. 7. Segú los cálculos estdístcos estmdos por el INDEC, l polcó de l Arget e 999 er de, promdmete, 7,0 mlloes de httes, y se esper u crecmeto demográfco promedo de u, % ul.. Clcule cuál será, promdmete, l polcó de uestro pís e el ño 009 segú est proyeccó. Es certo que el umeto demográfco es drectmete proporcol l tempo trscurrdo?. Por qué? 8. Se tee u muestr de 8 grmos de u sustc rdoctv (toro-), cuy ms se reduce l mtd e promdmete e dís.. Clcule l ms promd que quedrá l co de 00 dís y l co de 00 dís.. Clcule el tempo promdo que hrá trscurrdo cudo quede grmos. 9. E u zoológco, u veterro que dee medcr u cer eferm prescre ls sguetes struccoes: 9

95 El medcmeto dee ser sumstrdo e 0 dís El prmer dí, l doss dee ser de 00 ml. Cd dí susguete se le dee sumstrr de l doss correspodete l dí teror.. Cuál es l doss dcd l octvo dí?. Cuátos ml se le hrá ddo luego de dís? c. Escr l fórmul de l fucó que relco el úmero de dí y l ctdd de medcmeto yectdo por dí, y grfíquel e form promd. 0. Oserve los sguetes gráfcos, que correspode fucoes del tpo f k y complete el cudro. f h g k Imge Asítot. Idcr cuál es l fórmul que correspode cd gráfco. f f f f d c 9

96 . Ur co flechs cd fucó co su respectv mge. f ; ;0 g d 0 ; d 0, 0 ; Ecucoes Epoecles. Ur co flechs los pres de epresoes equvletes.. Trsformr cd u de ls epresoes e u sol potec.. = =... c. d. 6 8 =... =.... Dds ls fucoes f 0 e y g, hllr, s este, ls soluco- es de ls sguetes ecucoes.- 0 c.- f.- f g d.- g 6. Resolver ls sguetes ecucoes epoecles y verfcr su resultdo... 8 c. 9 7 d. 9 e. 96

97 f. 7 0 g. h Trsforme cd u de ls sguetes epresoes e u sol potec c. 6 : U cohete es dsprdo vertclmete hc rr co u velocdd cl de km 6. E el prmer curto de hor, l velocdd se v duplcdo por muto. Clcule cuáto trdrá e lczr u velocdd de. h km h 9. L desdd de polcó klómetros del cetro de u cudd es d e 0,0 mles de perso por metro cudrdo. Qué desdd de polcó hy e el cetro de l cudd? Y 0 km? 0. U utomóvl comprdo $.000 dsmuye el vlor e u % cd ño, clculr su vlor los 6 ños.. L polcó de u cert cudd es de httes. S umet % cd ño, estmr cuál será l polcó l co de 0 ños.. L ONU relzó el cálculo de l polcó mudl de.999. L cfr oted se pulcó trvés de l sguete otc: Y có el ee mlloes. Sedo que l polcó crece epoeclmete rzó del % ul, ecotrr l fórmul que permt estmr l ctdd de seres humos que tedrá el plet e los prómos ños. E qué ño se duplcrá dch ctdd?.. Se verte $.000 u ts de terés ul del 8%. Clculr el cptl después de 0 ños s:. El terés se cptlz trmestrlmete;. El terés se cptlz semestrlmete.. Resolver ls sguetes ecucoes y verfcr ls solucoes oteds 7.. c. 8 97

98 d. 8 e. 7 9 f. 6 g. 9 h. 0. Logrtmos 9 j. 6 0 k. 9 : 0 l. m o. 0. Alzr l vldez de ls sguetes frmcoes:. Los logrtmos so sempre postvos. No este logrtmos de úmeros egtvos c. Los logrtmos está defdos pr ses postvs. d. Ls potecs de u úmero postvo so tods postvs 6. Clculr los sguetes logrtmos cudo se posle y verfque los resultdos que oteg plcdo l defcó. log log... c. log... 9 d. log 9... e. log 6... f. log 0,... g. log 0 0,0... h. log.... log 0... j. log

99 7. Complete ls sguetes epresoes teedo e cuet que es u úmero rel postvo dstto de uo. log.... log... c. log... d. log... e. log... f. log Ur co fechs segú correspod log 0 log 0 0 log 0 log 9. Demostrr ls sguetes propeddes. log. log log 0 c. log log d. log log 0. Ecuetr pr qué úmeros eteros se verfc que. 0 l. log c. log. S y so dos úmeros eteros, clculr el vlor de log log. Qué relcó tee que estr etre y pr que se verfque que: log log 0. Pr qué vlores de está compreddo etre 00 y 000?. Clculr metlmete. log log 0,0... c. log d. l e... e. l e... f. l... e 99

100 . Aplcr l defcó de logrtmo de u úmero pr resolver ls sguetes ecucoes y luego verfque ls solucoes oteds.. log.... log... c. log... d. log... e. log 6... f. log 8... g. log... h. log log log Resolver plcdo ls propeddes de los logrtmos y s usr l clculdor.. log log c. 6 log 6... d. 00,0 log... 0,00 e. log Clculr el vlor de.. log.... log c. log 9... d. log Sedo que el log 0, 0, hlle promdmete los sguetes logrtmos s usr clculdor.. log =.... log 6=... c. log 0,08 =... d. log 6,... e. log... f. log... g. log 0,

101 h. log ,00 log... 6 j. log... 0,008 k. 0,0 80 log... 7, 0,6 9. Sedo que el log 0, 77, hlle promdmete los sguetes logrtmos decmles, s usr clculdor.. log 0,0008=.... log =... 0, 6 c. log,0 = Coocedo que log 0, 0y que log 0, 77, clcul:. log 6. log 9 c. log 6 d. log 6. Clculr s usr clculdor tl log l e log log log 8 log log 7 le 0 log log log0 l log 0 e log. Hllr el vlor de los sguetes logrtmos utlzdo l clculdor. Qué se puede oservr e cd cso?. log ; log 0,; log 0,0; log 0,00; log0, 000. log,; log,; log,; log,; log c. log log 0,; log 0, log 0,0; log 0,0678 log 0, d. l l ; l l ; l l. Resolver ls sguetes ecucoes, plcdo ls propeddes del logrtmo y tlogrtmo 0,7, 6 0

102 c 78, e,9 g 689,97, 0,6 6 0,09 k 0, 706,, 8, 0, d 0,0 7 f ,000, h 986 j 0,87,9 66,98 m 0, 7, 79,9 86 o,7 0, 6, 6 8,6 p q r 6 0,96 8,,9 0,9. Clcul e ls sguetes ecucoes. log log 9 log. log log log log c. log log 7 7,6 7, s,8,6. Resolver ls sguetes ecucoes y verfque ls solucoes que oteg. log.... log log c. log d. log log... e. log log... f. log8 log 8... g. log log... h. log 8 log log log log8... j. log log log log 8... k. l. log log 0... m. log log log... 0

103 . log log... o. log 0 log... p. log Cudo l tesdd del sodo se mde e uddes de wtts por cm, l fórmul 6 pr clculr deceles es d 0 log0 p. Mostrr que es fórmul tmé se puede epresr de l form d 0log p Cuál es l relcó que este etre y s log log log 8. S log N t, epres e fucó de t:. N log... N. log... c. log N... d. log N S log N Fucó logrítmc y log N, Cuáto vle? 60. Grfcr ls sguetes fucoes logrítmcs que está defds e el myor cojuto rel posle:. log f. g log c. m l Pr cd fucó, dcr el cojuto de l mge, l ecucó de l sítot y l terseccó co los ejes de coordeds 6. Grfcr ls sguetes fucoes logrítmcs e u solo sstem de coordeds y completr el cudro Fórmul log log log log log Domo Cojuto Imge Asítot f 0 Ceros 0

104 6. Eplcr por qué, pr determr el domo de u fucó del tpo f log k, es ecesro vergur pr qué vlores de se cumple que k 0 6. Grfcr ls sguetes fucoes f log y g log sstem de coordeds.. Relzr u tl de vlores pr cd fucó, tes de grfcr.. Idcr domo y cojuto de mge c. Escrr ls ecucoes de ls sítots y ríces de ls fucoes 6. Ls fucoes logrítmcs grfcds so del tpo y log, e u. Hllr el vlor de y pr cd u.. Idcr el myor cojuto rel e el que pudero defrse y l ecucó de l sítot de cd fucó. 6. Co los requstos que se pde e cd cso, escrr l fórmul de l fucó log- f log rítmc del tpo. Tee sítot vertcl e y ps por el puto p ;.. El myor cojuto rel e el que puede defrse es el tervlo ;, y ps por el puto m 6; 0

105 Sstems de ecucoes 66. Resolver los sguetes sstems:.. c. d. e. f. g. h.. log log y log log y y 0, 9 l l y l8 y e : e e log log y 0 y 60 y 8 log 7 log y y log y log log y log y log y e e e y log log y 0 y 0 log log y log log y 67. Hlle l fórmul de u fucó logrítmc del tpo f log por los putos p ; y q 0; que ps 68. E.906, u terremoto e l cudd ortemerc de S Frcsco tuvo u mgtud de 8, e l escl de Rchter. E.989 huo otro, que fue 9,9 veces más potete que el de.906. Hllr el grdo de l escl Rchter correspodete l terremoto de Se estm que e u osque hy.000 m de mder, y que est ctdd umet u,% por ño.. Cuáts mders hrá detro de ños?. Al co de cuátos ños l ctdd de mder superrá los m? 70. Los cesos relzdos e u cudd de Arget regstrro u umeto vertgoso de l polcó e los últmos ños. E Eero de.99 hí ht- 0

106 tes, y e Eero de.998, Supoedo que le porcetje de cremeto ul se costte:. Ecotrr l fórmul que eprese el crecmeto de l polcó e fucó de los ños trscurrdos desde.99.. Estmr l polcó pr el mes de Eero del A prtr del mometo de l compr, el preco de los utos se v devludo progresvmete e form epoecl. S u utomóvl que fue dqurdo e $ 8.00 e.990, tee u vlor de $.00 e.998, Cuál fue el porcetje de depreccó ul?. 7. U perso depostó $.000 e u co que le ofrecó u terés compuesto del 0% ul. Cuáto tempo estuvo depostdo el dero s llegó teer $ L sguete tl muestr los vlores promdos del período de semdestegrcó de lgus sustcs rdctvs: Rdo-6 Too-0 Croo-.60 ños ños.760 ños. Hllr l fucó epoecl de se e que eprese l vrcó de l ms de cd u de ls sustcs prtr de l ms cl M o.. Clculr l ctdd de Rdo-6 que quedrá l co de ños, prtr de u mometo e que se tee.600 g. c. Cuáto tempo trscurrrí pr que.00 g de Croo- se destegre su tercer prte?. d. Clculr, pr cd sustc, el tempo ecesro e que se reduce e su curt prte. 7. S u cptl se depostrá l 8% ul de terés compuesto, cuáto tempo trdrí e duplcrse? 7. Durte u mes de hperflcó, el preco de u producto umetó drmete e form epoecl. Al comezr el mes cost $,00, e el dí dez y cost $6,0.. Cuáto costrá f de mes, supoedo que éste teg 0 dís?. Qué dí cost $,6? c. Cuáto hí umetdo etre el tercer y curto dí? d. Y etre los dís 0 y? 76. U espece de secto de u sl frc se reproduce trplcádose cd hors. Al co de ocho dís de rrr l sl, u equpo de vestgcó cosgue mplemetr u sstem de fumgcó que fect l espece de tl form que mpde su reproduccó, y l polcó comez decrecer e u 0 % d- 06

107 ro. S cudo llegro los vestgdores estmro u estec de sectos. Cuáto tempo llevrá pr su etcó?. 77. S os otorg u préstmo u ts de terés compuesto mesul tl que l co de 0 ños deeremos devolver el dole de lo que os h prestdo. Cuál es l ts de terés? 78. El grdo de cdez de u solucó se determ por l cocetrcó moles de oes de hdrógeo (H), medd e. Como ests cocetrcoes so muy pequeñs, pr medrls se utlz el ph, que se defe ltro por ph log H. Completr l sguete tl: H = oes de hdrógeo Solucó moles ph log ltro Jugo de lmó,9 Jugo de lm 0,6 Cervez, 7 Leche, 0 Sgre 8,98 0 Agu 7 Detífrco 9,9 Vo,6 0 H Ácd o ásc? 79. E cuáto tempo se duplcrá el dero que se verte u ts de terés ul del 8 % e cd uo de los sguetes csos?. El terés se cptlz trmestrlmete,. El terés se cptlz cotumete. 80. E l escl Rchter, pr medr l mgtud de u terremoto de tesdd (I) se utlz l fórmul M log I. El vlor de I dc cuáts veces myor fue l mpltud de l od sísmc, respecto de l od correspodete l stucó orml.. Hllr l mgtud de u terremoto sedo que fue 9,90, veces más teso que otro de 8, grdos.. Comprr ls tesddes de dos terremotos sedo que l mgtud de uo ellos es myor e grdos que l del otro. 8. Certo tpo de cter se duplc cd muto. Se tee 0 de ess cters.. Cuáts hrá e 8 mutos?. Cuátos mutos deerá psr pr que llegue ser

108 8. L ctdd de persos que vve e u sl crece de cuerdo co u fucó epoecl, y umet u,% cd ño. El de ferero de.99 hí 00 httes.. Cuádo l polcó se duplcrá?. Cuátos httes hrá el de ferero de.0? 8. E el ño.96 huo e Alsk u terremoto devstdor que fue de 9, grdos e l escl de Rchter. Comprdo co el de S Frcsco de.906. Cuáts veces más potete fue este terremoto? 8. U solucó tee u cocetrcó de oes hdrógeo de 0, Cuál es su ph?. Es ácd o ásc? 8. U chmpú tee ph,. Cuál es l cocetrcó de oes de hdrógeo?. Es más ácdo que otro que tee u cocetrcó de oes de hdrógeo de 0,000067? Por qué? 08

109 Sucesoes Udd Itroduccó E l hstor de l evolucó de l mtemátc, ls sucesoes so t tgus como los úmeros turles. El estlecmeto de u orde e los hermos de u fml, e los dís de l sem o e los dtos de u regstro mplc l formcó de dstts sucesoes que permt lzr, represetr y, e muchos csos, prever feómeos que ocurre trvés del tempo. Cocepto Leordo Focc (70-0), poslemete el mejor mtemátco de l Edd Med, cluye el sguete prolem e su fmoso escrto Ler Ac. Cuáts prejs de coejos se puede crr prtr de u sol prej e u ño, s cd mes cd prej tee u cmd de dos coejos, los que su vez crí u uev prej cd mes l co de dos meses después de su cmeto? Este prolem do lugr l fmos sucesó de Focc. Sucesoes Oserv los sguetes cojutos de úmeros:. ; ; 6; 0; ;.... ; ; 9; 6; ;... Podemos decr que: Sucesó es u secuec orded de úmeros u otrs ctddes Defcó U sucesó umérc es u fucó cuyo domo es el cojutode los úmeros turles o sucojuto de éste y cuy mge está clud e el cojuto de los úmeros reles. Es mportte decr que cudo se trj co sucesoes, se dee prestr tecó l úmero de orde que le correspode cd u de ls mágees y ésts se l deom térmos de l sucesó.

110 Los térmos de u sucesó sgue u regulrdd o ley que ls crcterz, que se epres lgercmete medte u fórmul l que llmmos térmo geerl o térmo eésmo de l sucesó. Ejemplo: Alzr l sucesó cuyo térmo geerl es Nº de orde... Térmo... 8 El domo es el cojuto de los úmeros turles ( Dom f ) L mge es el cojuto de putos de úmeros turles myores ( Im f / o Im f / ) Dees teer e cuet que l sucesoes so u cojutos de putos. Este tpo de sucesó, e l que vee dd de tl modo que cd térmo se puede oteer s coocemos los térmos terores, se deom sucesó recurrete. E cmo por ejemplo e l sucesó de úmeros trgulres ( ; ; 6; 0; ; ;...) o los úmeros cudrdos (; ; 9; 6;...) se puede oteer l epresó de u úmero culquer, e fucó del úmero de orde. Hy veces que e u sucesó o se puede oteer el térmo geerl, como es el cso de l sucesó de los úmeros prmos Progresoes rtmétcs Pr eteder este tem, serí tereste plter los sguetes prolems:. El lquler de u cclet cuest $0 l prmer hor y $ más cd uev hor. Cuál es el preco de lquler de ; ; ;...; hors?. E u rsccelos, el prmer pso se ecuetr 7,0 m de ltur y l dstc etre cd dos psos cosecutvos es de,80 m. A qué ltur está los psos º; º; º;...; -ésmo?.. U fml, l cr su prmer dí de vccoes, hce ls sguetes cuets: os qued $ 60 y cd dí de vccoes gstmos $ 0. Cuáto dero le 0

111 v queddo segú ps ; 0; dís de vccoes? Como puedes ver estos prolems tee lgo e comú, es que cd térmo de cd sucesó se otee de sumr o restr u úmero. Ls sucesoes que d lugr estos tpos de prolems se llm progresoes rtmétcs. U progresó rtmétc es u sucesó e l que ps de cd térmo l sguete sumdo u msmo úmero, postvo o egtvo, l que se llm dferec (d) de l progresó. Pr clculr el térmo geerl deemos prtr del prmer térmo.... d d d d d d d... d El térmo -ésmo de u sucesó rtmétc es: d d d Despejdo cd u de ls vrles, podemos deducr que: d d d Ahor resolveremos los prolems pltedos l prcpo. S relzmos u esquem del prmer prolem teemos: Costo de l prmer hor... c = $ 0 Costo de l segud hor... c = $ 0 + $ = $ Costo de l segud hor... c = $ 0 + $ = $ Costo de l 0ª hor... c 0 = $ 0 + $ 9 = $ $ 0 $ Costo pr -ésm hor... Ahor dees resolver los otros prolems. Iterpolcó: Se llm terpolr medos dferecles etre dos úmeros ddos, p y q, ecotrr úmeros tles que l sucesó formd por p, los úmeros y q forme u progresó rtmétc. c

112 Ejemplo José decde horrr $ 0 est sem e r umetdo l msm ctdd, sem sem, hst l ª. E ést últm horrrá $ 80, que es su tope dspole. Cuáto dee horrr e ls sems termeds? S lzmos este prolem, José tedrí que formr u progresó rtmétc cuyo prmer térmo es $0 y su últmo es $ 80, hedo que terclr térmo más. Por lo tto, uestr cógt es d. d reemplzdo $80 $0 d d $,00 José deerá horrr $,00 semlmete promdmete. Sum de u progresó rtmétc Pr poder deducr l fórmul de l sum de u progresó rtmétc, veremos u propedd mportte de ls progresoes rtmétc. S vros úmeros está e progresó rtmétc, los térmos equdsttes de los etremos sum lo msmo. Por ejemplo s summos los 6 prmeros úmeros turles = S lzmos est propedd, veremos que: 6 7 O se 6 Grcs est propedd, es muy fácl sumr vros úmeros e progresó rtmétc; se sum los etremos y l resultdo se multplc por úmero de pres de térmos. Smólcmete: Progresó: Sum:... S S Sum vertd: Hy prétess y todos dee sumr Por lo tto,... S S

113 Ejemplo Cuáto horró José del prolem teror? Recordemos que empezó horrdo $ 0 y e l últm $ 80, se terclro térmos. Aplcdo le rzometo teror, $0 $80 S S $ 8 Progresoes geométrcs Pr comezr eteder este tem este tem, serí tereste plter los sguetes prolems:. Tom u hoj, sus dmesoes so, promdmete 0 cm de lrgo, 0 cm de cho y 0, mm de espesor. Dóllo por l mtd. Su espesor será: e 0, otedo? e 0, mm S lo dolmos por segud vez será e 0, 0, e 0,6 mm Sgue doládolo por l mtd tts veces como pueds y cudo y o pueds más, mg que puedes segur. S pudese dolr l hoj 0 veces, Cuál de ls sguetes dmesoes crees que serí comprle el espesor Grosor de u guí telefóc (8 cm) Altur de u htcó ( m) Altur de l torre Effel (0 m) Altur del mote Everest (8.800 m) Dstc de l Terr l Lu (0.000 km) Dstc de l Terr l Sol ( km) Pr yudrte, complet l sguete tl: Dolez Áre Espesor E u cultvo de céluls se h cotlzdo, promdmete, 0 mes. Se se que, e certs codcoes de cultvo, se produce u prtcó cd hors. Cuáts mes hí, promdmete, l co de dís? Resuelve este prolem utlzdo el msmo procedmeto.

114 Defcó U progresó geométrc es u sucesó e l que se ps, de cd térmo l sguete, multplcdo por u msmo úmero, llmdo rzó (q) de l progresó. Not: L rzó dee ser dstt de, q, y myor que 0, 0 q Pr clculr el térmo geerl deemos prtr del prmer térmo. q q q q q q q q q q q q q q El térmo -ésmo de u sucesó geométrc es: q Despejdo cd u de ls vrles, podemos deducr que: q q Pr oteer l ctdd de térmos, deemos hcer: q q q q log log log log log log log log q S volvemos l prolem de ls mes, l ctdd será: Despejmos q (-) Aplcmos logrtmo decml co sus prope-

115 E u dí hy 6 prtcoes, por lo tto e dís hrá 0 Etoces los dtos so: 0 0 q E cosecuec: mes Y co respecto l prolem del espesor del ppel plegdo por l mtd, os quedrí: 0, q E cosecuec: km mm , Como puedes ver es más que l dstc etre l terr y el sol Sum de los térmos de u progresó geométrc Vmos deducr l sum de u progresó geométrc: S... sedo ; ; ;...; - ;, térmos de u progresó geométrc. S multplcmos mos memros por q result: q q q q q q q S pues q ; q ; q ;...; q, por lo tto teemos: q S q S S q q S Pues los demás sumdos se ccel, qued: q q S despejdo q q S Restdo memro memro

116 , reemplzdo e l fórmul teror, os que- Tmé podemos decr que s d: Ejemplo: q q S q q q S q S q q. A Isel y Stgo, ls 9 de l mñ, les h cofdo u secreto, co l dvertec de que o se lo cuete de. Cd uo de ellos, l curto de hor, se lo h cotdo solmete tres mgos, por supuesto, de tod cofz que o lo sí y que u curto de hor después, se lo h cotdo otros tres mgos. Cuáts getes lo srá l dos de l trde? S plcmos l fórmul teror, sedo que: Desde ls 9 hors hst l hor, hy 0 curtos, por lo tto teemos térmos q S S h ttes Es decr, más del dole de l polcó mudl. Est es u leyed del vetor del jedrez: Al rey le gustó tto el juego que se ofrecó drle lo que le pder. Y el vetor pdó u gro por l prmer csll, dos por l segud, cutro por l tercer, y sí sucesvmete, e cd u el dole que e l teror. Cuátos gros le pdó e totl? q 6 6 S S gros 6

117 Sum de progresoes geométrcs co rzó meor que L fórmul teror es váld pr culquer que se el vlor de q, postvo o egtvo, myor o meor que. S emrgo, ls progresoes geométrcs co 0 q so especlmete terestes, y que sus térmos decrece hst hcerse sgfctes. E este tpo de progresoes geométrcs decrecetes, como q es meor que, l fórmul de l sum suele poerse del sguete modo: q S q Co el ojeto de que el umerdor y el deomdor se úmeros postvos. El térmo q q se hce más pequeño y lleg ser sgfcte s es muy grde. Por lo tto este qued reflejdo del sguete modo: S q Este cso se ve reflejdo e l celere prdoj del flósofo grego Zeó sore l velocdd de Aqules y l tortug. Recuerd que Aqules es u héroe troyo de l mtologí greg y er fmoso por su vulerldd y velocdd. Est decí: Aqules, que está e A, corre pr lczr u tortug, que está e B. Cudo Aqules lleg B l tortug y h vzdo hst C. Cudo Aqules lleg C, l tortug h vzdo de uevo, y sí sucesvmete. Como sempre que Aqules lleg dode est l tortug, ést y h vzdo lgo, Aqules uc l lczrá - c dcedo Zeó. Ahor uestr pregut es: Alcz Aqules l tortug? Dóde? Vmos supoer que l dstc etre A y B es de 00 m y que l velocdd de l tortug es l mtd l de Aqules S utlzmos l fórmul teror teemos: 00 m q S S m 7

118 Al cortr u trágulo equlátero de áre UA, como el de l fgur, por los putos medos de los ldos, oteemos otro trágulo equlátero de u áre. S lo hcemos ft veces co los sucesvos trágulos, cuáto vle l sum de tods ls áres oteds? UA, q S S S UA Est fórmul es váld pr q Nocó de límte de u sucesó Oserve ls sguetes sucesoes: I.- A II.- B Ecuetre los térmos pr 0; 00;.000; A B 9.09, 0, 0,6 0 L prmer progresó tee l prtculrdd de que medd que es más grde, los térmos se v cercdo l úmero cero. E l segud, e cmo, medd que v crecedo, los térmos tmé los hce. Podemos decr que: Cudo u sucesó ocurre que prtr de u certo vlor, los térmos se v cercdo u úmero determdo L, decmos que l sucesó tee límte y que su límte es L E l prmer progresó, el límte es 0, cudo tede fto, e l segud el límte es, cudo tom vlores myores. U progresó es covergete s el límte, cudo el úmero de térmos se cerc l fto es u úmero fto, e cso cotrro l progresó se deom dvergete Not El tem de límte se verá co myor profuddd e ños posterores 77 8

119 EJERCICIOS DE APLICACIÓN Udd. Añde tres térmos cd sere. ; ; ; 9; 6;.... 7; 7,7;,7;,7;... c. ; ; 0; ; 6;... d. 0; ; 6; ; 0;... e. ; ; ; ;... f. ; 6 ; ; ; ; ;.... Escre térmos más de l sucesó. ; ; ;.... Cuál es su térmo 0?. Escre el térmo 00 de l sucesó, ; ; ; ; ; ; ; ; ;.... Escre 6 térmo más de l sucesó. ; ; ; ;.... Cuál es su térmo úmero 60?. Escre térmos más de l sucesó. ; ; ; ; Cuál es su térmo cetésmo? 6. Clcul el térmo geerl de cd sere:. ; -; ; -;.... ; ; -; ; -;... c. ; -; 6; -8; 0;... d. 0; ; 8; ; ;... e. ; ; ; ; ;... f. ; ; ; ; ;... 6 g. ; ; ; ; Escre los cutro prmeros térmos de ls sucesoes que tee por térmo geerl:.. c.

120 d. e. 8. Ddos los térmos geerles de cutro sucesoes umércs, hlle pr cd u de los ses prmeros térmos y l sum de éstos. S 6 9. Oserve los gráfcos de cco sucesoes umércs 0

121 . Complete l sguete tl A B C D E d 0. Idcr cuál de ls sguetes fórmuls correspode l térmo geerl de cd u de ls sucesoes... v. 0 s es pr... s es mpr v. Progresoes Artmétc 0. Idetfc; etre ests sucesoes, ls que so progresoes rtmétcs, justfque.. ; ; ; 7; ;.... ; ; 8; 6;... c. 0; 7; ; ; -;... d. ; 7; 9; 8; 0; ;... e.,7;,9;,;,;... f. ; ; ; ; ; ;... g. ; 9; ; 9;... h. ; 6; 8; 6;.... ; ; ; ; ;... j. ; -0; -; -0;... 6 k. ; ; ; ;.... De ls sucesoes sguetes, Cuáles so progresoes rtmétcs?.. c. c

122 d. 7 d. Costruye u progresó rtmétc e l que el prmer térmo se y l dferec.. S escrr los térmos, dque cuáles de los sguetes térmos geerles está socdos dos sucesoes gules... c. d.. E u progresó rtmétc se se que los ses prmeros térmos. y. Clcul l dferec y. Escre el térmo geerl de ls sucesoes:. ; 0; ; 0; ; 78; 66; ;... c.,;,6; ;... d. ; ; ;.. 6. Clcul el térmo geerl de u progresó rtmétc sedo que 6 y Cuáto vle l dferec e u progresó rtmétc cuyo tercer térmo es 7 y cuyo quto térmo es? Clcul el prmer térmo y escre l sucesó E u progresó rtmétc y. Clcul. Clcul 80 ; 00 ; 00. d 9. Costruye u progresó rtmétc e l que el prmer térmo se 6 y el oveo Clcul el térmo 00 de l progresó rtmétc: -; -; 0; ; ;...

123 . Los dtos que se d como hpótess correspode sucesoes rtmétcs. Alce s e cd cso l tess es verdder o fls. hpótess tess. S y, etoces d.. S y d, etoces c. S, etoces d d. S 7, 8 y d, etoces e. S u sucesó 7 y 0 y e otr y 7 7, etoces ms tee l msm dferec.. El cteto meor de u trágulo rectágulo mde m. Clcul sus otros ldos sedo que los tres form u progresó rtmétc.. Clcul el térmo que ocup el lugr e l progresó cuyos cutro prmeros térmos so: ;,7;,;,;.... Clcul el curto térmo de u progresó rtmétc de dferec y cuyo térmo úmero 0 es 00.. Iterpol cutro medos dferecles etre y. 6. Iterpol tres medos dferecles etre -6 y Iterpol cco medos dferecles etre -9 y Iterpol:. Tres medos dferecles etre 7 y 7.. Cutro medos dferecles etre -0 y. c. Cco medos dferecles etre y Clculr l sum de los prmeros 0 úmeros turles. 0. Clcul l sum de los úmeros turles del 00 l 00, mos cludos.. Clcul l sum de los 8 prmeros térmos de l progresó: -7; -; -; ; ;... De u progresó rtmétc se se que, y d, 6. Clcul l sum de los prmeros térmos.. E u progresó rtmétc, 8 y 9. Clcul l sum de los vete prmeros térmos.. Cuátos múltplos de 9 se ecuetr etre 000 y 000?. Ecuetre l sum de los múltplos de myores y meores que 8.

124 6. Sore u depósto que coteí u cert ctdd de gu, se h erto u grfo de cudl costte. A los mutos el depósto cotee 7 ltros y los 8 cotee 697 ltros. Clculr l ctdd cl de gu, el cudl del grfo y l ctdd de gu que hrá cudo se cerre el grfo, med hor después de rrlo. 7. Cuátos loques de pedr se ecest pr costrur u escler como ést de vete escloes de lt?. 8. E u sucesó rtmétc que tee u úmero mpr de térmos, el cetrl es. Cuáto vle l sum del prmero y últmo? 9. Hll l sum de los vete prmeros térmos de ls sguetes sucesoes rtmétcs.. ; ; ; ;.... ; -0; -; -0;... c. -; -; 0; ; ; Cuáto vle l sum de los ce prmeros múltplos de 7?. U clu selecto tee muchs solctudes de etrd, pero sólo dmte quce uevos socos l mes. S flzó el ño psdo co socos y l cuot es de $ 80 mesul. Qué presupuesto esper mejr este ño l jut drectv?.. Ecuetr los águlos de u cudrlátero coveo, sedo que está e progresó rtmétc de dferec 0.. El segudo y el tercer térmo de u sucesó rtmétc so respectvmete 7 y. Clcule l sum de los prmeros 0 térmos.. Clcul l sum de todos los úmeros mpres de cfrs.. Clcul l sum de los 00 prmeros múltplos de. 6. Los águlos de u petágoo coveo está e progresó rtmétc y el meor de ellos mde 0º. Ecuetr l medd de los demás. 7. Certos térmos cosecutvos de u progresó rtmétc sum 0 y su térmo cetrl es 7. Cuátos térmos se h sumdo? 8. Clcul l sum de los 0 prmeros múltplos de myores. 9. E u progresó rtmétc se tee que d, S 6 y 7. Clcul y. 0. Cuátos térmos de l progresó rtmétc 0; 7; ;... hy que sumr pr que dch sum se 6?

125 . E u progresó rtmétc 7 0. Cuáto vle? S d, clcul ; ; y S 0.. Los ldos de u heágoo está e progresó rtmétc. Clcúllos sedo que el myor mde cm y que el perímetro vle 8 cm.. Los águlos de u heágoo coveo está e progresó rtmétc y el meor mde 0º. Clcul por trgulcó, l sum de ellos.. Cuáto dero llev sus vccoes u perso s el prmer dí gstó $ 00, fue dsmuyedo e $ 0 por dí y el dero le duró 0 dís?. E u ce, l segud fl de utcs está 0 metros de l ptll y l séptm fl está 6 metros. E qué fl dee setrse u perso que le guste ver l ptll u dstc de metros? 6. Hll los dos térmos cetrles de u progresó rtmétc de 8 térmos sedo que sum 00 y que l sum del prmero y dos veces el últmo vle 8?. 7. Determ l sum de los 0 prmeros térmos de l sucesó rtmétc cuyo térmo geerl es. 8. El térmo cetrl de u progresó rtmétc de 7 térmos vle. Determr l sum de esos 7 térmos. 9. Costruye u progresó rtmétc de 6 térmos que teg por etremos 9 y. 60. Cuátos ños sestos hy etre los ños 999 y Tres úmeros ocup lugres cosecutvos es u sucesó rtmétc de dferec. El cocete etre el prmero de ellos y el tercero es 9 7,. Ecuetre el térmo meor.. Hlle l sum de los tres térmos. c. Cuál deerá ser el cocete etre el prmero de ellos y el tercero pr que, co l msm dferec, el meor térmo se el opuesto del ecotrdo e el tem? Progresoes Geométrcs 6. De ls sguetes sucesoes, cuáles so progresoes geométrcs?. Escre cutro térmos más e cd u de ells y, tmé, su térmo geerl..,, 8, 6,.... ; 0; 00; 000;... c. ; 6; 8; ; ;... d. ; 0,; 0,0; 0,00; De certs progresoes geométrcs coocemos, respectvmete:. y q. Escre sus cco prmeros térmos.

126 . 6 y c. c 0. 0 y q. Clculr c ; c 9 y c 6. E u progresó geométrc y. Ecuetr el térmo y l epresó de 6. E u progresó geométrc 8 y. Clcul 6 y l epresó de. 66. Clcul l rzó y el térmo décmo de l sucesó geométrc: ;,; 0,; 0,0; Clcul pr que ; ; 8 se progresó geométrc. 68. E u progresó geométrc = y r = 0,. Clcul el prmer térmo o etero.. Epres, de form dcd. 69. Etre los úmeros y 6, escre otros tres m; ; p de modo que ; m; ; p; 6 esté e progresó geométrc.. Hz lo msmo co, m,, 8. Hz lo msmo co, m,, 70. E u progresó geométrc = 0 y r = 0,. Clcul 0 y Iterpolr cutro medos proporcoles etre y 7. Iterpol:. U medo proporcol etre y. Tres medos proporcol etre y. c. Cutro medos proporcol etre y Clcul r sedo que =7, = Hz lo msmo sedo = y Hz lo msmo sedo 7 y c. Oserv que se otee ls sguetes relcoes. 6 r ; r ; r 7. Los dtos que se muestr correspode sucesoes geométrcs. Completr ls sguetes epresoes.. S y r, etoces =. S 6 y, etoces r = 7 7. El prmer térmo de u sucesó geométrc es y su rzó es. Hlle los cco prmeros térmos

127 76. Alce s este u úc sucesó geométrc tlque l sum del prmer térmo y el tercero se 0 y l sum del tercero y el quto se Hlle los cco prmeros térmos de l o ls sucesoes que cumpl co ls codcoes del ejercco teror. 78. Relco r co m,, y m sedo m > e u progresó geométrc culquer. 79. L polcó mudl es de uos ml mlloes de httes y crece l rtmo ul de l %. Cuáto tempo trdrá e duplcrse? 80. El rdo, elemeto rdoctvo, se descompoe rzó del % por sglo. U kg de rdo, e cuáto se hrá reducdo después de.000 ños? 8. A veces los grdes mtemátcos tmé se equvoc. Eüler hzo el sguete rzometo: Se r u úmero postvo meor que. Se tee que: r r r r... r y tmé; r r... r r r r r r r r r r y como 0 result que r r... r r r... 0 r r r Pero todos los sumdos so postvos luego es surdo que l sum se cero. Cuál fue el error de Eüler? 8. Los dtos de cd fl de l sguete tl correspode l msm sucesó geométrc. Completr l tl. r S 0 9 0, 0,, E u cudrlátero cd, dˆ 9ˆ y todos los águlos terores form u sucesó geométrc. Cuáto mde cd uo de ellos? 7

128 8. U dmju de cco ltros está lle de jugo. U perso sc u cop de 0 cm y, pr que o se ote, lo susttuye por l msm ctdd de gu. Otrs persos hce l msm opercó sucesvmete. Cuáts opercoes hce flt pr que l mtd de l mezcl se jugo y l otr mtd se gu?. 8. U vó de ppel vz e líe rect y cd segudo, vz l mtd de recorrdo que el segudo teror. Sedo que e el prmer segudo vzó 0 m, llegrá tocr l pred que está u dstc de 8 m?. 86. Cuáto dero tedremos l co de ños s colocmos plzo fjo $.000 l %? 87. A qué tto por ceto dee mpoerse u cptl pr que se duplque e cco ños? 88. L polcó de u pís de Amérc umet por térmo medo u 0 por ml ul. Sedo que e l ctuldd tee 0 mlloes de httes, Cuátos tedrá detro de u sglo? 89. L mqur de u fárc perde cd ño el 0% de su vlor y e su mometo costo $ E cuáto se vlorrá est máqu después de ños de fucometo? 90. Clcul l sum de los ses prmeros térmos de u progresó geométrc e l que = y r =. 9. Cuáto vle l sum de los cco prmeros térmos de u progresó geométrc e l que = y r =. 9. E u progresó geométrc, l sum de los ses prmeros térmos es S 6 =.6 y l rzó es r =. Ecuetr y. 9. E l progresó geométrc, ; 6; ; ; 8; 96; 9; 8;..., comprue que: E u progresó geométrc culquer ; r; r ; r ; r ; r ;..., comprue que 6. Comprue, tmé que Euc u propedd geerl que egloe los csos prtculres de los dos ejerccos terores. 96. E u progresó geométrc 6. Cuáto vle? 8

129 97. E u progresó geométrc y. Cuáto vle ; ; y? 98. Clcul el producto de los cutros prmeros térmos de u progresó geométrc e l que = y = E u progresó geométrc co ftos térmos es = 7 y sum de tod l progresó geométrc. r. Clculr l 00. Al cortr u trágulo equlátero de áre, por los putos medos de los ldos, oteemos u trágulo equlátero de. Al hcer lo msmo ls fts veces co los sucesvos trágulos, cuáto vle l sum de tods ls áres oteds? 0. E u progresó geométrc l sum de los ftos térmos vle y =. Clcul y l rzó. 0. Clcul l sum de los ftos térmos de u sucesó geométrc de rzó y cuyo segudo térmo es Segú dtos pulcdos por Eterprce S.R.L, e gosto de.000, e l Arget hí hogres coectdos Iteret e.999. E el msmo ño, E Amérc lt l cfr llegó U empres estmó, segú estudos relzdos de mercdo, que el crecmeto ul de usuros de Iteret e l Arget y Ltomérc e los prómos ños será geométrco.. Clcul l ctdd de usuros que se esper e l Arget e el correte ño, supoedo u ts de crecmeto ul de 6,7 %.. Ecuetre l ts de crecmeto ul estmd pr Ltomérc, s se clcul, segú proyeccoes, u ctdd de usuros de Iteret pr el Se estm que el crecmeto demográfco de Arget respode u ley geométrc de rzó r q, dode q es l ts ul de crecmeto de polcó e dc el úmero medo de persos que se corpor ulmete l polcó totl, por cd 00 httes. Segú dtos del INDEC, los cesos de 980 y 99 dcro que l polcó e l Arget fue de y.6.8 httes respectvmete.. Cosderdo estos vlores, hlle l fórmul del térmo geerl de u sucesó geométrc.. Clculr el promedo de persos que se corporro ulmete l polcó totl, por cd 00 httes. c. Estmr cuál fue l ctdd de httes e l Repúlc Arget e el ño.99 segú este modelo. 9

130 d. Clcule cuál será l polcó de Arget e el ño.00, s se mtee el rtmo de crecmeto demográfco. 0. Oserve ls sguetes fgurs. Completr el sguete cudro: Cudrdo Áre Somred A A A A. Deducr l rzó y su térmo geerl c. Hcí que vlor tede l superfce de los cudrdos? 06. Alzr los cudrdos del ejercco teror, pero hor e l zo o somred.. Completr el sguete cudro Cudrdo Áre o somred B = B = B = B =. Por qué se trt de u sucesó geométrc? c. A qué vlor tede cercrse ls áres medd que se tom vlores de cd vez myores? 07. Complet l sguete sucesó, cuyo térmo geerl es, utlzdo u clculdor cetífc. (otr todos los vlores que prece e est)

131 L sucesó es crecete?. Est sucesó tee límte?. Por qué? c. Compre el vlor del térmo y el vlor e de l clculdor (hcer e ). 08. Cofeccor tls de vlores y hllr el límte de cd u de ls sucesoes..- c.- e.-.- d Ls sguetes fgurs correspode ls tres prmers etps del trágulo de Serpsk. E l prmer puede oservr u trágulo equlátero. E l segud, l fgur se dvde e cutro trágulos cogruetes y se pt el del medo. E l tercer etp se dvde cd trágulo e cutro trágulos cogruetes y se pt el del medo de cd uo.. Dujr l fgur de l curt etp. Ecuetre l epresó del perímetro de l fgur o ptd, s el perímetro de l fgur es P. c. Epres el áre de l fgur s somrer e cd etp, s el áre del prmer trágulo es A. d. S se cosder u sucesó, hllr el térmo geerl. e. Clcule el perímetro de l set etp. f. Cuál es el límte de l sucesó que represet el áre?

132 9. E l tl sguete, cd fl de úmeros form u sucesó. Ls ters vertcles so ptgórcs 6.. Complete co los vlores que flt e l tl y compruee que verfc l fórmul del térmo geerl. 6 Térmo Geerl c c. Utlzdo ls fórmuls de los térmos geerles, verfcr que: c 0. Ls sguetes tls cotee ters de úmeros ptgórcos. Completr ls tls y lzr cuál es, etre los sguetes, el térmo geerl correspodete cd fl. I.- 8 II.- 6 III IV.- V.- VI Térmo Geerl c c. 6 Térmo Geerl c 7 c. E los sguetes sstems de ecucoes, ; y c so tres úmeros eteros y térmos cosecutvos de u sucesó geométrc. y y 9 y c 8 y 9 Sedo que mos sstem tee l msm solucó, clcule ; y c 6 Se llm ters de úmeros ptgórcos u cojuto de úmeros turles, y c, que cumpl co l c sguete codcó:. Dcho úmeros puede ser ls medds de los ldos de u trágulo rectágulo e el cul es l medd de l hpoteus.

133 . Idcr cuáles de ls sguetes frmcoes so flss y justfque sus respuests medte u ejemplo. Tod sucesó geométrc puede socrse u fucó epoecl, cuyo domo es.. Tod fucó epoecl, puede socrse u sucesó geométrc. c. Tod sucesó rtmétc puede socrse u fucó lel d. Tod fucó lel, puede socrse u sucesó rtmétc. Prolems complemetros. E l fgur se oserv u pl de lts. Cotdo desde rr, e l prmer fl hy ses lts, e l segud 7 y sí sguedo hst l fl. Cuáts lts hy e totl?. L empres Costruc-sol S.A. quere costrur u hotel e l cudd de L Fld, como prte de u proyecto turístco e l regó. Estudos relzdos por u empres ecvdor segur que el gu se hll etre los y 0 metros de profuddd. Los costos que se estm so de $ 000 por los 0 prmeros metros de ecvcó y $ 00 más por cd metro sguete hst que el gu prezc. Etre qué vlores vrrá los costos de este trjo? 6. Pr jutr dero pr su vje de egresdos, u grupo de lumos de 7 mo ño decdó horrr dero todos los dís de gostos. El prmer dí, cd uo depostó ccuet cetvos; el segudo dí, u peso; el tercer dí, $,0, y sí sucesvmete hst termr el mes.. Cuáto dero depostó cd uo e totl?. Cuáto dero depostó cd uo de los últmos dez dís del mes? c. Crlos, que er el que gurd el dero y llev ls cuets, f de mes ocupó de reclmrle cd uo lo que deí. A Clud le djo que o hí hecho el depósto correspodete l dí. Cuáto deí Clud? d. A Josef, Crlos le djo: E tu cuet hy $ 7; y sé que flt el depósto de u dí, pero o tego otdo de cuál. Clcule qué dí correspodí el depósto que flt e l sum de Josef. 7. E ls trsccoes fcers, se llm terés smple l terés que se clcul tomdo e cuet sólo el cptl cl, s cosderr el terés cumuldo. Supog que u cptl cl C o de $ 00 se depost por vros meses plzo fjo e u co que otorg el % de terés smple mesul.. Completr l sguete tl, que relco el tempo del depósto co el moto otedo. Recordr que moto es l sum del terés más el cptl. Tempo (meses) Cálculo del moto Moto ($) ,