UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS. Métodos multivariantes en control estadístico de la calidad

Transcripción

1 UNIVESIDAD NACIONAL MAYO DE SAN MACOS FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS E.A.P. DE ESTADÍSTICA Métoos multivariantes en control estaístico e la calia Capítulo I. Gráficos e control estaístico univariaa TABAJO MONOGÁFICO Para optar el Título Profesional e Licenciao en Estaística AUTO Anchiraico Aguo, William ichar LIMA PEÚ 00

2 CAPITULO I GAFICOS DE CONTOL ESTADÍSTICO UNIVAIADA

3 CAP. I GAFICOS DE CONTOL ESTADÍSTICO UNIVAIADA Muchas características e calia se pueen expresar en términos e una meia numérica. Por ejemplo, poría meirse el iámetro e un cojinete con un micrómetro y expresarse en milímetros. Una característica e calia meible, como imensión, peso o volumen, se llama variable. Los iagramas e control para variables se usan ampliamente. Suelen permitir el uso e proceimientos e control más eficientes, y proporcionan más información respecto al renimiento el proceso que los iagramas e control e atributos. Cuano se trata con una característica e calia que es una variable, es una práctica estánar controlar el valor meio e la característica e calia y su variabilia. El control e la meia el proceso, o el nivel e calia promeio, suele ejercerse con el iagrama e control e meias, o iagrama e x. Es posible controlar la variabilia o ispersión el proceso meiante un iagrama e control e la esviación estánar, llamao iagrama e S, o con un iagrama e control e amplitu, llamao iagrama e. Este último es más usao. Por lo general se utilizan iagramas e x y por separao para caa característica e calia que interese (sin embargo, si ichas características están estrechamente relacionaas, esto puee llevar a veces a resultaos erróneos). Los iagramas e x y (o S) se hallan entre las más importantes y útiles técnicas e control estaístico e procesos en línea. En esta primera parte se a conocer los funamentos el Control Estaístico e Procesos, que es la base para poer aplicar los nuevos métoos e Control Estaístico e Calia. El Control Estaístico e Procesos (SPC, por sus siglas en inglés), es una metoología para vigilar un proceso, para ientificar las causas especiales e variación y para señalar la necesia e tomar alguna acción correctiva cuano sea apropiao. El proceso se consiera fuera e control cuano están presentes causas especiales. Si la variación en el proceso sólo se ebe a causas comunes, se ice que el proceso está bajo control estaístico. Una efinición práctica e control estaístico es que a través el tiempo tanto los promeios el proceso como las varianzas son constantes. El control estaístico e los procesos, SPC, se apoya en las gráficas e control, una e las herramientas básicas e la mejora e la calia. El SPC es una técnica probaa para mejorar tanto la calia como la prouctivia. Muchos clientes requieren que sus 10

4 proveeores presenten eviencias e un control estaístico e los procesos por lo que SPC proporciona la manera en la que una empresa puee emostrar su capacia e calia, una activia necesaria para la supervivencia en los actuales mercaos competitivos. 1.1 Metoología el Control Estaístico e los Procesos Las gráficas e control, como las emás herramientas básicas e mejora e la calia, son relativamente fáciles e utilizar. Las gráficas e control tienen tres aplicaciones básicas: (1) establecer un estao e control estaístico, () vigilar un proceso y avisar cuano el proceso se salga e control, y () eterminar la capacia el proceso. A continuación aparece un resumen e los pasos requerios para esarrollar y utilizar las gráficas e control. Los pasos 1 a 4 se enfocan al establecimiento e un estao e control estaístico; en el paso 5 se utiliza las gráficas para la vigilancia continua; y en el paso 6 se utilizan los atos para el análisis e la capacia el proceso. 1) Preparación a) Escoja la variable o atributo a meir b) Determine la base, tamaño y frecuencia e la muestra c) Defina la gráfica e control ) ecolección e Datos a) egistre los atos b) Calcule estaísticas relevantes: promeios, rangos, proporciones, etc. c) Trace los atos estaísticos sobre la gráfica ) Determinación e los límites e control e prueba a) Dibuje la línea central (promeio el proceso) sobre la gráfica b) Calcule los límites e control superior e inferior 4) Análisis e interpretación a) Investigue la gráfica para buscar falta e control b) Elimine puntos fuera e control c) Vuelva a calcular, si es necesario, los límites e control 11

5 5) Utilización como herramienta para la solución e problemas a) Continué con la recolección e atos y con el trazao b) Ientifique situaciones fuera e control y tome acción correctiva 6) Utilización e los atos e las gráficas e control para eterminar la capacia el proceso, si así se requiere. 1. Gráficas e Control para atos variables Los atos variables son los que se mien en una escala continua. Ejemplos e atos variables son la longitu, el peso y la istancia. Las gráficas que se utilizan más comúnmente para atos variables son las gráficas x (x meia) y (gráfica e rango). La gráfica x se utiliza para vigilar el centrao e un proceso, y la gráfica para vigilar la variación en el proceso. Se utiliza el rango como meia e la variación simplemente por comoia, particularmente cuano realizan manualmente los cálculos e la gráfica e control. Para muestras granes, o si los atos se analizan meiante programas e computaora, la esviación estánar es una mejor meia e la variabilia. 1. Elaboración e gráficas x y y establecimiento e un control estaístico El primer paso en el esarrollo e gráficas x y es la recolección e atos. Por regla general se obtienen aproximaamente e 5 a 0 muestras y se utilizan tamaños e muestras entre y 10 sieno las más comunes e 5. El número e muestras se inica meiante la letra k, y n es el tamaño e la muestra. Para caa muestra i se calcula la meia (ientificaa como x i ) y el rango ( i ). A continuación estos valores se trazan en sus gráficas e control respectivas y luego se realizan los cálculos el promeio o meia general y el rango promeio. Estos valores efinen la línea central para las graficas x y respectivamente. Sean x 1, x,..., x k las meias e las muestras. Entonces el mejor estimaor e µ, la meia el proceso, es el gran promeio o promeio agregao. La meia general es el promeio e las meias e las muestras x i. 1

6 k x i i= x = 1...(1.1) k De moo que se utilizara x como la línea central el iagrama x. Para fijar los limites e control se necesita un estimaor e la esviación estánar σ. Es posible evaluar σ a partir e las esviaciones estánares o e las ampliaciones e las k muestras. Por el momento nos concentraremos en el métoo e la amplitu. Si x1, x,..., x es una muestra e tamaño n, la amplitu e la muestra es la iferencia n entre la mayor y menor observaciones; ósea: = x max x min Existe una relación bien conocia entre la amplitu e una muestra proveniente e una istribución normal y la esviación estánar e icha istribución. La variable aleatoria W = σ se llama amplitu relativa. Los parámetros e la istribución e W son funciones el tamaño muestral n. La meia e W es. Por consiguiente un estimaor e σ es σ ˆ = P. En la tabla el apénice se an para valores e para iversos tamaños muéstrales. Sean 1,,... K las amplitues e las k muestras. El rango promeio se calcula e manera similar meiante la fórmula: k i i= = 1...(1.) k Entonces, un estimaor e σ se calcula como σ ˆ =...(1.) Si el tamaño muestral es relativamente pequeño, el métoo e la amplitu prouce un estimaor e la varianza casi tan bueno como el estimaor cuarático usual (la varianza muestral S S ). La eficiencia relativa el proceimiento e la amplitu, con respecto a, se expone a continuación para varios tamaños muéstrales: 1

7 n Eficiencia relativa En el caso e valores moeraos e n, igamos n 10, la amplitu piere rápiamente su eficiencia pues no toma en cuenta toa la información en la muestra, entre x min. Sin embargo para los valores pequeños e los tamaños muéstrales que se usan a menuo en los iagramas e control e variables ( n = 4, 5 ó 6) es el too satisfactorio. Si se utiliza x como un estimaor e y parámetros el iagrama e x son x max como un estimaor e σ, los y LSC = x + n Línea Central = x...(1.4) LIC = x n Se observa que la cantia A =...(1.5) n es una constante que epene únicamente el tamaño muestral y, por lo tanto, es posible volver a expresar (1.4) como UCL = x + A Limite Central = x...(1.6) LCL = x A 14

8 La constante A se encuentra tabulaa en la Tabla el Apénice para istintos tamaños muéstrales. Se vio que la amplitu muestral esta relacionaa con la esviación estatal el proceso. Por consiguiente, la variabilia el proceso puee controlarse representano los valores e e muestras sucesivas en un iagrama e control, el cual se llama iagrama e. Es posible eterminar con facilia los parámetros e icho iagrama. La línea central corresponerá a. Para obtener los limites e control se necesita un estimaor e σ. Suponieno que la característica e calia esta istribuia normalmente, puee encontrarse σ a partir e la istribución e la amplitu relativa W = σ. La esviación estánar e W, igamos, es una función conocia e n. Así, puesto que = Wσ la esviación estánar e es σ = σ Como se esconoce σ es posible estimar σ con σ ˆ =...(1.7) Por lo tanto, los parámetros el iagrama e, con los limites e control e tres sigmas habituales son LSC = + σ ˆ = + Limite Central =...(1.8) Si se toma LIC = σ ˆ = D = 1 15

9 D = pueen refinarse los parámetros e la grafica e como LSC = D 4 Limite Central =...(1.9) LIC = D Las constantes D y D 4 se an en la Tabla el Apénice para varios valores e n. Los límites e control representan el rango entro el cual se espera estén toos los puntos, si el proceso está bajo control estaístico. Si cualquier punto cae afuera e los límites e control o se observa cualquier patrón fuera e lo común, entonces probablemente alguna causa especial ha afectao el proceso. El proceso ebe estuiarse para eterminar la causa; si hay causas especiales, entonces no son representativas el estao veraero el control estaístico y los valores calculaos e la línea central y e los límites e control están istorsionaos. Los atos corresponientes a los puntos fuera e los límites eben eliminarse y se eben calcular nuevos valores para x, y para los límites e control. Para eterminar si un proceso está bajo control estaístico, siempre se estuia primero la gráfica.dao que los límites e control e x epenen el rango promeio, las causas especiales en la gráfica pueen proucir patrones fuera e lo común en la gráfica x, aún cuano el centrao el proceso esté bajo control. 16

10 Ejemplo: Gráficas e Control para la proucción e obleas e silicio. El espesor e las obleas e silicio utilizaas en la proucción e semiconuctores ebe ser cuiaosamente controlao. La tolerancia e un proucto e ese tipo es especifica como ± pulgaas. En la instalación fabril, caa hora se seleccionaban tres obleas y su espesor era meio cuiaosamente, hasta un iezmilésimo e pulgaa. El cuaro 1.1 muestra los resultaos obtenios para 5 muestras. Por ejemplo, la meia e la primera muestra es x 1 = 44. El rango e la muestra 1 es 70- = 48 (para simplificar los cálculos, se ha reoneao hasta el entero más cercano). El rango promeio es la suma e los rangos e las muestras (676) iviio entre el número e muestras (5); la meia general e la suma e los promeios e las muestras (1,11) iviio entre el número e muestras (5). Como el tamaño e la muestra es e, los factores utilizaos en el cálculo e los límites e control son A =1.0 y D 4 =.574 (Para tamaño e muestra 6 o menos, el factor es e D =0 ; por lo tanto, el limite inferior e control en la gráfica e rango es igual a cero). Las líneas centrales sin los limites e control aparecen trazaas en el cuaro 1.. Examinano primero la gráfica e rangos, parece que el proceso esta bajo control. Toos los puntos concurren entro e los limites e control y no hay ningún patrón fuera e lo común. En la gráfica x, sin embargo la muestra 17 aparece más allá el limite superior e control. Al investigar se escubrió que se había utilizao algo e material efectuoso. Estos atos eben eliminarse e los cálculos para las gráficas e control. El cuaro 1. muestra los cálculos una vez eliminaa la muestra 17. Por costumbre, los puntos fuera e control se anotan en la misma gráfica. La gráfica resultante parece estar bajo control. 17

11 Cuaro 1.1 NÚMEO DE LA PIEZA GAFICA N NOMBE DEL COMPONENTE PODUCTO OPEACIÓN POCESO LIMITES DE LA ESPECIFICACION Operaor Máquina Calibraor Unia e Meición Cero equivalente a Fecha Hora Meia e las muestras Sumas Promeio ango Notas Promeios angos Promeios angos

12 Cuaro 1. NÚMEO DE LA PIEZA GAFICA N NOMBE DEL COMPONENTE PODUCTO OPEACIÓN POCESO LIMITES DE LA ESPECIFICACION Operaor Máquina Calibraor Unia e Meición Cero equivalente a Fecha Hora Meia e las muestras Sumas Promeio ango Notas Promeios angos Promeios angos

13 Cuaro 1. NÚMEO DE LA PIEZA GAFICA N NOMBE DEL COMPONENTE PODUCTO OPEACIÓN POCESO LIMITES DE LA ESPECIFICACION Operaor Máquina Calibraor Unia e Meición Cero equivalente a Fecha Hora Meia e las muestras Sumas Promeio ango Notas Promeios angos Promeios angos