Tema V: CALCULO DE INTEGRALES

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1 Tem V: CALCULO DE INTEGRALES.- CONCEPTO DE PRIMITIVA DE UNA FUNCION: Como hemos visto hst hor, l derivción es un técnic prtir de l cul dd un función culquier f() podemos clculr su derivd f (). Pues ien, hor vmos trjr el proceso contrrio, en el que conocid l derivd de un función f (), trtmos de encontrr l función de l que proviene, primitiv, f(). f Función ( ) = + Derivción Integrción Derivd f'( ) = Sen f y F dos funciones definids en un mismo intervlo de definición I, decimos que F() es l primitiv de f() en el intervlo I si ocurre que: F '( ) = f( ). F() es l función primitiv de f() F '( ) = f ( ) Si un función tiene un primitiv, entonces tiene infinits, que se diferencin entre sí en un constnte. Ejemplo: + 7 L función f() = tiene por primitivs F( ) = en generl + K Se llm integrl indefinid de un función f() l conjunto formdo por tods sus primitivs, y se represent por: f( ) d = F( ) + C Se lee integrl de f() diferencil de, y donde C es un número rel culquier llmdo constnte de integrción..- PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES INDEFINIDAS: L integrl de l sum (diferenci) de dos funciones es igul l sum (diferenci) de ls integrles de dichs funciones. f ( ) ± g ( ) d= fd ( ) ± gd ( ) L integrl del producto de un función por un constnte k, es igul l constnte por l integrl de l función. kf ( ) d = k f( ) d (un fctor constnte puede scrse fuer de l integrl) Mtemátics Verno Rúl G.M. 56

2 TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Tipos Simple Forms Compuest Potencil ( ) + d = + + f f' f d = + Logrítmico d = ln f ' d = ln f f Eponencil e d = e d = ln e f'( ) d = e f ( ) f ( ) f ( ) f'( ) d f ( ) = ln Seno cosd = sen cos ff ' d= senf Coseno send = cos senf f ' d = cosf Tngente Cotngente Arco Seno sec d = tg ( ) + tg d = tg d = tg cos co sec d = cotg ( ) + cotg d = cotg sen d = cotg d = Arcsen ( ) = Arc cos( ) d = Arcsen = Arc cos sec ( f) f' d = tg( f) [ + tg ( f )] f ' d = tg( f ) f ' cos ( f ) d = tg( f ) cosec ( f) f' d = cotg( f) [ + cotg ( f )] f ' d = co tg( f ) f ' d = cotg( f ) Sen ( f ) f ' d = Arcsen ( f ) = Arc cos( f ) f f' f f d = Arcsen = Arc cos f Arco Tngente d = rctg ( ) + d = rctg + f ' d = rctg ( f ) + f f' f d = rctg + f Neperino Arco tngente M + N d c + + c = neperino + rco tngente M, + + irreducile.-tecnicas DE INTEGRACIÓN:..- El método de Sustitución (ó Cmio de Vrile) Se s en l utilizción de l regl de l cden. Consiste en epresr l función integrr en función de otr vrile, normlmente t, de modo que l integrl resultnte se inmedit, o por lo menos más sencill. Pr hllr un primitiv de f ( ) d, hremos el siguiente cmio de vrile: = g( t), después diferencimos en ms prtes: d = g '( t ) dt y sustituimos en l primitiv, de form Mtemátics Verno Rúl G.M. 57

3 que l primitiv quedrá: f( ) d = f g( t) g'( t) dt Trs hllr el miemro de l derech en función de t, se deshce el cmio de vrile y sí otenemos l integrl uscd; es decir trducimos el resultdo en términos de. Ejemplo : Clculr ( + ) d. Hcemos: ( + ) = u, de quí, = u d = du, sustituyendo: ( ) ( ) + d = u du = u + K = + + K Este método se suele utilizr en funciones que tienen ríces (Rdiclris). Ejemplo : Clculr d. Hcemos: ( ) = u, de quí, = u d = du, sustituyendo: d = ( u ) u ( du ) = u u du = u du + u du = u + u + K = ( ) ( ) = = ( ) + K 5..- Integrción por simple inspección: Dos sencills fórmuls nos cpcitn pr hllr primitivs de form csi inmedit. L primer es: r r+ g '( ) [ g( )] d = [ g( )] K r + + con r - Ejemplo : Clculr (ln ) d Utilizndo l fórmul nterior: (ln ) d = (ln ) d = (ln ) + K L segund fórmul de integrción rápid es: g'( ) d = ln g( ) + K g( ) Ejemplo : Clculr d 5 Utilizndo l fórmul nterior: d = d = ln 5 + K Integrción por Descomposición: Consiste en descomponer un función f() de l form: f ()+f ()+ +f n (), de form que descomponemos un integrl en muchs que se resuelven más fácilmente. ( ) d f ( ) d + f ( ) d f = fn ( ) d Mtemátics Verno Rúl G.M. 58

4 Ejemplo 5: Clculr Utilizndo este método: ( cos ) sen + d ( cos ) ( cos cos ) ( cos ) sen + d = sen + + sen d = sen + d + + sen cosd = d + sen d = cos + K..- Integrción por Prtes: Este método se suele utilizr cundo tenemos producto de funciones, y lo que hcemos es seprr l integrl en dos prtes, medinte l fórmul de integrción por prtes: u dv = u v v du L mecánic que se sigue pr integrr con este método es l siguiente: Si tenemos que clculr f ( ) g( ) d, hcemos u = f ( ) y dv = g( ) d ; clculmos du = f' ( ) y v = g( ) d, y después sustituimos cd un de ells en l fórmul de integrción por prtes. u dv = u v v du Pr recordr l fórmul de l integrción por prtes, eiste un regl nemotécnic: un di ví un vc vestid de uniforme A l hor de elegir u y dv, hemos de tener en cuent dos coss: L prte escogid como dv h de ser fácil de integrr. v du no dee ser más complicd de integrr que u dv A = Funciones Arco (Arcsen, Arccos, Arctg ) L= Funciones logrítmics. (log, log, ln) P = Funciones polinómics. E = Funciones eponenciles (, e ) S = Funciones trigonométrics (Sen, Cos, tg ) Pr fcilitr ls coss l hor de elegir u, utilizremos l regl ALPES. El orden de preferenci l elegir quien es l función u es de izquierd derech: A > L > P > E > S Ejemplo 6: Clculr n lnd n Hcemos u = ln dv = n + du = v = n + Aplicmos l regl de integrción por prtes: n+ n+ n+ n+ n+ n n n + lnd = ln d = ln d = ln = ln + K n + n + n + n + n + n + n + n + n + A veces será necesrio repetir este método vris veces. Cuándo?, Si tenemos: Producto de un polinomio por un eponencil. ( n e ) Producto de un polinomio por seno o coseno. ( n cos, n sen) Producto de un polinomio por ln. ( n ln) Producto de un eponencil por sen ó cos (e sen, e cos) Ls funciones circulres inverss. Mtemátics Verno Rúl G.M. 59

5 Integrción de funciones Rcionles. P ( ) Pr el cálculo de integrles de l form d, donde P() y Q() son polinomios enteros Q( ) en con coeficientes reles, lo que hremos es descomponer el polinomio Q() en sum de frcciones simples de l form ( + ). Si grdo P() grdo Q(), ntes de descomponer, efectumos l división euclide: P ( ) R ( ) = C ( ) + Q( ) Q( ) Si grdo P() < grdo Q(), no es necesrio hcer división euclíde y directmente psmos fctorizr el polinomio Q(). Fctorizmos el polinomio Q(), y un vez descompuesto Q() en sus ríces, se pueden presentr vrios csos:.5..- Cso I: Fctores lineles distintos. A cd fctor linel + que prezc un sol vez en el denomindor de un función rcionl A propi le corresponde un sol frcción de l form:, donde A es un constnte que + hrá que determinr. Ejemplo 7: Clculr d Fctorizmos el denomindor = ( + )( ) Descomponemos: A B = + Clculmos ls constntes A y B: + = A ( ) + B ( + ) = ( A + B) + (A B) () () ) Por comprción: A + B = y A-B= De donde: A = y B = ) O directmente sustituyendo = y =- en l ecución (). = A A = y = B B = Por culquier de los dos métodos, tenemos: / / = + Entonces: d d d = = ln ln + + K = ln + K + + Mtemátics Verno Rúl G.M. 6

6 Cso II: Fctores lineles Repetidos. A cd fctor + que prezc n veces en el denomindor de un función rcionl propi le corresponde un sum de n frcciones simples de l form: A A + + ( + ) A + ( + ) An ( + ) n Donde A i son constntes que hrá que determinr. Ejemplo 8: Clculr d Como el grdo de rri es myor que el de jo, primero dividimos: = + = + ( ) Descomponemos: + A B C = + + Clculmos ls constntes A,B y C: ( ) + = A( ) + B( ) + C Sustituyendo = otenemos: =-B B=- Sustituyendo =, otenemos: =C Y sustituyendo =, (elegimos el l zr), otenemos: =A+B+C A=-. De modo que nos qued: d = d + d + d d = + ln ln + K = + ln + K.5..- Cso III: Fctores cudráticos distintos: A cd fctor cudrático irreducile ++c que prezc un sol vez en el denomindor de un función rcionl le corresponde un sol frcción simple de l form: A + B + + c Donde A y B son constntes determinr. Ejemplo 9: Clculr Descomponemos: d A + B C + D Fctorizmos + + = ( + ) ( + ) = + Clculmos ls constntes A,B,C y D: = ( A + B)( + ) + ( C + D)( + ) De donde A+C=; B+D=, A+C= y B+D=, que resolviendo nos d: A=, B=, C= y D=. Entonces: d d d = + = rctg + ln + + K Mtemátics Verno Rúl G.M. 6

7 Fctores cudráticos repetidos. A cd fctor cudrático irreducile ++c que prezc n veces en el denomindor de un función rcionl propi le corresponde un sum de n frcciones simples de l form: A + B A + B A + B c ( + + c ) ( + + c ) Donde A i y B i son constntes determinr: Ejemplo : Clculr Descomponemos: d ( + ) A + B C + D E + F = + + ( + ) + ( + ) ( + ) Clculmos ls constntes A,B,C,D,E y F: 5 8 ( A B)( ) ( C D)( ) E F + + = = 5 A + B + ( A + C ) + ( B + D) + (A + C + E ) (B + D + F ) De donde A=; B=-, C= y D=, E= y F=. Entonces: d d = d + = ln( + ) rctg + K ( + ) + ( + ) ( + ) 5.- Teorem fundmentl del Cálculo: Si f es un función continu en el intervlo cerrdo [,], entonces su función integrl F( ) = f( t) dt con es continu en [,] y derivle en (,), y su derivd F ()=f() Derivd de integrles: f contínu en [,] F'( ) = f( ) F(X)= ftdt ( ) d ftdt ( ) = f( ) d Ejemplo : Hllr l derivd de: t + dt d d t + dt = Derivd de integrles cundo el límite superior es un función: d d g( ) ftdt ( ) = f g ( ) g'( ) Ejemplo : Hllr l derivd de: t cosd d dt t cosd= t cost Mtemátics Verno Rúl G.M. 6

8 Derivd de integrles cundo los dos límites son funciones: d d g( ) h( ) ftdt ( ) = f g ( ) g'( ) h g ( ) h'( ) Ejemplo : Hllr l derivd de: d d lntdt ln = ln ln = 9 ln ln = (9 )ln tdt Podemos encontrrnos con ejercicios como este en el que l plicr l regl de L Hôpitl, l integrl desprece. Ejemplo : Hllr lim + sen tdt sen tdt sen LH ' * lim = = lim = lim = * Donde hemos utilizdo l proimción sen cundo 6.- Integrl Definid L integrl definid de un función en el intervlo [,] se simoliz por f( ) d donde es el límite superior de integrción y el límite inferior de integrción Significdo Geométrico de l integrl: Con l integrl definid se pretende clculr el áre de un región del plno limitd por un curv. Se el plno fín rel euclídeo y ( Ou,, u) un sistem de referenci ortonorml de ejes OX y OY. Si l función f :[, ], es positiv e integrle, l integrl definid de l función f sore dicho intervlo represent el áre de l región limitd por l curv, el eje OX y ls perpendiculres por los puntos y, y l integrl es positiv. + f( ) d = Áre jo l curv > Mtemátics Verno Rúl G.M. 6

9 Si l función f :[, ], es negtiv e integrle, l integrl definid de l función f sore dicho intervlo represent el áre de l región limitd por l curv, el eje OX y ls perpendiculres por los puntos y, pero con signo negtivo. f( ) d = Áre jo l curv Si l función f :[, ], tom vlores positivos y negtivos sore el intervlo cerrdo [,], entonces, l integrl definid de l función f sore dicho intervlo represent l sum de ls áres de ls regiones comprendids entre l función, el eje de ls, y ls perpendiculres por y, pero signándole cd un de ells el signo + o - según que esté por encim o por dejo del eje. Pr ello es necesrio conocer los puntos de corte de l curv con el eje OX. c c c c Are =+ f ( ) d f ( ) d + f ( ) d f ( ) d + f ( ) d c c c c Ejemplo 5: Clculr el áre encerrd por el eje OX, ls rects = y = y l curv y = cos. Vmos ver si l función clculmos sus ríces: y = cos, cmi de signo en el intervlo [, ], pr ello l igulmos cero y cos = = ± + k, dentro del intervlo estudir solo está. Semos que el coseno es positivo en el primer cudrnte α, y negtivo en el segundo α, por tnto: Are = cosd cosd = sen sen = ( ) = 6..- Propieddes de l Integrl Definid: Si los límites de integrción son igules, l integrl es nul: f( ) d = Si c es un punto interior l intervlo [,], se verific: f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d c c Est propiedd es generlizle l tomr más puntos interiores en el intervlo [,]. Al intercmir los límites de integrción, l integrl definid cmi de signo: f ( ) d = f ( ) d Mtemátics Verno Rúl G.M. 6

10 L integrl definid de l sum es l sum de ls integrles definids: f ( ) ± g( ) d = f ( ) d ± g( ) d Si k es un número rel, se verific: kf ( ) d = k f( ) d Si f( ) g( ),, entonces se verific: f ( ) d f ( ) d 6..- Regl de Brrow: Se f() un función y g() un primitiv suy, [g ()=f()], se cumple que: Oservciones: f( ) d = g( ) g( ) = g( ) L importnci de est regl es fundmentl, y que pone en relción ls integrles con ls derivds. Sin emrgo hy que dvertir que solmente es plicle funciones continus definids en intervlos cerrdos. Pr hllr l integrl definid de un función continu en un intervlo cerrdo seguiremos el siguiente proceso: Se hll un primitiv culquier de l función, sin tener en cuent l constnte (l más sencill). Se sustituyen en est primitiv los límites de integrción (el superior y el inferior) y se restn los resultdos. Ejemplo 6: Clculr el vlor del áre que está dejo de l función f()=sen. Are = Send = Cos = cos + cos = ( ) + = 6..- Áre limitd por dos gráfics: Pr hllr el áre limitd por ls gráfics de dos funciones f() y g() seguiremos este esquem: ) Definimos un nuev función h() = f() g() ) Igulmos cero pr hllr los puntos de corte entre ms: h()= f()=g() c) Un vez que otengmos los puntos de corte, y, integrmos l función h() entre esos límites de integrción. Are = h( ) d Mtemátics Verno Rúl G.M. 65

11 Ejemplo 7 : Clculr el áre comprendid entre f()= y g()= Escriimos l función h() como l diferenci entre f() y g(). Clculmos sus rices igulndo cero: = h = + = = = ( ) h ( ) = Are = ( + ) d + ( + ) d = = + = = + = Volumen de un sólido de revolución: Se f un función continu definid en el intervlo [,]. Recie el nomre de sólido de revolución, l sólido generdo l girr lrededor del eje, l región limitd por l gráfic de y = f( ), el eje, y ls gráfics de = y =. El eje es un eje de simetrí de dicho sólido y un sección rect perpendiculr l eje es un círculo de rdio f( ). El áre de l sección circulr será: A ( ) = f( ), y un elemento de volumen de revolución será un pequeño cilindro de rdio f( ) y ltur d. Por tnto, el volumen del cuerpo de revolución vendrá ddo por l epresión: Vol f d = ( ) Este procedimiento recie el nomre de integrción por discos. Ejemplo 8: Clculr el volumen engendrdo l girr l práol y = lrededor del eje X, entre y. ( ) V = d = d = = 8 Mtemátics Verno Rúl G.M. 66

12 Si l trozo de curv y = f( ) se le hce girr lrededor del eje Y, el volumen del cuerpo de revolución vendrá ddo por est otr epresión: Vol φ y dy Se hce ectmente igul que l girr en torno l eje X, con l slvedd de que hy que escriir en función de y, e integrr en y. = ( ) Ejemplo 9: Clculr el volumen engendrdo por l curv y = l girr lrededor del eje Y, entre y= e y=. 5 y Volumen = ( y ) dy = y dy = = Ejercicios:.- Clculr ls siguientes integrles: d ln ) ) d c) ( ) f) g) + 9 d sen d h) ln d d) d i) sen cosd e) tgd d + 9 j) d e + e e.- Hllr l función F() tl que F()= y que se primitiv de l función f( ) = e +.- Determinr f() siendo que f ()=; f ()=, f ()= y f()=..- Clculr ls siguientes integrles: ) + d ) d c) + d 5.- Clculr ls siguientes integrles: ) rctgd ) e cosd c) cosd d) e d e) e d f) sen ( ln ) d 6.- Clculr: ) d) d e) d ) sen cosd c) d d f) e + t 7.- Siendo I = t e dt, demostrr que lim I( ) = + ( + )cos d 8.- Clculr el áre encerrd por l curv f( ) = y l rect g( ) = 5 Mtemátics Verno Rúl G.M. 67

13 9.- Hllr el áre de l región limitd por ls gráfics de ls funciones f( ) = + y ( ) g ( ) = +.- Determinr el áre encerrd entre ls gráfics de ls funciones de ecuciones: f( ) = 6 y g( ) =..- Clculr el áre encerrd por l gráfic de f( ) = + rects: = y =, el eje de sciss y ls.- Clculr el áre del recinto limitdo por l curv de l ecución f( ) = + y l rect perpendiculr su tngente en el punto (,)..- Se consider l función f( ) = e, donde es un constnte no nul. Clcul el vlor de, siendo que el áre limitd por l curv f( ) = e y ls rects = y = es igul.- Clcul l primitiv de l función f( ) = ln que se nule en = e. 5.- Clcul ls siguientes integrles inmedits: d h) + d ñ) 5 d ) ( + 5) ) + d i) ( + ) d o) ( + ) 5 d + 8 c) d j) d + p) d d) 5 d + e) cos d l) ( + ) k) d q) d r) d 8 d f) d m) s) g) d n) sen cos d t) cos d sen ln e d d ln d ln Mtemátics Verno Rúl G.M. 68

14 8.- Apéndice: 8.- Soluciones.- Clculr ls siguientes integrles: Mtemátics Verno Rúl G.M. 69

15 d ) = + C ( ) ln ) d = ln d ln C = + ln ln ln c) d = d lnd C = = + cos cos sen cos d = cosd = cos cos d = cos cos( ) + cos(5 ) cos cos( ) cos5 d) = d = d d d + = sen( ) sen(5 ) sen( ) sen( ) sen(5 ) sen( ) = + + = + + C 6 6 sen sen e) tgd = d = d = ln cos + C cos cos f) g) h) d = d = rctg C cos sen d = sen ( cos ) d = send sen cos d = cos + + C ( ) ( ) d = d = d = rcsen( ) + C i) d = d = d = rctg + C + 9 ( ) + 9 ( ) + 9 d d d e e j) ln = d d ( e ) C = = = e e e e = e + e + e e e.- Hllr l función F() tl que F()= y que se primitiv de l función f( ) = e + e Clculmos l integrl de d = e d = e + e + e d = dt Hcemos un cmio de vrile e t = dt dt d, por tnto l integrl qued: = = e t = At ( + ) + Bt A B t dt = dt dt si t A dt dt lnt lnt ln + t t t = = = = = + = t + t + t + t + si t = - = B Deshcemos el cmio: e ln, y multiplicmos por e, de form que: e + e e d = e d = ln + C e + e + e + Como F()=; eln + C = C = eln e Mtemátics Verno Rúl G.M. 7

16 De form que: e e d = ln + e ln e + e + e.- Determinr f() siendo que f ()=; f ()=, f ()= y f()=. Como f ()=, entonces C= f''( ) = + f''( ) = d = + C '( ) = ( + ) = + + ' f d C, Como f ()=, entonces C = f'( ) = + + Y por último: f d C ( ) = ( + + ) = '', Como f()=, C = y ( ) f = Clculr ls siguientes integrles: + ) d + Como grdo del polinomio de rri es menor que el de jo no es necesrio dividir. + A B A( ) B( ) = + + = Si = =A Si = =A+B B=- Por tnto: + d = d d ln rctg = ( ) + C + + ) d + Como grdo del polinomio de rri es menor que el de jo no es necesrio hcer l división euclíde. Scmos ls ríces de + = ; Hcemos Ruffini: Por tnto: + = ( + ) ( + ) ( ) Descomponemos: A B C = = ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) + ( ) ( + ) + A B C Si = 6=8A A= Si =- -=-B B= Si =- -6=8C C=- Mtemátics Verno Rúl G.M. 7

17 Por tnto: d = d + d + d = ln + ln + ln + + C c) d En este cso, tenemos que el grdo del numerdor (rri) es myor que el grdo del denomindor (jo), por tnto es necesrio hcer l división euclíde. Por tnto: Vmos clculr primero: 7 + = ( ) 7 + d d d = ( ) 7 + d Descomponemos el denomindor en ríces: = ( ) = ( )( + ) = = Por tnto: 7 + A B C = = A( )( + ) + B( + ) + C( ) + Sustituyendo los vlores de ls ríces otenemos: Si = = -A A=- Si = 6 = 6B B=8/ Si =- -5 = C C=-5/ Entonces: 7 + A B C d 8 d 5 d d = d + d d + = + = = ln + ln ln + Por tnto: d = d d = + ln ln + ln + + C ( ) Mtemátics Verno Rúl G.M. 7

18 5.- Clculr ls siguientes integrles: ) u = rctg du = d Arctg( ) rctgd + = = d + dv = v = Arctg( ) Arctg( ) = d Arctg( ) C = u = e du = e d e cosd = = e sen + e send = e sen + dv = cos v = sen ) u = e du = e d + e cos e cosd dv = sen v = cos Tenemos un integrl que en l que volvemos l originl (cíclic). Por tnto: c) e sen e cos I = e sen e cos I I = + C u = du = d cosd = = sen send = sen dv = cos v = sen u = du = d + cos + cosd = dv = sen v = cos = sen + cos sen = cos + ( ) sen + C d) u = du = d e e e e d = = e d = + C dv = e v = e 6 e) u = du = d e e e e e d = = + e d = = ( + ) + C dv e v e = = u sen(ln ) du cos(ln ) sen ( ln ) d = = = = sen(ln ) cos(ln ) d = sen(ln ) dv d v f) = = u = cos(ln ) du = sen(ln ) = cos(ln ) sen(ln ) d dv = d v = Volvemos tener un integrl cíclic: sen(ln ) cos(ln ) I = sen(ln ) cos(ln ) I I = + C 6.- Clculr: ) d d ( ) = = = 9 = Mtemátics Verno Rúl G.M. 7

19 ) ( ) sen cos d = sen cos = sen cos d send = sen cos + = c) d) ( + )cosd = cosd + cosd = ( ) ( ) u = du = d d = ( ) d = = ( ) + ( ) d = dv = ( ) v = ( ) = = + + C d = d = d d = Arcsen d = e) u = du = d dv = ( ) v = Est es cíclic, por tnto: f) Arcsen = Arcsen + d d + e Arcsen d = + = 6 8 = ; Clculremos primero l primitiv: e = t e d = dt d dt A B = dt dt At B( t ) dt = = + = + + e + d ( t + ) t = t + t t Si t= =B Si t=- =-A dt = dt + dt = ln t + + ln t ( t + ) t t + t Si deshcemos el cmio: ( ) ( ) d = ln e + + ln e = ln( e + ) ln() e + t 7.- Siendo I = t e dt, demostrr que lim I( ) = + Vmos clculr l Integrl: t u = t du = tdt t t t u = t du = dt t e dt = e t te dt e t t t = + = + t t = dv = e v = e dv = e v = e t t t t t t t = e t te + e dt = e t te e = e ( t + t + ) Mtemátics Verno Rúl G.M. 7

20 Por tnto: t t ( ) + + I = t e dt = e t + t + = + e Por tnto: + + lim + + = e como querímos demostrr. 8.- Clculr el áre encerrd por l curv f( ) = y l rect g( ) = 5 Definimos l función h ( ) = f( ) g ( ) = 6+ 5 Igulmos cero, pr clculr sus puntos de corte. h ( ) = f( ) g ( ) = 6+ 5 = ( )( 5) = Por tnto sus ríces son y 5. Integrmos h entre y 5 5 ( 6 + 5) d = 5 Como un áre no puede ser negtiv, ( 6 5) A = + d = = 9.- Hllr el áre de l región limitd por ls gráfics de ls funciones f( ) = + y ( ) g ( ) = + Al igul que en el ejercicio nterior, definimos l función h(): h ( ) = f( ) g ( ) = + + Igulmos cero pr encontrr sus puntos de corte: h ( ) = f( ) g ( ) = + + = = ; = Por tnto y tenemos los límites de integrción. + + d = 6 Como ls áres no son nunc negtivs: Áre = + + d = = Determinr el áre encerrd entre ls gráfics de ls funciones de ecuciones f( ) 6 = y g( ) =. Como siempre, definimos l función h() como l diferenci entre f y g: h ( ) = f( ) g ( ) = 8 Igulmos cero pr otener los etremos de los intervlos de integrción: h ( ) = 8 = = ; = 6 Are = d = Por tnto: ( 8 ) Mtemátics Verno Rúl G.M. 75

21 Clculr el áre encerrd por l gráfic de f( ) =, el eje de sciss y ls + rects = y = L función f() es siempre positiv, por tnto l integrl es positiv: Tenemos que clculr: d = Arctg = Arctg Arctg() = = Clculr el áre del recinto limitdo por l curv de l ecución f( ) = + y l rect perpendiculr su tngente en el punto (,). Lo primero es clculr l rect tngente en el punto (,) L ecución de l rect tngente es: y = m +, donde m es l pendiente f () y es l ordend en el origen = f(). En este cso: f ()= + ; f ()=; f()=; por tnto l rect tngente en el (,) es y = L rect perpendiculr est es: y = -. Así que tenemos que clculr el áre entre l gráfic f()= + y g() = - Definimos l función h(): h ( ) = f( ) g ( ) = + ( ) = + Igulmos cero pr encontrr ls soluciones: h ( ) = + = =, = Integrmos l función h entre esos dos vlores: Como el áre no puede ser negtiv: ( ) + d = ( ) Are = + d = =.- Se consider l función f( ) = e, donde es un constnte no nul. Clcul el vlor de, siendo que el áre limitd por l curv f( ) = e y ls rects = y = es igul. Tenemos que e d = ; Vmos resolver l integrl: u = du = d e e e e d = = e e d = e = + dv = e v = e Mtemátics Verno Rúl G.M. 76

22 Y según el enuncido: e e ; + = = = = = Por tnto =, porque no puede ser igul cero..- Clcul l primitiv de l función f( ) = ln que se nule en = e Clculmos l integrl indefinid de f() u ln du ln d = = = = ln ( ln ) ( ln ) d = ln ( ln ) dv = ln v = ( ln ) ( ) ln + = ln ln + + K Como tiene que ocurrir que f( e ) =, entonces: e e + e + k = k = e Por tnto l primitiv pedid es es: ln ln + e 5.- Clcul ls siguientes integrles inmedits: ) ( + 5) ) c) + d) d + d d 5 d + e) cos d d f) d g) + 7 d C + ln + C ( ) ln C + + C ( ) sen + C 7 7 Arctg + C ( ) Arcsen + C h) + d i) ( + ) j) + d + 8 d ( + ) k) l) m) d d d 8 n) sen cos d + C + + ln + C ln + + C ( + ) + C + + C ln Arcsen C sen + C 8 5 ñ) d o) ( + ) 8 5 d p) q) r) + s) t) d cos d sen ln e d d ln d ln 5ln 7 + C Mtemátics Verno Rúl G.M. 77