8.1. Sección. Distribución de la media muestral Pearson Prentice Hall. All rights reserved

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1 Sección 8.1 Distribución de la media muestral 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

2 Términos importantes variable aleatoria (v.a.) es un número real cuyo valor se determina al azar y mediante un experimento aleatorio distribución de probabilidad: representación visual que muestra los valores posibles de una variable aleatoria y la probabilidad correspondiente. Estadísticos como x son variables aleatorias, ya que su valor varía de una muestra a otra. Como tales, x tiene una distribución de probabilidad. 8-2

3 Términos importantes (cont.) La distribución muestral de un estadístico es una distribución de probabilidad para todos los valores posibles del estadístico, calculada a partir de una muestra de tamaño n. La distribución muestral de la media de la muestra es la distribución de probabilidad de todos los valores posibles de la variable aleatoria x, calculada a partir de una muestra de tamaño n de una población con media x y desviación estándar σ. 8-3

4 Obtener la distribución muestral de la media Paso 1: Obtener una muestra aleatoria simple de tamaño n. Paso 2: Calcular la media muestral. Paso 3: Asumir que estamos tomando muestras de una población finita, repetir Pasos 1 y 2 hasta que se hayan obtenido todas las muestras aleatorias simples de tamaño n. 8-4

5 Actividad Seleccionar al azar seis estudiantes de la clase (la población). Recolectar datos sobre (el pulso, la edad, o el número de hermanos). Calcular x y σ para la población. Dividir la clase en cuatro grupos. Cada grupo calculará todos las muestras de un tamaño específico para la población. (n=2, n=3, n=4, n=5) Cada grupo debe hacer lo siguiente: Calcular media de cada muestra Crear la distribución de probabilidad Crear el histograma Calcular x. Calcular σ para cada muestra. 8-5

6 Resumen de hallazgos La media muestral es igual o muy similar a la media de la población. A medida que el tamaño de la muestra se hace más grande, debemos notar una dispersión menor. 8-6

7 Ejemplo : Distribución muestral para la media de un población normal Los pesos de monedas de un centavo creadas después de 1982 tienen, aproximadamente, una distribución normal con una media de 2.46 g y desviación estándar 0.02 g. Obtenga una aproximación para la distribución muestral de la media usando 200 muestras aleatorias simples de tamaño n = 5 de esta población. 8-7

8 Los datos en la siguiente diapositiva representan las medias muestrales para 200 muestras aleatorias simples de tamaño n = 5. Por ejemplo, la primera muestra de n = 5 tenía los siguientes datos: Noten: x = para esta muestra 8-8

9 Medias muestrales para muestras de tamaño n =5 8-9

10 x = 2.46 y σ = para n =

11 La media de la muestra de 200 monedas para n = 20 sigue siendo 2.46, pero la desviación estándar es ahora ( para n = 5). Noten que hay menos variabilidad en la distribución de la media de la muestra con n = 20 que con n =

12 La media y la desviación estándar de la distribución muestral de Supongamos que una muestra aleatoria simple de tamaño n se extrae de una población grande con media μ y desviación estándar. La distribución muestral de x tendrá μ x = μ y desviación estándar σ x = σ n La desviación estándar de la distribución muestral de x se llama el error estándar de la media y se denota σ x. Si una variable aleatoria, X, tiene una distribución normal, la distribución de la media de la muestra también se distribuye normalmente. x 8-12

13 Ejemplo Describir la distribución de la media muestral Los pesos de monedas de un centavo creadas después de 1982 tienen, aproximadamente, una distribución normal con una media de 2.46 g y desviación estándar 0.02 g. Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria simple de 10 monedas de un centavo creadas después de 1982, podamos obtener una muestra con media de al menos gramos? 8-13

14 Solución x se distribuye normalmente con μ x = 2.46 y σ x = σ n x P(X 2.465)? Z = X μ σ Z 0.79 P(Z>0.79) =

15 Ejemplo: Muestrear de una población que NO es Normal La siguiente tabla e histograma muestran la distribución de probabilidad de lanzar un dado justo: Cara del dado Frecuencia relativa =3.5, =1.708 Note que la distribución de la población no es normal. 8-15

16 Se estima la distribución muestral de x obteniendo 200 muestras aleatorias simples de tamaño n = 4 y calculando de la media de la muestra para cada una de las 200 muestras. Repetimos el procedimiento para n = 10 y 30. Los histogramas de la distribución de la media muestral para estas 200 muestras se indican en la siguiente diapositiva. 8-16

17 8-17

18 8-18

19 8-19

20 El Teorema del Límite Central La forma de la distribución de la media muestral se convierte en aproximadamente normal a medida que n, el tamaño de la muestra, aumenta (independientemente de la forma de la población). La distribución muestral de x tendrá μ x = μ y desviación estándar σ x = σ n 8-20

21 El Teorema del Límite Central La forma de la distribución de la población determina el tamaño de la muestra requerida antes de que la distribución de la media de la muestra se puede llamar normal. Mientras más sesgada sea la distribución de la población, mayor será el tamaño de la muestra necesario para invocar el Teorema del Límite Central. Como regla general diremos que, si la distribución de la población es desconocida o no es normal, entonces la distribución de la media muestral será considerada aproximadamente normal si el tamaño de la muestra es mayor que o igual a

22 Ejemplo Conteste las preguntas para la distribución muestral de la media muestral siguiente: (a) Cuál es el valor de μ x? (b) Cuál es el valor de σ x? (c) Si el tamaño de la muestra es n = 16, qué debe ser verdad acerca de la forma de la población? (d) Si el tamaño de la muestra es, cuál es la desviación estándar de la población de la cuál se tomó la muestra? 8-22

23 Ejemplo : Usar el Teorema del Límite Central Supongamos que la media del tiempo necesario para un cambio de aceite en un establecimiento que anuncia Cambios de aceite en menos de 10 minutos es de 11.4 minutos con una desviación estándar de 3.2 minutos. a) Si se selecciona una muestra aleatoria de n = 35 cambios de aceite, describe la distribución muestral de la media de la muestra. b) Si se selecciona una muestra aleatoria de n = 35 cambios de aceite, cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de cambio de aceite sea menos de 11 minutos? 8-23

24 Ejemplo (cont.): Usar el Teorema del Límite Central (a) Si se selecciona una muestra aleatoria de n = 35 cambios de aceite, describe la distribución muestral de la media de la muestra. Según el Teorema del Límite Central la distribución de la media muestral se convierte en aproximadamente normal a medida que n, el tamaño de la muestra, aumenta. Por lo tanto, la distribución es aproximadamente normal con x = μ =11.4, σ x = σ n σ x =

25 Ejemplo 5 (cont.): Usar el Teorema del Límite Central la distribución es aproximadamente normal con x = 11.4, σ = (b) cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de cambio de aceite sea menos de 11 minutos? Z = X μ σ Z P(Z < -0.74) =

26 Ejemplo : Período de gestación La duración de los embarazos humanos se distribuye aproximadamente normal con la media igual a 266 días y desviación estándar igual a 16 días a) Cuál es la probabilidad de que un embarazo seleccionado aleatoriamente dure menos que 260 días? Solución: 8-26

27 Ejemplo (cont.) : Período de gestación La duración de los embarazos humanos se distribuye aproximadamente normal con la media igual a 266 días y desviación estándar igual a 16 días b) Supongamos que se obtiene una muestra aleatoria de 20 embarazos. Describa la distribución muestral de la media muestral de la duración de los embarazos humanos. Solución: 8-27

28 Ejemplo (cont.) : Período de gestación La duración de los embarazos humanos se distribuye aproximadamente normal con la media igual a 266 días y desviación estándar igual a 16 días c) Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 20 embarazos tenga un período de gestación promedio de 260 días o menos? Solución: 8-28

29 Ejemplo (cont.) : Período de gestación La duración de los embarazos humanos se distribuye aproximadamente normal con la media igual a 266 días y desviación estándar igual a 16 días d) Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 50 embarazos tenga un período de gestación promedio de 260 días o menos? Solución: 8-29

30 Ejemplo (cont) : Los retiros de cajeros automáticos Según ATMDepot.com, retiro promedio del cajero automático es de $60. Supongamos que la desviación estándar para los retiros es de $35. (a) Crees que la variable "retiro del cajero automático" se distribuye normalmente? Si no, qué forma esperas que tenga la variable? (b) Si se obtiene una muestra aleatoria de 50 retiros de cajeros automáticos, describa la distribución muestral de la cantidad promedio retirada. 8-30

31 Ejemplo : Los retiros de cajeros automáticos Según ATMDepot.com, la media Retiro del cajero automático es de $60. Supongamos que la desviación estándar para los retiros es de $35. μ x = 60 σ x = 4.95 c) Si se obtiene una muestra aleatoria de 50 retiros de cajeros automáticos, determine la probabilidad de obtener una media muestral de cantidad retirada de entre $ 70 y $

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