ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALITICA

Transcripción

1 ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALITICA Derecho básico de aprendizaje: Explora y describe las propiedades de los lugares geométricos y de sus transformaciones a partir de diferentes representaciones. (ver DBA #5 grado 0º. Página 76. Ministerio de Educación Nacional (06). Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas V.. Bogotá Derecho básico de aprendizaje: Soluciona problemas básicos en el plano cartesiano (ver DBA #7 grado 0º. Página de 5. Ministerio de Educación Nacional (05). Derechos Básicos de Aprendizaje Matemáticas. Bogotá. Indicadores de logros: Hallar la distancia y el punto medio entre dos puntos del plano cartesiano Hallar la ecuación de la recta. Identificar los elementos de la circunferencia, la parábola y la elipse y hallar sus ecuaciones. Secuencias de aprendizaje: Distancia y punto medio entre dos puntos. La Línea recta. La circunferencia, la parábola, concepto, gráfica y ecuaciones. La elipse, concepto, gráfica y ecuaciones. 5

2 Distancia entre puntos: Elementos de Geometría Analítica Se puede demostrar con facilidad que la distancia d entre los puntos P ( x, y) y P x, ), es: ( y d ( x x ) ( y y) Punto medio: Además el punto medio entre los puntos P y P es el punto M, determinado por: M x x y y (, ) Ejercicios: ) En cada uno de los ejercicios del al 5 realiza lo siguiente: a) Encuentra la distancia d(a, B) entre los puntos A y B. b) Halla el punto medio del segmento AB ) A(4,-3) ; B(6,) ) A(-5,0) ; B(-,-) 3) A(7,-3) ; B(3,-3) 4) A(-,5) ; B(3,-5) 5) A(,-3) ; B(-4,5) 6

3 PENDIENTE DE UNA RECTA Definición: Sea L una recta que no es paralela al eje y ; y sean p ( x, y) y p( x, y) puntos diferentes de L. Entonces la pendiente m de la recta L se define así: y y m x x Si L es una recta paralela al eje Y, la pendiente no está definida. Ejercicios: Traza la recta para cada par de puntos y encuentra la pendiente. ) A(,3) ; B(4,8) ) A(-6,0) ; B(0,6) 3) A(,3) ; B(0,3) 4) A(,7) ; B(,-) 5) A(-3,) ; B(-3,-3) FORMA PUNTO PENDIENTE PARA LA ECUACIÓN DELA RECTA Consideremos una recta que pasa por los puntos P ( x, y) y un punto P ( x, y) cuya pendiente es m Por la fórmula de la pendiente tenemos que: m y y o y y m( x x ) x x 7

4 Esta última ecuación nos permite determinar la ecuación de una recta de pendiente m que pasa por un punto fijo x, ) ( y A la expresión y y m( x x ) se le conoce como Ecuación de la forma Punto Pendiente. Ejercicios: I. En cada uno de los siguientes ejercicios halla la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente indicada (Bosqueja un gráfico en cada caso) ) (-,); m=3 ) (,-3); m=- 3) (4,0); m=/3 4) (0,-3); m=/4 5) (-5,); m=0 6) (-5,); m=indefinida II. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P y P : ) P(5,-);P(0,3) ) P(3,4);P(3,6) 3) P(-,3); P(4,3) III. IV. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (,-3) y es paralela al eje Y Hallar la ecuación de la recta que pasa por (,-3) y es paralela al eje X FORMA PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN O PENDIENTE-INTERSECCION La ecuación de la recta puede expresarse de distintas maneras. Supongamos que la pendiente de una recta es m y su intersección con el eje Y es ( 0, b ). Si elegimos ( 0, b). como P ( x, y) y aplicamos la fórmula punto pendiente, obtenemos: y b m( x 0) o sea y mx b ; esta última expresión se llama ecuación de la recta en forma Punto-Ordenada al Origen o Punto-Intersección. 8

5 Ejercicios: I. Encuentre la pendiente de cada recta y su intersección con el eje Y. ) Y=3X+5 ) 3Y=X-4 3) Y+=-4(X-) 4) 4X+5Y=-0 II. Encuentre la ecuación de la recta si se conoce su pendiente m y su ordenada al origen (0,b) ) m=-; b=-4 ) m=3; b= FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA: La gráfica de una ecuación lineal de la forma ax by c es una recta ; y recíprocamente toda recta es la gráfica de una ecuación lineal. A la expresión ax by c se le conoce como ecuación general de la recta (siempre que a y b no sean ambos cero). RECTAS PARALELAS: Teorema: Dos rectas (no verticales) son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente. Si L L entonces m m. ( L L : se lee L paralela a L) RECTAS PERPENDICULARES: Teorema: Dos rectas con pendientes m y m son perpendiculares si y sólo si m.m=- Si L L entonces m.m=-ó m =. ( m L ) L L : Se lee L perpendicular a 9

6 Ejercicios: Determinación de la ecuación de una mediatriz. Determine la ecuación para la mediatriz del segmento de recta que une a ( 4,3) con (,0). La mediatriz debe pasar por el punto medio del segmento, entonces lo primero será calcular el punto medio entre los puntos. M M x x 3, 3.5,.5 y, y 4 3 0, La pendiente de la recta que une los puntos (-4,3) y (,0) es: y y m ; esta recta es perpendicular a la mediatriz; por lo tanto x x 4 5 la pendiente de la mediatriz será que simplificada será 5 y x 4 ó5x 3y 0 3 En la gráfica se ilustran el segmento y su mediatriz m y su ecuación será y x ;

7 Ejercicios diversos: I. Escribe una ecuación para la recta que satisface las condiciones dadas: a) La recta L tiene pendiente 4 y pasa por el punto (-3,4). b) La recta L tiene pendiente 3 y pasa por el punto (-,-). c) La recta T pasa por el origen y tiene pendiente 4. d) La recta L tiene pendiente y ordenada al origen 4 4 e) La recta L tiene pendiente y corta al eje Y en (0,-3). f) La recta R tiene pendiente e intersección con el eje X es 4 g) La recta R tiene una intersección con el eje X de 5 y una intersección con el eje Y de. h) La recta V es vertical y pasa por el punto (-3,4). i) La recta H es horizontal y pasa por el punto (-3,4). II. Qué pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos cosas?. a) Y=3X-; 6X-Y=0 b) X=-; Y=4 c) X=(Y-); Y=-/(X-) d) X+5Y=3; 0X-4Y=7 III. Encuentre la recta que pasa por (,-) y que: a) pasa por (-3,5) b) es paralela a X-3Y=5 c) es perpendicular a X+Y=3 d) es perpendicular al eje Y IV. Encuéntrese la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas X+Y= y 3X+Y=5 y que es paralela a la recta 3X-Y=4 V. La recta L es perpendicular a la recta X+3Y=6 y pasa por el punto ( 3,). Dónde corta al eje Y? VI. Determine la ecuación para la mediatriz del segmento de recta que une los puntos donde la recta 5Y-3X=, intercepta a los ejes. 3

8 El Círculo: Un círculo se define como el conjunto de todos los puntos de un plano cuya distancia a un punto fijo es constante. El punto fijo se llama el centro, C, y la distancia constante al centro del círculo se llama el radio, r (donde r>0). Coloquemos un círculo de radio r en el plano cartesiano, con el centro en el punto ( h, k), elijamos un punto en el plano y llamémosle ( x, y). Véase en la siguiente figura: Círculo con centro en (h, k) y radio r La definición de un círculo nos dice que para que ( x, y) esté en el círculo la distancia del centro ( h, k) a ( x, y) debe ser r. Por la fórmula de la distancia, tenemos: x h y k r Si eliminamos el radical, elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuación se obtiene lo siguiente: x h y k r A esta fórmula se le conoce como la forma canónica o forma estándar de la ecuación de un círculo con centro ( h, k) y radio r. El centro y el radio son todo lo que se necesita para describir o graficar un círculo. 3

9 Ejemplo Determinar la ecuación de un círculo con: (a) Centro (, 5) y radio 6 (b) Centro,3 y radio Solución : (a) Si observamos la forma canónica, puesto que el centro es (, 5), tenemos h = y k = 5; como el radio es 6, r = 6. x h y k r x y 5 6 x 4x 4 y x y Sustituimos h, k 5, y r 6 0 y 5 36, ordenando y reduciendo términos semejantes nos queda: 4x 0 y 7 0 (b) Puesto que el centro es,3, y el radio, tenemos que: h, k 3 y r, x h y k r x x y 3 y 3 Por lo tanto, la ecuación del círculo es x x y 3 si desarrollamos los binomios, queda: 9 y x 6y 0 4 Aunque ambas formas de la respuesta son aceptables, la forma canónica de la ecuación tiene la ventana significativa de facilitar el reconocimiento del centro y del radio. 33

10 Ejemplo Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones: x (b) x y 9 (a) 3 y 4 8 Solución (a) Reconocemos que la ecuación dada está en la forma canónica para la ecuación de un círculo, x h y k r de modo que podemos leer los valores h, k y r, teniendo cuidado con los signos. x h x 3, entonces h 3 y h = 3 y k y 4, entonces k 4 r 8, entonces r 8 = Así, el centro del círculo es (-3, 4); el radio es.8. Con esta información, podemos trazar fácilmente la gráfica del círculo, como aparece en la figura siguiente: x 3 y

11 (b) La ecuación x y 9también está en forma canónica. (Se puede pensar como 0 y 0 3. x ) En consecuencia, el centro es (0,0) y el radio es 3. La gráfica se muestra a continuación Ejemplo 3 Determinar el centro y el radio de x y 4x 8y 5 Solución Determinaremos el centro y el radio completando el cuadrado. x y 4x 8y x 4x y 8y 5 5 Sumamos 4 y 6 a los dos lados de la ecuación. x 4x 4 y 8y Reescribimos las expresiones cuadráticas en forma factorizada. x y 4 5 Así, tenemos un círculo con centro, 4 y radio

12 Ejercicios En los ejercicios -3, escriba una ecuación del círculo con el centro C y el radio r dados.. C = (,3); r = 3. C =,4 ; r = C =, ; r = 7 En los siguientes ejercicios, identifique el centro y el radio del círculo dado. 4. x 3 y 6 5. x y 6 6. x y 7 7. x y 6y 0 8. x 4x y 9. Trace la gráfica de cada uno de los siguientes círculos: a. x y 3 4 b. x y 6x 0 y c. x y 4x y

13 La Parábola: Una parábola es el conjunto de puntos en un plano cuya distancia a un punto fijo es igual a su distancia a una recta fija. El punto fijo es el foco y la recta fija es la directriz. Véase la figura siguiente: Figura La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz es el eje de simetría, y el punto donde la parábola interseca a su eje de simetría es el vértice. Véase la figura siguiente: Figura Analizaremos las parábolas que tienen su eje de simetría horizontal o vertical. 37

14 La parábola con vértice (0,0) Llamaremos p a la distancia entre el foco y el origen (p>0), de modo que la distancia entre el origen y la directriz también es p. Por lo tanto, las coordenadas del foco F son ( 0, p ) y la ecuación de la directriz es y p. Véase la figura 3 Figura 3 Por definición de una parábola, si elegimos cualquier punto P( x, y) de la parábola, la distancia de P( x, y) al foco F ( 0, p), es igual a la distancia del punto P ( x, y) al punto L( x, p). (Observe que L( x, p) es el punto que se utiliza para determinar la distancia perpendicular a la directriz que es la recta y = -p.) PF PL Utilizamos la fórmula de la distancia x 0 y p x x y p elevamos al cuadrado a ambos x 0 y p y p x y p y p x y py p y py p x 4 py, Lo que implica lados para obtener A esta fórmula se le conoce como la forma canónica de la ecuación de una parábola con foco ( 0, p ) y directriz y p. Ésta es una parábola con vértice en el origen y que tiene al eje y como su eje de simetría. Ejemplo: Determinar el foco y la directriz de la parábola y x. 3 Solución: Para una parábola dada en la forma x 4 py, sabemos que la ecuación de la directriz es y p y el foco es ( 0, p ), por lo que necesitamos identificar p. 38

15 Podemos escribir la ecuación x : y x 3 en la forma x 4 py, despejando y x x 3y 3 Comparamos esto con la forma canónica para identificar p: x 4 py 3 x 3y Vemos que 4p 3 p Por lo tanto, el foco es 0, y la directriz es y. Véase la figura Figura 4. Ahora analizaremos la parábola con vértice en el origen pero simétrica con respecto del eje x. El foco es F ( p,0) y la directriz x p, como vemos en la figura siguiente (fig 5): Figura 5 39

16 Como en el caso de la parábola simétrica con respecto al eje y, podemos deducir la ecuación de la parábola simétrica con respecto al eje x utilizando la fórmula de la distancia. Obtenemos lo siguiente: y 4 px, ésta es la parábola con vértice en el origen y que tiene como eje de simetría al eje x Luego: la forma canónica para la ecuación de una parábola con foco F ( p,0) y directriz x p es: y 4 px Observemos más de cerca las diferencias entre las dos formas canónicas: El elemento clave para determinar si la parábola abre hacia arriba (abajo) o hacia la derecha (izquierda) es el término de segundo grado (al cuadrado). Sólo existe un término de segundo grado en la ecuación de la parábola; si existe un término x, la parábola abre hacia arriba o hacia abajo (simetría con respecto del eje y), pero si existe un término y, la parábola abra hacia la derecha o hacia la izquierda (simetría con respecto del eje x). Ejemplo: Determinar el foco y la directriz de la parábola x y. Solución: Observemos que como existe término una parábola simétrica con respecto del eje x y utilizamos la forma y (y no existe x ), tenemos y 4 px. Despejamos y, en x y y x. Comparamos esto con la forma canónica de la parábola, con vértice en el origen y simétrica con respecto al eje x para identificar p: y 4 px y x tenemos 4p p 8 El foco,0 y la directriz es x. Véase la figura Figura 6 40

17 Ejemplo: Determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, si su foco es (0, -3). Solución: Como el foco (0,-3) está sobre el eje y, la parábola es simétrica con respecto del eje y, su ecuación será de la forma x 4 py. Como tenemos que el foco es (0, -3), entonces p 3. Por lo tanto, la ecuación es x 4 3y, o sea x y E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S Encuentra el vértice, foco y directriz de la parábola. Traza su gráfica, mostrando el foco y la directriz.. 8y x. y 3x 4. y = x 8 y x 5. y x 4x 6. x 0 y 0 Encuentra una ecuación para la parábola de la figura:

18 LA ELIPSE: Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano (llamados focos) sea una constante positiva. La elipse es muy útil para proporcionar un modelo matemático de varios fenómenos físicos, como las órbitas de los planetas. Podemos construir una elipse en papel así: clava dos tachuelas en el papel en dos puntos cualesquiera F y F ' y sujeta los extremos de un trozo de hilo a las tachuelas. Tras enrollar el hilo alrededor de un lápiz y tensarlo, igual que en el punto P de la figura siguiente: Figura 7 Mueve el lápiz de modo que el hilo se mantenga tenso, La suma de las distancias d F, Py d F', P es la longitud del hilo y, por lo tanto, es constante; así, el lápiz trazará una elipse con focos en F y F `. El punto medio del segmento F` F se llama centro de elipse. Si cambiamos las posiciones de F y F' pero mantenemos fija la longitud del hilo, podemos variar considerablemente la forma de la elipse. Si F y F ' están a una distancia tal que df, F' sea casi la misma que la longitud del hilo, la elipse es plana. Si d F, F' está cercana a cero, la elipse es casi circular. Si F = F ', obtendremos un círculo con centro F. A fin de obtener una ecuación sencilla para una elipse, escojamos el eje x como la recta que pasa por los focos F y F ', con el centro de la elipse en el origen. Si F tiene coordenadas c,0 con c > 0, entonces, como en la figura 8, F ' Tiene coordenadas c,0; por lo tanto, la distancia entre F y F ' es c. La suma constante de las distancias de P desde F y F ' se denotará con a. Para obtener puntos fuera del eje x, debemos tener a > c; esto es, a > c. Por definición, P x, y está en la elipse si y sólo si d P, F D P, F' a Figura 8. Si usamos la fórmula de la distancia y eliminamos radicales, llegamos a la siguiente ecuación: 4

19 x y, en donde b = a c. b a Dado que c > 0 y b a c, se deduce que a b y, por lo tanto, a > b. Podemos encontrar las intersecciones en x de la elipse, haciendo y 0 en la ecuación, de manera que obtendremos x / a o bien x a ; en consecuencia, las intersecciones x son a y a. Los puntos correspondientes a,0 V a,0 de la gráfica se llaman vértices de la elipse (fig. 9). V y El segmento de recta V ' V es el eje mayor. De igual forma, si hacemos x 0 en la ecuación obtenemos: y / b, ó y b. Por lo tanto, las intersecciones en y son b y b. El segmento entre M' 0, by M 0,b se denomina eje menor de la elipse. Figura 9. Del mismo modo, si tomamos los focos sobre el eje y, obtenemos la ecuación x b a y. En este caso, los vértices de la elipse son 0,a y los puntos extremos del eje menor son b,0 según se expone en la figura 0. Figura 0 43

20 Ejemplo: Graficar las siguiente elipse e identificar los focos: x y 6 9. Solución (a) Para graficar una elipse con el centro en el origen, comparamos nuestra x 0 ecuación con la forma canónica de la elipse. y obtenemos a b a 6 a 4 y b 9 b 3. (Recuerde que a y b son positivos) Graficamos los vértices 4,0 y los extremos del eje menor, 0, 3 y graficamos la elipse, como se muestra en la figura. Figura. Observe que a > b y c a b c 7. Por lo tanto, los focos son 7,0. Ejemplo: Graficar 6x 4y 6 Identificar sus focos Solución Primero escribiremos la ecuación en forma canónica. Para obtener un del lado derecho, debemos dividir entre6. 6x 4y 6 Dividimos ambos lados entre 6 6 x 6 4 y Simplificamos. x y 4 forma canónica. La ecuación está ahora en Si comparamos nuestra ecuación con ambas formas canónicas de la elipse, observamos que el denominador de y es mayor que el denominador de x ; 44

21 por lo tanto, como a debe ser mayor que b, utilizamos la segunda forma x y una elipse con foco en el eje y. Por lo tanto, a b a 4 a y b b Graficamos los vértices 0, y los extremos del eje menor,0 y trazamos la gráfica de la elipse, Véase la figura. Observe que a b y c a b 4 3 c 3.Los focos son 0, 3. Ejercicios Figura En los ejercicios -5, identifique los vértices y los focos de la elipse.. x y x y 8 3. x y x 9y 5 5. y 30x 30 En los ejercicios 6-8, grafique la elipse e identifique los vértices y los focos. 6. x y x y x 8y 45

22 En los ejercicios 9-, escriba la ecuación de la elipse utilizando la información dada. 9. La elipse tiene focos en (, 0) y (-, 0) y vértices en (4, 0) y (-4, 0) 0. La elipse tiene focos en (0, 3) y (0, -3) y vértices en (0, 5) y (0, -5). La elipse tiene centro en el origen; su eje mayor es horizontal, con longitud 8; la longitud del eje menor es 4. 46