,, 0 e (se excluyen los de la forma 1,

Transcripción

1 ocumno d orinación d Mamáicas II Profsor: José Guzmán Guzmán Pag. nº IRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS E ACCESO A LA UNVERSIA. Comnarios acrca dl programa dl sgundo curso dl Bachillrao, n rlación con la Pruba d Accso a la Univrsidad La siguin rlación d objivos, connidos y nivls in como finalidad l srvir d orinación para la laboración d la Pruba d Accso a la Univrsidad d la maria Mamáicas II. Esa rlación s adapa al currículo d la asignaura y su objivo s maizar y spcificar con ciro dall algunos aspcos d los aparados dl curriculo ddicados al Análisis, al Álgbra Linal y a la Gomría ANÁLISIS. Sabr aplicar los concpos d lími d una función n un puno (ano finio como infinio y d límis larals para sudiar la coninuidad d una función y la isncia d asínoas vricals.. Sabr aplicar l concpo d lími d una función n ± para sudiar la isncia d asínoas horizonals y oblicuas.. Conocr las propidads algbraicas dl cálculo d límis, los ipos d indrminación siguins: 0,, 0 (s cluyn los d la forma, 0 0 y 0 0 y écnicas para rsolvrlas.. Sabr drminar las cuacions d las rcas angn y normal a la gráfica d una función n un puno.. Sabr disinguir nr función drivada y drivada d una función n un puno. Sabr hallar l dominio d drivabilidad d una función.. Conocr la rlación qu is nr la coninuidad y la drivabilidad d una función n un puno. Sabr drminar las propidads locals d crcimino o d dcrcimino d una función drivabl n un puno y los inrvalos d monoonía d una función drivabl. 8. Sabr drminar la drivabilidad d funcions dfinidas a rozos. 9. Conocr y sabr aplicar l orma d drivación para funcions compusas (la rgla d la cadna y su aplicación al cálculo d las drivadas d funcions con no más d dos composicions y d las drivadas d las funcions rigonoméricas invrsas. 0. Conocr la rgla d L Hôpial y sabr aplicarla al cálculo d límis para rsolvr indrminacions.. Sabr rconocr si los punos críicos d una función (punos con drivada nula son rmos locals o punos d inflión.. Sabr aplicar la oría d funcions coninuas y d funcions drivabls para rsolvr problmas d rmos.. Sabr rprsnar d forma aproimada la gráfica d una función d la forma y f ( indicando: dominio, simrías, priodicidad, cors con los js, asínoas, inrvalos d crcimino y d dcrcimino, rmos locals, inrvalos d concavidad ( f ( < 0 y d convidad ( f ( > 0 y punos d inflión.. Parindo d la rprsnación gráfica d una función o d su drivada, sr capaz d obnr información d la propia función (límis, límis larals, coninuidad, asínoas, drivabilidad, crcimino y dcrcimino, c.

2 ocumno d orinación d Mamáicas II Profsor: José Guzmán Guzmán Pag. nº. adas dos funcions, mdian sus prsions analíicas o mdian sus rprsnacions gráficas, sabr rconocr si una s primiiva d la ora.. Sabr la rlación qu is nr dos primiivas d una misma función.. ada una familia d primiivas, sabr drminar una qu pas por un puno dado. 8. Sabr calcular ingrals indfinidas d funcions racionals n las qu las raícs dl dnominador son rals. 9. Conocr l méodo d ingración por pars y sabr aplicarlo riradamn. 0. Conocr la écnica d ingración por cambio d variabl, ano n l cálculo d primiivas como n l cálculo d ingrals dfinidas.. Conocr la propidad d linalidad d la ingral dfinida con rspco ano al ingrando como al inrvalo d ingración.. Conocr las propidads d monoonía d la ingral dfinida con rspco al ingrando.. Conocr la inrpración gomérica d la ingral dfinida d una función (l ára como lími d sumas supriors infriors.. Conocr la noción d función ingral (o función ára y sabr l orma fundamnal dl cálculo y la rgla d Barrow.. Sabr calcular l ára d rcinos planos limiados por curvas. ÁLGEBRA LINEAL. Conocr y adquirir dsrza n las opracions con marics: suma, produco por un scalar, ransposición, produco d marics, y sabr cuándo pudn ralizars y cuándo no. Conocr la no conmuaividad dl produco.. Conocr la mariz idnidad I y la dfinición d mariz invrsa. Sabr cuándo una mariz in invrsa y, n su caso, calcularla (hasa marics d ordn 8. Sabr calcular los drminans d ordn y d ordn. 9. Conocr las propidads d los drminans y sabr aplicarlas al cálculo d ésos. 0. Conocr qu rs vcors n un spacio d dimnsión rs son linalmn dpndins si y sólo si l drminan s cro.. Rsolvr problmas qu pudan planars mdian un sisma d cuacions. Sabr calcular l rango d una mariz.. Sabr prsar un sisma d cuacions linals n forma maricial y conocr l concpo d mariz ampliada dl mismo.. Conocr lo qu son sismas compaibls (drminados indrminados incompaibls.. Sabr clasificar (como compaibl drminado, compaibl indrminado o incompaibl un sisma d cuacions linals con no más d rs incógnias y qu dpnda, como mucho, d un parámro y, n su caso, rsolvrlo.

3 ocumno d orinación d Mamáicas II Profsor: José Guzmán Guzmán Pag. nº GEOMETRÍA. Conocr y adquirir dsrza n las opracions con vcors n l plano y n l spacio. ado un conjuno d vcors, sabr drminar si son linalmn indpndins o linalmn dpndins. 8. Sabr calcular idnificar las prsions d una rca o d un plano mdian cuacions paraméricas y cuacions implícias y pasar d una prsión a ora. 9. Sabr drminar un puno, una rca o un plano a parir d propidads qu los dfinan (por jmplo: l puno simérico d oro con rspco a un rcro, la rca qu pasa por dos punos o l plano qu conin a rs punos o a un puno y una rca, c. 0. Sabr planar, inrprar y rsolvr los problmas d incidncia y parallismo nr rcas y planos como sismas d cuacions linals.. Conocr y sabr aplicar la noción d haz d planos qu coninn a una rca.. Conocr las propidads dl produco scalar, su inrpración gomérica y la dsigualdad d Cauchy-Schwarz.. Sabr planar y rsolvr razonadamn problmas méricos, angulars y d prpndicularidad (Por jmplo: disancias nr punos, rcas y planos, simrías aials, ángulos nr rcas y planos, vcors normals a un plano, prpndicular común a dos rcas, c.. Conocr l produco vcorial d dos vcors y sabr aplicarlo para drminar un vcor prpndicular a oros dos y para calcular áras d riángulos y parallogramos.. Conocr l produco mio d rs vcors y sabr aplicarlo para calcular l volumn d un radro y d un parallpípdo.. ESTRUCTURA E LA PRUEBA E MATEMÁTICAS II EN LA SELECTIVIA. Fas gnral: Cada sudian rcibirá dos ámns -iquados Opción A y Opción B- y ndrá qu lgir uno d llos sin qu puda mzclar jrcicios d una opción con jrcicios d la ora opción. Cada amn consará d cuaro jrcicios: dos d llos d Análisis y dos d Álgbra Linal y Gomría. Esos cuaro jrcicios s valorarán por igual. Fas spcífica: Cada sudian rcibirá un único amn, sin opcions. EL amn consará d cuaro jrcicios: dos d llos d Análisis y dos d Álgbra Linal y Gomría. Esos cuaro jrcicios s valorarán por igual. Los ámns d slcividad s pudn nconrar n la dircción d INTERNET: hp:// En la siguin dircción sán rsulos los ámns d slcividad: hp:// En la par infrior cnral busca Eámns d Slcividad d Mamáicas Libro º d Mamáicas Libro º d Mamáicas Libro º d Mamáicas

4 ocumno d orinación d Mamáicas II Profsor: José Guzmán Guzmán Pag. nº. INSTRUCCIONES PERTINENTES AL ESARROLLO E LA PRUEBA.. carácr gnral En los jrcicios d la pruba no s pdirán las dmosracions d los ormas. Ningún jrcicio dl amn ndrá carácr clusivamn órico.. Marials prmiidos n la pruba S prmiirá l uso d calculadoras qu no san programabls, gráficas ni con capacidad d almacnar o ransmiir daos. No obsan, odos los procsos conducns a la obnción d rsulados dbn sar suficinmn jusificados uran l amn no s prmiirá l présamo d calculadoras nr sudians.. CRITERIOS GENERALES E CORRECCION (s imprscindibl concrar las valoracions qu s harán n cada aparado y/o aspcos a nr n cuna. Los cririos sncials d valoración d un jrcicio srán l planamino razonado y la jcución écnica dl mismo. La mra dscripción dl planamino, sin qu s llv a cabo d manra fciva la rsolución, no srá suficin para obnr una valoración compla dl jrcicio. También s ndrá n cuna lo siguin: a En los jrcicios n los qu s pida prsamn una dducción razonada, la mra aplicación d una fórmula no srá suficin para obnr una valoración compla d los mismos. b Los sudians pudn uilizar calculadora qu no sa programabl, gráficas ni con capacidad d almacnar o ransmiir daos. No obsan, odos los procsos conducns a la obnción d rsulados dbn sar suficinmn razonados indicando los pasos mas rlvans dl procdimino uilizado c Los rrors comidos n un aparado, por jmplo n l cálculo dl valor d un ciro parámro, no s ndrán n cuna n la calificación d los aparados posriors qu pudan vrs afcados, simpr qu rsuln sr d una compljidad quivaln. d Los rrors n las opracions ariméicas lmnals s pnalizarán con un máimo dl 0% d la noa oal dl jrcicio, cpo los siguins rrors qu s pnalizarán con l valor oal d la prguna o aparado: No sabr dspjar n una cuación d la forma ab. Sumar fraccions quiando dnominadors. No sabr qu la raíz cuadrada d un númro ngaivo no is. Ralizar: a b c a b c Ralizar: ( a b a b ( a b a b Ralizar: a b a b, s dcir, 9 igual manra, s pnalizarán con un máimo dl 0% la rdacción incorrca o l uso inadcuado d símbolos Ejmplo: Si s prguna disancia d Linars a Madrid, dar como solución 0 s dará por mal, 0 Km s dará por rgular y dar como solución la disancia d Linars a Madrid s d 0 Km. s dará por buna. f La prsnación clara y ordnada dl jrcicio s valorará posiivamn. g Si l alumno in qu lgir nr los jrcicios d la opción A o los d la opción B, y s ralizan jrcicios d las dos opcions, sólo s valuarán los jrcicios d la misma opción qu l primro qu aparzca físicamn n l papl d amn..- INSTRUCCIONES PARA EL ESARROLLO E LAS PRUEBAS ESCRITAS. a Para la rsolución d los jrcicios no srá ncsario uilizar calculadoras. No obsan, no s prohibirá su uso y podrán uilizars calculadoras ciníficas (no programabls, sin panalla gráfica y sin capacidad para almacnar, ransmiir o rcibir daos. En cualquir caso, s advir qu duran l amn no s prmiirá l présamo d calculadoras nr sudians. b El amn no s pud hacr con lápiz. c En los jrcicios d la pruba no s pdirán las dmosracions d los ormas. d Ningún jrcicio dl amn ndrá carácr clusivamn órico. Cada jrcicio llvará, d forma plícia, los punos qu val, y si in varios aparados, la punuación d cada uno. no sr así, s sobrnind qu odos los jrcicios valn igual y qu, dnro d cada jrcicio, odos los aparado valn igual

5 ocumno d orinación d Mamáicas II Profsor: José Guzmán Guzmán Pag. nº. CRITERIOS GENERALES E EVALUACIÓN. Los cririos sncials d valoración d un jrcicio srán l planamino razonado y la jcución écnica dl mismo. La mra dscripción dl planamino, sin qu s llv a cabo d manra fciva la rsolución, no srá suficin para obnr una valoración compla dl jrcicio. También s ndrá n cuna lo siguin: En los jrcicios n los qu s pida prsamn una dducción razonada, la mra aplicación d una fórmula no srá suficin para obnr una valoración compla d los mismos. Puds usar calculadoras ciníficas (no programabls, sin panalla gráfica y sin capacidad para almacnar, ransmiir o rcibir daos, pro odos los procsos conducns a la obnción d rsulados dbn sar suficinmn jusificados. Los rrors comidos n un aparado, por jmplo n l cálculo dl valor d un ciro parámro, no s ndrán n cuna n la calificación d los aparados posriors qu pudan vrs afcados, simpr qu rsuln sr d una compljidad quivaln. Los rrors n las opracions ariméicas lmnals s pnalizarán con un máimo dl 0% d la noa oal dl jrcicio d igual manra s pnalizarán la rdacción incorrca o l uso incorrco d símbolos. La prsnación clara y ordnada dl jrcicio s valorará posiivamn. Si s ralizan jrcicios d las dos opcions, sólo s valuarán los jrcicios d la misma opción qu l primro qu aparzca físicamn n l papl d amn. INSTRUMENTOS PARA PUNTUAR LAS EVALUACIONES. A Bloqu d obsrvación colciva: os ámns por rimsr, connindo l sgundo oda la maria visa n s príodo (incluyndo la dl primr amn y obnindo la noa mdia pondrada. (El sgundo amn punúa l dobl qu l primro. Esa noa rprsnará l 80% d la calificación d valuación. B Bloqu d obsrvación individual: rprsnará l 0 % d la calificación d valuación, las llamaré CL, CL y Cl para cada rimsr, y consará d: a Obsrvación n l aula b Asisncia y comporamino a clas. c Trabajo n casa. d Conrols scrio d clas,... FORMA E LLEGAR A LA CALIFICACIÓN E CAA TRIMESTRE Y LA FINAL: PRIMER TRIMESTRE: Llamarmos: EX y EX a las calificacions d los dos ámns Cl a la calificación dl bloqu d obsrvación individual Ev a la calificación d la primra valuación E a la calificación dl amn d rcupración y Tr a la calificación dl r rimsr Mdia pondrada: E E M calificación ª valuación: 8 M CL EV 0 Los alumnos con calificación Ev mnor d cinco, y los qu quiran subir noa, ralizarán l amn d rcupración, con la misma maria qu l EX. Calificación r rimsr: a Si E > Ev, Ev E Tr b Si E < Ev, Tr EV SEGUNO TRIMESTRE: Llamarmos: EX y EX a las calificacions d los dos ámns Cl a la calificación dl bloqu d obsrvación individual Ev a la calificación d la sgunda valuación E a la calificación dl amn d rcupración y Tr a la calificación dl º rimsr Mdia pondrada: E E M calificación ª valuación: 8 M CL EV 0 Los alumnos con calificación Ev mnor d cinco, y los qu quiran subir noa, ralizarán l amn d rcupración, con la misma maria qu l EX. Calificación º rimsr: a Si E > Ev, Ev E Tr b Si E < Ev, Tr EV TERCER TRIMESTRE: Llamarmos: EX y EX8 a las calificacions d los dos ámns Cl a la calificación dl bloqu d obsrvación individual Tr a la calificación dl r rimsr Mdia pondrada: E E8 M calificación r rimsr: 8 M CL Tr 0 Calificación global dl curso: Tr Tr Tr Final Los alumnos con calificación final mnor d cinco ralizarán un amn d suficincia.

6 Rpaso d º d Bachillrao Profsor: José Guzmán Guzmán Pag nº REGLAS E ERIVACIÓN - k 0 SIENO k UN NÚMERO REAL CUALQUIERA SIENO LA VARIABLE INEPENIENTE a E FUNCIONES SIMPLES b E FUNCIONES COMPUESTAS n n n n n ( w n w w w w w w n n n w n w w n n n n n n w log L Lw w w a log a w w La La w 8 w w [ ] w w w 9 [ a ] a La [ a ] a La w 0 (sn cos sn( w cos( w w (cos -sn cos( w sn( w w ( sc ( g g( w sc ( w w sc( sc( g( sc( w sc( w g( w w cos c( w cosc( w co g( w w cosc( cosc( co g( co g( cosc ( co g( w cosc ( w w [ ] L ( L [ ] v v v u v u u u v Lu

7 Rpaso d º d Bachillrao Profsor: José Guzmán Guzmán Pag nº REGLAS E ERIVACIÓN - a E FUNCIONES SIMPLES b E FUNCIONES COMPUESTAS arc sn - [ arc sn w ] w - w arc cos [ arc cos w ] w - - w arc g [ arc g w ] w w 0 arc cg w [ arcco g w ] w arc sc [ arc scw ] w arc cos c - - [ arc cos c w ] w - Suma / rsa d dos funcions: [ f g] f g [ f g] f g w w w w Suma o rsa d mas d dos funcions: Produco d un númro y una función Es la suma o la rsa d la drivada d cada sumando [ f g... z] f g... z [ k f ] k f Produco d dos funcions [ u v] v u u v Produco d rs funcions [ u v z] v z u u z v u v z 8 Cocin d dos funcions u v v u u v v 9 Cocin d una función y un númro f f k k f k 0 Cocin d un númro y una función k f k f f

8 Rpaso d º d Bachillrao Profsor: José Guzmán Guzmán Pag nº8 Ejrcicios d drivadas rsulos Consjos para calcular la drivada d una función: Sabrs las rglas d drivación y ponrlas. Sabr qu rgla d drivación hay qu aplicar. Es un cro ponr yf( y aquí ponr su drivada, Ej: Ponr y sn( sn( cos( 8cos( n lugar d y sn( y sn( cos( 8cos( La mayoría d las vcs, simplificar consis n calcular 0,... u Cuando hay un cocin, y, y l dnominador, v, s una poncia hay qu simplificar v obligaoriamn. Para llo cuando s calcula v no s quian parénsis, s saca facor común n l numrador y s simplifica, qudando n l dnominador una poncia con la misma bas y su ponn una unidad más. Al drivar sn ( u o cos ( u hay qu simplificar con la fórmula: sn( α sn( α cos( α Ejmplo: cos ( u cos( u [ sn( u ] u sn(u u.- Calcula la drivada d la función 8 y rivada d un cocin, con una poncia ( n l dnominador. HAY QUE SACAR FACTOR COMÚN y SIMPLIFICAR u v u u v u 8 u v v v ( v ( ( v ( 8 y' ( 8 8 ( [( ( ( 8 ] ( ( 0 8 ( ( NOTA: Si al calcular v quio parénsis no s pud simplificar..- Calcula las drivadas: a b ( L( c ( cos( ( a rivada d un cocin, con una poncia n l dnominador: [( ( ( ]( 8 0 ( ( ( ( ( u v u u v u u ( v v v ( v ( v b rivada dl produco d dos funcions. [ u v] v u u v u u 0 v L( v L( 0 L( L( ( [ ] c rivada d una suma: ( cos( cos( sn(.- Calcula la drivada primra d las funcions a y b y c y a y ( ( n u n n u n u u u n b y n u u u u n n n ( 8 n u c y (

9 Rpaso d º d Bachillrao Profsor: José Guzmán Guzmán Pag nº9 u u u u u.- Calcula la drivada primra d la función ( L y rivada dl produco d dos funcions: [ ] v L v u u v u u v v u ( 0 ( [ ] ( ( 0 ( L L L y.- Calcula cos( y rivada d una suma [ ] cos( y ( 8 cos( sn.- Calcula y ( ( ( (8 ( y ( ( ( 8 v v v u u v v u u v v u NOTA: como v no s una poncia, no s pud qu sacar facor común n l numrador..- Calcula la drivada primra d la función 8 ( cos y sn( ( 8 ( (cos y sn( sn( ( cos( ( (cos ( ( 8 ( Calcula la drivada primra d la función cos( ( L y, simplificando l rsulado al máimo sn( ( 0 8 cos( ( ( ( L L y 9.- Calcula la drivada primra d la función y, simplificando l rsulado al máimo. rivada dl produco d dos funcions: [ ] v v u u v u u v v u ( y 0.- Calcula la drivada primra d la función y, simplificando l rsulado al máimo. ERIVAA E UNA SUMA E FUNCIONES. y 0.- ada la función y - - 8, calcula la cuación d la rca angn a la gráfica d la función n l puno d abscisa. a Comprubo qu prnc al dominio f( 9 (HAZLO. Sí prnc b Calculo f( f( - 8-, y f( m (pndin c Rca angn : A(,9 00 ( f m. d Ecuación d la rca angn: y-9-00(-

10 Rpaso d º d Bachillrao Profsor: José Guzmán Guzmán Pag nº0 Ejrcicio : Calcula la drivada primra d las siguins funcions, scribindo la fórmula qu aplicas, simplificando al máimo l rsulado y sacando facor común. º y 8g( cos( La drivada d una suma s la suma d las drivadas y ( 8 g( ( cos( ( 0 sc ( 8 g( 8 g( 8 sc ( 0 sc ( ( cos( cos( ( sn( sn( ( ( L( ( º y ( ( rivada d un produco: ( u v u v u u v v ( u ( ( v ( y ( ( ( ( ( ( (9 º u v y rivada d un cocin y u u v u u v v v v v : ( ( ( ( 8

11 Rpaso d º d Bachillrao Profsor: José Guzmán Guzmán Pag nº º y ( El dnominador s una poncia? Sí Al calcular v no quio parénsis Ans d hacr las opracions dl numrador, s saca facor común y s simplifica con l dnominador El dnominador final d la drivada s ( Fórmula: u v u u v u u v v v ( v 0 v y 8 [( ( ( 0] ( 0 ( ( ( 0 0 ( ( ( ( º y 8 L( La drivada d una rsa s la rsa d las drivadas ( L( 0 L( y 8 [ L( ] L( 0 Fórmula: arc g( w º y arc g( y w ( ( w w w w 9 º y El dnominador s una poncia? NO En la drivada hago odas las opracions dl numrador El dnominador final d la drivada s ( - Fórmula: y ( u v v u u v u v v 9 u v v ( ( 9 ( ( ( 8 ( (

12 Rpaso d º d Bachillrao Profsor: José Guzmán Guzmán Pag nº Ejrcicio : y ( y saca facor común Fórmula: ( v v u u v { u u v ( ( ( v } u y ( ( ( [ ( ] ( [ 0 ] y La drivada d una rsa s la rsa d las drivadas ( y ( ( 9 9 y arc co g( Fórmula: ( arcg( w w w w w w y y cos ( simplificando con la fórmula dl ángulo dobl Fórmula: y w n cos n w n ( w w cos( ( cos( sn( cos( sn(0 y ( w sn( El dnominador s una poncia? Sí Al calcular v no quio parénsis Ans d hacr las opracions dl numrador, s saca facor común y s simplifica con l dnominador El dnominador final d la drivada s (- Fórmula: u v y v u u v u u 0 v v ( v ( ( v ( [( (0 ( ] ( ( ( 0

13 Rpaso d º d Bachillrao Profsor: José Guzmán Guzmán Pag nº 0 9 ( 0 ( y rivada d un cocin u u u v u u v v v v v v y : 0 y L ( Fórmula: y w L n w ( w w L( ( 0 8 w n n ( ( L( L( y 8 y sn( La drivada d una rsa s la rsa d las drivadas [ sn( ] sn( 9 cos( [ sn( ] sn( 9 cos( 9 y cos c( La drivada d una suma s la suma d las drivadas [ ] [ ] cosc( cosc( co g( y 0 0 y 0 0 0

14 José Guzmán º Bachillrao: Funcions Pag. nº I Coninuidad, drivabilidad y rmos d una función.- Función ral d variabl ral f: R R, y f( Es oda corrspondncia f qu asocia a cada valor d la variabl indpndin, como máimo, un valor d la variabl dpndin, y..- OMINIO E UNA FUNCIÓN. Conjuno d valors d la variabl indpndin para los qu is la función, y s dsigna por om f( El dominio pud rsringirs por: a Imposibilidad d ralizar alguna opración. nominadors: Los valors d qu hacn cro un dnominador no sán n l dominio. Ejmplo: f ( om f ( R {,} Raícs d índic par: l radicando in qu sr mayor o igual qu cro. Ejmplo: f ( om f ( { R / 0} (,] Logarimos: l argumno in qu sr mayor qu cro Ejmplo: g ( log( omg( { R / > 0} (, U ( 0, b Cono ral dl cual s ra la función: Ejmplo: Sa la bas d un rcángulo d 00m d prímro, y la alura. Calcula la función qu nos da la alura n función d la bas y calcula su dominio. Solución: y 0- om f( (0,0 Por qué? c Volunad d quin propon la función: Ejmplo: f ( si < 0 om f ( (,0 {,} (,0 { } NOTA: no hay qu quiarlo porqu no sá n l inrvalo d dfinición. [<0 (-,0].- ominio d funcions qu no son a inrvalos, nindo n cuna sólo la imposibilidad d ralizar alguna opración ( aparado a. Esudiarmos funcions d la forma y f(u dond u s un polinomio. Funcions cuyo dominio s R: funcions polinómicas, función sno, función cosno, función ponncial, función arco angn, función arco coangn y las funcions qu son raícs d índic impar. Función cocin d polinomios: su dominio s R {valors d qu anulan l dnominador]. f ( om f ( R { R / dnominadors 0} R {,0} Función logarímica ylog a u: ominio {valors d als qu u>0}. { R / 8 > 0} (, f ( log(8 om f ( Función raíz d índic par y radicando u: ominio {valors d als qu u 0} { R / > 0} (,0 U ( f ( om f (, Funcions yarc sn(u ó yarc cos(u: ominio {valors d als qu - u } f ( arcsn( om f ( 8, Funcions yarc sc(u ó yarc cosc(u: ominio R - {valors d als qu <u<} f ( arc sc( { } { } [ ] om f ( R (, (,] U [, { < < } { < < } (, < < Funcions y g(u y sc(u: om f ( R { R / cos( u 0} Funcions y cog(u y cosc(u: om f ( R { R / sn( u 0} π { cos( u 0 u kπ} sn( u 0 u kπ y ahora dspjas. kπ kπ f ( g( u kπ om f ( R K Z π π kπ π kπ f ( cosc( u kπ om f ( R K Z Suma, rsa y produco d funcions: s la inrscción d los dominios d cada una.

15 José Guzmán º Bachillrao: Funcions Pag. nº Cocin d funcions: s la inrscción d los dominios d cada una - {valors d qu anulan l dnominador].- OMINIO E FUNCIONES QUE SON A INTERVALOS: Esudiamos l dominio n cada inrvalo, nindo n cuna qu aparc. -c..- RECORRIO E UNA FUNCIÓN. Es l conjuno d valors d la variabl dpndin y para los qu is función.- CONTINUIA E UNA FUNCIÓN. Prgunas dl libro: nº, y páginas a Las funcions qu no son a inrvalos son coninuas n odos los punos d su dominio. Las funcions qu son a inrvalos son coninuas n odos los punos d su dominio, cpo n los punos d cambio n los qu s in qu cumplir las propidads d la coninuidad: f ( a lim lim ª ª f ( ª f ( a f ( : is a a.- ERIVAA E UNA FUNCIÓN Prgunas nº, y d las páginas a. 8.- ERIVABILIA E UNA FUNCIÓN QUE NO ES A INTERVALOS: Es l conjuno d valors d para los qu is drivada. Para calcular f(a s dan los siguins pasos: a Comprobar qu is f(a b calcular la función drivada f( c calcular f(a Las funcions qu no son a inrvalos son drivabls n odos los punos d su dominio, cpo: a Las raícs: Son drivabls n odos los punos n qu s coninua - {valors d qu anulan l radicando}. Esos punos s llaman angulosos. b Funcions yarc sn(u ó yarc cos(u: Es drivabl n {valors d / <u<} c Funcions yarc sc(u ó yarc cosc(u: Es drivabl n R - {valors d / u } NOTA: Si yarc sn(, su dominio s [-,-] s coninua n [-,-] y drivabl n (-,- 9.- ERIVABILIA E UNA FUNCIÓN A INTERVALOS: Es l conjuno d valors d para los qu is drivada. Una función f( s drivabl dond s coninua, pro: En los punos d cambio hay qu comprobar qu isn la drivada por la drcha y por la izquirda ( f(a y - f(a y qu son iguals, Si s una raíz, no s drivabl n los valors dl dominio qu anuln l radicando. (Punos angulosos NOTA: En los punos n los qu f( no s coninua la función no in drivada. (***** Si la función in mas d un inrvalo s hac como n l jrcicio nº Ej- Esudia dond s coninua y drivabl la función: 9 si y si > A ominio d la función: En l inrvalo (-,-] odos prncn al dominio por sr y --9 una función polinómica En l inrvalo (-, odos prncn al dominio por sr y- una función polinómica om f( R B ominio d coninuidad d f(: La función s coninua n l dominio, R, cpo n l puno d cambio -,qu hay qu vr las rs propidads: º Qu isa f(-. S cumpl porqu f(- -. º Qu isa l lími d f( cuando ind a -. Hay qu hacr límis larals. lim lim f ( ( 9 lim lim lim f ( ( f ( º lim f ( f ( Lugo f( no s coninua para - Rsumn: f( s coninua n R-{-} C ominio d drivabilidad d f(: La función s drivabl dond s coninua, pro para - hay qu comprobar qu la drivada por la drcha y por la izquirda son iguals

16 José Guzmán º Bachillrao: Funcions Pag. nº si < y f ( f ( No son iguals. NO ES ERIVABLE si > Rsumn: f( s drivabl n R-{-} NOTA: En la drivada no s pon n l primr inrvalo hasa qu vas qu s drivabl para - Si la función in un inrvalo s hac como n l jrcicio nº sn Ej- Esudia dond s coninua y drivabl la función: si 0 y si 0 Como la función sn( y son drivabls simpr y l dnominador no val cro, s drivabl simpr, pro para 0 hay qu comprobar qu in drivada con la dfinición: sn( lim f ( f (0 lim f (0 lim sn 0 { L' Hôpial} lim cos 0 lim sn 0 { L' Hôpial} 0 Sí s drivabl n La función f( s drivabl n R, s dcir, simpr 0.- RECTA TANGENTE A LA GRÁFICA E UNA FUNCIÓN. La rca angn a la gráfica d f( n l puno d abscisa a om f(, s la rca qu pasa por l puno (a,f(a y su pndin m f(a, y su cuación s: y - f(a m(-a.- RECTA NORMAL A LA GRÁFICA E UNA FUNCIÓN La rca normal a la gráfica d f( n l puno d abscisa a om f(, s la rca qu pasa por l puno A(a,f(a y s prpndicular a la rca angn n dicho puno. S vrifica qu su pndin s m y su cuación s y f ( a m ( a f ( a NOTA: a si f(a 0, la rca angn s horizonal y la rca normal s vrical, y sus cuacions son y f(a y a, rspcivamn. b Si f( s coninua para a, pro no s drivabl porqu f(a no is y s infinia (so ocurr n los punos angulosos, la rca angn s vrical y la rca normal s horizonal, y sus cuacions son a y f(a, rspcivamn..- IFERENCIAL E UNA FUNCIÓN. Prguna nº página 8.- REGLA E L HÔPITAL. S uiliza para rsolvr las indrminacions 0 0 S vrifica qu lim f ( lim f ( ag( ag( a pud sr cualquir númro ral, y - y s aplica minras aparzca la indrminación No s rcomndabl cuando l numrador s una raíz y l dnominador un polinomio y. Ejmplo: Calcula lim cos ( inrpra goméricamn l rsulado 0 lim cos ( 0 lim 0sn(8 0 lim 0 cos( ( 0 0 ( Inrpración gomérica: La función cos ( f ( in una disconinuidad viabl l puno P 80 0,

17 José Guzmán º Bachillrao: Funcions Pag. nº.- PUNTOS NOTABLES E UNA FUNCIÓN: Punos d cor con los js: s obinn rsolvindo los siguins sismas d cuacions: y f ( y f ( f ( jox f ( joy y 0 0 SIEMPRE hay qu comprobar qu los valors d prncn al dominio. Punos críicos: son los punos cuya abscisa,, anula la primra drivada. S obinn rsolvindo la cuación f(0. Hay qu comprobar qu las solucions d prncn al dominio. ichos punos srán máimos rlaivos, mínimos rlaivos o punos d inflión con angn horizonal. Máimo rlaivo: El puno A(a,f(a s máimo rlaivo d f( cuando a la izquirda d a la función crc (f(>0 y a la drcha dcrc (f(<0. NOTA: Si la función f( s drivabl, para a, l puno A(a,f(a s máimo rlaivo d f( si y solo si f(a0 y f(a<0. Mínimo rlaivo: El puno A(a,f(a s mínimo rlaivo d f( cuando a la izquirda d a la función dcrc (f(<0 y a la drcha crc (f(>0. NOTA: Si la función f( s drivabl, para a, l puno A(a,f(a s mínimo rlaivo d f( si y solo si f(a0 y f(a>0. Puno d inflión: El puno A(a,f(a s puno d inflión d f( cuando a la izquirda d a la función s cóncava ( f(<0 y a la drcha s conva ( f(>0, o vicvrsa. NOTA: Si la función f( s drivabl, para a, l puno A(a,f(a s puno d inflión d f( si y solo si f(a0 y f(a 0. Puno anguloso: El puno d coordnadas (a, f(a s un puno anguloso d la función f( cuando para a la función s coninua pro no s drivabl..- MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS E UNA FUNCIÓN. a Si f( > 0, f( s crcin b Si f( < 0, f( s dcrcin c Si f( 0, dudoso. Hay qu sudiar si crc o dcrc a su izquirda y a su drcha. Para calcular los inrvalos d monoonía y los rmos rlaivos d una función hay qu dar los pasos: a Calculamos su dominio d dfinición y dond s coninua y drivabl. b ibujamos n la rca ral l dominio d la función, los punos críicos y los punos d cambio d la función. c Esudiamos la monoonía n cada uno d los inrvalos. En los punos dibujados qu prncn al dominio: Si crc a la drcha y a la izquirda d a, f( crc para a. (Si a s un puno críico, l puno(a,f(a s un puno d inflión con angn horizonal. En caso conrario, no s sab y no s dic nada. Si dcrc a la drcha y a la izquirda d a, f( dcrc para a. (Si a s un puno críico, l puno(a,f(a s un puno d inflión con angn horizonal. En caso conrario, no s sab y no s dic nada. Si a la izquirda d a dcrc y a la drcha crc, f( in un mínimo rlaivo para a., n l puno (a,f(a. Si a la izquirda d a crc y a la drcha dcrc, f( in un máimo rlaivo para a, n l puno (a,f(a.- CURVATURA EN FUNCIONES ERIVABLES. a Si f"( > 0, f( s conva b Si f"( < 0, f( s cóncava. Si f"( 0, dudoso. Tnmos qu comprobar lo qu hac a su izquirda y a su drcha. Para calcular los inrvalos d concavidad y convidad y los punos d inflión d una función hay qu dar los pasos: a Calculamos su dominio d dfinición y dond s coninua y drivabl. b ibujamos n la rca ral l dominio d la función, los punos qu anulan la sgunda drivada, los punos angulosos (solo cuando hay raícs y los punos d cambio d la función. c Esudiamos la concavidad y la convidad n cada uno d los inrvalos. En los punos dibujados qu prncn al dominio: Si s cóncava a la drcha y a la izquirda d a, f( s cóncava para a Si s conva a la drcha y a la izquirda d a, f( s conva para a

18 José Guzmán º Bachillrao: Funcions Pag. nº 8 Si a la izquirda d a s cóncava y a la drcha conva, o vicvrsa, f( in un puno d inflión n l puno d coordnadas (a, f(a.- EXTREMOS ABSOLUTOS E UNA FUNCIÓN. El puno A(a,k s l máimo absoluo d la función f( cuando k f( para odo om f(. El puno B(b,h s l mínimo absoluo d la función f( cuando h f( para odo om f(. Si isn, k s llama coa suprior d la función, y h coa infrior d la función k f(a y h f(b Si no hay asínoas vricals, los valors d candidaos a rmo absoluo son: los rmos rlaivos, los punos d cambio d la función y los rmos dl dominio o inrvalo, si lo hay. S calcula la sgunda coordnada d odos sos punos y l qu nga la mayor srá l máimo absoluo y l qu nga la mnor srá l mínimo absoluo 8.- VALOR ABSOLUTO E UNA FUNCIÓN: Si nmos y f(, los punos (a,b d la gráfica d f(, con b>0, prncn a la gráfica f( y los punos (a,b d la gráfica d f(, con b<0, prncn a la gráfica f( los punos (a,-b. Lo primro s quiarlo y llgamos a una función a inrvalos, sindo los punos d cambio la solución o solucions qu s obinn al igualar a cro lo qu hay dnro dl valor absoluo. a si a 0 si finición d valor absoluo: a. Ejmplo-: y asi a < 0 si si Ejmplo-: y si < si > Ejmplo-: ibuja la función f:rr dfinida por y 0 < Propidads: a El dominio d la función y f( coincid con l d yf(. b La función y f( s coninua n los mismos punos qu la función yf(. c La función y f( s drivabl n los mismos punos qu la función yf(, cpo n los valors d als qu f(0. En dichos punos nmos qu comprobar qu las drivadas por la drcha y por la izquirda son iguals. (Lo mas normal s qu no lo san. 9.- ESTUIO E f( CUANO NOS AN LA GRÁFICA E f(. a Para los valors d n los qu isa gráfica d f(, f( s drivabl, lo qu implica qu para dichos valors d s coninua y prncn al dominio. b MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS: Obsrvando la gráfica Para los valors d als qu f(>0, la función f( crc, Para los valors d als qu f(<0, la función f( dcrc, Para los valors d n los qu la gráfica d f( cor al j d abscisas, (f(0 punos críicos, sudiamos lo qu ocurr a su izquirda y su drcha, y calculamos los rmos rlaivos. c CURVATURA Y PUNTOS E INFLEXIÓN: Obsrvando la gráfica Para los valors d als qu la gráfica d f( crc f( 0 la función f( s conva Para los valors d als qu la gráfica d f( dcrc f( 0 la función f( s cóncava Si la gráfica d f( ni crc ni dcrc, f( s una rca y no s ni cóncava ni conva. Si n a la gráfica d f( pasa d sr cóncava a conva o vicvrsa, hay un puno d inflión. Si obsrvamos la gráfica, n l puno (a,f(a la angn s horizonal. 0.- OPTIMIZACIÓN E FUNCIONES. (Página 9 dl libro a Escribimos la fórmula qu pidn qu opimicmos y la llamamos w, indicando qué rprsna cada variabl (una mdida, un prcio, abscisa d un uno,. b Si la función in más d una variabl, buscamos condicions n l nunciado, dspjamos incógnias y susiuimos. En la función a opimizar sólo pud habr una variabl. c Calculamos su dominio. d La solución sará n los punos críicos qu prnzcan al dominio o n los rmos dl dominio.

19 José Guzmán º Bachillrao: Funcions Pag. nº 9 Ejrcicios rsulos: Ej- odos los rcángulos d ára 00 cm calcula l d diagonal máima y mínima. Llamarmos : mdida d la bas n cnímros y: mdida d la alura n cnímros iagonal y Ára y 00 y iagonal w( ominio d (0, porqu s una mdida y no pud sr ni cro ni ngaiva. La raíz is simpr porqu l radicando nunca pud sr ngaivo. Punos o minio w( w( críi cos o minio w( -, <0 w( dcrc a la izquirda d 0 w( -, <0,9wg( crc a la drcha d 0 dcrc crc 0 0 (mínimo rlaivo Si 0y00:0 0 cm El rcángulo d diagonal mínima s l cuadrado d lado 0 cm. El d diagonal máima no is sría para 0 o o (los rmos dl inrvalo y so no s un rcángulo Ej- Calcula l puno o punos d la gráfica d la función y 8 n l qu la pndin d la rca angn sa máima y calcula dicha pndin. Igual para l d pndin mínima : abscisa d los punos d la función y: ordnada d los punos d la función. Pndin: m f( w(. Como (abscisa d los punos pud valr cualquir númro ral, ominio d R Calculmos los rmos d la función w(: Punos críicos: w ( 0 - R R crc dcrc crc - máimo rlaivo mínimo rlaivo w(- >0 w( crc w(0 - w( dcrc w( >0 w( crc El puno con pndin mínima s P(,f( (, 89 y la pndin m w(f( 08 f( m w( F( El puno con pndin máima s P(-,f(- (-,- y la pndin mw(-0 f(- 8- m w(- --0 Ej-: Un granjro dsa hacr rs corrals iguals y coniguos, como s sñala n la figura. y El ára d cada uno s d 0 m. La zona marcada con razo gruso cusa 0 l mro d valla y la zona marcada con razo fino cusa 80 l mro d valla. rmina las dimnsions (largo y (ancho, con dos dcimals, d cada uno d los corrals para qu l cos d la valla sa mínimo 800 Cos 0(y80(y00y0. 0 Ára y 0 y. ominio d (0, Cos mínimo Cos (0, 9,9 (0, dcrc crc 0,9 (mínimo rlaivo Solución: Cada corral mid d largo:,9 m. y d ancho: y8,0 m Ej- Calcula l puno o punos d la gráfica d la función d la rca angn sa máima y n l qu la pndin

20 José Guzmán º Bachillrao: Funcions Pag. nº 0 II ASÍNTOTAS E UNA FUNCIÓN. Una asínoa s una rca a la qu s aproima la función n uno d sus rmos o n los dos..- Función polinómica y P(. No in asínoas vricals. Tin dos ramas parabólicas (RP, una por y ora por -. (0..- Función racional (cocin d polinomios Rpaso º Bachillrao Asínoas vricals (A.V.: s calculan por (0. Asínoas horizonals, oblicuas y ramas parabólicas (AH, AO y RP. El rsulado por y por - coincid, por lo qu sólo lo harmos por. Sólo hay una d las rs. Sa h grado dl numrador y k grado dl dnominador. CASOS Tipo d asínoa y cuación: h < k La rca d cuación y0 s A.H. por y por - h k La rca d cuación yb s A.H. por y por - (0. h k La rca d cuación ymn s A.O. por y por - (0. h > k Tin una R.P. por y ora por - (0. NOTA : La posición d la A.H. o d la A.O. hay qu sudiarla por y por -..- Función irracional (raíz cuadrada d un polinomio ± un númro. a No inn asínoas vricals b Si los valors d qu s acrcan a prncn al dominio, ndrmos una AH, una AO o una RP (SÓLO UNA E LAS TRES. c Si los valors d qu s acrcan a - prncn al dominio, ndrmos una AH, una AO o una RP (SÓLO UNA E LAS TRES. Obsrvacions: Si grado d P( pud nr una rama parabólica por, si s cumpl. y ora por -, si s cumpl. S calculan por (0. Si grado d P(, in una asínoa oblicua por y ora por -. (OS SEMIASÍNTOTAS S calculan por (0. y (0. Si hmos calculado la A.O. por, y s la rca y, por - srá la rca y--. (Si rs liso ahorras calcularla..- Funcions n las qu aparcn polinomio y raícs d polinomios. a Asínoas vricals: s calculan por (0. b Si los valors d qu s acrcan a prncn al dominio, hay una AH, una AO o una RP (SÓLO UNA E LAS TRES. S mpiza por la A.H. (0., si no hay s pruba con la A.O. (0. y si no hay s busca la R.P. (0. c Si los valors d qu s acrcan a - prncn al dominio, hay una AH, una AO o una RP (SÓLO UNA E LAS TRES. S mpiza por la A.H. (0., si no hay s pruba con la A.O. (0. y si no hay s busca la R.P. (0..- Funcions rigonoméricas. (SIEMPRE SE TRABAJA EN RAIANES Las funcions sno, cosno, arco sno y arco cosno no inn asínoas. a Las funcions angn, coangn, scan y coscan inn infinias asínoas vricals. b Las funcions arco sno y arco cosno no inn asínoas. c Las funcions arco angn y arco coangn inn dos smiasínoas horizonals, una por (0. y ora por - (0.

21 José Guzmán º Bachillrao: Funcions Pag. nº Tnmos qu sabr qu: π π arc g( arc g( arc cog( π arc cog( 0 π arc cog( a arc g arc g( a π arc co g( arc g arc g( 0, a. Ej.: 8.- FUNCIONES TRASCENENTES. (Logarimos y ponncials Calculamos su dominio. a Hay A.V. si nmos valors d qu anuln l dnominador o hay un logarimo d u, y is algún valor d al qu u0. Si hay, s calculan por (0. b Si los valors d qu s acrcan a prncn al dominio, hay una AH, una AO o una RP (SÓLO UNA E LAS TRES. S mpiza por la A.H. (0., si no hay s pruba con la A.O. (0. y si no hay s busca la R.P. (0. c Si los valors d qu s acrcan a - prncn al dominio, hay una AH, una AO o una RP (SÓLO UNA E LAS TRES. S mpiza por la A.H. (0., si no hay s pruba con la A.O. (0. y si no hay s busca la R.P. (0. NOTA: En los límis por - s cominza con l cambio d variabl - Fórmulas para calcular las asínoas: 0. Cálculo d las asínoas vricals: La rca a s A.V. d f( cuando lim k f ( a 0, sindo k R y k 0. Hay qu hacr límis larals para sudiar la posición d la A.V. y la función. Habrá anas como valors d qu anuln l dnominador. La AV y la función nuca s coran. 0. Calculo d las A.H. por : lim La rca yb s AH d f( por cuando f ( b R Si pido la posición, hay qu sudiar si s cora la AH y f(, y la posición d la AH y la función, por. 0. Calculo d las A.H. por - : lim La rca yb s AH d f( por - cuando f ( b R Si pido la posición, hay qu sudiar si s cora la AH y f(, y la posición d la AH y la función, por Calculo d la asínoa oblicua por : La rca y mn s AO d f(, por, cuando: lim f ( lim m Rym 0 n ( f ( m R Si pido la posición, hay qu sudiar si s coran la AO y f( y la posición d la AO y la función, por. 0. Calculo d la asínoa oblicua por : La rca d cuación ymn s A.O. d f( por -, sindo lim f ( lim m Rym 0 n ( f ( m R Si pido la posición, hay qu sudiar si s coran la AO y f( y la posición d la AO y la función, por Calculo d las ramas parabólicas por y por - : lim RP.. cuadran I lim f ( f ( RP.. cuadran IV RP.. RP.. cuadran cuadran II III

22 José Guzmán Mamáicas II Ingral Indfinida Pag. nº ifrncial d una función: df( f(.d Tabla d ingrals indfinidas inmdiaas d: a Función simpl b Función compusa d C d L C df ( d f ( d f ( C u' d L u C u n n d C si n n u n n u u' d C si n n u' d arc g ( C d arc g ( u C u d C u. u d u C u u a d a C u a d a C La ' La cos( d sn( C sn( d -cos( C sc d g( C cosc d - cog( C u.cos(u.d sn(u C u.sn(u.d -cos(u C u. sc u d g(u C u.cosc u d - cog(u C u' d arc sn ( C d arc sn ( u C u u' d arc sc ( C d arc sc ( u C u u Ingral d una suma d funcions: [f( g(] d f(d g(d Ingral d una rsa d funcions: Ingral dl produco d un númro y una función [f(- g(] d f(d - g(d [k.f(] d k. f(d NOTA: En la Ingral indfinida d una función compusa, si hacs l cambio d variabl u du.d, llgamos al la Ingral indfinida d una función simpl. Ejmplo: u' d u' d d u d u' d d d arc g ( arc g( u C u u' u' d d d d d d d arc g ( arc g( C

23 José Guzmán Mamáicas II Ingral Indfinida Pag. nº MÉTOOS E INTEGRACIÓN: A Ingral d un cocin d polinomios. (Funcions racionals Caso I: El dnominador s un monomio. ivido cada monomio dl numrador por l monomio dl dnominador, y s dscompon la ingral n suma d ingrals inmdiaas d d d d d L C 8 8 Caso II: El polinomio dl numrador s d grado mayor o igual qu l grado dl dnominador. ivido los polinomios, aplico la propidad d la división (ividndo divisor cocin rso, y dscomponmos la ingral n la suma d la ingral d un polinomio y una ingral dl caso III. P( r( d c( d Q( Q( d sindo P(Q(.c(r( Caso III: El polinomio dl numrador s d grado mnor qu l dl dnominador. El dnominador s un polinomio d grado uno: nmos una ingral logarímica. Cambio d dnominador a variabl d d d d In gra l u b d d L C inmdiaa u' d d L L Hacmos l cambio Q(, y calculamos d Q(.d s saca facor común n d y n l numrador d la fracción (S inna n odos los cocins, aunqu no san d polinomios Si s simplifican odas las l cambio s posibl. Ejmplo: ( d d d L L C d d d d ( ( ( ( El dnominador s un binomio d sgundo grado sin raícs rals. m n d a b m d a b n d I a b I I : Caso I : nos º in El dnominador s un polinomio d sgundo grado sin raícs rals: a bc S ransforma n una dl caso º, dl siguin modo: gra l log arímica da un arco angn b ± b ac b α β b ac b ac Q( a a m n d a b c a a a a m n α : α d ( α β d d [( α β ] m mα n d I β (raliza odas las opracions dl numrador y dl dnominador y sás n l caso El dnominador s un polinomio con una raíz ral múlipl: Q((ab n. Hago l cambio d variabl ab dspjo y calculo d ralizo odas las opracions dl numrador y ngo una ingral dl Caso I d d d d S rsulv como n y s dshac ( l cambio (. HAZLO. Si no s ninguno d los casos anriors, dscomponmos la fracción n suma d fraccions simpls dl siguin modo: 8 8 d d d d ( ( ( ( 0 0 : d d d d d z dz d 0 0 L L z L 0 0 ( ( 0 dz z 0 L C 0 L 0 L z C I

24 José Guzmán Mamáicas II Ingral Indfinida Pag. nº A B C A( B( ( C( ( ( ( ( ( ( ( ( Como los dnominadors son idénicos, los numradors ambién. (os polinomios son idénicos cuando su valor numérico, para cualquir valor d, s l mismo. Como hay cuaro incógnias, A, B, C y, l damos a cuaro valors cualsquira. Los mjors son los valors d qu son raícs dl dnominador n s jrcicio - y - y oros dos cualquira. A ( B( ( C( ( ( 8 A A 0 B C 8 B C (rsulv l sisma B C Susiuyndo n la ingral, llgamos a ingrals d los casos º y º. (También pudn salir d los casos º y. En s curso no nra. B Ingrals por pars: Fórmula: u dv u v v du Voy a disribuir las funcions n rs grupos: Grupo A: ponncials, sno y cosno. Grupo B: logarimos, arco angn y arco coangn. Grupo C: arco sno y arco cosno. Ingral dl produco d dos funcions dl grupo A: a Produco d dos funcions y las dos son ponncials. Llamo I a la ingral S llama a una u y al rso dv, s calcula v y du y aplicamos una vz la fórmula nos aparc nusra ingral muliplicada por un númro (k.i, planamos una cuación y calculamos I. u du d I d I I C dv v d L L L L S ransforman las dos n ponncials d bas, s muliplican y nmos una ingral inmdiaa. m mla ( L Toría : a ( L I d d C L L L b Produco d dos funcions y las dos no son ponncials. Llamo I a la ingral S llama a una u y al rso dv, s calcula v y du y aplicamos la fórmula dos vcs la sgunda vz, llama u a la función qu ha salido al calcular du la primra vz nos aparc nusra ingral muliplicada por un númro (k.i, planamos una cuación y calculamos I. u cos( du sn( d I dv v u sn( du cos( d dv d v cos( cos( d cos( sn( d I I cos( 9 sn( 9 I 9I sn( [ cos( sn( ] I I I [ sn( cos( ] NOTA: Si nmos la ingral d sno o cosno al cuadrado, s pon como produco, s aplica una vz la fórmula d ingración por pars, s aplica la cuación fundamnal d la rigonomría y nos sal nusra ingral muliplicada por un númro (ki, planamos una cuación y calculamos I. u sn( du cos( d sn ( d sn( sn( d sn( cos( cos ( d dv sn( v cos( sn( cos( ( sn ( d sn( cos( I I sn( cos( I sn( cos( I sn( cos( I C Ingral dl produco d un polinomio y una función dl grupo A S llama u al polinomio y al rso dv, s calcula v y du y aplicamos la fórmula anas vcs como nos indiqu l grado dl polinomio. C

25 José Guzmán Mamáicas II Ingral Indfinida Pag. nº u du ( d ( sn( d ( cos( ( cos( d dv sn( d v cos( u du d ( cos( ( sn( sn( d dv cos( d v sn( ( cos( ( sn( cos( cos( [ 8 ] ( sn( C Ingral dl produco d una función dl grupo B y un polinomio o cocin d polinomios. S llama u a la función dl grupo B y al rso dv, s calcula v y du, aplicamos la fórmula una vz y llgamos a la ingral d un cocin d polinomios. u L( du d L( L d L( d L L C ( dv d v ( ( ( B B A B A( B( ( ( A A I d ( ( d d L L NOTA: Si la función dl grupo B sá lvada a n, aplicamos la fórmula d ingración por pars n vcs. u L du L d u L du d L d L L d dv d v d dv d v d L L d L L [ L L ] C Ingral dl produco d y la función cosc (a o la función sc (a S aplica una vz la F.I.P.P., llamando u y dv al rso nos quda la ingral d coag(a o g(a, qu s rsulv scribiéndolas como cocin y hacindo l cambio d variabl dnominador. u du d cos( cosc ( d d co g( d sn ( dv cosc ( d v co g( d sn( sn( d cos( d cos( co g( L sn( C d d L L sn( 9 sn( d d cos( Ingral dl produco d un polinomio y una función dl grupo C a Ingral d una función dl grupo C muliplicada por un númro (pud sr : S llama u a la función dl grupo C y al rso dv, s calcula v y du y aplicamos la fórmula una vz, y llgamos a una ingral irracional, qu s rsulv hacindo l cambio d variabl radicando. u arc sn( du d arc sn( d arc sn( d arc sn( 9 C 9 dv d v 9 9 d 8d : d d d 9 9 d d 8 b Ingral d una función dl grupo C muliplicada por : hacmos l cambio d variabl a la función dl grupo C, dspjamos y calculamos d. Obnmos una ingral por pars dl caso. arccos( cos( : arc cos( d cos d sn d sn cos d sn( d sn( cos( 8 sn cos sn( sn cos arccos( C cos( cos sn ( 8

26 José Guzmán Mamáicas II Ingral Indfinida Pag. nº c Ingral d una función dl grupo C muliplicada por : s llama u a la función dl grupo C y al rso dv, s calcula v y du y aplicamos la fórmula una vz, y llgamos a una ingral irracional, qu s rsulv hacindo l cambio d variabl radicando. ( C arc d arc v d dv d du arc u d arc 9 cos( cos( cos( cos( d d d d d d d d d ( 9 9 ( 9 [ ] 9 [ ] 9 d Ingral d una función dl grupo C muliplicada por un polinomio d hasa grado dos: s dscompon n suma d ingrals d los casos anriors. Si s d grado mayor qu dos la cosa s complica. (NO ENTRAN ESTE CURSO. C INTEGRALES POR CAMBIO E VARIABLE: NORMAS GENERALES PARA EL CAMBIO E VARIABLE a Consis n hacr l cambio d variabl u( o g( calculamos d y susiuimos n la ingral. Para qu l cambio sa buno n la nuva ingral no pud aparcr la variabl. b Si hay una función compusa f(u y u no s un polinomio d grado uno, obligaorio l cambio u s dspja y s calcula d, cpo si al calcular o d aparcn raícs. S llga una ingral inmdiaa, a la ingral d un cocin d polinomio o una ingral por pars. [ ] C I d sn d d sn arc sn d arc sn arc sn cos cos cos d sn v dv snd du u d I cos cos cos v dv d du sn u cos [ ] d sn cos cos [ ] sn I I sn I cos cos [ ] C sn arc c Si aparc una poncia, u n, innamos l cambio u (sólo la bas. d Si hay un cocin, innamos l cambio dnominador. Si hay una poncia n l dnominador, hacmos lo indicado n c. (Las raícs son poncias d ponn fraccionario. Si hay un produco n l dnominador llamamos sólo a una d llas. Si hay un produco d dos funcions llamamos sólo a una d llas. f Una vz acabada la ingral hay qu dshacr l cambio. Sólo in qu qudar la variabl. NOTA: n los casos qu sigun no s pud aplicar l caso b FUNCIONES EXPONENCIALES. a Si odas las ponncials inn la misma bas y l mismo ponn, hacmos l cambio ponncial b Si odas las ponncials inn la misma bas, a, y no inn l mismo ponn, hacmos l cambio d variabl a u sindo u m.c.d. d los ponns..- d d d d d d d ( C L L L d ( 0 ( ( ( A A C B A C B A C C C B A C C NOTA: Cuando las ponncials sólo s difrncian n l sigo dl ponn, s mjor llamar a la dl numrador. (Compara.- y.- qu son l mismo jrcicio.

27 José Guzmán Mamáicas II Ingral Indfinida Pag. nº.- d d d d d d d ( d d d L L L C 0 A A B C A( B( C C ( B.- d d d d d d d L L C Cuál s más fácil? c Si odas las ponncials no inn la misma bas, las convrimos odas n bas. (a m mla (No s las prgunaré s curso FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS A SIN COCIENTES: a Produco d dos funcions sno o d dos funcions cosno con disino argumno. b Produco d una función sno y una función cosno con disino argumno. Caso a Caso b cos( α β cosα cos β snα sn β sn( α β snα cos β cosα sn β cos( α β cosα cos β snα sn β sn( α β snα cos β cosα sn β (También s pudn hacr por pars. S ransforma n suma d ingrals con la fórmula NOTA: las razons rigonoméricas inn l mismo ángulo o argumno n odos los casos qu sigun c Poncia d ponn naural impar d una función sno S hac l d sn u cos u d sn( u u d d n n n cambio cos( u u' sn( u sn u ( cos u ( d Poncia d ponn naural impar d una función cosno S hac l d cos u sn u d cos u u d d n n n cambio sn u u' cos( u cos u ( sn u ( Produco d poncias d ponn naural impar d funcions sno y cosno, con l mismo ángulo S hac l cambio a la qu nga mayor ponn. S sigu como n c o d f Produco d una poncia d ponn naural impar y ora d ponn naural par, con l mismo ángulo. S hac l cambio a la qu nga ponn par. S sigu como n c o d g Poncia d ponn par dl sno, dl cosno o dl produco d una poncia dl sno y ora dl cosno, con l mismo ángulo cos(α cos(α Aplicamos las fórmulas dl ángulo miad: sn ( cos ( α Susiuimos n la ingral, quiamos parénsis, ralizamos odas las opracions y dscomponmos la ingral n suma d ingrals inmdiaas o d los casos c, d,, f, g. h Poncia d la función angn: g n (ab S hac l cambio d variabl g(ab, s dspja y s calcula d: b arcg( n n a b arcg( d d g ( a b d a a a Llgamos a la ingral d un cocin d polinomios, s rsulv y s dshac l cambio d variabl. i Poncia d la función coangn: cog n (ab S hac l cambio d variabl cog(ab, s dspja y s calcula d: b arc co g( α d n co g ( a b d a a b arc co g( d d a a Llgamos a la ingral d un cocin d polinomios, s rsulv y s dshac l cambio d variabl. n d

28 José Guzmán Mamáicas II Ingral Indfinida Pag. nº 8 B CON COCIENTES: odas las razons rigonoméricas inn l mismo ángulo. j El dnominador s la función d sno o la función cosno al cuadrado. scomponmos la ingral n suma d ingrals inmdiaas o d los casos siguins k o l. d sn ( a b cos ( a b k Cambio cos(ab d a sn( a b d d a sn( a b S susiuy, s ralizan odas las opracions posibls (las poncias d sno qu qudn inn qu sr pars y si dsaparc la variabl l cambio s válido n caso conrario probamos oro cambio. d cos ( a b sn ( a b l Cambio sn(ab d a cos( a b d d a cos( a b S susiuy, s ralizan odas las opracions posibls (las poncias d cosno qu qudn inn qu sr pars y si dsaparc la variabl l cambio s válido n caso conrario probamos oro cambio. m Sólo hay poncias d ponn naural par d sno, d cosno o d ambas. S hac l cambio: b arcg g(ab d d cos ( a b sn ( a b a a n Si no val ninguno d los anriors hacmos l cambio d la angn dl ángulo miad. a b b arcg g d d cos( a b sn( a b a a Ejrcicios rsulos: Caso d : sn( d cos( d d cos ( d cos ( cos ( d cos ( d d cos( cos( d d d ( d sn( sn ( sn ( C Caso h : g( arcg.- g ( d arcg d d d.- g ( L g ( d d L C cos( sn( I sn( sn(8 sn( sn(8 C cos(8 cos ( : cos I d caso g ( d cos(8 d sn( cos ( d caso g : cos ( d cos( d cos ( d.- Caso c : sn( d cos( d d sc( d d d cos ( d d cos( cos( cos( cos ( cos( d d d d L L C sn( sn( ( ( cos( cos( sn(.- d { caso j } d d I I co g( C sn ( I cosc cos( d cos( sn ( ( d co ag( d sn ( I Caso d : sn( d d cos( d d cos( sn(

29 José Guzmán Mamáicas II Ingral Indfinida Pag. nº 9 FUNCIONES IRRACIONALES a Una raíz o varias con los índics iguals y los radicandos, qu son polinomios d grado uno, iguals. S hac l cambio d variabl a la raíz, s dspja y s calcula d. b Todos los índics iguals y los radicandos son polinomios d grado uno o poncias d s polinomio d grado uno. S hac l cambio d variabl a la raíz dl polinomio d grado uno, s dspja y s calcula d. c Los índics no son iguals y los radicandos son polinomios d grado uno o poncias d s polinomio d grado uno. Llamo n al m.c.m. d los índics. S hac l cambio d variabl a la raíz d índic n dl polinomio d grado uno, s dspja y s calcula d. d Hay una sola raíz cuadrada, muliplicando o dividindo a d, y l radicando s un binomio d la forma a Cambio b a sn b a a a b a sn d cos d b b Cambio sn 9 d sn d cos d 9 cos( d sn( 8 9 ( sn a cos sn cos d cos d [ sn cos] arcsn C Si l radicando no s un polinomio d grado uno o una poncia d un polinomio d grado uno, hago l cambio radicando, s calcula d, s dspja d y s susiuy. (Si s simplifican odas las l cambio s buno. Cambio g(.- d cos ( d d sc ( d cos ( d cos ( g( cos ( d g( C.- Rsulv la ingral d hacindo l cambio d variabl Cambio d d d d d d d d d d ( ( C FUNCIONES LOGARÍTMICAS a Hay un logarimo d un polinomio d grado uno: L(ab: hago l cambio L(ab, dspjamos y calculamos d..- L Cambio L Por pars L d d ( d C d d caso º b Hay un logarimo y l argumno no s un polinomio d grado uno. (Sría un caso d b. Cambio L( sn( L( d d I [ ] [ ( L ( L ] C d d sn sn cos sn ( cos ( u sn : du cos d u cos du sn d I sn d d sn cos dv d v dv d v sn [ cos sn d] I [ sn cos] I I [ sn cos]

30 José Guzmán Ingral finida Áras d rcinos planos Pag. nº0 I INTEGRAL EFINIA. (Página 8 dl libro La ingral dfinida d la función f(, coninua n l inrvalo [a, b], s un númro ral qu coincid con l ára dl rcino plano limiado por la función y l j d abscisas n l inrvalo [a,b], con la siguin pculiaridad: si f(>0, l ára s considra posiiva y si f(<0, l ára s considra ngaiva. La ingral dfinida s la suma d odas llas, y s rprsna por f ( d Ejmplo: Calcula la ingral dfinida d la función f( - n l inrvalo [-,] Aplico la fórmula la fórmula d la página 8, parindo l inrvalo n ocho pars iguals f ( d 8 i ( i i f ( c i b a la longiud d odos los inrvalos s la misma y val ( b i i i 0, y s la bas d los rcángulos c i s l puno mdio d cada 8 inrvalo y f(c i s la alura d cada rcángulo y la llamarmos h i inrvalo bas P.M. alura Ára i- i b i c i h i b i.h i - - 0, -, -, -,8 -, - 0, -, -,0-0, - - 0, -0, 0,9 0, -0, 0 0, -0,,, 0 0, 0, 0,,, 0, 0, 0,,9,9, 0,,,9,9, 0,,,, Ingral dfinida, f ( d i 8 ( i i f ( c i, Es méodo y oros qu hay n l libro s sudian n Cálculo Numérico, pro para nosoros s muy complicado y al omar pocos inrvalos la aproimación no s buna. (Si dividimos l inrvalo n 0 pars l rsulado s, Nosoros calcularmos las ingrals dfinidas aplicando la rgla d Barrow, qu dic: Si f( s una función coninua n l inrvalo [a,b] y F( s una primiiva d f(, s vrifica b qu f ( d F( b F( a a En nusro jmplo f( - F( s una primiiva d f( f ( d d d d C 9 Como ncsio una, l doy a C l valor qu quira: Si C 0 F( 0 F ( F( ( ( (,... f d F F

31 José Guzmán Ingral finida Áras d rcinos planos Pag. nº II FUNCIÓN INTEGRAL. (Página 8 dl libro Sa f( una función coninua n l inrvalo [a,b], la función ingral, sindo a un númro fijo y [a,b]. Hay dos ipos d jrcicios:.- ibuja la función ingral F f ( d gráfica s F ( f ( d s llama función (, sabindo qu f:[-,] R y su a NOTA: lo primro s ponr, gráfico, lo qu val l ára d rozo. Para llo lo dscompongo n rcángulo, cuadrados o riángulos rcángulos. (HAZLO n l cada a Hago una abla d valors y n la columna pongo los rmos dl inrvalo, los punos d cambio y los punos d cor con l j OX, n ordn crcin. F( , - 0,,,, b Esudio qu ipo d función hay n cada inrvalo, sabindo: Si n l inrvalo [a,b] la gráfica d f( s un sgmno horizonal qu sá sobr l j d abscisa (j la gráfica d F( srá un sgmno horizonal Si n l inrvalo [a,b] la gráfica d f( s un sgmno horizonal qu no sá sobr l j la gráfica d F( srá un sgmno oblicuo Si n l inrvalo [a,b] la gráfica d f( s un sgmno oblicuo crcin la gráfica d F( srá una parábola con ramas ascndns y l véric d la parábola sará n l puno d cor d cor d f( y l j Si n l inrvalo [a,b] la gráfica d f( s un sgmno oblicuo dcrcin la gráfica d F( srá una parábola con ramas dscndns y l véric d la parábola sará n l puno d cor d cor d f( y l j En nusro jmplo: En [-,-] F( srá un sgmno oblicuo crcin. En [-,0] F( srá una rozo d parábola con ramas dscndns, y l véric n - srá l puno P(-,

32 José Guzmán Ingral finida Áras d rcinos planos Pag. nº En [0,] F( srá un rozo d parábola con ramas ascndns, y l véric para 0, sará n l puno Q(0, En [,] F( srá un rozo d parábola con ramas dscndns, y l véric fura dl inrvalo y a su drcha. (f( corará al j a su drcha.- ada la función f ( L( d, sin rsolvr la ingral, calcula f(, simplificando al máimo l rsulado. a En la función dl ingrando cambio por, b S aplica la rgla d Barrow y s driva, nindo n cuna (*: f ( L( d { rgla dbarrow} G( G( L( c G( s una primiiva d (G( (G(w w.w, sindo w una función cuya variabl s. f ( G( Ejrcicios propusos: G( L(. ibuja la función ingral F f ( d d f( s: 9 ( L( ( L( (, sabindo qu f: [-,] R y la gráfica cos(. ada la función f ( d simplificando al máimo l rsulado., sin rsolvr la ingral, calcula f(,

33 José Guzmán Ingral finida Áras d rcinos planos Pag. nº III ÁREAS E RECINTOS PLANOS. Por los rmos dl inrvalo y por los punos d cor d las funcions qu dlimian l rcino, razamos rcas vricals qu nos dan los rozos n qu s dscompon l rcino, calculamos l ára d cada uno y las sumamos NOTA: n l dibujo dl rcino, hay qu dibujar línas vricals por cada puno d cor y por cada rmo dl inrvalo.- Ára dl rcino plano limiado por una función, f( y l j d abscisas (OX n l inrvalo [a,b]. Ejmplo-: Ára dl rcino plano limiado por la función y - - y l j d abscisas, n l inrvalo [-,]. La función f( in qu sr coninua n l inrvalo [a,b]. Hay qu ralizar los siguins pasos: a Calculamos los punos d cor d la función y l j d abscisas, qu prncn al inrvalo [a,b]. Las ordnamos d mnor a mayor, incluyndo a y b. y 0 0 [, ] [,] y 0 S ordnan : < < b Calculamos l ára: Ára f ( d f ( d G( G( G( G( G( s una primiiva d f( unidads (** f ( d d d d C 9 Si C 0 G( G( G( G( c Si nos lo pidn, dibujamos l rcino plano dl qu nos pidn l ára. Obligaorios oros f( 0 - En la abla d valors inn qu sar, obligaoriamn, los rmos dl inrvalo y los punos d cor d f( y l j d abscisas qu prncn al inrvalo [-,]. (** Obsrva qu dnro dl primr valor absoluo sal posiivo, porqu l rcino sá ncima dl j OX y n l sgundo sal ngaivo porqu sá dbajo dl j OX..- Ára dl rcino plano limiado por una función, f( y l j d abscisas. Como no nos dan l inrvalo, lo nmos qu calcular con los punos d cor d f( y l j d abscisas OX. Ejmplo-: Ára dl rcino plano limiado por la función y - - y l j d abscisas. La función f( in qu sr coninua. Hay qu ralizar los siguins pasos: a Calculamos los punos d cor d la función y l j d abscisas. Las ordnamos d mnor a mayor, y d ahí obnmos los rmos dl inrvalo: la mnor y la mayor solución.

34 José Guzmán Ingral finida Áras d rcinos planos Pag. nº y y 0 0 Solucions : S ordnan : < < Inrvalo :[,] b Calculamos l ára: Ára f ( d f ( d G( G( G( G( ,08unidads G( s una primiiva d f( f ( d d d d d 8 C SiC 0 G( 9 0 G ( G( G( c Si nos lo pidn, dibujamos l rcino plano dl qu nos pidn l ára. Obligaorios oros - 0 f( En la abla d valors inn qu sar, obligaoriamn, los punos d cor d la función con l j d abscisas. (** Obsrva qu dnro dl primr valor absoluo sal posiivo, porqu l rcino sá ncima dl j OX y n l sgundo sal ngaivo porqu sá dbajo dl j OX. (**.- Ára dl rcino plano limiado por dos funcions f( y g( Como no nos dan l inrvalo, lo nmos qu calcular con los punos d cor d las funcions f( y g(. Ejmplo-: Ára dl rcino plano limiado por las funcions y- y -. Las funcions f( y g( inn qu sr coninuas. Hay qu ralizar los siguins pasos: a Calculamos los punos d cor d las funcions. Las ordnamos d mnor a mayor, y d ahí obnmos los rmos dl inrvalo: la mnor y la mayor solución. y 0 Solucions : 0 y S ordnan : < 0 < Inrvalo :[,] d Calculamos l ára: 0 [ f ( g( ] d [ f ( g( ] d H (0 H ( H ( H(0 Ára unidads (** H( s una primiiva d f( - g( - (- -. [ f ( g( ] d d d C SiC 0 H ( ( 8 H ( H (0 0 H ( 8

35 José Guzmán Ingral finida Áras d rcinos planos Pag. nº b Si nos lo pidn, dibujamos l rcino plano dl qu nos pidn l ára. En la abla d valors inn qu aparcr, obligaoriamn, los punos d cor d las dos funcions. (** Obsrva qu dnro dl primr valor absoluo sal ngaivo, porqu ahí f( < g( y la función f( g( s ngaiva dnro dl sgundo valor absoluo sal posiivo, porqu ahí f( > g( y la función f( g( s posiiva..- Ára dl rcino plano limiado por dos funcions, f( y g( n l inrvalo [a,b]. Ejmplo-: Ára dl rcino plano limiado por las funcions y y -, n l inrvalo [-,]. Las funcions f( y g( inn qu sr coninuas n l inrvalo [-,]. Hay qu ralizar los siguins pasos: a Calculamos los punos d cor d las funcions f( y g(, qu prncn al inrvalo [a,b]. Las ordnamos d mnor a mayor, incluyndo a y b. y 0 Solucions : y S ordnan : < < b Calculamos l ára: función obligaorios oros f( 0 - rca obligaorios - 0 y 0 - [, ] [,] [ f ( g( ] d [ f ( g( ] d H( H( H( H( Ára 8 9,unidads (** H( s una primiiva d f(-g( - (- -. [ f ( g( ] d d d d C SiC 0 ( 8 H ( H ( H ( H ( c Si nos lo pidn, dibujamos l rcino plano dl qu nos pidn l ára. parábola obligaorios oros f( rca obligaorios - y - En la abla d valors inn qu aparcr, obligaoriamn, los punos d cor d las dos funcions. (** Obsrva qu dnro dl primr valor absoluo sal ngaivo, porqu ahí f( < g( y la función f( g( s ngaiva dnro dl sgundo valor absoluo sal posiivo, porqu ahí f( > g( y la función f( g( s posiiva.

36 José Guzmán Ingral finida Áras d rcinos planos Pag. nº.- Ára dl rcino plano limiado por más d dos funcions. Calculamos los punos d cor d las funcions, dos a dos las dibujamos y por cada puno d cor razamos una vrical y calculamos l ára d cada una d las rgions qu qudan nr dos vricals. (Cada rozo srá alguno d los casos anriors. Si admás nos dan un inrvalo, razamos por sus rmos dos vricals, qu juno con las razadas por los punos d cor, qu prnzcan al inrvalo, nos dan las rgions d las qu hay qu calcular l ára. Ejmplo-: ibuja l rcino plano limiado por la función f(-, la rca angn a la gráfica d f( n l puno d abscisa y la rca y-. Calcula su ára. a Calculamos dond s coran dos a dos: f ( y f ( Ig( 0 dobl g( y f ( Ih( 0 h( y g( Ih( 8 b Hacmos las ablas d valors y dibujamos l rcino plano. En s caso, l dibujo s imprscindibl. f( obligaorios oros y g( obligaorios h( obligaorios 8-8 y - y En la abla d valors inn qu aparcr, obligaoriamn, los punos d cor d las funcions. (** Obsrva qu dnro dl primr valor absoluo sal ngaivo, porqu ahí f( < g( y la función f( g( s ngaiva dnro dl sgundo valor absoluo sal posiivo, porqu ahí g( > h( y la función g( h( s posiiva. Es rozo s pud hacr sin ingrals: ára d un riángulo rcángulo. c Calculamos l ára: 8 [ f ( g( ] d [ g( h( ] d G( G( H(8 H( Ára ,unidads G( s una primiiva d f(-g( - ( [ f ( g( ] d C SiC 0 G( ( 8 G( G( H( s una primiiva d g(-h( - ( ( H ( [ g ( h( ] d 8 C SiC 0 H ( H (8.- Áras con un parámro n alguna función o n l inrvalo Ejmplo-: rmina b, sabindo qu b>0 y qu l ára limiada por la curva y y la rca y-b s igual a 9/. a Calculamos dond s coran, llamando f( a la ª y g( a la sgunda (**