Programa EUROPA Ayuda a la Mejora en el Aprendizaje Matemáticas Cuarta sesión

Transcripción

1 1/26 Programa EUROPA Ayuda a la Mejora en el Aprendizaje Matemáticas Cuarta sesión Ramón Esteban y Antonio Pastor

2 Índice 1 Álgebra 3 Sistemas de ecuaciones lineales Métodos conocidos Método de Gauss Ejemplos Matrices Operaciones con matrices Una matriz destacada La matriz inversa Cálculo de la matriz inversa Determinantes /26

3 Álgebra Sistemas de ecuaciones lineales Métodos conocidos Método de Gauss. Regla de Cramer (sistemas cuadrados) y Teorema de Rouché- Frobenius (discusión del sistema y determinación del grado de libertad). 3/26

4 Método de Gauss Las operaciones permitidas en el método de Gauss son: Sumar a una ecuación un múltiplo de otra. Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo. Intercambiar dos ecuaciones. 4/26

5 Método de Gauss Gauss son: Las operaciones permitidas en el método de Sumar a una ecuación un múltiplo de otra. Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo. Intercambiar dos ecuaciones. La estrategia del método consiste en triangularizar el sistema mediante las operaciones descritas anteriormente. 4/26

6 Ejemplos Ejemplo 1. Resolvamos el sistema 2x + 3y + 4z = 1, x + 2y z = 4, 3x + 5y 2z = 10. 5/26

7 Ejemplos Ejemplo 1. Resolvamos el sistema 2x + 3y + 4z = 1, x + 2y z = 4, 3x + 5y 2z = 10. 5/26 Intercambiamos la primera y la segunda ecuaciones: x + 2y z = 4, 2x + 3y + 4z = 1, 3x + 5y 2z = 10.

8 Ejemplos Ejemplo 1. Resolvamos el sistema 2x + 3y + 4z = 1, x + 2y z = 4, 3x + 5y 2z = 10. 5/26 Intercambiamos la primera y la segunda ecuaciones: x + 2y z = 4, 2x + 3y + 4z = 1, 3x + 5y 2z = 10. Restamos a la segunda ecuación el doble de la primera, y a la tercera ecuación el triple de la primera. La primera ecuación no se modifica. x + 2y z = 4, y + 6z = 7, y + z = 2.

9 Restamos a la tercera ecuación la segunda. x + 2y z = 4, y + 6z = 7, 5z = 5. 6/26

10 Restamos a la tercera ecuación la segunda. x + 2y z = 4, y + 6z = 7, 5z = 5. 6/26 Podemos despejar z = 1 de la tercera ecuación. El resultado se puede llevar a la segunda ecuación y nos queda y 6 = 7, de donde y = 1. Por último, se pueden llevar estos resultados a la primera ecuación y nos queda x = 4, con lo cual x = 1. De este modo, el sistema es compatible determinado y tiene solución única (x, y, z) = (1, 1, 1).

11 Restamos a la tercera ecuación la segunda. x + 2y z = 4, y + 6z = 7, 5z = 5. 6/26 Podemos despejar z = 1 de la tercera ecuación. El resultado se puede llevar a la segunda ecuación y nos queda y 6 = 7, de donde y = 1. Por último, se pueden llevar estos resultados a la primera ecuación y nos queda x = 4, con lo cual x = 1. De este modo, el sistema es compatible determinado y tiene solución única (x, y, z) = (1, 1, 1). Para llegar a esta solución se podría haber continuado operando de manera análoga: Multiplicamos la tercera ecuación por 1/5 y la segunda por 1: x + 2y z = 4, y 6z = 7, z = 1.

12 Sumamos a la segunda ecuación 6 veces la tercera, y a la primera ecuación la tercera. x + 2y = 3, y = 1, z = 1. 7/26

13 Sumamos a la segunda ecuación 6 veces la tercera, y a la primera ecuación la tercera. x + 2y = 3, y = 1, z = 1. 7/26 Restamos a la primera ecuación 2 veces la tercera. x = 1, y = 1, z = 1.

14 Ejemplo 2. Resolvamos el sistema 2x + 3y + 4z = 1, x + 2y z = 4, 3x 5y 3z = 5. 8/26

15 Ejemplo 2. Resolvamos el sistema 2x + 3y + 4z = 1, x + 2y z = 4, 3x 5y 3z = 5. 8/26 Como antes, intercambiamos las dos primeras ecuaciones x + 2y z = 4, 2x + 3y + 4z = 1, 3x 5y 3z = 5.

16 Ejemplo 2. Resolvamos el sistema 2x + 3y + 4z = 1, x + 2y z = 4, 3x 5y 3z = 5. 8/26 Como antes, intercambiamos las dos primeras ecuaciones x + 2y z = 4, 2x + 3y + 4z = 1, 3x 5y 3z = 5. Restamos a la segunda ecuación el doble de la primera, y sumamos a la tercera ecuación 3 veces la primera. La primera ecuación se queda tal cual. x + 2y z = 4, y + 6z = 7, y 6z = 7.

17 A continuación, sumamos a la tercera ecuación la segunda. x + 2y z = 4, y + 6z = 7, 0 = 0. 9/26

18 A continuación, sumamos a la tercera ecuación la segunda. x + 2y z = 4, y + 6z = 7, 0 = 0. 9/26 Podemos eliminar la tercera ecuación, 0 = 0, ya que no aporta ninguna información adicional. x + 2y z = 4, y + 6z = 7.

19 A continuación, sumamos a la tercera ecuación la segunda. x + 2y z = 4, y + 6z = 7, 0 = 0. 9/26 Podemos eliminar la tercera ecuación, 0 = 0, ya que no aporta ninguna información adicional. x + 2y z = 4, y + 6z = 7. Podemos despejar y de la segunda ecuación, nos queda y = 6z + 7. Si llevamos este valor a la primera ecuación, tenemos que x+2(6z +7) z = 4, de donde x = 11z 10. Por tanto, la solución del sistema es (x, y, z) = ( 11z 10, 6z + 7, z).

20 A continuación, sumamos a la tercera ecuación la segunda. x + 2y z = 4, y + 6z = 7, 0 = 0. 9/26 Podemos eliminar la tercera ecuación, 0 = 0, ya que no aporta ninguna información adicional. x + 2y z = 4, y + 6z = 7. Podemos despejar y de la segunda ecuación, nos queda y = 6z + 7. Si llevamos este valor a la primera ecuación, tenemos que x+2(6z +7) z = 4, de donde x = 11z 10. Por tanto, la solución del sistema es (x, y, z) = ( 11z 10, 6z + 7, z). Este sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Las soluciones se expresan en función de una incógnita z.

21 Ejemplo 3. Resolvamos el sistema 2x + 3y + 4z = 1, x + 2y z = 4, 3x 5y 3z = 6. 10/26

22 Ejemplo 3. Resolvamos el sistema 2x + 3y + 4z = 1, x + 2y z = 4, 3x 5y 3z = 6. 10/26 Como antes, intercambiamos las dos primeras ecuaciones x + 2y z = 4, 2x + 3y + 4z = 1, 3x 5y 3z = 6.

23 Ejemplo 3. Resolvamos el sistema 2x + 3y + 4z = 1, x + 2y z = 4, 3x 5y 3z = 6. 10/26 Como antes, intercambiamos las dos primeras ecuaciones x + 2y z = 4, 2x + 3y + 4z = 1, 3x 5y 3z = 6. Restamos a la segunda ecuación el doble de la primera, y sumamos a la tercera ecuación 3 veces la primera. La primera ecuación se queda tal cual. x + 2y z = 4, y + 6z = 7, y 6z = 6.

24 A continuación, sumamos a la tercera ecuación la segunda. x + 2y z = 4, y + 6z = 7, 0 = 1. 11/26

25 A continuación, sumamos a la tercera ecuación la segunda. x + 2y z = 4, y + 6z = 7, 0 = 1. 11/26 La tercera ecuación no tiene soluciones. Por eso el sistema es incompatible y carece de soluciones.

26 Matrices Una matriz m n es una disposición ordenada de mn números en m filas y n columnas. a 11 a a 1n A = (a ij ) = a 21 a a 2n.... a m1 a m2... a mn 12/26

27 Operaciones con matrices Suma Dos matrices del mismo tipo se pueden sumar término a término: Si A = (a ij ) y B = (b ij ) son matrices m n, entonces A + B es una matriz m n definida por A + B = (c ij ), con c ij = a ij + b ij. 13/26

28 Operaciones con matrices Suma Dos matrices del mismo tipo se pueden sumar término a término: Si A = (a ij ) y B = (b ij ) son matrices m n, entonces A + B es una matriz m n definida por A + B = (c ij ), con c ij = a ij + b ij. Producto por escalares Dada una matriz A = (a ij ) de tipo m n y un número real λ, la matriz λa es la matriz m n dada por λa = (d ij ), donde d ij = λa ij. 13/26

29 Operaciones con matrices Suma Dos matrices del mismo tipo se pueden sumar término a término: Si A = (a ij ) y B = (b ij ) son matrices m n, entonces A + B es una matriz m n definida por A + B = (c ij ), con c ij = a ij + b ij. Producto por escalares Dada una matriz A = (a ij ) de tipo m n y un número real λ, la matriz λa es la matriz m n dada por λa = (d ij ), donde d ij = λa ij. Producto Dadas dos matrices A = (a ij ) de tipo m n y B = (b kl ) de tipo q p, solo se puede calcular su producto AB cuando n = q. En este caso, su producto es una matriz AB = (c il ) de tipo m p cuyos coeficientes son n c il = a ij b jl. j=1 Estos coeficientes se obtienen multiplicando escalarmente la fila i de la primera matriz por la columna l de la segunda matriz. 13/26

30 Ejemplo 4. Dadas las matrices A = , B = , se tiene que: A + B = , /26

31 Ejemplo 4. Dadas las matrices A = , B = , se tiene que: A + B = , AB = , /26

32 Ejemplo 4. Dadas las matrices A = , B = , se tiene que: A + B = , AB = , BA = 3 0 1, /26

33 Ejemplo 4. Dadas las matrices A = , B = , se tiene que: A + B = , AB = , BA = 3 0 1, A = /26

34 El producto de matrices sirve para representar sistemas de ecuaciones: 2x + 3y + 2z = 1, 3x + 2y 3z = 0. 15/26

35 El producto de matrices sirve para representar sistemas de ecuaciones: 2x + 3y + 2z = 1, 3x + 2y 3z = 0. 15/26 se puede escribir como ( ) x y = z ( 1. 0)

36 Una matriz destacada La matriz identidad I n de orden n es la matriz n n cuyos términos en la diagonal principal son 1 y cuyos términos fuera de la diagonal principal son 0. 16/26

37 Una matriz destacada La matriz identidad I n de orden n es la matriz n n cuyos términos en la diagonal principal son 1 y cuyos términos fuera de la diagonal principal son 0. Ejemplo 5. La matriz identidad 3 3 es I 3 = /26

38 Una matriz destacada La matriz identidad I n de orden n es la matriz n n cuyos términos en la diagonal principal son 1 y cuyos términos fuera de la diagonal principal son 0. Ejemplo 5. La matriz identidad 3 3 es I 3 = /26 Las matrices identidad hacen de elemento neutro para el producto de matrices.

39 La matriz inversa Dada una matriz A de tamaño n n, A se dice regular si existe una matriz B de tamaño n n de manera que AB = BA = I n. La matriz B recibe el nombre de matriz inversa de A. 17/26

40 La matriz inversa Dada una matriz A de tamaño n n, A se dice regular si existe una matriz B de tamaño n n de manera que AB = BA = I n. La matriz B recibe el nombre de matriz inversa de A. La matriz inversa no tiene por qué existir. Por ejemplo, la matriz ( ) /26 no tiene inversa: no hay ninguna matriz ( ) x z B = y t tal que AB = I 2 :

41 La matriz inversa Dada una matriz A de tamaño n n, A se dice regular si existe una matriz B de tamaño n n de manera que AB = BA = I n. La matriz B recibe el nombre de matriz inversa de A. La matriz inversa no tiene por qué existir. Por ejemplo, la matriz ( ) /26 no tiene inversa: no hay ninguna matriz ( ) x z B = y t tal que AB = I 2 : Si ( ) ( ) 1 0 x z 1 0 y t = ( ) 1 0, 0 1

42 los sistemas ( ( ) 1 0 x = 1 0) y y ( ( ) 1 0 z = 1 0) t admitirían solución. ( 1 0) ( 0 1) 18/26

43 los sistemas ( ( ) ( 1 0 x 1 = 1 0) y 0) y ( ( ) ( 1 0 z 0 = 1 0) t 1) admitirían solución. Si, por ejemplo, en el primer sistema, restamos a la segunda ecuación la primera, tenemos que 18/26 0 = 1, una contradicción.

44 Cálculo de la matriz inversa El cálculo de matrices inversas suele realizarse con una variante del método de Gauss. Por ejemplo, para calcular la inversa de A = /26

45 Cálculo de la matriz inversa El cálculo de matrices inversas suele realizarse con una variante del método de Gauss. Por ejemplo, para calcular la inversa de A = /26 realizamos operaciones análogas a las del método de Gauss con las filas de con el objetivo de transformar la parte izquierda en una matriz identidad.

46 Cálculo de la matriz inversa El cálculo de matrices inversas suele realizarse con una variante del método de Gauss. Por ejemplo, para calcular la inversa de A = realizamos operaciones análogas a las del método de Gauss con las filas de con el objetivo de transformar la parte izquierda en una matriz identidad. Restamos a la segunda fila la primera: /26

47 Intercambiamos la segunda y tercera filas: /26

48 Intercambiamos la segunda y tercera filas: Sumamos a la tercera fila 2 veces la segunda: /26

49 Intercambiamos la segunda y tercera filas: Sumamos a la tercera fila 2 veces la segunda: Multiplicamos la tercera fila por 1/4: /4 1/4 1/2.. 20/26

50 Intercambiamos la segunda y tercera filas: Sumamos a la tercera fila 2 veces la segunda: Multiplicamos la tercera fila por 1/4: /4 1/4 1/2 Restamos a la segunda fila 3 veces la tercera y a la primera fila 3 veces la tercera: /4 3/4 3/ /4 3/4 1/ /4 1/4 1/2.. 20/26

51 Restamos a la primera fila 2 veces la segunda: /4 3/4 1/ /4 3/4 1/ /4 1/4 1/2 21/26

52 Restamos a la primera fila 2 veces la segunda: /4 3/4 1/ /4 3/4 1/ /4 1/4 1/2 21/26 Acabamos cuando tenemos la identidad en la parte de la izquierda. La matriz de la derecha es la inversa de A.

53 Restamos a la primera fila 2 veces la segunda: /4 3/4 1/ /4 3/4 1/ /4 1/4 1/2 21/26 Acabamos cuando tenemos la identidad en la parte de la izquierda. La matriz de la derecha es la inversa de A. Este procedimiento es más eficiente para calcular la inversa que el basado en determinantes.

54 Determinantes Dada una matriz real n n, su determinante es un número real. Un determinante de orden 2 se calcula como sigue: a b c d = ad bc. 22/26

55 Determinantes Dada una matriz real n n, su determinante es un número real. Un determinante de orden 2 se calcula como sigue: a b c d = ad bc. Los determinantes de orden superior se pueden calcular mediante una variación del método de Gauss, teniendo en cuenta que: 1. Si sumamos a una fila (columna) un múltiplo de otra, el valor del determinante no varía. 2. Si multiplicamos una fila (columna) por un escalar no nulo, el valor del determinante queda multiplicado por este escalar. 3. Si intercambiamos dos filas (columnas), el valor del determinante cambia de signo. El proceso consiste en triangularizar la matriz mediante estas operaciones. El determinante de una matriz triangular superior (esto es, debajo de la diagonal solo hay ceros) es el producto de los elementos de la diagonal. 22/26

56 Ejemplo 6. Calculemos = /26

57 Ejemplo 6. Calculemos = /26 Si restamos a la segunda y a la tercera filas la primera fila, nos queda =

58 Ejemplo 6. Calculemos = /26 Si restamos a la segunda y a la tercera filas la primera fila, nos queda = Si restamos a la tercera fila dos veces la segunda, nos queda =

59 Ejemplo 6. Calculemos = /26 Si restamos a la segunda y a la tercera filas la primera fila, nos queda = Si restamos a la tercera fila dos veces la segunda, nos queda = Luego = = 2.

60 Ejemplo 7. Calculemos = /26

61 Ejemplo 7. Calculemos = /26 Intercambiamos la primera y la tercera filas. Esta operación cambia el signo del determinante =

62 Ejemplo 7. Calculemos = /26 Intercambiamos la primera y la tercera filas. Esta operación cambia el signo del determinante = Restamos a la segunda fila 4 veces la primera, y a la tercera fila 2 veces la primera. Nos queda: =

63 Intercambiamos la segunda y tercera filas. Esta operación cambia el signo del determinante = /26

64 Intercambiamos la segunda y tercera filas. Esta operación cambia el signo del determinante = Si dividimos entre 3 la segunda fila, el determinante nos queda multiplicado por = /26

65 Intercambiamos la segunda y tercera filas. Esta operación cambia el signo del determinante = Si dividimos entre 3 la segunda fila, el determinante nos queda multiplicado por = Sumamos a la tercera fila 11 veces la segunda = /26

66 Intercambiamos la segunda y tercera filas. Esta operación cambia el signo del determinante = Si dividimos entre 3 la segunda fila, el determinante nos queda multiplicado por = Sumamos a la tercera fila 11 veces la segunda = El valor del determinante es = = /26

67 Una matriz cuadrada tiene inversa si, y solo si, su determinante es no nulo. Los determinantes se usan también para comprobar la dependencia lineal o independencia lineal de vectores, esto es, si existe o no una combinación lineal de esos vectores igualada al vector nulo con coeficientes no nulos. 26/26