el blog de mate de aida: MATE I. Cónicas pág. 1

Transcripción

1 el blog de mte de id: MATE I. Cónics pág. 1 SECCIONES CÓNICAS Un superficie cónic se obtiene l girr un rect g (llmd genertriz), lrededor de otr rect e, llmd eje de giro, l que cort en un punto V (vértice). Un sección cónic es un curv que result de l intersección de un plno con un superficie cónic. Si el plno que cort l superficie cónic es perpendiculr l eje, l sección es un circunferenci: Inclinndo el plno pr que se oblicuo con el eje y corte tods ls genertrices, l sección es un elipse:

2 el blog de mte de id: MATE I. Cónics pág. En el cso de que el plno oblicuo con el eje se prlelo un genertriz, l cónic que result se llm prábol: Inclinndo más el plno pr que se prlelo dos genertrices, result un curv llmd hipérbol: LUGAR GEOMÉTRICO Se llm lugr geométrico un conjunto de puntos que cumplen un determind propiedd. Como los puntos pertenecen l plno, el lugr geométrico será un líne. Pr encontrr l ecución de dich líne, bstrá con epresr mtemáticmente l condición que se debe cumplir. Esto nos drá un relción entre ls vribles e y. Culquier punto (,y) que cumpl dich condición, pertenecerá l lugr geométrico. Es decir, si plicmos l propiedd que stisfcen todos los puntos de un lugr geométrico un punto rbitrrio P(,y) de ese conjunto, obtendremos un ecución que relcion ls coordends e y. Por ejemplo, el lugr geométrico de los puntos del plno cuy distnci l punto A=(0,4) es, serí: y 4 y 8y 16 4 y 8y 1 0 EJEMPLOS: Meditriz de un segmento: Pr el segmento de etremos A y B, el lugr geométrico de los puntos que equidistn de los etremos es un rect perpendiculr l segmento por su punto medio. L condición mtemátic será: d(p,a) = d(p,b)

3 el blog de mte de id: MATE I. Cónics pág. 3 Bisectriz de un ángulo: Pr dos rects r y s, el ligr geométrico de los puntos que equidistn de ells son dos rects perpendiculres entre sí que son ls bisectrices de los ángulos que formn ls rects dds. L condición mtemátic será: d(p,r) = d(p,s) EJERCICIOS RESUELTOS: 1º.- Hll l ecución del lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de A(1,) y B(3,4). P=(,y)lugr geométrico d(p,a) = d(p,b) 1 y 3 y 4 1 y 3 y 4 1 y 4y y 8y y 0 0 ( meditriz del segmento). º.- Hll ls ecuciones de ls bisectrices del ángulo que formn ls rects r: +y-=0 y s: -y+4=0. y y 4 P=(,y) d(p,r) = d(p,s) ( 1) - signo positivo: y=3. - Signo negtivo =-1. 3º.- Hll el lugr geométrico de los puntos cuy sum de cudrdos de sus distncis dos puntos ddos A (,0) y A (,0) se un cntidd constnte, igul 1 4. P=(,y) d P, A d P, A 4 1 ( circunferenci de centro (0,0) y rdio ). y y 4 4º.- Hll el lugr geométrico de los puntos cuy diferenci de cudrdos de sus distncis dos puntos ddos A (,0) y A (,0) se un cntidd constnte, igul P=(,y) 1 d d operndo: =, =-. LA ELIPSE P, A1 d P, A P, A d P, A en coordends: 4. y y y y y 4 4 Elementos de l elipse: Se llm elipse l lugr geométrico de los puntos de un plno tles que l sum de sus distncis dos puntos fijos llmdos focos es constnte. d P, F dp, F' k A los focos los designremos por F y F. L distnci de F F se llm distnci focl, y se suele designr por c.

4 el blog de mte de id: MATE I. Cónics pág. 4 Se llmn rdiovectores de un punto P de l elipse los segmentos PF = d y PF = d, y su sum se design por ; d + d =. El punto medio O del segmento FF se llm centro de l elipse. L rect FF se llm eje focl y l meditriz del segmento FF es el eje secundrio. Los puntos A, A, B, B en los que l curv cort los ejes se llmn vértices. El segmento AA se llm eje myor de l elipse y se cumple que AA =. El segmento BB se llm eje menor de l elipse y su longitud se represent por b. Se cumple que BF = BF =. Ecentricidd de un elipse es el cociente entre su semidistnci focl y su semieje myor: c e (0 < e < 1) Situndo l elipse en unos ejes crtesinos, con el eje focl sobre el eje y su centro sobre el origen de coordends, se cumple que: Propieddes de l elipse: F, F' c da, A' db, B' b d - L sum de ls distncis desde un punto de l elipse los focos es : da, F da, F' da, A' Como A es un punto de l elipse: da, F da, F' k. Por tnto: k=. - L distnci de los vértices B y B los focos es : db, F db, F' - Los segmentos, b y c formn un triángulo rectángulo y se verific Ecución reducid de l elipse: b c (con > c). Tommos un elipse cuyo centro coincid con el origen de coordends. Los focos se sitún en el eje de bsciss; sus coordends son F(c,0); F (-c,0). Los puntos de corte de l elipse con los ejes son: A(,0); A (-,0); B(0,b); B (0,-b). Si P(,y) es un punto de l elipse, por definición, PF + PF =. Anlíticmente: c y c y Operndo con est epresión, se obtiene: b y 1

5 el blog de mte de id: MATE I. Cónics pág. 5 LA HIPÉRBOLA Elementos de l hipérbol: L hipérbol es el lugr geométrico de los puntos tl que el vlor bsoluto de l diferenci de sus distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. L distnci entre los focos F y F (distnci focl) cumple: d(f,f ) = c. El punto medio O del segmento FF se llm centro de l hipérbol. L rect FF se llm eje focl. Los puntos A y A, en los que l hipérbol cort l eje focl se llmn vértices. El segmento AA, cumple que AA =. Interes construir en l hipérbol un segmento de longitud b que se el cteto de un triángulo rectángulo cuyos otros ldos sen y c. Observ l construcción de este segmento b en l figur. Si tommos sobre el eje no trnsverso ls distncis OB = OB = b, se obtiene el segmento BB = b, que se llm tmbién eje no trnsverso o eje imginrio. Ecentricidd de un hipérbol es el cociente: c e (e > 1) Ecución reducid de l hipérbol: Vmos obtener l ecución de l hipérbol pr el cso en que el centro de l hipérbol coincid con el origen de coordends. Los focos se sitún en el eje de bsciss; sus coordends son F(c,0); F (-c,0). (El eje de bsciss será, por tnto, el eje focl y el eje de ordends, el eje no trnsverso). Los puntos de corte de l hipérbol con el eje de bsciss son: A(,0); A (-,0). Si P(,y) es un punto de l hipérbol, por definición: PF PF =. Anlíticmente:

6 el blog de mte de id: MATE I. Cónics pág. 6 Operndo con est epresión, se obtiene: c y c y b y 1 LA PARÁBOLA Elementos de l prábol: Se llm prábol l lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo llmdo foco y de un rect fij llmd directriz. Designremos el foco por F y l rect directriz por d. L perpendiculr desde el foco l directriz se llm eje de l prábol, y l designremos por e. El punto V, de intersección de l curv con el eje, se llm vértice de l prábol. L distnci FD desde el foco l directriz se llm prámetro de l prábol y se design por p. Ecuciones de l prábol: Cundo el eje de l prábol coincide con el eje de bsciss y el vértice con el origen de coordends: En este cso, ls coordends del foco son p,0 F y l directriz es l rect p. Si P(,y) es un punto de l prábol, por definición FP = HP. Anlíticmente: p y p Operndo con est epresión, se obtiene: y p

7 el blog de mte de id: MATE I. Cónics. pág. 7 Cundo el eje de l prábol coincide con el eje de ordends y el vértice con el origen de coordends: En este cso, ls coordends del foco son 0, p F y l directriz es l rect Si P(,y) es un punto de l prábol, por definición PF = PH. Anlíticmente: Operndo con est epresión, se obtiene: p p y py y y p. LA CIRCUNFERENCIA Ecución de l circunferenci: L circunferenci es el lugr geométrico de los puntos de un plno que equidistn de un punto fijo llmdo centro. L distnci, constnte, de los puntos de l circunferenci l centro es el rdio de l circunferenci. Si C=(,b) es el centro de un circunferenci de rdio r y P(,y) un punto culquier de l mism, se tiene: y b r Elevndo l cudrdo se tiene: y b r Desrrollndo l epresión nterior result: y by b r 0 Si llmmos: D=-, E=-b y F b r y, qued l ecución: D Ey F 0 Se trt de un ecución de segundo grdo en e y, en l que los coeficientes de se llm ecución generl de l circunferenci. e y son igules y

8 el blog de mte de id: MATE I. Cónics. pág. 8 En el cso prticulr de que el centro coincid con el origen de coordends, será =0, b=0, y l relción nterior se convierte en: y r que es l ecución reducid de l circunferenci. Dd un ecución de segundo grdo del tipo: y D Ey F 0, represent un circunferenci? Si fuer un circunferenci, su centro y su rdio serín: Por tnto, h de cumplirse que: D E, C y D E r D 4F 0 E 4 4F EJERCICIO RESUELTO: 1.- Dd l ecución de l circunferenci y 6y 15 0, determin su centro y su rdio. -=D; -b=e -=-; -b=-6 =1, b=3 C(1,3) Rdio: D b r r r=5. Determinción de l circunferenci: Ddos tres puntos no linedos: L ecución de l circunferenci se puede determinr utilizndo uno de los métodos siguientes: Primer método: Como el centro de l circunferenci circunscrit l triángulo es el punto de intersección de ls meditrices, bst hllr ls ecuciones de dos de ests meditrices y resolver el sistem formdo por ells. Segundo método: Sustituyendo e y en l ecución y D Ey F 0 por ls coordends de los puntos ddos se obtiene un sistem de tres ecuciones con tres incógnits. Se resuelve dicho sistem. Ddos dos puntos A,B y un rect r que ps por el centro de l circunferenci: El centro de l circunferenci se obtiene como intersección de l rect r y l meditriz del segmento AB. El rdio de l circunferenci se obtiene clculndo l distnci del centro uno de los puntos ddos. Ddos el centro de l circunferenci y un rect tngente ell: El rdio de dich circunferenci será l distnci del centro l rect dd. EJERCICIO RESUELTO: 1.- Dd l ecución de l circunferenci y 6y 15 0, determin su centro y su rdio. - = A; -b = 3 C(1,3); Rdio: c b r r r=5.

9 el blog de mte de id: MATE I. Cónics. pág. 9 Posiciones reltivs de dos circunferencis: Al resolver el sistem formdo por ls ecuciones de dos circunferencis podemos tener: - Dos soluciones reles: entonces ls circunferencis son secntes. - Un solución rel: en este cso ls circunferencis son tngentes. - Ningun solución rel: entonces ls circunferencis son eteriores. Posiciones de rect y circunferenci: Al resolver el sistem formdo por ls ecuciones de l circunferenci y de l rect se obtiene un ecución de segundo grdo; est ecución puede tener: - Dos soluciones reles: entonces l rect es secnte l circunferenci. - Un solución rel: en este cso l rect es tngente l circunferenci. - Ningun solución rel: entonces l rect es eterior l circunferenci.