Análisis y resolución del régimen transitorio de circuitos de corriente continua

Transcripción

1 Aálisis y rsolució dl régim rasiorio d circuios d corri coiua solució d cuacios difrcials. Dfiició Ua cuació difrcial lial, ordiaria, d ord y a coficis cosas rlacioa las ésimas drivadas d ua fució x(, qu s la icógia. Ti la forma: a d dx( a... a a x( f ( (. d d co a ;...;a y a l caso paricular qu f(, la cuació s llama homogéa. Si f (, la cuació s o homogéa. a solució gral x( d ua cuació d ord pud scribirs como la suma d la solució d la cuació homogéa asociada x H ( y d ua solució paricular x P (. a cuació homogéa asociada a (. i la forma: ocs d xh ( d xh ( dxh ( a a... a a x( (. d d d x( x ( x ( H P sido: x(: solució gral x H (: solució d (. x P (: solució d (. Págia d

2 . Solució d la cuació homogéa asociada l primr paso para hallar la solució gral x( s corar la solució d la cuació homogéa asociada x H (. Para so s propo lo sigui: x s H ( (. mplazado (. la cuació (. s obi a d ( d s a s s d ( d( s... a a d d a s s a s s s s... as a Tomado s como facor comú y sabido qu dicha fució o pud sr cro: s [ a s a s a s a ]... Así s obi qu, para qu s cumpla la igualdad arior, db dars: a s a... as a s qu s cooc como cuació caracrísica. Hallado las raícs d la cuació caracrísica, si odas so disias, la solució d la cuació (. s pud scribir como: x H ( sido las k cosas a drmiar a parir d las codicios iicials dl problma. Si hubis ua raíz qu s rpi -m vcs m k k m j k s sk j j x ( D m < H k l caso d hallars más d ua raíz rpida s agrga las sumaorias csarias a x H ( para cada ua d llas. j k s Págia d

3 . jmplos A coiuació s raliza alguos jmplos d rsolució d cuacios difrcials homogéas. Noar qu s caso x( x H (, así qu s usará la oació x( para rfrirs a la solució. jmplo.. Hallar x( dx( x( d d la cuació caracrísica s obi dircam por ispcció: s s y las raícs so: s - s por lo ao, la solució s x ( sido y cosas a drmiar a parir d las codicios iicials dl problma. jmplo.. solvr 4 dx( d d d d 4 la cuació caracrísica s: s 4s s 4s 4 raícs: s ; s -; s ; s 4 s caso, la raíz s s rpi, por lo ao la solució s x ( D D Págia d

4 jmplo.. solvr la cuació difrcial 4 dx( 4 4x( 4 d d d d 4 plaado la cuació caracrísica: s s s 4s 4 s obi las raícs: s s s s 4 - co lo cual s obsrva qu hay dos raícs rpidas. Por lo ao, la solució s: x( D D jmplo..4 Hallar x( dx( d d d la cuació caracrísica s: s 9s 7s 7 y i como raícs: s s s - a solució s: x(.4 Solució paricular a solució paricular d (. s obi d la sigui mara: propoido ua solució x P ( d la misma forma qu f( rmplazado la solució propusa (. y dspjado las cosas Págia 4 d 4

5 a sigui abla ilusra las disias solucios a propor dpdido d la forma d f(: f( x P ( K (cosa K (ora cosa poliomio d grado oro poliomio d grado, co i i i s( ω D cos( ω Acos( ω Bs( ω i K i i K i, i sido K, K i, A y B cosas a drmiar l paso y so disias d las cosas a drmiar a ravés d las codicios iicials dl problma (vr sccios. y.. Para dspjar las cosas qu qudaro la solució propusa x P (, s db rmplazar dicha fució (. y obr las codicios d igualdad: a d x d ( d xp ( dxp (... a a x ( f ( P d d P a s méodo rsulará más claro los siguis jmplos..5 jmplos A coiuació s raliza ua sri d jmplos para ilusrar l méodo d obció d la solució paricular xplicado la scció arior. jmplo.5. Hallar ua solució paricular d: dx( x( 5 d omo f( 5 (cosa, la solució propusa srá: x P ( K (ora cosa mplazado x P ( la cuació dada: Págia 5 d 5

6 5 5 ( 5 ( ( K K d K d x d dx P P 5 K Por lo ao: 5 ( x P jmplo.5. Hallar ua solució paricular d: ( ( ( x d dx d x d s caso, f( s u poliomio d grado, por lo ao la solució propusa s: ( x P qu coi odos los érmios d u poliomio dl mismo grado qu f(. mplazado la solució propusa la cuació dada: ( ( ( d d d d ( ( 6 ( ( 6 Tido cua qu para qu dos poliomios sa iguals db sr iguals sus coficis, s pud plaar l sigui sisma d cuacios: 6 solvido l sisma arior s obi las cosas: 4 9 ; ; Págia 6 d 6

7 Por lo ao: x P ( Solució gral Ua vz halladas x H ( y x P (, odo lo qu rsa s scribir la solució gral d la cuació (. como: x( x ( x ( H y dspjar las cosas qu qudaro d las codicios iicials dl problma (so s vrá más adla la rsolució d circuios. P Págia 7 d 7

8 osidracios grals As d mpzar a rsolvr l régim rasiorio d los circuios d corri coiua, o sa, drmiar la corri qu circula por l mismo como fució dl impo, s covi ralizar alguas cosidracios grals para odos los problmas d s ipo.. Drmiació dl ord d la cuació difrcial a parir d la ispcció dl circuio odos los problmas d régim rasiorio, l ord d la cuació difrcial qu modla dicho rasiorio s igual al úmro d lmos almacadors d rgía qu i l circuio. os lmos almacadors d rgía so los capaciors, qu la almaca forma d u campo lécrico, y los iducors, qu lo hac mdia u campo magéico. as rsiscias sólo pud disipar la rgía forma d calor. jmplo.. V5 V k l régim rasiorio d la corri d s circuio s dscribirá co ua cuació difrcial d ord, ya qu coi u úico lmo almacador. jmplo.. V V6 k uh uh a cuació difrcial para s circuio ambié srá d ord, ya qu, auqu l circuio i dos iducors, como sos sá sri pud obrs u iducor quival. Págia 8 d 8

9 jmplo.. V V6 k uh uado s plaa l régim rasiorio d s circuio s obi ua cuació difrcial d ord, porqu claram l circuio i dos lmos almacadors d rgía.. Drmiació d las codicios iicials dl problma as codicios iicials dl problma (rcordmos qu so csarias para dspjar las cosas d la solució d la cuació difrcial s drmia d la sigui mara: los capaciors: s da la sió sobr l capacior l isa iicial, por jmplo: V c ( los iducors: s caso s sablc la corri qu pasa por l iducor l isa iicial, por jmplo: i ( Aclaració: l caso d los capaciors, rsula quival coocr la sió iicial o la carga iicial, dado qu Q / V. Noar qu la caidad d codicios iicials qu db dars db sr igual al úmro d cosas qu ga la cuació difrcial, y s úmro s igual al ord d dicha cuació.. Forma d las xpocials d las solucios as solucios qu s obi sos problmas simpr so xpocials, qu pud sr rals o compljas. l caso d las xpocials rals (y d la par ral d las xpocials compljas simpr so dcrcis, o sa, los xpos so simpr mors qu cro. so s así porqu ua xpocial posiiva implicaría, por jmplo, qu u capacior s carga hasa l ifiio, y so o s físicam posibl. Págia 9 d 9

10 ircuios d primr ord os circuios d primr ord rcib s ombr porqu la cuació difrcial qu caracriza la variació d la corri co l impo s d primr ord. s caso paricular, la rsolució d la cuació difrcial s simplifica dbido a qu pud aplicars sparació d variabls las cuacios homogéas.. jmplos jmplo..: circuio sri xciado por fu Dado l sigui circuio, corar la variació d la corri qu circula fució dl impo. codicios iicials: k V ( V omo odo circuio sri, s plaa primr lugar la cuació d la malla: V V mplazado las sios sobr la rsiscia y sobr l capacior:. τ dτ a cuació obida s ua cuació igral. Para rasformarla difrcial, s driva ambos mimbros: solvido por sparació d variabls: d d Págia d

11 d d d d K l[ ] d d K K' dod K s la cosa a drmiar a parir d la codició iicial dada. l érmio qu sá l xpo s domia cosa d impo dl circuio y s lo doa co la lra τ (au. τ l circuio sri a cosa d impo dpd dl circuio, y da ua ida d cuáo dura l régim rasiorio, ya qu lugo d rascurridas cico cosas d impo s pud cosidrar qu l circuio alcazó l régim prma. a codició iicial s da la sió dl capacior, pro s csia ua codició iicial sobr la corri dl circuio. Para obrla s plaa la cuació d malla l isa : ( V ( V ( ( V ( omo V ( y ( Para dspjar la cosa K, s valúa l isa : Por lo ao, la solució dl problma s: K' K' jmplo..: circuio sri xciado por codicios iicials s caso, s i u capacior qu i ua sió iicial disia d cro para podr hacr fucioar l circuio, y o hay fus. Págia d

12 Vo -- k codició iicial: V ( V l sido qu s idica l procdimio d rsolució s idéico al jmplo.., co la salvdad d qu la cuació d malla sá igualada a cro porqu o hay fus. a solució i la forma: K' Plaado la malla l isa para obr la codició iicial: V V ( V ( V ( V valuado : Por lo ao, la solució s: i V V ( K' K' V jmplo..: circuio xciado por fu As d rsolvr l circuio s sablcrá ua covció para la polaridad d la caída d sió l iducor y para l sido d circulació d corri por l mismo. I uh V -- Dados sos sidos, la caída d sió l iducor s dfi como: d V si l sigo mos d la ly d z d Págia d

13 V k codicios iicials: i ( S plaa la cuació d la malla: uh V V mplazado por las xprsios corrspodis: d d primr lugar s obi ua solució d la cuació homogéa asociada aplicado sparació d variabls: dih ( dih ( dih ( ih ( ih ( d K l[ ih ( ] d d i ( H K i H ( i H ( K' sido K la cosa a drmiar a parir d la codició iicial, y la cosa d impo: τ l circuio sri Fialm s db corar ua solució paricular. omo la cuació difrcial sá igualada a ua cosa (sió d la fu, s propo ora cosa como solució paricular: i P ( K mplazado la cuació difrcial y dspjado: K d d ( K K K i P ( Págia d

14 xis ora forma d obr la solució paricular qu cosis sudiar l comporamio dl circuio régim prma, s dcir, cuado. s caso, l iducor s compora como u corocircuio ya qu la caída d sió l mismo s cro. V k a solució paricular s obi calculado la corri l régim prma rmplazado l iducor por u corocircuio: i ip ( cualquir aálisis dl régim rasiorio d u circuio, s pud obr la solució paricular d la cuació difrcial sudiado l comporamio d dicho circuio cuado a solució gral s ocs la suma d i H ( i P (: K' Para dspjar la cosa K s valúa la codició iicial: Fialm, la solució s: K' K' S dja como jrcicio para l lcor la rsolució dl circuio sri xciado por codicios iicials (si fus. Págia 4 d 4

15 4 ircuios d sgudo ord sa scció s rsolvrá los rs casos corrspodis al régim rasiorio dl circuio sri. k codicios iicials: V i ( uh V ( Plaado la cuació d la malla V V V y rmplazado d τ dτ d a cuació arior, qu i ao a la fució icógia como a su drivada primra y su igral, s cooc co l ombr d cuació ígro-difrcial. Para rsolvrla, s driva ambos mimbros: d d d d a cuació caracrísica s: s s Dividido ambos mimbros por : s s Propoido qu y ω, la cuació caracrísica quda como: Págia 5 d 5

16 s s ω solvido la cuació caracrísica s cura qu las raícs so: s, ± ω so da orig a rs casos:. > ω s s s s (raícs rals y disias. ω s s s s (raícs rals y coicids *. < ω s s s s (raícs compljas cojugadas 4. Primr caso: raícs rals y disias l primr caso, la solució d la cuació difrcial i la sigui forma: A ω B ω A y B so las cosas a drmiar a parir d las codicios iicials. jmplo 4.. Aalizar l régim rasiorio dl sigui circuio: V 5 mf 5H daos: V mf 5H 5Ω i ( V ( a cuació caracrísica i la forma: s s mplazado co los daos dl problma s obi: s s Págia 6 d 6

17 as raícs so: s y s, lo cual corrspod co l primr caso sudiado (raícs rals y disias. a solució s, ocs: A B Para obr las codicios iicials para la corri y su drivada s plaa la cuació d malla l isa iicial: d V ( (obsrvado qu i ( d S obi qu: d d Por lo ao, las codicios icials so: i ( i '(, valuado dichas codicios i ( s dspja las cosas A y B: A B i'( A B, Fialm A, B,, [ ],6,5 orri (A,4,,, Timpo (sg Págia 7 d 7

18 4. Sgudo caso: raícs rals y coicids a solució para s caso s: A B jmplo 4.. Aalizar l régim rasiorio dl sigui circuio V mf 5H daos: mf 5H Ω V i ( V ( a rsolució s similar al jmplo 4.. (s dja como jrcicio. s caso, la solució qu s obi s la sigui:,4,8,7,6 orri (A,5,4,,, 4 5 Timpo (sg Págia 8 d 8

19 4. Trcr caso: raícs compljas cojugadas a obció d la solució s caso rquir u dsarrollo mamáico qu s dalla a coiuació. as raícs obidas d la cuació caracrísica so, s caso:, ω ± j s mplazado la solució propusa s obi: j j B A i ( ω ω j j B A i ( ω ω cordado la rlació d ulr: ϕ ϕ ϕ jas A A j cos mplazado : s ja A i cos ( ω ω s jb B cos ω ω Dado qu la fució coso s par y la fució so s impar, s cumpl qu ( ( α α cos cos ( ( α s α s mplazado odo : cos ( ω ω s ja A i s jb B cos ω ω Págia 9 d 9

20 gral, las cosas A y B so compljas. Tomado l facor comú: como facor Acos ω jas B ω cos ω jbs ω agrupado: ( ( A B cos ω j A B s ω lamado A B y D j( A B, la solució quda como: cos ω Ds ω Dod y D so las cosas a drmiar a parir d las codicios iicials. jmplo 4.. solvr l régim rasiorio dl sigui circuio. V 4 mf H daos: mf H 4Ω V i ( V ( mplazado los daos dl problma la cuació caracrísica s obi: s s 5 as raícs so: s j y s j, por lo ao corrspod al rcr caso sudio (raícs compljas cojugadas. a solució i ocs la sigui forma: Págia d

21 dod y ω solució: cos ω Ds ω. Al rmplazar co los daos dl problma, s obi la [ D cos( s( ] valuado las codicios iicials (s obi d la misma mara qu los jmplos 4.. y 4..: D i'( D,5 o lo cual, la solució obida s: D,5,5 s (,4,, orri (A,8,6,4, -, -, Timpo (sg S dja como jrcicio para l lcor la rsolució dl circuio sri si fus, o sa, xciado por codicios iicials. Págia d