5.1 Problemas de frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias. Clasificación de los métodos numéricos

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1 CAPITULO V. PROBLEMAS DE CONTORNO PARA ECUACIONES DIFERENCIALES (6h) 5.1 Prolems de froter pr ecucoes dferecles ordrs. Clsfccó de los métodos umércos 5. Métodos de reduccó l prolem de Cuchy. Dspros y Brrdo dferecl. 5.3 Método de dferecs fts. Brrdo lgerco 5.4 Método de coloccó 5.5 Método de proyeccó (Glerk) 5.6 Métodos vrcoles. Método de Rtz 5.7 Método de cudrdos mímos 5.8 Método de elemetos ftos E este cpítulo se cosder los métodos proxmdos de solucó del prolem de cotoro pr ecucoes dferecles de segud orde. Prmero, se lz los métodos que permte reducr el prolem de cotoro l prolem de Cuchy pr el cul los métodos umércos fuero cosderdos e el cpítulo teror. Posterormete se estud l técc de desrtzcó de l ecucó dferecl reducrl otr form de u ecucó e dferecs fts. Se lz tmé dferetes métodos proxmdos semlítcos usdo u cojuto de ls fucoes de se, tles como de coloccó y proyectvo (de Glerk) que permte reducr el prolem cl u sstem de ecucoes lgercs leles. Al fl, se cosder el método de elemetos ftos e l se de B-sples. 5.1 Prolems de froter pr ecucoes dferecles ordrs. Clsfccó de los métodos umércos Cosderemos el prolem de cotoro pr u ecucó dferecl de segud orde, formuldo como: Aqu los coefcetes e ls codcoes de froter (5.1.) dee stsfcer ls codcoes: Ls fucoes p x y y x (5.1.1) (5.1.) (5.1.3), q x e l ecucó (5.1.1) dee teer us propeddes que grtz l exstec de u solucó úc del prolem (5.1.1)-(5.1.). El prolem (5.1.1)-(5.1.) se llm el prolem mxt o tercer prolem de cotoro. E el cso cudo el prolem (5.1.1)-(5.1.) se llm el prolem de Drchlet o el prmer prolem de cotoro y cudo el prolem (5.1.1)-(5.1.) se llm el prolem de Newm o el segudo prolem de cotoro L solucó de myorí de prolems de cotoro es mucho más complcdo que smlres prolems de Cuchy y e dferec los últmos o exste uos lgortmos uversles. Por est rzó, exste u gr vredd de métodos umércos pr este tpo de prolems. Segú l represetcó de los resultdos de solucó del prolem, los métodos proxmdos se puede dvdrse codcolmete e dos grupos: proxmdo-lítcos que represet l solucó e u form de u fucó o l comcó de vrs fucoes y proxmdo-umércos que permte ecotrr ls solucoes sore u mll dscret. Segú ls téccs que se us, estos métodos puede clsfcrse de sguete mer: 1) Métodos de reduccó l prolem de Cuchy (dspros, rrdo dferecl, rrdo trgoométrco, reduccó) ) Métodos de dscretzcó (método de dferecs fts, método de Númerov 3) Método de coloccó 4) Métodos proyectvos (Glerk) 5) Métodos vrcoles (método de cudrdos mímos, métodos de Rtz) 6) Métodos de elemetos ftos Los métodos 4, 5 y 6 l solucó proxmd represet e u form de u comcó lel de u cojuto de fucoes lelmete depedetes, metrs que los métodos 1, y 3 proporco us tls de ls solucoes proxmds sore u mll dscret. Geerlmete, estos últmos métodos so más smples pr progrmr y permte ecotrr l solucó sore u mll co u precsó cotrold segú el crtero de Ruge. S emrgo, los métodos del prmer grupo tee sus vetjs relcods co u posldd de ecotrr co mucho meor costo computcol us proxmcoes reltvmete ues. 5. Métodos de reduccó l prolem de Cuchy. Dspros y Brrdo dferecl. Teedo e cuet que hemos estuddo vros métodos umércos uversles pr resolver el prolem de Cuchy (Euler, Ruge- Kutt, multpsos, predctor-corrector) se puede cosderr u prolem de cotoro como result, se ecuetr u mer de trsformr u prolem de cotoro otro prolem de Cuchy equvlete. Exste vrs poslddes pr hcerlo. Cd de ests poslddes coduce u ecesdd de resolver o solo u prolem de Cuchy so vros, y veces muchos veces co dferetes prámetros cles. A cotucó cosderemos u pr de estos métodos.

2 5..1 Método de dspros Cosderemos como ejemplo el sguete prolem de Drchlet (5..1) L dferec co el prolem de Cuchy cosste e l usec de l formcó sore l prmer dervd l co del tervlo e el puto x. Teedo e cuet que l dervd de l fucó e el puto x y x escogeremos el vlor de l dervd e el defe l pedete de l curv puto x y t 1 y reemplcemos el prolem de cotoro (5..1) por el sguete prolem de Cuchy: (5..) Usdo lgú método de solucó del prolem de Cuchy ecotrremos el vlor de l fucó de y x e el puto x y,. L comprcó del vlor, pr codcoes cles prtculres (5..) que deotemos como 1 otedo y, co l codcó de froter (5..1) y B 1 formulr el uevo prolem de Cuchy co u uevo águlo de dspro pr el águlo 1 l sucesó y, sedo y, el vlor de l fucó proporco osotros como corregr el águlo de dspro pr de tl mer que dferec B y, y x, l solucó del prolem de Cuchy: se meor que (5..3) Bsádose e est estrteg se selecco u sucesó de los águlos 1,, 3, que grtz u covergec de los vlores de,, k 1,,3 l vlor B. U proceso tertvo decudo e este cso es el método de seccó. k 5.. Método de rrdo dferecl Método de rrdo dferecl utlz ls msms des que permte solucor u sstem de ecucoes lgercs leles co u mtrz trdgol. E este método llmdo el rrdo lgerco, l solucó del prolem se ecuetr medte dos procesos tertvos sucesvos, prmero desde rr hc jo y después desde jo hc rr. S e el proceso tertvo lgerco ls relcoes recurrec está dds por u ecucó e dferecs fts e el cso de rrdo dferecl est relcó está dd por u ecucó dferecl. Admtmos que exste dos fucoes x x que permte reducr ecucó dferecl lel de y segudo orde (5.1.1) u ecucó dferecl equvlete del prmer orde (5..4) Dervemos ms prtes de est guldd respecto l vrle x, y y y y sustturemos este resultdo e l ecucó (5.1.1), oteedo Despejdo est guldd respecto l dervd y se otee u relcó smlr (5..4) (5..5) Ls ecucoes (5..4) y (5-.6) so detcs jo l sguete codcó: (5..6) E cosecuec, ls fucoes x y x (5..7) dee stsfcer l sguete sstem de ecucoes dferecles de l prmer orde: (5..8) Pr ecotrr ls codcoes cles pr ecucoes (5..8) y completr el prolem de Cuchy utlzremos l prmer codcó de l froter (5..) e el puto x. Susttuyedo (5..4) e est codcó teemos 0 1 y 1 A. Cosderemos, prmero el cso prtculr cudo 1 0, pr el cul l codcó teror se cumple pr codcoes cles: Ahor se puede resolver el prolem de Cuchy (5..8)-(5..9) respecto fucoes cosderdos e el cpítulo teror. U vez so ecotrds ls fucoes x y x x y (5..9) x usdo uo de los métodos, se puede volver solucor l ecucó dferecl (5..4) tomdo como el puto cl x y el puto fl x, es decr desde l derech hc zquerd. Pr ecotrr

3 ls codcoes cles utlzremos e l segud codcó de l froter (5.1.) l guldd (5..4), pr oteer 0 1 y 1 B y smlrmete (5..9) ; B (5..10) L ecucó dferecl (5..4) juto co ls codcoes cles (5..10) form u prolem de Cuchy que puedesolucorse medte uos de los métodos estádres cosderdos e el cpítulo teror. 5.3 Métodos de dscretzcó Este grupo de métodos reduce los prolems de froter u sstem de ls ecucoes lgercs leles Métodos de dscretzcó smple

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6 5.3. El lgortmo Númerov El método de Númerov es reltvmete smple y efcete pr l tegrcó de ls ecucoes dferecles de segudo orde que tee l form (5.3.1). Pr deducr ls fórmuls correspodete es comezmos co u úsqued de u proxmcó de l segud dervd e (5. 3.1) de l precsó superor e comprcó co l oted e l seccó teror usdo ls dferecs fts de tres putos. Co este f prtmos de ls gulddes evdetes de expsoes e seres de Tylor: h h h h y1 y hy y y y y O h (5.3.) 3! 4! 5! Sumdo ls formuls (5.3.) co los sgos superor e feror y dvdedo ms prtes de l guldd por h llegmos l sguete relcó IV V 6 Por otro ldo, e est fórmul el prmer térmo e l prte derech, segú l ecucó (5.3.1) es gul : ; ; y k y S k y k x y x k y S S x (5.3.4) L guldd (5.3.4) es exct. (5.3.3) El segudo térmo e l prte derech, segú ls ecucoes (5.3.1) y (5.3.3) es gul : k y S k y S k y S IV d y 1 1 y k y S O h h Al susttur (5.3.3) y (5.3.4)e (5.3.5) podemos oteer sguetes relcoes de recurrec: (5.3.5) (5.3.6) Ls relcoes de recurrec (5.3.6) puede ser resueltos tto co ls tercoes hc delte, expresdo explíctmete y 1 o hc trás pr 1 6 y. E cd cso el error locl es de orde Oh. Aótese que este es u orde más precso que el de curto orde método de Ruge-Kutt, el cul podrí ser utlzdo por ejemplo e el método de dspros. El esquem Numerov tmé es más efcete, y que e cd pso se requere clculr los vlores de ls fucoes de k y S sólo e los odos de l mll. Ejercco 3.1 Aplíquese el lgortmo Numerov l prolem Itégrese desde x = 0 hst x = 1 co dferetes psos y compárese l efcec y l excttud co lguos de los métodos dscutdos terormete. Teg e cuet que tedrá que utlzr lgú procedmeto especl (Por ejemplo, u sere de Tylor) pr geerr el vlor de y y h ecesro pr cr el proceso de recurrec de tres térmos Solucó de sstems ecucoes leles co ls mtrces trdgol. Brrdo lgerco Los dos métodos terores reduce el prolem de froter u sstem de ecucoes leles el cul e l form geerl tee sguete form mtrcl

7 Al coclur los cálculos de l surut, l solucó está lmced e el rreglo D(I). 5.4 Método de coloccó Cosderemos el prolem de froter pr u ecucó dferecl lel: (5.4.1) Busquemos l solucó proxmd e l sguete form (5.4.) dode llmds cotucó fucoes de se (5.4.3)

8 L fucó y ls fucoes de se x dee ser dolemete dferecles detro del tervlo, 0 x codcoes cles (5.4.1) de sguete mer A B y stsfcer ls Es fácl de verfcr que ls codcoes (5.4.4) grtz que solucó proxmd (5.4.) stsfce utomátcmete ls codcoes de froter (5.4.1) L represetcó de l solucó proxmd e l form (5.4.3) se utlz e dferetes téccs proxmds, los cules solmete se dfere por el crtero que se us pr seleccor los coefcetes c descoocdos. E el método de coloccó los coefcetes c se selecco de tl mer que estos grtce el cumplmeto de l ecucó dferecl (5.4.1) por l prte de l fucó proxmd, 1, y x e u cojuto de los odos de coloccó: x1 x x3 x, e los cules (5.4.4) (5.4.5) L y x f x E l f form explíct esto sgfc: Al susttur e est guldd l expresó (5.4.) después us trsformcoes lgercs oteemos (5.4.5) (5.4.5) Est últm expresó, e reldd es u sstem de ecucoes leles respecto coefcetes cógtos c, 1,,,, el cul puede ser represetdo e u form estádr: dode (5.4.6) (5.4.7) Al resolver este sstem de ecucoes leles medte lgú procedmeto estádr se puede ecotrr los coefcetes cogtos c, 1,,, y x. y l sustturlos e l expresó (5.4.) ecotrr l solucó proxmd El éxto del método de coloccó gul como y otros métodos proxmdos depede e gr prte de l seleccó decud de ls fucoes de se x. Pr los prolems cocretos uo puede escogerls sádose e l formcó y de l fucó 0 x pror o e l formcó empírc. S est formcó o exste etoces se puede usr el método que se propoe e l cotucó. Como fucó usremos l sguete fucó lel 0 x 0 x x (5.4.8) co los c0effcetes, seleccodos de tl mer que l fucó ls solucoes del sguete sstem de ls ecucoes leles 0 x, stsfg ls codcoes de froter (5.4.4), es decr so S e ls codcoes de froter 1 0, ls fucoes de se x se puede escoger e l form (5.4.9) (5.4.10) o e el cso geerl, cudo 1 0 e l form: (5.4.10) Es evdete que ms fucoes utomtcmete stsfce l prmer codcó de froter (5.4.) e el puto x y stsfce l segud codcó de froter (5.4.) e el puto x s escoger E l expresó (5.4.10) y (5.4.11) e l expresó (5.4.10) (5.4.11)

9 A veces l seleccó de ls fucoes de se se smplfc cudo codcoes de froter, por ejemplo tee form E este cso x y ls fucoes de se x 0 0 se puede usr por ejemplo e form (5.4.1) Otro vrte de fucoes de se: Ls cules utomátcmete cumple codcoes de froter 0 Al cs0 teror se reduce u prolem de Drchlet geerl cudo ls codcoes de froter so (5.4.13) (5.4.14) E este cso hy que hcer el cmo de vrles pr reducr este prolem de cotoro l teror: x y A B A c x (5.4.15) 1 y reducr este prolem l teror Ejemplo Apcremos el método de coloccó l sguete prolem de froter: Pr los coefcetes de l fucó 0 x x segú de ls codcoes de froter teemos u sstem de ecucoes leles Al resolverl teemos: Lmtmos el cálculo co u solo fucó de se l cul 1 segú ls fórmuls (5.4.11) y (5.4.10) Escogeremos como el úco puto de coloccó el cetro el tervlo x1 3 y sugermos que l fucó proxmd y x x c x stsfg l ecucó dferecl e este puto. Los vlores que hy que susttur e est ecucó so: x1 3 Susttuyedo estos vlores e l ecucó dferecl ecotrremos c y l solucó proxmd es E l Fg. 5.1 se compr el resultdo de proxmcó co l solucó exct y x 1 x 5.5 Método de proyeccó (Glerk) ( Pr eteder mejor el cotedo de est seccó y l seccó que sgue se recomed prmer leer el pédce mtemätco: espcos de fucoles l fl de este texto!) Pr eteder mejor ls des de los métodos proyectvos y su versó más efcetes llmdo el método de Glerk cosderemos prmero el prolem de cotoro e u form strct represetdo l ecucó dferecl como u relcó que y x H, medte l plccó de u crcterz l trsformcó de u fucó desde u espco de Hlert descoocd operdor ˆL e otr fucó f x H, ˆLy f (5.5.1)

10 Cosderemos hor u cojuto de ls fucoes,,, H, 1 lelmete depedetes que form u suespco completo e este espco, ls cules demás stsfce ls msms codcoes de froter que l solucó cotoro. Buscremos etoces l solucó proxmd 1 y x del prolem e l form: y x del prolem de y x C x (5.5.) Clro, que l fucó y x o stsfce exctmete l guldd (5.5.1)y por eso cosderemos l dscrepc etre ls prtes zquerd y derech. L cul tmé perteece l msmo espco de Hlert que l fucó descoocd ˆ y x : D x f x Ly x (5.5.3) Como l fucó y x es solmete l solucó proxmd osotros o podemos logrr que l dscrepc se gul cero exctmete, pero podemos l meos sugerr que est dscrepc se ortogol cd elemeto del suespco seleccodo,,, H,. 1 ˆ ˆ D, f Ly, 0 f x Ly x x 0; 1, (5.5.4) E Fg.5. se muestr logí de est codcó co el modelo vectorl e el espco 3D dode f es el vector e 3d y su proyeccó sore el plo XOY es Ly c1e x cey. Es evdete que l dferec de estos dos vectores Ly ex Ly ey f, 0, f, 0. f Ly es ortogol l plo XOY, es decr Al susttur (5.6.3) e (5.5.4) se otee u sstem de ecucoes leles respecto coefcetes cógtos c, 1,,,, el cul puede ser represetdo e u form estádr: Fg. 5. Represetcó geométrc del método de Glerk dode (5.5.5) ˆ ; ;, 1, (5.5.6) x L x f x x j j j Ejemplo Apcremos el método de Glerk l msmo prolem de froter de l seccó 5.4: Busquemos l solucó co u solo fucó de se gul como e l seccó 5.4 y x x c x de fucoes hlldos e l seccó 5.4 co l comcó lel E este cso teemos solo u ecucó lel pr el coefcete c 1 descoocdo ˆ ˆ d d ; ; ; ; 6 3 c x L x f x x L x x x f x x Utlzdo el método de tegrcó por prtes teemos: Es decr, l solucó proxmd pr el método de Glerk co u solo fucó de se

11 L comprcó gráfc de ls solucoes proxmds de los métodos de coloccó y de Glerk co l solucó exct y x 1 x se preset e l Fg Métodos vrcoles. Método de Rtz U de rms de mtemátcs relcods co el estudo de ls fucoes llmd cálculo vrcol estud los fucoles y permte reducr myorí de los prolems de froter u prolem de mmzcó de u fucol. S u fucó poe e correspodec u úmero l otro úmero, es decr cd úmero f x : x f x, el fucol poe e correspodec cd x otro úmero fucó f x u úmero f, f x f Defcó Dds u fucó u x y sus dervds u tervlo x, y u fucó compuest x, u, u tegrl relcodo co l fucó,, u x : x cotus detro del etoces el vlor de l u x x u x u x (5.6.1) se llm fucol de l fucó u x Uo de los prolems fudmetles de cálculo vrcol cosste e hllr u fucó u0 x estcor que mmz el fucol (5.6.1).es decr etre tods fucoes cotus cuys tryectors rrc e el msmo puto A y flz e el msmo puto B (ver Fg. 5. 3) ecotrr u fucó u x pr l cul el vlor de l tegrl (5.6.1) se mímo. L solucó de este prolem proporco 0 sguete teorem. Teorem de Euler-Lgrge pr u fucó de u vrle L fucó estcor u0 x que mmz el fucol (5.6.1), u xm es l solucó del prolem de froter pr l ecucó dferecl llmd de Euler-Lgrge x, u, u d x, u, u 0; u u, u u (5.6.) u u Ejemplo Cosderemos fucol co l fucó sutegrl 1 1 x, u x, ux p xux q x u x f xu x (1) Clculremos ls dervds prcles d q xu x f x; p xux u u Sustturemos ests expresoes e l ecucó de Euler Lgrge q xu x f x p xux 0 Juto co ls codcoes de froter est ecucó se reduce u form estádr co el operdor de Sturm-Louvlle ˆ ˆ d d Lu x f x ; u u, u u; L p x q x Cosderemos hor como se defe u fucol pr u fucó de dos vrles u u x, y Defcó Dds u fucó de dos vrles u x, y y sus dervds prcles,,, de l regó x, y c, d u x, y : y u fucó compuest x, u, ux, uy d u u x y x u u x y y cotus detro x etoces el vlor de l tegrl relcodo co l fucó u x dy x, u, ux, uy (5.6.3) c se llm fucol de l fucó u x, y Teorem de Euler-Lgrge pr u fucó de dos vrles L fucó estcor u0 x, y que mmz el fucol (5.6.3), ux m ecucó dferecl llmd de Euler-Lgrge y es l solucó del prolem de froter pr l

12 x, u, ux, uy x, u, ux, uy x, u, ux, uy 0; u x u y u x,,, ;,,, u y u y u y u y u x c u x u x d u x c d y Ejemplo Cosderemos fucol co l fucó sutegrl x, u, u, x uy ux uy q x u f xu; u u x, y (1) Clculremos ls dervds prcles x, u, ux, uy x, u, ux, uy u x, y u x, y q xu x f x; uxx; uyy; uxx u yy u x ux y uy x y Sustturemos ests expresoes e l ecucó de Euler Lgrge (5.6.4) y oteemos el prolem de froter, u x, y u x y x q x u x f x y,,, ;,,, u y u y u y u y u x c u x u x d u x c d ; (5.6.4) APENDICE MATEMÄTICO: ESPACIOS DE FUNCIONALES Defcó 11U cojuto de tods fucoes cudrdo tegrles detro del tervlo, form u espco L : f x L, f x (1) Defcó U cojuto de tods fucoes perteecetes l espco L, esclr form u espco de Hlert H, :,,,, pr ls cules demás está defdo el producto f x g x H f g f x g x () Defcó 3 Pr cd fucó f x H, se defe l orm de l fucó defd e el espco de Hlert, 1 H como: f f, f f x (3) Es fácl demostrr que pr ls orms de ls fucoes e el espco de Hlert se cumple relcoes smlres ls que exste etre ls logtudes de vectores e el espco de Eucldo (regls de trgulo) f g f g f,g ; f g f g, etc (4) Defcó 4 Dos fucoes f x, g x perteecetes l espco, cero: f x g x H, f, g f x g x 0 H se llm ortogoles s su producto esclr es gul (5) Defcó 5 U cojuto de ls fucoes u1, u,, u se llm lelmete depedetes sí exste uos costtes C1,C,,C pr ls cules e todos putos x, se cumple l relcó C1u 1 x Cu x Cux 0 S est codcó se cumple e todos putos solmete cudo todos coefcetes C so gules cero etoces ls fucoes u u u so lelmete depedetes.,c,,c 1 Defcó 6 U cojuto de ls fucoes 1,,,, H, culquer fucó f x H, f x H, 1,,,, H, f x C x,,, lelmete depedetes form u se complet sí puede ser represetd como u comcó lel de ests fucoes de se (6) Defcó 7 U cojuto de ls fucoes de se,,,, H, ests fucoes 1 1 form u se ortogol sí pr culquer pr de

13 , H,, x x 0 s j j j j (7) Defcó 8 Sedo u cojuto de ls fucoes 1,,,, H, culquer fucó f x H, e form 1 u se complet ortogol, l represetcó de f x C x (8) se llm sere de Fourer geerlzd y ls cules se clcul como, C los coefcetes de Fourer o coordeds e l fucó f x e el espco de Hlert, C f x f x (8) Teorem de Bessel. Sum de cudrdos de módulos de coefcetes de Fourer cocde co l orm de l fucó C, f f f x (9) 1 OPERADORES LINEALES Y AUTOADJUNTOS EN EL ESPACIO DE HILBERT Defcó. U opercó mtemátc ˆL que trsform u fucó H, otr fucó L ˆ H culquer pr de los úmeros 1, cumple l codcó L ˆ L ˆ L ˆ y demás pr (10) se llm el operdor lel. A cotucó el símolo crcuflejo se utlz pr deotr los operdores. Por ejemplo, multplcdo l fucó l vrle x pr dr u uev fucó x x xˆ x x x x puede ser cosderdo como u operdor ˆx que trsform l fucó x x por l fucó. Geerlmete, cudo l opercó es smple multplccó, el símolo crcuflejo sore el operdor se omte. Otro ejemplo el operdor dferecl ˆ d D x defdo como ˆ d x x D x x (11) x T x x, operdor de reflexó, Se puede cosderr mucho más ejemplos, como el operdor de trslcó x Iˆ x x, operdores de tegrcó xkˆ x ydy, ˆ Por ejemplo, l ecucó dferecl pr osclcoes rmócs ˆ x 0 D k y dode D ˆ x k es sum de dos operdores ˆ D x y k x f ˆ x K x f x y y dy etc. d y k y 0 se puede escrr de l sguete mer, E geerl, l fucó ˆL, l resultdo de plccó del operdor es lelmete depedete de l fucó (o es prlel ˆL. Pero pr el operdor puede exstr u cojuto de fucoes que o cm su dreccó jo plccó del operdor, llmds fucoes props. Defcó L fucoes y los úmeros e llm ls fucoes props y los vlores propos del operdor ˆL, respectvmete, s estos stsfce l codcó L ˆ ; 1,,3,, N (1) N-es l ctdd de ls fucoes props y los vlores propos puede ser cero, fto o cluso fto. U ejemplo smple de u ecucó de uto-vlores mplc el operdor de dervcó ˆ d kx D x. Cudo este operdor se plc sore l fucó, x e el resultdo es ˆ ˆ kx d kx kx kx Dx x Dxe e ke k x. Por lo tto, ls fucoes expoecles e so fucoes props del operdor de dfereccó co los vlores propos correspodetes k. Como k puede teer culquer vlor úmero ls fucoes u x L, form u cojuto cotuo de ls fucoes. props del operdor dferecl e el espco L :

14 ˆ x Otro ejemplo es el operdor D d cuyos vlores propos ˆ x ; 1,,3, que stsfce l msm D x x ecucó dferecl co dos tpos de ls fucoes props sore dos tervlos dferetes, prmeros x sx L 0, ; 0 0 x cos x L /, / ; / / 0 y segudos Auque e este últmo ejemplo gul como e el ejemplo teror hy u úmero de fucoes props fto ests fucoes props form u cojuto dscreto, metrs que e el ejemplo teror cojuto fue cotuo. Exste u clse de los operdores especles cuyos vlores propos so reles, llmdos operdores uto-djutos Defcó. U operdor ˆL se llm uto-djuto (o hermto) s pr culquer pr de ls fucoes cudrdos tegrles x, x L, el operdor  stsfce l codcó:, ˆ ˆ, ˆ ˆ L L L L (13) Ejemplo Demostrremos que el operdor culquer fucó p x y el operdor p x e el espco de fucoes f x H f f L ˆ d d 1 L ˆ d p x solo cudo p x ˆ d d d, L1 x p x x x p x x ˆ d L, p x x x d ˆ 1, ; 0 es utodjuto pr cost. E reldd, d d x p x x d p x x x L