Enunciados y Soluciones

Transcripción

1 LIII Olimpiada matemática Española (Cocurso Fial) Euciados y Solucioes. Determia el úmero de valores distitos de la expresió dode {,,..., 00}. +, Solució. Sumado y restado al umerador se obtiee a Ahora vamos a ver si hay dos térmios iguales, es decir, cuado es a p a q para p q. Esto es equivalete a ecotrar los eteros p q para los que p 4 p p + q 4 q q + (p q)(pq 4p 4q + ) 0 pq 4p 4q (p 4)(q 4) 4 De lo aterior se deduce que (p 4) 4 y p 4 {±, ±, ±7, ±4}. Los valores egativos o so posibles porque ambos p, q co lo que p 4 {,, 7, 4}. Como (p 4)(q 4) 4 etoces q 4 {4, 7,, } de dode resulta los pares (p, q) (5, 8) y (p, q) (6, ) para los que a 5 a 8 y a 6 7 a 6. Fialmete, dado que todos los a so úmeros racioals, etoces etre los 00 primeros térmios de la sucesió hay 98 que so distitos.. U trazador de putos medios es u istrumeto que dibuja el puto medio exacto de dos putos previamete señalados. Partiedo de dos putos a distacia y utilizado sólo el trazador de putos medios, debes obteer dos putos a ua distacia estrictamete compredida etre 07 y, trazado el 06 meor úmero posible de putos. Cuál es el míimo úmero de veces que

2 ecesitas utilizar el trazador de putos medios, y qué estrategia seguirías para lograr tu objetivo? Solució. Si pérdida de geeralidad podemos trabajar co la recta real y cosiderar que uo de los putos iiciales es el 0 y el otro el. Es fácil comprobar que después de k aplicacioes del trazador, todos los putos hallados so de la forma k co 0 k siedo la fracció o ecesariamete irreducible. Esto lo probaremos por iducció. E efecto, para k se tiee los putos 0 0,, Supogamos que e el paso k los putos so 0 0, k,, r k,, s k,, k k k Etoces, aplicado el trazador de uevo, e el paso k + los putos obteidos so 0 0, k+,, ( r k+ + s ) r + s k+,, k k k+ k+ Ahora os cetramos e las distacias etre putos. Utilizado el trazador ua vez, la distacia etre dos cualesquiera de los putos obteidos 0 0,, es u múltiplo de y aplicado el trazador k veces resulta que la distacia etre dos cualesquiera putos es u múltiplo de. Es imediato comprobar k que etre y se cumple las desigualdades < 7 07 < 65 < 7 06 < 66 7 Luego cualquier distacia estrictamete icluida etre ecesariamete e el deomiador u expoete k 7. y ha de teer Ahora vamos a ver que el úmero míimo de veces que hay que utilizar el trazador de putos medios es k 7 y describiremos ua estrategia para coseguirlo. E efecto, usado el trazador ua vez se obtiee el puto, luego lo utilizamos

3 de uevo etre este puto y para obteer el puto 4, y a partir de aquí calculamos el puto medio etre el último puto hallado hasta ese mometo, y el puto, obteiedo sucesivamete los putos 5 8 5, , 7 7 5, 64 6, y tras u total de 7 aplicacioes del trazador, se obtiee el puto Aplicamos ahora 0 veces el trazador, para obteer el puto medio etre el último puto hallado hasta ese mometo y el puto 0, obteiédose sucesivamete los putos 65, 65 8, 65 65,, Este último puto dista tato de 0 como del aterior puto hallado 7. 6 Luego e 7 pasos hemos coseguido uestro objetivo, y hemos termiado.. Sea p u primo impar y S q q(q + )(q + ), dode q p 5. Escribimos p S q e la forma m, dode m y so eteros. Demuestra que m (mod p); es decir, que m y da el mismo resto al ser divididos por p. Solució. Se tiee que k(k + )(k + ) (k + ) k k(k + )(k + ) k(k + ) (k + )(k + ) k ) k + k + ) k + k + k + + k + k + co lo que S q q + q + + ) q ) q + Ates de cosiderar el caso geeral veamos que ocurre co los primeros casos particulares. Para p es q y se cumple el euciado trivialmete. E el caso e que p q 5, se tiee S ) + ) 6

4 y m m + S ) ) Como e los deomiadores o aparece el primo 5 etoces m es ua fracció cuyo umerador es múltiplo de 5 mietras que su deomiador o lo es, lo que permite cocluir que m es múltiplo de 5 o m (mod 5). Notese que se ha agrupado las p 4 fraccioes e p parétesis cuyos deomiadores suma p 0. Geeralizado lo aterior, resulta + m m + S q p q + q + + ) q q ) ( + p + + ) p p p p + p p }{{} p sumados ( ) p+ + p + + p + ) p + }{{} p parétesis cuyos deomiadores suma p p ( p+ p )( ) + + p (p )(p + ) }{{} p térmios ) p Al igual que e el caso particular, todos los factores que aparece e los deomiadores so primos co p mietras que el umerador o lo es, lo que permite cocluir que m es múltiplo de p. Es dcecir, m (mod p). 4. Se dispoe de ua fila de 08 casillas, umeradas cosecutivamete de 0 a 07. Iicialmete, hay ua ficha colocada e la casilla 0. Dos jugadores 4

5 A y B juega alterativamete, empezado A, de la siguiete maera: E su turo, cada jugador puede, o bie hacer avazar la ficha 5 casillas, o bie hacer retroceder la ficha casillas, si que e igú caso se sobrepase las casillas 0 o 07. Gaa el jugador que coloque la ficha e la casilla 07. Cuál de ellos dispoe de ua estrategia gaadora, y cómo tedría que jugar para asegurarse gaar? Solució. Vamos a probar que el jugador A tiee estrategia gaadora. Comieza de la úica forma posible: llevado la ficha hasta la casilla 5. A partir de ahí, durate 8 turos dobles BA, el jugador A hará lo cotrario de B: si B avaza 5, A retrocede, y viceversa. De este modo, la ficha queda e la casilla y es turo de B. Los siguietes movimietos so forzados: 7 turos dobles BA de restar. La ficha queda e la casilla y es turo de B. Ahora:. Si B avaza 5, dejará la ficha e la casilla 06 y tras turos dobles AB, forzados, la ficha queda e la casilla y A gaa sumado 5.. Si B resta, dejará la ficha e la casilla 96. Etoces, A avaza 5 para dejarla e 04. Tras turos dobles forzados BA, la ficha queda e Después, B está obligado a restar hasta 964 y, e su turo, A gaa sumado Determia el máximo valor posible de la expresió 7abc + a a + bc + b b + ca + c c + ab, siedo a, b, c, úmeros reales positivos tales que a + b + c. Solució. E primer lugar se observa que cuado a b c que toma la expresió es, lo cual sugiere cojeturar que 7abc + a a + bc + b b + ca + c c + ab el valor Para probar la cojetura, se puede aplicar la desigualdad de Cauchy, ( u v) u v a los vectores u ( a, b, c) y v ( bc, ca, ab), obteiédose 9abc ( abc + abc + abc ) (a + b + c) (bc + ca + ab) 5

6 Multiplicado por ambos miembros de la desigualdad aterior y teiedo e cueta la restricció, resulta 7 abc (a + b + c) (bc + ca + ab) (bc + ca + ab) Por otro lado, dado que a a + bc a (a + bc), aplicado la desigualdad etre las medias aritmética y geométrica a los úmeros a y a + bc se obtiee a a + bc a (a + bc) a + (a + bc) Aálogamete, se tiee que b b + ca (b + ca) (a + bc) y c c + ab (c + ab) Combiado las desigualdades ateriores, y teiedo e cueta otra vez la restricció, se obtiee 7abc + a a + bc + b b + ca + c c + ab (bc + ca + ab) + (a + bc + b + ca + c + ab) (a + b + c + ab + bc + ca) (a + b + c) Esto prueba la cojetura y el máximo de la expresió es. 6. E el triágulo ABC los putos medios respectivos de los lados BC, CA y AB so D, F, E. Sea: M el puto dode la bisectriz iterior del águlo B corta al lado AB, y N el puto dode la bisectriz iterior del águlo C corta al lado AC. Sea ademas O el puto de itersecció de las rectas y MN, P el puto de itersecció de AB y F O, y R el puto de itersecció de AC y EO. Demuestra que P R. Solució. Aplicado el teorema la bisectriz a los triágulos B y C se obtiee MB AM BD y NC AN DC 6

7 A E M P O F N R B D C MB Como BD DC, AM NC y etoces MN es paralelo a BC, de dode AN AB AM BC MB. De aquí, juto co MN AM BD, resulta BD + + BD + MB AM MB + AM AM AB AM BC MN Como EF es la paralela media de ABC, EF y BC so paralelas, BD EF y BC EF. Sustituyedo esto e () obteemos () BD + BC MN que lo podemos escribir como BD + EF MN MN BD + EF MN + EF Como MN y EF so paralelas a BC, so paraleleas etre sí, y etoces () AE EM AF AN Aplicado dos veces el Teorema de Meelao al triágulo AMN, ua co la trasversal ER y otra co la trasversal P F, se obtiee AR NR AE EM MO ON y AP MP AF F N MO ON, 7 ()

8 así que teiedo e cueta () obteemos AP MP AR lo cual es equivalete a NR que P R es paralelo a MN. Pero MN es paralelo a EF y el cuadrilátero EP RF es u trapecio. Ya que MN es paralela a las bases por el puto de itersecció de las diagoales, MN es la media armóica de las bases del trapecio, es decir P R + EF MN y por (), P R de dode se cocluye que P R. 8