Esto significa que los lados de la figura F2 se obtienen multiplicando por 2 los lados de F1

Transcripción

1 1.- FIGURAS Y CUERPOS SEMEJANTES Concepto de semejanza. Razón de semejanza Dos figuras o cuerpos son semejantes cuando tienen la misma forma y las medidas de ambas son proporcionales. Ejemplo: Las figuras F1 y F son semejantes porque los ángulos respectivos son iguales y las medidas son proporcionales, pues: = = = = Esto significa que los lados de la figura F se obtienen multiplicando por los lados de F1 Decimos que la razón de semejanza es r = Si dos figuras F1 y F son semejantes, las medidas de la figura F se obtienen multiplicando las correspondientes medidas de F1 por un mismo número positivo r, llamado razón de semejanza. Si r > 1, entonces F es más grande que F1 Si r < 1, entonces F es menor que F1 La razón de semejanza también se puede calcular dividiendo cualquier medida de la figura F entre la correspondiente medida de F1. Criterios de semejanza en los triángulos Dos triángulos son semejantes si: 1) Tienen dos ángulos correspondientes iguales ) Tienen los lados correspondientes proporcionales 3) Tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales No es necesario comprobar las tres cosas a la vez Triángulos en posición de Thales Dos triángulos están en posición de Thales si tienen un vértice común y los lados opuestos a este vértice son paralelos. Ejemplo: Los triángulos ABC y AB C están en posición de Thales. Estos triángulos siempre son semejantes porque tienen los ángulos iguales Ejercicio 1 Una foto de 6,5 cm x 10,5 cm se amplía a un ancho de 13 cm. Cuánto mide de largo la foto ampliada? - Página 1 -

2 Ejercicio Los siguientes triángulos son semejantes. Halla la razón de semejanza y los lados y ángulos que faltan. Ejercicio 3 Calcula el valor de x: Ejercicio 4 Usando la semejanza, calcula la altura del edificio 1 En una tienda de souvenirs venden reproducciones de la Torre Eiffel de diferentes tamaños. a) Calcula la razón de semejanza. Sol.: r=,5 b) Cuánto mide el lado de la base de la pequeña? Sol.: 4 cm c) Si el lado de la base de la auténtica Torre Eiffel es 108 metros, cuál es su altura? Sol.:34 m Razona si los siguientes triángulos son semejantes: Sol.:Sí, porque tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales 3 Averigua si los siguientes triángulos son semejantes y di por qué: Sol.:Sí, porque tienen los lados proporcionales - Página -

3 4 Calcula la altura del árbol. Sol.: 4,375 m 5 Calcula la profundidad, h, del pozo. Sol.:5,1m 6 Calcula la altura del árbol en los siguientes casos: a) b) Sol.:a) 8 m Sol.: b) 5,4 m 7 Calcula el valor de x: Sol.: x= 10.- RAZÓN ENTRE LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES Razón entre los perímetros de dos figuras semejantes El perímetro de la figura F1 es P = = 14 cm El perímetro de la figura F es P = = 8 cm P 8cm La razón entre los perímetros es = = = razón de semejanza P 14cm En general, la razón entre los perímetros de dos figuras semejantes coincide con la razón de P semejanza, r: r razón de semejanza P = = - Página 3 -

4 Razón entre las áreas de dos figuras semejantes De forma análoga, se puede ver que la razón entre las áreas de dos figuras semejantes coincide con el cuadrado de la razón de semejanza, r : A r A = Razón entre los volúmenes de dos cuerpos semejantes De forma análoga, se puede ver que la razón entre los volúmenes de dos cuerpos semejantes coincide con el cubo de la razón de semejanza, r 3 V 3 : r V = Ejercicio 5 Sabiendo que los polígonos siguientes son semejantes, cuánto mide el perímetro del polígono mayor? Ejercicio 6 Dos figuras F1 y F de áreas 7 cm y 63 cm, respectivamente, son semejantes a) Cuál es la razón de semejanza? b) Si el perímetro de F es 1 cm, cuál es el perímetro de F1? Ejercicio 7 Dos cuerpos semejantes tienen áreas A = 45 cm, A = 115 cm. Cuántas veces es mayor el volumen del segundo que el del primero? Ejercicio 8 Dos figuras F1 y F de perímetros 7 cm y 4 cm, respectivamente, son semejantes a) Cuál es la razón de semejanza? b) Si el área de F es 61 cm, cuál es el área de F1? 8 Dos figuras semejantes tienen 55 cm y 1 cm de superficie. Cuántas veces es mayor el perímetro de la primera que el perímetro de la segunda? Sol.:5 veces 9 Las superficies de dos bidones semejantes son 40 m y 90 m, Calcula el volumen del primero sabiendo que el segundo tiene un volumen de 430 m 3. 3 Sol.:70 m 10 Dos cuerpos geométricos semejantes tienen volúmenes de 49,75 m 3 y 18,5 m 3. La segunda figura tiene 6 m de perímetro. Cuál es el perímetro de la primera? Sol.:186 m 11 Los volúmenes de dos cuerpos del espacio semejantes son 7 cm 3 y 56 cm 3. Cuántas veces es mayor la superficie del segundo que la del primero? Sol.: 4 veces 3.- MEDIDA DE ÁNGULOS Para medir ángulos se usan principalmente dos sistemas de medida: - El sistema sexagesimal que usa como unidad de medida el grado. Un grado es 1/90 del ángulo recto. Los submúltiplos del grado son el minuto (1 ) y el segundo (1 ) : 1º = 60 ; 1 = 60 - Página 4 -

5 - El sistema circular que usa como unidad de medida el radián. Un radián es el ángulo que abarca un arco igual al radio. Para pasar de grados a radianes o viceversa, puedes usar la equivalencia: 180º π rad Ejercicio 9 Expresa en radianes los ángulos: a) 330º (en función de π) b) 150º 36 Ejercicio 10 Expresa en grados sexagesimales los ángulos: a) 4π/5 rad b),5 rad 1 Calcula cuántos grados sexagesimales son: a) 5π/6 rad Sol.:150º b) 3π/4 rad Sol.:135º c) 5,3 rad Sol.:303º 40 3 d) rad Sol.:114º Expresa en radianes los ángulos: a) 160º (en función de π) 8π Sol.: rad 9 b) 315º (en función de π) 7 Sol.: π rad c) 40º (en función de π) 4 π Sol.: 4 3 d) 70º50 Sol.:1,4 rad e) 10º 0 15 Sol.:,1 rad rad 4.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO Considera un ángulo agudo cualquiera, α RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO α seno de coseno de tangente de α = sen α = α = cos α = α = tg α = catetoopuesto hipotenusa catetocontiguo hipotenusa catetoopuesto catetocontiguo Usando la semejanza de triángulos se puede demostrar que las r.t. solo dependen del valor del ángulo y no de las medidas de los lados del triángulo rectángulo. Relación entre las razones trigonométricas de dos ángulos complementarios. Si α es un ángulo agudo, los ángulos α y 90º α son complementarios (porque suman 90º) sen α = b c = cos (90º α) cos α = a c = sen (90º α) Las r.t. de un ángulo agudo también se pueden hallar con la calculadora científica usando las teclas sin, cos y tan Así, por ejemplo, para calcular sen 30º tecleamos sin 30 = y obtenemos 0.5. Luego, sen 30º = 0,5 De igual forma se calcula el coseno y la tangente usando las teclas cos y tan. - Página 5 -

6 También se puede hallar con la calculadora científica el ángulo α conocido el valor de sen α, cos α o tg α. Por ejemplo, si queremos hallar el ángulo agudo α que cumple cos α = 0,5 tecleamos SHIFT cos 0.5 = y obtenemos 60 ; luego, α = 60º De igual forma se hace si nos dan sen α o tg α, usando las teclas sin y tan. Ejercicio 11 Dado el triángulo a) Calcula el cateto que falta b) Halla las razones trigonométricas (r.t.) de sus ángulos agudos c) Calcula el valor de sus ángulos agudos Ejercicio 1 En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 6,5 cm y uno de los ángulos agudos mide 40º. Halla los catetos y el otro ángulo agudo 14 Calcula los ángulos agudos y el cateto que falta. (Las medidas de los lados están dadas en cm) A 5 C B Sol.: C = 3º A = 66º 5 19 BC= 1 cm 15 Dado el triángulo rectángulo a) Calcula la hipotenusa Sol.:13 cm b) Halla las r.t. del ángulo B Sol.:sen B= cos B= tg B= En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 7 dm y un cateto 6 dm a) Calcula el valor del otro cateto Sol.: 13 cm b) Halla los ángulos agudos Sol.:58º y 31º10 17 Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, redondeando las medidas a las unidades: a) La hipotenusa mide 300 cm y un ángulo 60º Sol.: 150 cm, 60 cm y 30º b) Un ángulo mide 50º y el cateto opuesto a este ángulo mide 10,6 cm Sol.: 14 cm, 9 cm y 40º - Página 6 -

7 5.- RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Observa: y senα y senα = h = = tg α = tg α cosα x x cosα h Si dividimos todos los términos de la relación fundamental de la trigonometría entre cos α, α α obtenemos: + = α α De donde: α Ejercicio 13 Halla las restantes r.t. del ángulo agudo x en los siguientes casos: a) 3 cosx= b) 4 5 senx= c) 3 18 Calcula las demás r.t. del ángulo agudo α en los casos: a) c) tgα = 7 d) cosα = 0,4 e) 1,5 tg x= 0 7 senα = b) 5 senα = tgα = f) 0, Sol.: a) cos α= tg α= b) sen α= tg α= c) cos α= sen α= d) sen α= 0,9 tg α=,3 e) cos α= 0,6 sen α= 0,78 f) cos α= 0,9 tg α= 0,48 5 cosα = 7 19 Para un ángulo agudo α se sabe que tgα = 3. Halla las demás r.t. de α y después calcula el ángulo α. 1 3 Sol.: cos α= sen α=, α= 60º 6.- APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA A LA VIDA REAL Problemas de observación simple Ejercicio 14 Calcula la altura de la cometa Ejercicio 15 Un ciclista subiendo un puerto de montaña ve una señal que indica 6%. Qué ángulo forma la carretera con la horizontal? - Página 7 -

8 0 El tobogán de un parque tiene una longitud de,9 m y forma un ángulo de 40 con el suelo. Qué altura, x, tendrá la escalerilla? Sol.: 1,86 m 1 Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50 m, se ve un árbol justo enfrente. Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra orilla? Sol.: 8,87 m En la ruta entre dos localidades hay una señal que advierte que la pendiente es del 10%. a) Halla el ángulo que forma ese tramo de carretera con la horizontal. Sol.:5º 4 38 b) Si un coche ha recorrido 5 kilómetros por esa carretera, cuántos metros ha descendido? Redondea el resultado a las centenas. Sol.: 497,5 m Problemas de doble observación Ejercicio 16 Halla la distancia x Ejercicio 17 Dos edificios distan entre sí 150 m. Desde un punto que está entre los dos edificios, las visuales a los puntos más altos de éstos forman con la horizontal ángulos de 35º y 0º, respectivamente. Halla la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo mismo. - Página 8 -

9 Ejercicio 18 Calcula la altura de la avioneta. (Las medidas están dadas en metros) 3 Calcula la altura del edificio Sol.: 46,7 m 4 Calcula la altura, h, de la torre del castillo Sol.: 10,9 m 5 Observa las medidas que ha tomado Juan para hallar la anchura del río. Calcula la anchura del río a partir de esos datos. Sol.: 6,8 m 6 Una escalera de bomberos de 1 m de longitud se ha fijado en un punto de la calle. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 60º. a) Halla la anchura de la calle. Sol.: 14,5 m b) Qué altura alcanza la escalera sobre cada una de las fachadas? Sol.: 8,5 m y 10,4 m - Página 9 -

10 7.- APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA EN LAS FIGURAS PLANAS Rectángulo Cuadrado Rombo Trapecio!" # $%&' ( ) *+,- 9 :./ / K L D FG =HIJC= U X MNOPQNROS T UVSRNQW En los cálculos tomaremos π =3,14 Ejercicio 19 Calcula el perímetro y área de un triángulo que tiene dos lados de 5 cm y 8 cm, respectivamente que forman un ángulo de 40º. Ejercicio 0 Un rectángulo tiene 6 cm de base y 10 cm de diagonal, halla el ángulo que forma la diagonal con sus lados y el perímetro y área del rectángulo Ejercicio 1 Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 14 cm y 8 cm. Halla también el perímetro del rombo Ejercicio Calcula el perímetro y área de un octógono regular circunscrito en una circunferencia de radio 1 m. Ejercicio 3 Calcula la longitud de una circunferencia de 314 cm de superficie y el ángulo que abarca una cuerda de 4 cm. - Página 10 -

11 7 En un triángulo isósceles el lado correspondiente al ángulo desigual mide 7,4 m y uno de los ángulos iguales mide 63º. Calcula el perímetro y el área del triángulo. Sol.: P= 3,7 m A= 6,86 m 8 De un rombo se conocen la diagonal menor, 4 m y el lado, 5 m. Halla los ángulos y el área del rombo. Sol.: 47º 9 3 y 13º A= 18,34 m 9 En un trapecio de 1 cm de altura y 4 cm de base menor, los lados oblicuos forman ángulos de 30º y 70º con la base mayor. Calcula el perímetro y el área del trapecio. Sol.: P= 69,9 cm A= 198,9 cm 30 Hallar el área de un pentágono regular de 30 cm de perímetro. Sol.: 61,94 cm 31 Calcula la superficie de una circunferencia de 314 cm de longitud y el ángulo que abarca una cuerda de 0 cm. Sol.: A= 7850 cm α= 3º APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA EN LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS Y Z [ \Y + Y prisma base lateral ] Z Y \ ^_`ab^ prisma base c d e f(ab+ ac+ bc) ortoedro g d hij ortoedro k l m n cubo o l n 3 cubo p q rstuvr p w p + p x w base pirámide base lateral pirámide 3 z { cilindro { π cilindro π r r h r h y π ~ cono π cono πr π r h 3 } r g En los cálculos tomaremos π =3,14 - Página 11 -

12 Ejercicio 4 Calcula el área y el volumen de un prisma regular octogonal de 1 cm de altura sabiendo que el octógono está inscrito en una circunferencia de radio 4 cm. Ejercicio 5 Calcula la superficie y volumen de un ortoedro de dimensiones 6 cm x 4 cm x cm y el ángulo que forma la diagonal del ortoedro con la base Ejercicio 6 Halla el volumen de un cubo de 94 m de superficie y el ángulo que forma la diagonal con la base Ejercicio 7 Calcula el área y el volumen de una pirámide regular pentagonal sabiendo que el pentágono tiene 8 cm de lado y 3 cm de apotema y que las caras laterales forman un ángulo de 50º con la base Ejercicio 8 Halla el área y volumen de un cilindro de 1 cm de altura y 5 cm de radio y el ángulo que forma su diagonal con la base Ejercicio 9 Halla el área y volumen de un cono de 9 cm de altura sabiendo que la generatriz forma un ángulo de 40º con la base Ejercicio 30 Calcula el área de una esfera de cm 3 de volumen 3 Calcula el área y el volumen de un prisma regular eneagonal de 16 cm de altura sabiendo que el eneágono está circunscrito en una circunferencia de radio 6 cm. Sol.: A= 864,7 cm V= 1887,8 cm3 33 Calcula la superficie y volumen de un ortoedro de dimensiones 7 cm x 5 cm x 3 cm y el ángulo que forma la diagonal del ortoedro con la base. Sol.: A= 14 cm V= 105 cm3 α= 19º Halla la superficie de un cubo de 343 cm 3 de volumen y el ángulo que forma la diagonal con la base. Sol.: A= 94 cm α= 35º Calcula el área y el volumen de una pirámide regular cuadrangular sabiendo que el lado del cuadrado es 6 cm y que las caras laterales forman un ángulo de 30º con la base. Sol.: A= 77,5 cm V= 0,76 cm3 36 Halla el área y volumen de un cilindro de cm de radio sabiendo que el ángulo que forma su diagonal con la base es de 70º. Sol.: A= 163,15 cm V= 138,03 cm3 37 Halla el área y volumen de un cono de 6 cm de diámetro sabiendo que la generatriz forma un ángulo de 40º con la base. Sol.: A= 65,19 cm V= 3,74 cm3 38 Calcula el volumen de una esfera de 156 cm de superficie. Sol.: 4186,67 cm 3 - Página 1 -