Cuánto tarda una pelota en dejar de botar?
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- Antonio Giménez Tebar
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1 Cuánto tarda una plota n djar d botar? Dr. Guillrmo Bcrra Córdoa Unirsidad Autónoma Chapino Dpto. d Prparatoria Arícola Ára d Física Profsor-Instiador xt llrmbcrra@yahoo.com Km. 8.5 d la Carrtra Fdral México-Vracruz, Chapino, Txcoco, Edo d México. Rsumn Aluna z s ha pruntado: cuánto timpo tarda una plota n djar d botar al sr soltada dsd una cirta altura? La solución a sta intrroant inolucra los tmas d caída libr y colisions lásticas, lo qu incluy los concptos d rapidz, aclración d la radad y coficint d rstitución. Así, la rapidz con la qu botará la plota dpndrá dl alor d la rapidz con la qu llu al sulo y dl coficint d rstitución ntr la suprfici y la plota. En una colisión prfctamnt inlástica l coficint d rstitución srá iual a cro y la plota s qudará adhrida al sulo dspués dl primr rbot. En una colisión prfctamnt lástica, l coficint d rstitución srá iual a uno, por lo qu la plota rbotará con la misma rapidz con la qu lló al sulo, siuindo st moiminto indfinidamnt. Si l coficint d rstitución s ncuntra ntr cro y uno, qu s la mayor part d las colisions, la rapidz d la plota irá disminuyndo n cada bot hasta qu s dtna. D sta forma, l timpo qu tard la plota n djar d botar srá iual a la suma d los timpos qu tarda la plota n cada rbot. Esta suma corrspond a una suma infinita, la cual stá idntificada con una xprsión particular. Est trabajo tin por objtio dducir sta xprsión y comparar los rsultados tóricos con los xprimntals. En la dducción d la xprsión qu calcula l timpo qu tarda una plota n djar d botar al sr soltada dsd una dtrminada altura s ha supusto qu l moiminto dl objto s considra n una sola dircción y sin rotación, al iual qu s dsprcia la fricción proocada por l air y l timpo qu utiliza la plota n botar. Palabras cla: Rapidz, timpo, coficint d rstitución, caída libr.
2 OBJETIVOS: Dducir la xprsión qu calcula l timpo qu tarda n djar d botar una plota al sr soltada dsd una cirta altura, para un coficint d rstitución dado. Mdir xprimntalmnt l timpo qu tarda una plota con cirto coficint d rstitución y compararlo con l rsultado tórico. INTRODUCIÓN: D muchos s conocido qu l timpo qu tarda un objto n car dsd una cirta altura, s un problma qu ha sido rsulto dsd hac mucho timpo. D hcho, st tipo d moimintos sta clasificado dntro d lo qu s conoc como Moiminto Rctilíno Uniformmnt Variado, n dond l curpo s mu n lína rcta y con aclración constant, s dcir, la locidad cambia uniformmnt para iuals intralos d timpo. En l caso d curpos qu s muan bajo la acción d la radad d la tirra, l alor d la aclración s d a = = 9.8 m/s. En conscuncia, l timpo qu tarda n llar al sulo un objto qu s ha soltado dsd una cirta altura, s iual a: t / Dond s la manitud d la locidad dl objto justo ants d llar l sulo; s la manitud d la aclración d la radad y t s l timpo qu tarda l objto n llar al sulo. Si l objto s una plota con un coficint d rstitución ntr lla y l piso, y admás la colisión s unidimnsional, ntoncs la manitud d la locidad con la qu rbotaría sría iual a: Dond s la locidad dl objto ants dl rbot y s la manitud d la locidad dl curpo dspués dl rbot. Por lo tanto, l timpo qu tardaría l curpo n llar d nuo al piso sría d: t / / Para l trcr moiminto, s tndría qu l timpo qu tardaría n llar d nuo al sulo s d: t / / / 4 En conscuncia, l timpo qu tardaría la plota n djar d botar s iual a la suma infinita d los timpos qu tarda n cada rbot, s dcir: t t t... 5 / / / /... 6 Factorizando
3 (...) 7 La suma qu s ncuntra ntr paréntsis s una sri infinita conrnt para y stá idntificada con la siuint iualdad:... i i 0 8 Por lo qu la cuación 7 toma la forma siuint: 9 Como nralmnt s difícil conocr la locidad con la qu lla la plota al sulo n l primr rbot, crmos connint xprsar la cuación antrior n función d la altura a la qu s dja car l curpo, s dcir: h / h / 0 Dond: / h Dond h s la altura a la qu s sulta la plota. Para calcular xprimntalmnt l coficint d rstitución, s dja car la plota dsd una altura dtrminada y s mid la altura a la qu lla dspués dl primr bot. Con st par d datos s calcula l coficint con solo sustituir n la siuint cuación: y y / Dond s la locidad con la qu lla la plota al sulo y s la locidad d la plota dspués dl rbot; y s la altura dsd la qu s soltada la plota y y s la altura a la qu lla la plota dspués dl rbot con l sulo. Con las cuacions 0 y s posibl calcular tóricamnt l timpo qu tarda una plota n djar d botar al sr soltada dsd una altura h. En sta dducción stamos suponindo qu l coficint d rstitución s indpndint d la locidad con la qu s lla a cabo la colisión ntr la plota y l sulo. Sin mbaro sta hipótsis no s dl todo rdadra, ya qu s ha notado qu l coficint d rstitución aría n función d la altura dsd la cual s soltada. Est trabajo no tin por objtio dducir sta dpndncia.
4 En la cuación 0 obsramos qu si l coficint d rstitución s iual a cro, la plota no rbotaría, qudando pada al sulo. En st caso l timpo total s simplificaría a: h / Por otra part, si l coficint d rstitución s iual a, al sustituir n la cuación 7 s obsra qu l timpo total tndrá un alor infinito, s dcir:... 4 Qu corrspond al timpo qu tarda una plota qu simpr rbota a la misma altura. MATERIAL: Plotas d difrnts matrials. Cronómtro. Flxómtro. DESARROLLO: S utilizaron plotas d difrnt matrial, midindo su rspctio coficint d rstitución y l timpo qu tarda cada una n djar d botar. La primra plota qu utilizamos fu una d pin pon, dando los siuints rsultados: y y / 0.7 m m / 0.86 Con st dato calculamos l timpo total qu tarda la plota n djar d botar, utilizando para llo la cuación 0: s Con h m. Ralizamos 0 cs l xprimnto para mdir l timpo total d los rbots, dando los siuints rsultados: t 9. 5 s t 9. 7 s t 9. 7 s t 0. s 4 t 9. 5 s t 0 s 5 6 t 9. 6 s t 9. 8 s 7 8 t 9. 6 s t 9. 8 s Tabla
5 El timpo promdio s d 9.7 s. qu comparado con l obtnido tóricamnt, mos qu hay una difrncia d 9.9%. Esta discrpancia s pud xplicar arumntando qu l coficint d rstitución aría dpndindo d la altura a la qu ca la plota. Así, mos qu l disminuy l coficint a mdida qu la altura aumnta y s mayor si la plota bota dsd una altura muy pquña. Para una plota d tnis, s obtuiron los siuints rsultados: y y / 0.7 m m / 0.86 Con st dato calculamos l timpo total qu tarda la plota n djar d botar, utilizando para llo la cuación 0: Efctuando 0 cs l xprimnto, s lló a los siuints rsultados: s t 6. 4 s t 6. 4 s t 6. s t 6. 4 s 4 t 6. 9 s t 6. 5 s 5 6 t 6. 6 s t 6. 6 s 7 8 t 6. 4 s t 6. 5 s Tabla Cuyo promdio s 6.49 s. qu comparado con l tórico, s obsra qu hay difrncia dl 8.6%. En st caso mos qu l coficint d rstitución d la plota d tnis aría mnos qu l d la plota d pin pon. Para l último xprimnto utilizamos una plota d hul cuyo coficint d rstitución s: y y / 0.8 m m / 0.9 Calculando l timpo qu tarda la plota n djar d botar, s obtin: 9. 7 s Con h m. Midindo s timpo xprimntalmnt n 0 nsayos, tnmos los siuints rsultados: t. s t. 6 s t. s t. 5 s 4 t. 5 s t. 6 s 5 6
6 t. 4 s t. s 7 8 t. 6 s t. 4 s Tabla Cuyo timpo promdio s d.45 s. qu comparado con l rsultado tórico, s obsra qu hay una difrncia dl 8.5%. VERIFICACIÓN: Cuáls son las caractrísticas dl moiminto rctilíno uniformmnt ariado? Dados la locidad con la qu choca un objto y la aclración d la radad, cómo s calcula l timpo qu tarda n car un objto? Qué s l coficint d rstitución? Qué unidads tin l coficint d rstitución? Entr qué alors s pud ncontrar l coficint d rstitución? Cómo s pud ncontrar xprimntalmnt l coficint d rstitución? Si l coficint d rstitución d una plota s, cuánto tardaría n djar d botar? Es constant l coficint d rstitución? D qué dpnd? Pudn xistir coficints d rstitución mayors a? A qué s db qu los rsultados tóricos con los xprimntals no san similars? Qué plota aría mnos su coficint d rstitución? En cuál aría más? CONCLUSIONES: Los rsultados nos indican qu n nral l coficint d rstitución para muchos matrials no s constant, dpnd d la locidad con la qu s lla a cabo la colisión, qu a su z n st caso dpnd d la altura a la qu s sulta. Dbido a qu l coficint d rstitución no s constant, los rsultados tóricos y los xprimntals no son similars. Est método s pud mplar para rificar si una plota tin un coficint d rstitución constant.
CUANTO TARDA UNA PELOTA EN DEJAR DE BOTAR? Guillermo Becerra Córdova. Área de Física, Dpto. Preparatoria Agrícola, Universidad Autónoma Chapingo,
CUANTO TARDA UNA PELOTA EN DEJAR DE BOTAR? Guillrmo Bcrra Córdova Ára d Física, Dpto. Prparatoria Agrícola, Univrsidad Autónoma Chapingo, Chapingo, Txcoco, Estado d México, México, E-mail: gllrmbcrra@yahoo.com
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