I Concurso de Otoño de Matemáticas SAEM Thales. Prueba de 3 o y 4 o de ESO RESOLUCIÓN

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Sebastián Molina de la Cruz
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** Si te equivocs, escribe NO en l equivocd y mrc con un X l que cres correct. Norms: ** No te olvides de poner tu nombre completo en cd hoj.

1 OME I Concurso de Otoño de Mtemátics 2010 Prueb de 3 o y 4 o de ESO RESOLUCIÓN SAEM Thles Durción de l prueb: ** Dispones de 1h. 45m. Puntución: ** Cd respuest correct: 5 puntos ** Cd respuest incorrect: 0 puntos ** Cd respuest en blnco: 2 puntos Respuests: ** Mrc con un X l respuest que consideres correct. ** Si te equivocs, escribe NO en l equivocd y mrc con un X l que cres correct. Norms: ** No te olvides de poner tu nombre completo en cd hoj. ** No puedes usr clculdors ni regls grduds ni ningún otro instrumento de medid. ** Us exclusivmente, como borrdor pr hcer cuents, dibujos, etc, los folios en blnco que te fcilitmos. Consejos: ** Es difícil contestr correctmente tods ls pregunts en el tiempo indicdo. Concéntrte en ls que ves más sequibles y cundo ls hys contestdo, inténtlo con ls restntes. ** No contestes en ningún cso l zr. Observ en ls puntuciones que ls respuests errónes están penlizds con 0 puntos. Ánimo y suerte!!

2 Ejercicio 1. Decimos que un número es cpicú cundo se lee igul de izquierd derech que de derech izquierd. Por ejemplo, 737 y 2112 son números cpicús. Cuántos cpicús de tres cifrs son múltiplos de 3? A) 27 XB) 30 C) 33 D) 23 E) 36 Un cpicú de tres cifrs será de l form b, 0. Si 2 es múltiplo de 3 ( = 3, 6, 9), entonces b h de ser 0, 3, 6 ó 9. Tenemos sí 12 csos. Si 2 es múltiplo de tres más 1 ( = 2, 5, 8), entonces b h de ser 2, 5 u 8. Así tenemos 9 csos más. Si 2 es múltiplo de tres más 2 ( = 1, 4, 7), entonces b h de ser 1, 4 ó 7. Tenemos otros 9 csos. En totl, pues, 30 csos. Ejercicio 2. Jun utiliz prte del dinero que llev pr comprr CD, todos del mismo precio. Si con un quinto del dinero que tení h pgdo un tercio del totl de los CD que compró, qué frcción del dinero que llevb le quedrá después de pgr todos los CD? A) 1 5 B) 1 3 XC) 2 5 D) 2 3 E) 4 5 Si con un quinto del dinero compró un tercio de los CD, con tres quintos compró todos los CD (tres tercios). Por tnto, le quedó dos quintos del dinero que llevb. Ejercicio 3. En un reunión l tercer prte de los sistentes tiene ojos verdes, el 80 % cbello oscuro y el 20 % ojos verdes y cbello oscuro. Cuál es l proporción de los que no tienen ojos verdes ni cbello oscuro? 1 15 B) 10 % C) 15 % D) 1 4 E) 3 10 Con el cbello oscuro o los ojos verdes hbrá un proporción de: 80 % % = = Luego que no teng el cbello oscuro ni los ojos verdes hbrá = 1 15 de los sistentes. Ejercicio 4. En un triángulo P QR se verific que P R = QR = 7 y P Q = 2. Si S es un punto de l prolongción del ldo P Q, con Q entre P y S y tl que RS = 8, cuánto mide QS? 3 B) 2 3 C) 4 D) 5 E) 4 2

3 h 2 = = 48; (1 + x) 2 = 8 2 h 2 = 16. O se: x + 1 = ±4; x = 3, 5 [ L solución negtiv, x = 5, nos d l otr posible posición del punto S sobre l rect QP, l izquierd de P y cinco uniddes de Q ]. Ejercicio 5. En l siguiente serie de polígonos crucigrms de ldo 1 cm, cuál es el perímetro del que tiene 61 cm 2 de áre? A) 30 cm B) 32 cm C) 34 cm D) 40 cm XE) 44 cm Si yuxtponemos los crucigrms del 1 l 4, observmos fácilmente que ls áres umentn según múltiplos de 4 y los perímetros constntemente 8. Escribiendo l sucesión de áres: 1, 5, 13, 25, 41, 61 vemos que hemos de clculr el perímetro del sexto elemento: 4, 12, 20, 28, 36, 44. Solución: 44cm Ejercicio 6. El ldo del triángulo equilátero P QR de l figur mide 2 cm. Si M es el punto medio de P R y R el punto medio de QN, cuál es, en cm 2, el áre del triángulo MRN? A) 2 2 cm2 B) 3 4 cm2 C) X 3 2 cm2 D) 1 cm 2 E) 2 cm 2

4 L ltur del triángulo equilátero es h = 3. Como los triángulos P SR y MF R son semejntes de rzón 1 3 2, tendremos que RN h h 3 = MF =. El áre del triángulo MRN será pues: = cm2 Ejercicio 7. Si = S, entonces es igul : A) 2S BS + 1) X 2 C) 4S D) S + 25 E) 2S = (2 1) 2 + (2 2) 2 + (2 3) (2 25) 2 = 2 2 ( ) = 4S Ejercicio 8. En el trpecio P QMN, con los vértices nombrdos en sentido horrio y de bses P Q y NM, R es el punto medio de QM y S el punto medio de NP. Si el áre del polígono P QRS es el doble del áre de SRMN, cuánto vle P Q NM? A) 2 B) 3 XC) 5 D) 6 E) 8 2A 4A 3A = x + y = y + z = z + x = 2A 3A = z x = = z + x 2z = 5A 2x = A = z x = P Q NM = 5

5 Ejercicio 9. Cuál de los siguientes números es el myor? A) 4 50 B) 7 20 XC) 5 40 D) 31 E) 951 Pr culesquier, b 0 se verific: b si y sólo si 2 b 2. Clculemos, pues, los cudrdos de los números ddos y vemos cuál es myor: (4 50) 2 = 800; (7 20) 2 = 980; (5 40) 2 = 1000; 31 2 = 961; ( 951) 2 = 951 Luego el myor es: Ejercicio 10. Pedro y Teres están 6 km de distnci y se dirige uno l encuentro del otro. Si ls velociddes de Pedro y Teres están en proporción de 2 3, qué distnci del punto de prtid de Pedro se encontrrán? A) 1,2 km B) 1,8 km C) 2 km XD) 2,4 km E) 2,7 km Se v l velocidd de Pedro y v l de Teres. Cundo se encuentren, trnscurrido un tiempo t, l sum de ls distncis recorrids por mbos será: vt + v t = 6. v Como dichs velociddes verificn: v = 2 3, despejndo v y sustituyendo en l ecución nterior tendremos: vt + 3v 2 t = 6; o se: vt( ) = 5 2 vt = 6 = vt = 12 = 2, 4. 5 Es decir, cundo se encuentren estrán vt = 2, 4 km del punto de prtid de Pedro. Ejercicio 11. Multiplicmos el producto de tres números positivos consecutivos por l sum de los tres. Cuál es el myor número que siempre divide l resultdo? A) 6 B) 9 C) 12 D) 18 XE) 36 Se un entero positivo. El producto: P = ( + 1)( + 2)[ + ( + 1) + ( + 2)] = 3( + 1) 2 ( + 2) es múltiplo de 9 pues 3 es un fctor del mismo y uno de los otros tres fctores, por ser números consecutivos, h de ser, simismo, múltiplo de 3. Además, Si + 1 es impr, entonces, ( + 2) son pres y, por tnto, P es múltiplo de 36. Si ( + 1) es pr, ( + 1) 2 es múltiplo de 4 y, por tnto, P es múltiplo de 36. Es decir, en culquier cso P es múltiplo de 36. Ejercicio 12. Tenemos dos ddos con ls crs numerds de est form: uno de ellos con los números 1,1,2,2,3 y 3 y el otro con 4,4,5,5,6 y 6. Los lnzmos y summos los números obtenidos en ls dos crs superiores. Cuál es l probbilidd de que l sum obtenid se un número impr? A) 1 3 B) 4 9 C) 1 2 XD) 5 9 E) 2 3 L sum será impr cundo l pridd obtenid en cd ddo se distint. L probbilidd de que l sum se impr será pues: P ( impr 1) P ( pr 2) + P ( pr 1) P ( impr 2) = = 5 9 donde impr i es el suceso scr un número impr en el ddo i; i = 1, 2 y pr i, el suceso scr un número pr en el ddo i; i = 1, 2

6 { Ejercicio 13. Si 2 + b = 6 b 2 + b = 2, entonces b es igul : 3 B) 8 C) 3 4 D) 4 E) 1 3 { 2 + b = 6 b 2 + b = 2 = { ( + b) = 6 b(b + ) = 2 = b = 6 2 = 3 Not: observemos que + b 0 (cso contrrio, ls igulddes de prtid serín contrdictoris). Ejercicio 14. Cuál de los siguientes números es el myor? A) 0, 2 3 B) 0, 3 X 2 C) 2 3 D) 3 2 E) 2 3 El número lo descrtmos porque es el único número negtivo. Clculemos los restntes: 0, 2 3 = 0, 008; 0, 3 2 = 0, 09; 3 2 = 1 9 = 0, 1; 2 3 = 1 = 0, Por tnto, el myor es: 2 3. Ejercicio 15. Cuánto sumn los ángulos interiores del decágono cóncvo siguiente? 1440 o B) 1260 o C) 1620 o D) 1080 o E) 1800 o Tommos un punto, P, en el interior del polígono, que unimos con los vértices de los ángulos obtusos. L sum de los ángulos pedid es igul l sum de los ángulos de los cudriláteros que se formn menos los 360 o obtenidos lrededor del punto P : = = 1440 o. (Not: Hemos supuesto que, en nuestro cso, existe un tl punto P ) Ejercicio 16. L sum de todos los divisores primos de 5445 es: ( ojo!, el 1 no es primo) A) 25 B) 24 C) 22 D) 20 XE) 19 Descomponemos 5445 en fctores primos: 5445 = L sum pedid es: = 19. Ejercicio 17. Si girmos el punto P (4, 1) con centro en G(1, 1) y un ángulo de 90 o (en sentido contrrio ls gujs del reloj), qué punto obtendremos? A1, 4) B2, 3) X C3, 4) D3, 3) E3, 2)

7 Asocimos el triángulo rectángulo GBP y lo girmos 90 o, con centro en G. El punto B(1, 1), dos uniddes de ordend por debjo de G, se trnsform en el punto B (1 + 2, 1). Se P el trnsformdo de P por dicho giro. L bscis de P es l mism que l de B. Su ordend está por encim de B l distnci BP, o se tres uniddes más que l ordend de B, que coincide con l de G. Por tnto, el punto P tendrá por coordends (1 + 2, 1 + 3) = (3, 4). Ejercicio 18. Un número bcd de cutro cifrs es scendente si < b < c < d. Cuántos números scendentes de cutro cifrs son múltiplos de 11? Ninguno B) Cutro C) Seis D) Ocho E) Nueve Como < b < c < d, el número de cutro cifrs bcd sólo puede ser múltiplo de 11 cundo (d + b) ( + c) = 11. Pero ddo que b < c, existe un dígito n > 0 tl que c = b + n. Pero entonces, d + b ( + b + n) = d n < d 11. Por lo tnto, no hy ningún número scendente de cutro cifrs que se múltiplo de 11. ( Ejercicio 19. El producto ) es igul : A) 1, 1 XB) 0, 1 C) 0, 9 D) E) 2 5 ( ) = = 1 10 = 0,1 Ejercicio 20. Cuál es el menor número nturl n pr el que (0, 2) n < 10 6? A) 3 B) 6 C) 11 D) 8 XE) 9 (0, 2) n < n 10 n < n < n > n 6 > 2 6 El menor número entero pr el que se verific l desiguldd es n 6 = 3, o se, n = 9.

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