FACULTAD DE CIENCIAS SECCIÓN FÍSICAS PLAN DE ACOGIDA. TÍTULO: La derivada y la integral. Máximos y mínimos.

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1 FACULTAD DE CIENCIAS SECCIÓN FÍSICAS PLAN DE ACOGIDA TÍTULO: L derivd y l integrl. Máximos y mínimos. OBJETIVOS: Explicr ls ides de derivd e integrl de un función y su significdo geométrico. Recordr ls ides de máximos y mínimos de un función Mostrr ls proximciones que pueden hcerse en lgunos sistems físicos bsds en los desrrollos en serie. FORMULACIÓN SIMPLE DEL PROBLEMA Un función f de un vrible independiente x hce corresponder cd vlor de x un vlor que denominmos f(x). Si llmmos y f(x) podemos representr l función como un curv en un plno XY. Cd punto de l curv tiene como bcis el vlor de l vrible independiente x y como ordend el correspondiente vlor de l función y f(x). Se dice que w es el límite de l función f(x) cundo x tiende si el vlor de f(x) se cerc cd vez más w medid que x se cerc cd vez más. Se represent sí lim f x ( x ) w Un cso prticulr es el límite de un función cundo l vrible independiente tiende infinito. En este cso decimos que l función f(x) tiene un límite finito w si su vlor se cerc cd vez más w medid que x se hce cd vez myor. Por ejemplo, el vlor de l función f(x)e -x se cerc cd vez más cero medid que crece el vlor de x. Dos funciones de l mism vrible pueden tener un mismo límite cundo x tiende, pero tender él de form diferente. Por ejemplo, tnto l función ux ( ) x como l función vx ( ) x tienden cundo x tiende pero l segund lo hce siempre más rápidmente que l primer. Por ejemplo, unque lim Δ x ux ( ) lim Δ x vx ( ), el límite de su cociente es lim x ux ( ) / vx ( ) lim x (1/ x) mientrs que lim vx ( ) / ux ( ) lim x. De modo similr, mbs funciones tienden infinito cundo x tiende x x infinito pero hor lim ux ( ) / vx ( ) lim (1/ x) y lim ux ( ) / vx ( ) lim (1/ x).

2 Consideremos l función f(x) representd por l líne curv grues en l figur de l izquierd, y sen dos puntos A y C de l mism de coordends (,f()) y (c,f(c)). Por simple trigonometrí es fácil ver que f() c f() tn γ o f( c) f( ) ( c ) tnγ c siendo γ el ángulo que form l secnte zul que une los puntos A y C con l horizontl. Análogmente, pr un punto B de coordends (b,f(b)) más próximo A f( b) f( ) tn β o f( b) f( ) ( b ) tn β b siendo β el ángulo que form l secnte verde que une A y B con l horizontl. Si tommos puntos sobre l curv cd vez más próximos A, ls secntes que unen dichos puntos con A se cercn cd vez más l rect tngente l curv en A. Aunque tnto l diferenci de ls bciss como l diferenci de ls ordends tienden cero, su cociente se mntiene finito. Así, cundo l bcis del segundo punto solo difiere de en un cntidd infinitesiml tenemos con much proximción f( +) f( ) tn α o f( +) f( ) tnα El límite f ( + ) f( ) limδ x es l derivd de l función f(x) en el punto. En generl, pr cd punto de coordend x existe un rect tngente l curv que represent f(x). Es decir, l derivd de l función f(x) es un nuev función g(x) y se represent df ( x) gx ( ) Recíprocmente, si g(x) es l derivd de f(x), se dice que f(x) es función primitiv de g(x). Supongmos el intervlo (,c) del eje X dividido en n subintervlos de longitud Δ x ( c ) / n como en l figur superior derech. (En este cso concreto n5.) Es decir, entre A y C escogemos 4 puntos de bciss +, +, +, y +4. Entonces f(c) - f() es l sum de los segmentos verticles zules.

3 [ ] [ ] [ f ( 3 x) f( x) ] [ f( x) f( x) ] [ f( x) f( ) ] f() c f() f( + 5 ) f( + 4 Δ x) + f( + 4 ) f( + 3 Δ x) Δ + Δ + + Δ +Δ + +Δ Pero, como y hemos visto, f ( +) f( ) g( ) Δ x, f ( + ) f( +) g( +) Δ x, etc., y sí 4 f () c f() g( + j) j Si el número de subintervlos crece y tiende cero tenemos un sum de infinitos términos f () c f() lim g( + j) Δ x g() x Δ x j que se denomin integrl de g(x) entre los límites y c. Es decir, l diferenci entre los vlores de l función f(x) en los puntos de bciss y c es l integrl de l función g(x), derivd de f(x), entre mbos puntos c Veámoslo de otr form. En l figur superior hemos representdo l función g(x) derivd de f(x). Dividmos, como ntes, el intervlo (, c) en n subintervlos de nchur. Construymos hor n rectángulos de l mism nchur y lturs g ( + jδ x). Entonces, el áre de cd rectángulo es g ( + j) Δ x, y el áre de todos los rectángulos es l sum g ( + j) De nuevo, en el límite en que el número de subintervlos se hce infinito y tiende re lim g( x + j) Δ x g( x) f ( c) f ( ) j Es decir, el áre encerrdo l función g(x) y ls rects verticles en x y xc es l diferenci entre los vlores de su función primitiv f(x) en c y. Alguns propieddes simples de ls derivds son c dux ( ( ) + vx ( )) dux ( ) dvx ( ) + duxvx ( ( ) ( )) dux ( ) dvx ( ) vx ( ) + ux ( ) du( x) dv( x) vx ( ) ux ( ) dux ( ( )/ vx ( )) [ vx ( )] Un función f puede depender de x trvés de otr función. (Por ejemplo, l función escribirse tmbién como f ( u) u con u( x) cosx). Entonces se tiene f ( x) cos x puede

4 df ( x) df ( u) du( x) du Alguns derivds importntes son d ( x n x ) 1 ( ) d ( log x n de x ) 1 nx e x d( sen x) d( cos x) d(tn x) 1 cos x sen x cos x Por supuesto l derivd g(x)df(x) / de un función f(x) tmbién tiene un derivd. L derivd primer de g(x) es entonces l derivd segund de f(x) y se escribe df ( x) dg( x) d( df( x)/ ) d f ( x) gx ( ) hx ( ) y lo mismo pr ls derivds tercers, curts, etc. Es hbitul representr ls derivds por tildes: sí df ( x) / f ( x) d f( x) / f ( x), etc. Sin embrgo, cundo l derivd es de un orden muy lto es más sencillo representrl por ( n ) ( ) n ( )/ n f x d f x. Por otr prte, muchs veces en físic l vrible independiente es el tiempo t y l dependiente es el desplzmiento, que entonces se escribe x(t). Ls derivds con respecto l tiempo suelen representrse por puntos: ( t) / dt x& ( t), d x()/ t dt && x() t, etc. Not: En el cso prticulr en que un función se constnte, u(x)c, es evidente que du(x)/dc/ y sí d(f(x)+c)/df(x)/. Es decir, dos funciones que difieren en un constnte tienen l mism derivd. Recíprocmente, si un función tiene un primitiv, entonces tiene infinits primitivs que difieren en un constnte. Nótese que el sumr un constnte un función f(x) no lter ls diferencis f(c)-f() entre los vlores de l función en dos puntos. Esto es importnte en físic porque existen mgnitudes como ls energís potenciles que están definids slvo un constnte ditiv rbitrri. Lo que tiene significdo físico no son los vlores bsolutos sino ls diferencis de ls energís potenciles entre dos puntos. Máximos y mínimos Un función f(x) tiene un comportmiento creciente en un punto de bcis x si el vlor de l función ument cundo ument el vlor de l vrible x. Es decir, cundo f( + ) f( ) > pr >. Por lo que y hemos visto, esto es equivlente que l derivd de l función en x se positiv, es decir, f ( ) ( df( x) / ) >. Análogmente, se dice que un función tiene un comportmiento decreciente en x x cundo f( +) f( ) < pr >, es decir, su derivd en x es negtiv. En el cso intermedio en que l función conserv su vlor cundo l vrible sufre un cmbio infinitesiml, y se positivo o negtivo, se dice que l función tiene un extremo. En este cso l derivd de l función es nul. Teniendo en cuent el significdo geométrico de l derivd, esto quiere decir que l rect tngente l curv que represent f(x) en dicho extremo es un rect horizontl (de pendiente nul). Hy dos tipos de extremos. En el primero l función f(x) ps de tener un comportmiento creciente pr x< tener un comportmiento decreciente pr x>. L función lcnz sí un vlor máximo reltivo pr

5 x. Puesto que l derivd primer f (x) ps de ser positiv pr x< negtiv pr x>, su comportmiento en x es decreciente y su derivd f (x) es negtiv en x, es decir, f ()<. Por el contrrio, si l función f(x) lcnz un vlor mínimo reltivo en x, su derivd primer f (x) ps de negtiv positiv, es decir, tiene un comportmiento creciente en x y, por lo tnto, f () >. En resumen f( x) tiene un mximo en x si df ( x) d f ( x) f ( ) f ( ) x x < f( x) tiene un minimo en x si df ( x) d f ( x) f ( ) f ( ) > x x Desrrollos en serie de potencis Y se h dicho que l expresión df ( x) f ( +Δ x) f( ) + x solo es exct en el límite. Puede demostrrse que pr finitos f(+) puede escribirse como un sum infinit 3 df ( x) 1 d f ( x) 1 d f ( x) 3 f( +Δ x) f( ) + Δ x+ ( x) ( x)... Δ + 3 Δ + x 3! x x que se denomin desrrollo en serie de potencis en torno. (Aunque l sum es en principio infinit, no tiene por qué serlo siempre, pues ls derivds se pueden hcer nuls prtir de un orden ddo.) Por otr prte, unque ls sums sen infinits, si Δ x ( x ) < 1 cd sumndo es en generl más pequeño que el nterior. Así, pr vlores de muy pequeños podemos obtener proximciones muy buens f(x+) tomndo simplemente los primeros términos de l sum. Por ejemplo, si un función tiene un mínimo en x, en ls proximiddes de dicho punto l función podrá proximrse por l expresión 1 d f( x) f( +Δ x) f( ) + k( Δ x) con k x que corresponde un prábol biert hci rrib. Esto es lo que justific que pr pequeñs oscilciones en torno un punto de equilibrio un ms se muev proximdmente como un oscildor rmónico. Si hcemos y utilizmos l tbl de derivds nterior es fácil escribir lguns funciones importntes como series de potencis 3 4 n x x x x x e 1 + x ! 3! 4! n! n+ 1 x x x n x sen x x ( 1) ! 5! 7! (n + 1)! 4 6 n x x x n x cos x ( 1) +...! 4! 6! ( n)! El desrrollo en serie de potencis de l función e x es tmbién válido pr e ix, siendo i l unidd imginri i 1. Comprndo los desrrollos en serie de e ix, sen x y cos x es fácil ver l importnte relción ix e cos x+ i sen x

6 EJEMPLO ENUNCIADO L ecución de movimiento de un péndulo es d θ () t l g senθ dt siendo l l longitud del péndulo y θ el ángulo que form con l verticl. Suponiendo que ls oscilciones del péndulo son pequeñs, comprobr que l función θ () t Asin ( g/ l) t es solución de l ecución. RESOLUCIÓN Si θ es pequeño, entonces θ 3 /3! es muy pequeño frente θ. Por ejemplo, si l mplitud de oscilción es de º, esto corresponde θ mx ( / 36) π,35 rdines. Pero entonces θ 3 /3!,7. Así, el segundo término del desrrollo en serie de sen θ es muy pequeño frente l primero (y los términos siguientes son todví mucho más pequeños) de modo que podemos sustituir sen θ por θ, y l ecución qued d θ () t g θ () t dt l Derivndo l solución propuest y teniendo en cuent l tbl dd ntes dθ() t g g d θ() t g g g A cos t A sin t θ ( t) dt l l dt l l l EJERCICIO DE AUTOCOMPROBACIÓN ENUNCIADO L tryectori que describe un proyectil lnzdo con un velocidd de módulo v que form un ángulo θ con l horizontl es g y( x) ( tnθ ) x x v cos θ donde y es l ltur y x es l distnci horizontl l punto de lnzmiento. A qué distnci lcnz el proyectil l máxim ltur? Cuál es est ltur máxim? RESULTADO v senθ v sen θ ymx g g REFERENCIA Proyecto Descrtes. AUTOR Jvier Grcí Snz