x = = y = TEMA 7: SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Transcripción

1 TEMA 7: SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Este tipo de ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones lineales y se pueden escribir de la forma ax + by = c donde a, b y c son números conocidos. Por ejemplo + y = 6 Una solución de este tipo de ecuaciones es un par de valores que hacen cierta la igualdad. En el ejemplo anterior sus soluciones serán: = = = = = = = = Una ecuación lineal tiene infinitas soluciones. Si representamos las soluciones en unos ejes de coordenadas obtendremos una recta. Vamos a representar las soluciones del ejemplo anterior. Para calcular las soluciones de una manera más fácil despejamos la y y vamos dando valores a la x. Por ejemplo + y = 7

2 Ejercicios 1. Representa gráficamente: a) y = 1 3y -3 = 0 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales y su solución es la solución común a todas las ecuaciones. ax + by = c a' x + b' y = c' Una forma de resolver estos sistemas es representar las soluciones y el punto de corte de las rectas será la solución del sistema. Éste método de resolución se llama método gráfico. Pueden darse tres casos:

3 Ejercicios. 2. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas. x y = 3 a) + y = 0 6 = 0 + y + 2 = 0 3. Completa los sistemas para que la solución sea la indicada MÉTODOS PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS Método de sustitución. Consiste en despejar una incógnita (la que queramos) de una ecuación (la que queramos) y sustituir su resultado en la otra ecuación. Por ejemplo: = 11 y = 15

4 Ejercicios. 4. Resuelve por el método de sustitución. + y = 3 a) = 1 x = 11 y = 5 Método de igualación. Consiste en despejar la misma incógnita (la que queramos) de las dos ecuaciones e igualar los resultados. Por ejemplo: = 1 = 8 Ejercicios. 5. Resolver por el método de igualación. 4y = 5 x = 5 = 1 4x + 6y = 2

5 Método de reducción. Consiste en multiplicar las ecuaciones por números adecuados de manera que al sumar las ecuaciones desaparezca una de las incógnitas. Por ejemplo: = 12 = 7 Ejercicios. 6. Resuelve por el método de reducción. + 7 y = 8 = y = 9 x + 7 y = 7 7. Un número excede en 12 unidades a otro; y si restáramos 4 unidades a cada uno de ellos, entonces el primero sería igual al doble del segundo. Plantea un sistema y resuélvelo para hallar los dos números.

6 8. Pablo y Alicia llevan entre los dos 160. Si Alicia le da 10 a Pablo, ambos tendrán la misma cantidad. Cuánto dinero lleva cada uno? 9. La suma de las tres cifras de un número capicúa es igual a 12. La cifra de las decenas excede en 4 unidades al doble de la cifra de las centenas. Halla dicho número. 10. Una persona invierte en un producto una cantidad de dinero, obteniendo un 5% de beneficio. Por otra inversión en un segundo producto, obtiene un beneficio del 3,5%. Sabiendo que en total invirtió , y que los beneficios de la primera inversión superan en 330 a los de la segunda, cuánto dinero invirtió en cada producto?

7 EJERCICIOS 1. Representa estas ecuaciones: x + y = 3 x y = 1 a) Escribe las coordenadas del punto de corte. Escribe la solución del sistema que forman ambas ecuaciones. Sol: a) Punto de corte: (2, 1). Solución del sistema: x = 2, y = 1. y = 2 2. Repite el ejercicio anterior para estas ecuaciones: x + 4y = 12 Sol: a) Punto de corte: (4, 2). Solución del sistema: x = 4, y = 2. + y = 1 = 4 3. Resuelve gráficamente. a ) Sol: a) x = 1, y = 2. x = 2, y = 3. x = 5 y = 3 4. Resuelva por el método de sustitución: = 8 = 7 + 4y = 1 = 5 a ) c) d) y = 3 = 13 y = 7 4x = 3 Sol: a) x = 1; y = 2 y = 1; x = 5 c) y = 1; x = 3 d) y = 5; x = 3 5. Resuelve por igualación. y = 5 + y 7 y = 0 = 8 = 1 a ) c) d) = 1 x y + 3 = 0 + 5y = 10 7x = 0 Sol: a) x = 2; y = 11 y = 5; x = 2 c) y = 1; x = 5 d) x = 3; y = 7 6. Resuelve por reducción. + y = 6 + 4y = 1 = 8 5y = 9 a ) c) d) y = 1 y = 11 4x y = 2 = 5 Sol: a) x=1 y=4 x=3 y=-2 c) x=1 y=2 d) x=-2 y=-3 7. Resuelve por el método que te parezca más adecuado. 2y = x y = 4 = 5 a) c) = y = 1 x = 5 y = 1 6x = 0 7x 5y = 10 d) e) f ) = 9 5y = 12 = 5 Sol: a) x=-4 y=2 x=3 y=-7 c) x=-1 1 y=-2 d) x=1 y=2 e) x=-1 1 y=-3 f) x=5 y=5 8. Resuelve los siguientes sistemas: x 4 y 5 5 ( ) ( ) ( + 1) = 4( x y) 1 = y + x = 4 x a) x y x + 5 c) 6( x 2) + y = 2( y 1) + 3 = x y = y 3 4 Sol: a) x=2 y=-1 1 x= 1 y=-3 c) x=6 y=8 9. La suma de dos números es 57, y su diferencia, 9. Cuáles son esos números? Sol: Los números son 33 y Calcula dos números sabiendo que su diferencia es 16 y que el doble del menor sobrepasa en cinco unidades al mayor. Sol: Los números son 37 y Calcula dos números sabiendo que: El primero sobrepasa en 4 unidades a la mitad del segundo. El segundo sobrepasa en 7 unidades a la mitad del primero. Sol: Los números son 10 y La suma de dos números es 73, y al cuádruplo del menor le faltan dos unidades para alcanzar al triple del mayor. Cuáles son esos números? Sol: Los números son s 31 y Entre Alejandro y Palmira llevan 15 euros. Si él le diera a ella 1,50, ella tendría el doble. Cuánto lleva cada uno? Sol: Alejandro tiene 6,50, y Palmira, 8, Un ciclista sube un puerto y, después, desciende por el mismo camino. Sabiendo que en la subida ha tardado 23 minutos más que en la bajada y que la duración total del paseo ha sido de 87 minutos, cuánto ha tardado en subir? Y en bajar? Sol: La subida ha durado 55 minutos, y la bajada, 32 minutos. 15. En cierta cafetería, por dos cafés y un refresco nos cobraron el otro día 2,70. Hoy hemos tomado un café y tres refrescos y nos han cobrado 4,10. Cuánto cuesta un café? Y un refresco? Sol: Un café cuesta 0,80,, y un refresco, 1, En la cafetería, ayer pagamos 3 por dos cafés y una tostada. Sin embargo, hoy nos han cobrado 6,30 por tres cafés y tres tostadas. Cuánto cuesta un café y cuánto una tostada? Sol: Un café cuesta 0,90 y una tostada, 1,20.

8 17. Un puesto ambulante vende los melones y las sandías a un tanto fijo la unidad. Andrea se lleva 5 melones y 2 sandías, que le cuestan 13. Julián paga 12 por 3 melones y cuatro sandías. Cuánto cuesta un melón? Y una sandía? Sol: Un melón cuesta 2 y una sandía 1, Un fabricante de jabones envasa 550 kg de detergente en 200 paquetes, unos de 2 kg y otros de 5 kg. Cuántos envases de cada clase utiliza? Sol: Utiliza 150 envases de 2 kg y 50 envases de 5 kg. 19. Una tienda de artículos para el hogar pone a la venta 100 juegos de cama a 70 el juego. Cuando lleva vendida una buena parte, los rebaja a 50, continuando la venta hasta que se agotan. La recaudación total ha sido de Cuántos juegos ha vendido sin rebajar y cuántos rebajados? Sol: Ha vendido 80 juegos de cama sin rebaja y 20 con rebaja. 20. Un frutero pone a la venta 80 kg de cerezas. Al cabo de unos días ha vendido la mayor parte, pero considera que la mercancía restante no está en buenas condiciones y la retira. Sabiendo que por cada kilo vendido ha ganado 1, que por cada kilo retirado ha perdido 2 y que la ganancia ha sido de 56, cuántos kilos ha vendido y cuántos ha retirado? Sol: Ha vendido 72 kilos y ha retirado En el zoo, entre búfalos y avestruces hay 12 cabezas y 34 patas. Cuántos búfalos son? Y avestruces? Sol: Hay 5 búfalos y 7 avestruces. 22. En una granja, entre gallinas y conejos se cuentan 127 cabezas y 338 patas. Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja? Sol: Hay 85 gallinas y 42 conejos. 23. Rosendo tiene en el bolsillo 12 monedas, unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos. Si en total tiene 3,30 euros, cuántas monedas de cada tipo lleva? Sol: Tiene 9 monedas de 20 céntimos y 3 monedas de 50 céntimos. 24. Cristina tiene el triple de edad que su prima María, pero dentro de diez años solo tendrá el doble. Cuál es la edad de cada una? Sol: Cristina tiene 30 años, y María, 10 años. 25. El doble de la edad de Javier coincide con la mitad de la edad de su padre. Dentro de cinco años, la edad del padre será tres veces la de Javier. Cuántos años tiene hoy cada uno? Sol: Javier tiene 10 años, y su padre, La base de un rectángulo es 8 cm más larga que la altura, y el perímetro mide 42 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo. Sol: El rectángulo mide 14,5 cm Ò 6,5 cm. 27. Para cercar una parcela rectangular, 25 metros más larga que ancha, se han necesitado 210 metros de alambrada. Calcula las dimensiones de la parcela. Sol: 65 m de largo x 40 m de ancho. 28. Un concurso televisivo está dotado de un premio de para repartir entre dos concursantes. El reparto se hará en partes proporcionales al número de pruebas superadas. Tras la realización de estas, resulta que el primer concursante ha superado cinco pruebas, y el segundo, siete. Cuánto corresponde a cada uno? Sol: El primer concursante se lleva 1 250,y el segundo, Qué cantidades de aceite, uno puro de oliva, a 3 /litro, y otro de orujo, a 2 /litro, hay que emplear para conseguir 600 litros de mezcla a 2,40 /litro? Sol: 240 litros de aceite de oliva y 3603 litros de aceite de orujo. 30. Un ciclista sale de paseo y recorre un tramo de carretera, cuesta arriba, a 8 km/h. Después, sigue llaneando, a 20 km/h, hasta que llega a su destino. Si el paseo ha durado 3 h, y la velocidad media resultante ha sido de 16 km/h, cuánto tiempo ha invertido en cada tramo? Sol: Ha subido durante una hora y ha llaneado durante dos horas. 31. Un peatón sale de A hacia B caminando a una velocidad de 4 km/h. Simultáneamente, sale de B hacia A un ciclista a 17 km/h. Si la distancia entre A y B es de 7 km, cuánto tardarán en encontrarse y a qué distancia de A lo hacen? Sol: 20 min, 1 km 333 m. + y = 0 1. Resuelve gráficamente el sistema x y = 3 2. Resuelve el sistema por el método de sustitución 3. Resuelve el sistema por el método de igualación 4. Resuelve el sistema por el método de reducción AUTOEVALUACIÓN x = 9 y = 20 = 11 = 21 x + 5y = 3 + 4y = 0 5. Calcula dos números sabiendo que su suma es 119 y que el triple del menor sobrepasa en 17 unidades al doble del mayor. Sol: 51 y Un trabajador gana 40 euros en un turno de día y 75 euros en un turno de noche. En un mes ha hecho 22 turnos en total y ha ganado euros. Cuántos turnos de día ha hecho? Y de noche? 7. Halla dos números tales que su suma sea 160, y su diferencia, Por dos bolígrafos y tres cuadernos he pagado 7,80 ; por cinco bolígrafos y cuatro cuadernos, pagué 13,40. Calcula el precio de un bolígrafo y de un cuaderno. 9. En un garaje hay coches y motos que hacen un total de 29 vehículos y 92 ruedas. Calcula el número de coches y motos que hay en el garaje. 10. Un librero ha vendido 45 libros, unos a 32 y otros a 28. Obtuvo por la venta Cuántos libros vendió de cada clase?

9 11. Cuál de los siguientes pares de valores es solución de este sistema? sistema x + y = 0 y = 3 = 2 = 3 = 1 = 1 Hazlo sin resolver el 12. Un examen tipo test consta de 30 preguntas. Por cada una acertada te dan un punto y por cada fallada te quitan dos puntos. Si he obtenido una puntuación de 15, calcula cuántas preguntas he acertado y cuántas he fallado. 13. En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 bolígrafos a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, cuántos chicos y chicas están en mi clase? 14. Un padre tiene el triple de la edad de su hijo y dentro de 13 años la edad del padre será el doble que la del hijo. Qué edad tiene cada uno?