INGENIERO EN COMPUTACION TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
|
|
- Eva María Alvarado Valdéz
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO CENTRO UNIVERSITARIO UAEM ZUMPANGO INGENIERO EN COMPUTACION TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES ELABORÓ: M. EN C. LUIS ENRIQUE KU MOO FECHA: ENERO DE 6
2 UNIDAD DE APRENDIZAJE ALGEBRA LINEAL UNIDAD DE COMPETENCIA I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES. Introducción. Sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas, Eliminación Gauss Jordan y Gaussiana.3 Sistemas homogéneos
3 TEMARIO DE LA UNIDAD I. Introducción. Sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas, Eliminación Gauss Jordan y Gaussiana.3 Sistemas homogéneos.4 Algebra matricial.5 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.6 Inversa de una matriz cuadrada.7 Transpuesta de una matriz.8 Matrices elementales y matrices inversas.9 Factorización LU de matrices.. Problemas de aplicación tales como balanceo de ecuaciones químicas, asignación de recursos, circuitos eléctricos
4 INDICE Y OBJETIVO. Objetivos.. Introducción. 3. Sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas, Eliminación Gauss Jordan y Gaussiana. 4. Sistemas homogéneos. Planteamiento y solución de problemas que al modelarlos requieran resolver sistemas de ecuaciones lineales.
5 Conceptos preliminares sobre líneas. La pendiente m que pasa por los puntos (x, y ) y (x, y ) es m = y y = y x x x. Si x x = la recta es vertical (pendiente indefinida) 3. Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente 4. De la ecuación de la línea recta ax +by = se puede calcular la pendiente m = -a/b 5. Si m es la pendiente de la recta L, Si m es la pendiente de la recta L. m, L y L son perpendiculares m =-/m 6. Las rectas paralelas al eje x tienen pendiente cero. 7. Las rectas paralelas al eje y tienen pendiente indefinida.
6 ECUACIÓN LINEAL DEFINICIÓN: Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas. Una ecuación es un enunciado que iguala dos expresiones matemáticas. a x + a x + + a n x n = b coeficientes incógnitas Término independiente Algunos ejemplos son : x = 4, 4x +5 = 7, x 8 = (x-4)
7 Sistemas de Ecuaciones Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones simultáneas con dos o más incógnitas. Ejemplos: x + y = 5 ){ x + 4y = 44 ; ){ x y = 5 x + y = 4 x + y = 6 3){ 3x y = 4 ; y = 4){x3 x y =
8 Sistemas de Ecuaciones: Ejemplos. Con la corriente a su favor una lancha navega a km/h, y con la corriente en contra navega a 7 km/h. Cuál es la velocidad de la corriente, y la de la lancha cuando el río está en calma? x + y = x y = 7 ;. Juan y Jaime salieron del D.F. en sus respectivos autos a Acapulco. Juan condujo a una velocidad constante de 6 km/h. Si Jaime salió hora después que Juan conduciendo a 9 km/h, a qué distancia del D.F. y en cuánto tiempo alcanzó Jaime a Juan? d = 6; t 6t d = d = 9} 9t d = 9 t
9 Sistemas de Ecuaciones Soluciones de una ecuación. Son los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación. Una solución de un sistema es un conjunto ordenado de números reales (s, s, s 3,..., s n ) tales que a s + a s + + a n s n = b a s + a s + + a n s n = b. a m s + a m s + + a mn s n = b m
10 Sistemas de Ecuaciones Lineales x Clasificación por tipo de solución: Sistemas de ecuaciones lineales Incompatible o inconsistente Sin solución Compatible o consistente Con solución Determinado Solución única Indeterminado Infinitas soluciones
11 Sistemas de Ecuaciones Lineales x Los métodos de solución de un sistema con dos ecuaciones lineales de dos variables (x), consisten en eliminar una de las incógnitas, esto es, deducir de ambas ecuaciones otra ecuación que no contenga a dicha incógnita y pueda resolverse.. Sustitución. Se despeja en una de las ecuaciones la que incógnita que se quiera eliminar y se sustituye su valor en la otra ecuación.. Igualación. Se despeja una misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar sus valores. 3. Reducción. Se transforman las ecuaciones dadas en otras en la que sean iguales los coeficientes de la incógnita que se quiere eliminar, se suman o restan posteriormente.
12 Sistemas de Ecuaciones Lineales x Ejemplo: x + y = 4 x + y = 5. Sustitución. x = y + 4 ( y + 4) + y = 5 4y y = 5 3y = 5 8; 3y = 3 y =. Igualación x = 5 y ; x = y y = y y = 4y + 8 4y y = 5 + 8; 3y = 3 y = 3. Reducción. x + y = 4 x + y = 5 x 4y = 8 3y = 3 y = x + () = 4 x = 4 ; x = Solución: y = x =
13 Sistemas de Ecuaciones Lineales x. gráficas Solución única. Ninguna solución. Muchas soluciones. Ejemplos para resolver: x + y = 5 ) x y = y ) x + y = x y = y 4 x Solución :, xy x5 Solución :, xy x y 5 xy
14 Sistemas de Ecuaciones Lineales x En un café internet, hay modelos de computadoras, El tipo I y el tipo II, el modelo tipo I los procesadores tiene núcleos y el modelo tipo II tiene 4 núcleos. Si existe en total 5 equipos y 44 núcleos en dicho café internet. Cuantos equipos del modelo tipo I y cuantos del tipo II existen? Sea x = nº de Modelos tipo I y = nº de Modelos tipo II x = nº de núcleos de los tipo I 4y = nº de núcleos de los tipo II Planteando las ecuaciones. x + y = 5 x + 4y = 44
15 Sistemas de Ecuaciones Lineales x Plantear las ecuaciones. x + y = 5 x + 4y = 44 Elegir algún método de resolución (Por el método de reducción). x + y = 5 x + 4y = 44 ; x y = 3 x + 4y = 44 ; y = 4 y = 7 Reemplazando y = 7 en la ecuación x + y =5 se tiene x = 5-7 = 8 La solución del sistema es x = 8, y = 7 Respuesta: Hay 8 modelos del tipo I tipo II. y 7 modelos del
16 MATRIZ AUMENTADA Resolver los grandes sistemas de ecuaciones lineales requiere el planteamiento de la matriz aumentada. Una matriz aumentada consta de los coeficientes y términos constantes de un sistema de ecuaciones lineales. 7x + 3y = 4 y = x ; Una línea vertical separa los coeficientes de las constantes
17 MATRIZ AUMENTADA Se debe escribir el sistema de ecuaciones en una matriz aumentada x = y x 3y = ; 3 5x = 4y z = 3 x ; = 3z + 4y
18 SISTEMAS EQUIVALENTES Sistemas equivalentes: Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Es útil convertirlo en otro equivalente ya que facilita su solución. Estas transformaciones que conducen a sistemas equivalentes son:. Intercambiar entre sí dos ecuaciones. Multiplicar ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero. 3. Sumar miembro a miembro un múltiplo de una ecuación a otra ecuación.
19 SISTEMAS EQUIVALENTES Operaciones elementales en los renglones de la matriz aumentada:. Intercambiar entre sí dos renglones. Multiplicar ambos miembros de un renglón por un número distinto de cero. 3. Sumar miembro a miembro un múltiplo de un renglón a otro renglón.
20 Sistemas equivalentes Ejemplo de transformaciones u operaciones que convierten un sistema en otro equivalente: z y x z y x z y x r -3r + r r ()r 5 5 r 3 r + r 3... r 3 -r + r 3
21 SISTEMA ESCALONADO Un sistema escalonado es aquel en el que los coeficientes de la incógnitas situados por debajo de la diagonal principal (elementos que repiten subíndice) son nulos. x + y z = 9 x 3y + 8z = 4; x + y + z = 5 x +y z 3y +8z z Los sistemas escalonados son fáciles de solucionar (De abajo a arriba)
22 ELIMINACIÓN GAUSSIANA. Usando Operaciones Elementales por Renglón (OER), la matriz A es transformada en una matriz triangular superior (todos los elementos debajo de la diagonal son cero).. Sustitución hacia atrás es usada para resolver un sistema triangular superior n i n i nn ni n in ii i n i b b b x x x a a a a a a a a a OER n i n i nn in ii n i b b b x x x a a a a a a ~ ~ ~ ~ ~ Sustitución atrás
23 ELIMINACIÓN GAUSSIANA: EJEMPLO Resolver el sistema de ecuaciones. x + y + z = x y z = 8 5x + 3y + z = 3 Para aplicar las operaciones elementales, conformamos primero la matriz de coeficientes y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada r r + r r 3 5r + r ( *) ( *) ( ) 3 ( *) ( ) 4 ( * ) 8 ( 5*) 5 ( 5*) 3 ( 5*) 3 ( 5* ) 3 8
24 ELIMINACIÓN GAUSSIANA: EJEMPLO r r 3 r + r r Z = 4; y = 3 y = x + 4 = x = x = y = z = 4
25 ELIMINACIÓN GAUSS-JORDAN Eliminación Gauss-Jordan. Es el proceso de llevar a cabo las operaciones elementales por filas en una matriz aumentada para resolver un sistema. El objetivo es conseguir la matriz de identidad en el lado izquierdo. Esto se conoce como la forma escalonada reducida. 5 x = 5 y = Resolver por reducción x + y = 5 x + 4y =
26 ELIMINACIÓN GAUSS-JORDAN: EJEMPLO Resolver el siguiente sistema de ecuaciones x + y = 3x y = ; x = 4 y = 3
27 ELIMINACIÓN GAUSS-JORDAN: EJEMPLO Resolver el sistema de ecuaciones. x + y + z = x y z = 8 5x + 3y + z = r r + r r 3 5r + r r r 3 r + r r r 4 3 r 3 + r r r 3 + r 3 4 r r + r 4 x = y = z = 4
28 EJERCICIO Manufacturas R.S.C.L.S y asociados fabrica tres tipos de computadora personal: ciclón, ciclope y cicloide. Para armar un ciclón se necesita horas, otras para probar sus componentes y horas más para instalar sus programas. El tiempo requerido para la cíclope es de horas en su ensamble,.5 para probarla y horas para instalarla. La cicloide, la más sencilla de la línea, necesita 6 horas de armado,.5 horas de prueba u.5 horas de instalación. Si la fábrica de esta empresa dispone de 56 horas de trabajo por mes para armar, 34 horas para probar y 3 horas para instalar Cuántas PC de cada tipo puede producir en un mes? (Tomado de Nakos y Joyner) Resolver el sistema de ecuaciones por Eliminación Gaussiana y Eliminación Gauss- Jordan. x + y + 6z = 56 x +.5y +.5z = 34 x + y +.5z = 3
29 SISTEMAS HOMOGÉNEOS Sistemas homogéneos. Un sistema de ecuaciones se denomina homogéneo si el término constante de la ecuación es cero. x + y + 3z = Ejemplo: 4x + 5y + 6z = 7x + 8y + 9z = Un sistema general de m n ecuaciones lineales se llama homogéneo si las constantes b, b,, b m son cero. En general:
30 SISTEMAS HOMOGÉNEOS: SOLUCIÓN Solución trivial o solución cero. Cuando el número de ecuaciones es igual al número de variables. En tal caso, el sistema tiene solo la solución nula o trivial. X = = [x =, x =,, x n = ] Cuando el sistema tiene un número menor de ecuaciones que de variables (m < n). Entonces el sistema tiene una solución no nula o no trivial.
31 SISTEMAS HOMOGÉNEOS Resolver el sistema homogéneo. x + y z = 4x y + 7z = Al reducir por renglones: 4 7 r 4r + r 6 r 6 r 6 r r + r Hay un número infinito de soluciones dadas por 5 6 z; 6 z; z. Esto es así, ya que el sistema contiene tres incógnitas y solamente dos ecuaciones.
32 SISTEMAS HOMOGÉNEOS Resolver el sistema homogéneo. x + y + 3z = 3 4x + 5y + 6z = x + 8y + 9z = r 3 r 6 r 4r + r r 3 7r + r 3 r 3 6r + r 3 Este sistema homogéneo admite solución además de la trivial
33 SISTEMA HOMOGÉNEO: EJEMPLO Resolver el sistema homogéneo. x + y + 3z = 3 4x + 5y + 6z = x + 8y + 9z = r 4r + r r 3 7r + r r 3 r 6 r 3 6r + r 3 Este sistema homogéneo admite solución además de la trivial
34 EJERCICIO EJERCICIO: Pagina 39. Grossman. Algebra lineal, sexta edición
35 BIBLIOGRAFÍA Grossman Stanley I. Algebra lineal
36 FIN DE LA PRESENTACION
UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Método de igualación. Método de reducción. Método de sustitución Método de eliminación Gaussiana.
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción o de Gauss 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES Dos ecuaciones lineales con dos
de SISTEMAS DE ECUACIONES ES Y MATRICES Dos m con n Sergio Stive Solano 1 Febrero de 2015 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com de SISTEMAS DE ECUACIONES ES Y MATRICES Dos m con n Sergio Stive
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Generalidades Definición [Sistema de ecuaciones lineales] Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un conjunto de m igualdades
Más detallesInstituto Tecnológico Autónomo de México. 1. At =..
Instituto Tecnológico Autónomo de México TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ DEFINICION : Transpuesta Sea A = (a ij ) una matriz de mxn Entonces la transpuesta de A, que se escribe A t, es la matriz de nxm obtenida
Más detallesProcedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada (Método de Gauss-Jordan).
Ejemplo 19: Demuestre que la matriz A es invertible y escríbala como un producto de matrices elementales. Solución: Para resolver el problema, se reduce A a I y se registran las operaciones elementales
Más detallesEcuaciones de 1er Grado 2. Incógnitas. Ing. Gerardo Sarmiento Díaz de León
Ecuaciones de 1er Grado 2 Incógnitas Ing. Gerardo Sarmiento Díaz de León 2009 Teoría sobre ecuaciones de primer grado con 2 icognitas solución por los 3 metodos CETis 63 Ameca, Jalisco Algebra Área matemáticas
Más detallesMatemática II Tema 3: resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Matemática II Tema 3: resolución de sistemas de ecuaciones lineales 2012 2013 Índice Sistemas de ecuaciones lineales 1 Interpretación geométrica y definición 1 Método de eliminación 4 Resolución de sistemas
Más detallesVectores en el plano UNIDAD I: MATRICES. Dirección de un vector. Sentido de un vector
UNIDAD I: MATRICES Vectores en el plano Un vector,, es un segmento con una dirección que va del punto A (origen) al punto B (etremo).un vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Contenido 1 Métodos de Solución Contenido Métodos de Solución 1 Métodos de Solución Desarrollamos el algoritmo de sustitución regresiva, con el que podremos resolver un sistema de ecuaciones lineales cuya
Más detalles3- Sistemas de Ecuaciones Lineales
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 3- Sistemas de Ecuaciones Lineales 1. Introducción Consideremos el siguiente sistema, en él tenemos k ecuaciones y n incógnitas. Los coeficientes a ij son números reales
Más detallesCurso cero Matemáticas en informática : Sistemas de ecuaciones lineales
lineales -Jordan Curso cero Matemáticas en informática : de ecuaciones lineales Septiembre 2005 lineales -Jordan lineales -Jordan Se llama ecuación lineal con n incógnitas a a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + +
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes
Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detallesMatrices, Determinantes y Sistemas Lineales.
12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión
Más detallesTema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes
Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Lección 1. Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes
Más detallesAPUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ignacio López Torres. Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio electrónico
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales ALBERTO VIGNERON TENORIO Dpto. de Matemáticas Universidad de Cádiz Índice general 1. Sistemas de ecuaciones lineales 1 1.1. Sistemas de ecuaciones lineales. Definiciones..........
Más detallesMatrices y Sistemas Lineales
Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes 1 ÍNDICE Matemáticas Cero Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 5 2
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices
Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación es un enunciado o proposición que plantea la igualdad de dos expresiones, donde al menos una de ellas contiene cantidades desconocidas llamadas variables
Más detallesConjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales
1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
y SISTEMAS DE ECUACIONES ES Y MATRICES Sergio Stive Solano 1 Febrero de 2015 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com y SISTEMAS DE ECUACIONES ES Y MATRICES Sergio Stive Solano 1 Febrero de 2015
Más detalles1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes
Más detallesMATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).
1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema ( ecuaciones y incógnitas) es un sistema de la forma: Ï a 11 x + a 1 y = b 1 Ó a 1 x + a y
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 Sistemas de ecuaciones y matrices Definición 1 Una ecuación lineal en las variables x 1, x 2,..., x n es una ecuación de la forma con a 1, a 2... y b números reales. a
Más detallesResolución de Sistema de Ecuaciones Lineales
Resolución de Sistema de Ecuaciones Lineales Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Mecanica Universidad Nacional de Ingenieria Métodos Numérico Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 29 CONTENIDO
Más detalles2. Sistemas de ecuaciones lineales.
2. Sistemas de ecuaciones lineales. Manuel Palacios Departamento de Matemática Aplicada Centro Politécnico Superior Universidad de Zaragoza Otoño 2002 Contents 1 Introducción 2 2 Operaciones elementales
Más detallesMATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
7 de Aril de MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Clase 6) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Álgera Lineal y Geometría Analítica
Más detallesMatrices y Sistemas Lineales
Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 6 2 Herramientas 8 21 Operaciones
Más detallesUNIDAD II SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Licenciatura en Administración Mención Gerencia y Mercadeo UNIDAD II SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Elaborado por: Ing. Ronny Altuve Raga, Esp. Ciudad Ojeda, febrero 07 Sistema de dos ecuaciones lineales
Más detallesTeoría Tema 6 Discusión de sistemas por el método de Gauss
página 1/9 Teoría Tema 6 Discusión de sistemas por el método de Gauss Índice de contenido Método de Gauss...2 Discusión de sistemas por el método de Gauss...4 Sistemas que dependen de parámetros desconocidos...6
Más detallesTeoría Tema 4 Notación matricial en la resolución de sistemas de ecuaciones por Gauss
página 1/6 Teoría Tema 4 Notación matricial en la resolución de sistemas de ecuaciones por Gauss Índice de contenido Matriz del sistema y matriz ampliada...2 Método de Gauss...3 Solución única, ausencia
Más detallesMatrices y Sistemas de Ecuaciones lineales
Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Llamaremos M m n (K) al conjunto de las matrices A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) donde los elementos a ij pertenecen a un cuerpo K. Las matrices,
Más detallesResumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 1 Matrices Una matriz con coeficientes sobre un cuerpo K (normalmente K R) consiste en una colección de números (o escalares) del cuerpo
Más detallesEs una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas. Por ejemplo, son ecuaciones lineales: 2x 3y 4z
1. Ecuación lineal Es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas. Por ejemplo, son ecuaciones lineales: x y 4z 8 x 6y z 5 7y z 1. Sin embargo, no son, ecuaciones lineales: x y z 1,
Más detallesIntroducción a Matrices y Eliminación Gaussiana
Introducción a Matrices y Eliminación Gaussiana 1 Sistema de Ecuaciones Matricial 2 Definición Una matriz es un arreglo rectangular de valores llamados elementos, organizados por filas y columnas. Ejemplo:
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Tema 1 Sistemas de ecuaciones lineales 11 Definiciones Sea K un cuerpo Una ECUACIÓN LINEAL CON COEFICIENTES EN K es una expresión del tipo a 1 x 1 + + a n x n = b, en la que n es un número natural y a
Más detallesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna
Más detallesTema 3: Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales 1. Introducción Los sistemas de ecuaciones resuelven problemas relacionados con situaciones de la vida cotidiana que tiene que ver con las Ciencias Sociales. Nos
Más detalles11.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIÓN DE ECUACIÓN LINEAL DEFINICIÓN DE SISTEMA LINEAL Y CONJUNTO SOLUCIÓN
ÍNDICE 11SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 219 111 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN LINEAL 219 112 DEFINICIÓN DE SISTEMA LINEAL Y CONJUNTO SOLUCIÓN 220 113 EQUIVALENCIA Y COMPATIBILIDAD 220 11 REPRESENTACIÓN MATRICIAL
Más detalles1 ÁLGEBRA DE MATRICES
1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa
Más detallesLo rojo sería la diagonal principal.
MATRICES. Son listas o tablas de elementos y que tienen m filas y n columnas. La dimensión de la matriz es el número se filas y de columnas y se escribe así: mxn (siendo m el nº de filas y n el de columnas).
Más detalles3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método
Más detallesMatrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente
Más detallesMatriz sobre K = R o C de dimensión m n
2 Matrices y Determinantes 21 Matrices Matriz sobre K = R o C de dimensión m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Tipos de matrices: Cuadrada: n n = (a ij) i=1,,m j=1,,n Nula: (0) i,j 1 0
Más detallesTitulo: SISTEMAS DE ECUACIONES Año escolar: 3er. año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com
Más detallesDISEÑO CURRICULAR ALGEBRA LINEAL
DISEÑO CURRICULAR ALGEBRA LINEAL FACULTAD (ES) CARRERA (S) Ingeniería Computación y Sistemas CÓDIGO HORAS TEÓRICAS HORAS PRÁCTICAS UNIDADES DE CRÉDITO SEMESTRE 122443 02 02 03 II PRE-REQUISITO ELABORADO
Más detallesSistem as de ecuaciones lineales
Sistem as de ecuaciones lineales. Concepto, clasificación y notación Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo: a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n = b a
Más detalles2. Ecuaciones de primer grado: (sencillas, con paréntesis, con denominadores).
Bloque 3. ECUACIONES Y SISTEMAS (En el libro Temas 4 y 5, páginas 63 y 81) 1. Ecuaciones: Definiciones. Reglas de equivalencia. 2. Ecuaciones de primer grado: (sencillas, con paréntesis, con denominadores).
Más detallesde la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).
INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Más detallesMatrices y sistemas lineales
15 Matemáticas I : Preliminares Tema 2 Matrices y sistemas lineales 2.1 Definiciones básicas Una matriz es una tabla rectangular de números, es decir, una distribución ordenada de números. Los números
Más detallesTema 4: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
Tema 4: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones Sistemas Lineales pueden ser de No lineales Gráficamente Ecuaciones se clasifican se resuelven Algebraicamente Compatible determinado Compatible indeterminado
Más detallesEsquema conceptual: Unidad IV
Unidad IV Álgebra Esquema conceptual: Unidad IV Ecuaciones dependientes Ecuaciones independientes Ecuaciones incompletas 1. Sistemas de ecuaciones lineales 2. Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales
Más detallesDepartamento de Matemáticas, CCIR/ITESM. 9 de febrero de 2011
Factorización LU Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 9 de febrero de 2011 Índice 26.1. Introducción............................................... 1 26.2. Factorización LU............................................
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. Podemos clasificar los sistemas según el número de soluciones: Incompatible. No tiene solución Compatible. Tiene solución. Compatible
Más detalles1. Utilizar el método de Gauss para clasificar y resolver cuando sea posible los siguientes sistemas: x 3y + 7z = 10 5x y + z = 8 x + 4y 10z = 11
Teorema de Rouché Frobenius: Si A es la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y AM la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales. Si r(a = r(am = número de incógnitas =
Más detallesDEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES
ALGEBRA DE MATRICES DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIONES 2 Las matrices y los determinantes son herramientas
Más detallesSistemas de ecuaciones.
1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1 Sistemas de ecuaciones. 1. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Operaciones básicas con polinomios. Resolución
Más detallesTema 2. Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales Estructura del tema. Definiciones básicas Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales Clasificación de los sistemas según el número de soluciones. Teorema
Más detallesEcuaciones matriciales AX = B y XA = B. Cálculo de la matriz inversa
Ecuaciones matriciales AX = B y XA = B Cálculo de la matriz inversa Objetivos Aprender a resolver ecuaciones matriciales de la forma AX = B y XA = B Aprender a calcular la matriz inversa con la eliminación
Más detallesAquella que tiene nulos los elementos nos situados en la diagonal principal. Los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos.
Álgebra lineal Matrices Rango de una matriz Orden del mayor menor complementario no nulo. Matriz regular det A Diagonal principal Elementos a ii de la matriz. Si la matriz es cuadrado son los elementos
Más detallesTema 3 Álgebra Matemáticas I 1º Bachillerato. 1
Tema 3 Álgebra Matemáticas I 1º Bachillerato. 1 TEMA 3 ÁLGEBRA 3.1 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS LA DIVISIBILIDAD EN LOS POLINOMIOS Un polinomio P(x) es divisible por otro polinomio Q(x) cuando el cociente
Más detallesAPUNTES ACERCA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
Introducción APUNTES ACERCA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA Se denomina solución de una ecuación al valor o conjunto de valores de la(s) incógnita(s) que verifican la igualdad. Así por ejemplo decimos que x
Más detallesSistemas de ecuaciones.
1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1 Sistemas de ecuaciones. 1. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Operaciones básicas con polinomios. Resolución
Más detallesECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
UNIDAD OBJETIVO: Resolverá situaciones y problemas en los que se apliquen ecuaciones de primer grado con una incógnita, sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas, mediante métodos algebraicos
Más detallesUnidad 2. Matrices Conceptos básicos 2.2. Operaciones con matrices 2.3. Matriz Inversa 2.4. El método de Gauss-Jordan 2.5.
Unidad. Matrices.. Conceptos básicos.. Operaciones con matrices.. Matriz Inversa.. El método de Gauss-Jordan.. Aplicaciones Objetivos particulares de la unidad Al culminar el aprendizaje de la unidad,
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES
Tema 4.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS MÉTODO DE GAUSS 1 Muchas preguntas en ingeniería, física, matemáticas, economía y otras ciencias se
Más detallesSe dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que
MATRICES INVERTIBLES Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que AB = BA = I siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A
Más detallesTema 1. Álgebra lineal. Matrices
1 Tema 1. Álgebra lineal. Matrices 0.1 Introducción Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en un gran número de situaciones. Son conocidos los métodos de resolución de los mismos cuando tienen dos
Más detallesMATEMÁTICAS II: MATRICES Y DETERMINANTES
MATRICES Llamaremos matriz de números reales de orden (o dimensión) m n a un conjunto ordenado de m n números reales, dispuestos en m filas y n columnas: A a 11 a 12 a 13 a 1j a 1n a 21 a 22 a 23 a 2j
Más detallesDefinición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas.
1.- CONCEPTO DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas. 1 3 4 Por ejemplo, A = es una matriz de 2 filas y 3 columnas 0 5
Más detallesÁlgebra Lineal Ma1010
Álgebra Lineal Ma1010 Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Departamento de Matemáticas ITESM Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 1/38 En esta lectura veremos
Más detallesPRÁCTICA FINAL. Mª Esther Ruiz Morillas
PRÁCTICA FINAL Mª Esther Ruiz Morillas Repasamos Números x y =z y Álgebra Logaritmos Sucesiones: Aritméticas Geométricas Ecuaciones: De primer grado De segundo grado De grado superior Algebraicas Irracionales
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CONCEPTO Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un sistema de la forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n b 2.........................
Más detallesFASCÍCULO: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
FASCÍCULO: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una de las aplicaciones más famosas del concepto de determinante es el método para resolver sistemas de m ecuaciones con n incógnitas, aparece en en la publicación
Más detallesSistema de Ecuaciones Lineales Matrices y Determinantes (3ª Parte)
Sistema de Ecuaciones Lineales Matrices y Determinantes (ª Parte) Definición: Sistemas Equivalentes Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si y solo si tienen el mismo conjunto solución Teorema fundamental
Más detallesPropiedades de los Determinantes
Propiedades de los Determinantes Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 26 de mayo de 2010 Índice 19.1. Propiedades............................................... 1 19.2. La adjunta de una matriz cuadrada..................................
Más detallesMétodo de eliminación de Gauss Utilidad del método. Transformaciones elementales. Teorema Rouché-Frobenius
Método de eliminación de Gauss Utilidad del método. Transformaciones elementales. Teorema Rouché-Frobenius c Jana Rodriguez Hertz p. 1/2 Método de eliminación de Gauss La clase pasada presentamos el método
Más detallesPAIEP. Sistemas de Ecuaciones Lineales
Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Sistemas de Ecuaciones Lineales Consideremos el sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas x + y = 2 2x
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SOCIALES CAPÍTULO 2 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 00 MATEMÁTICAS II TEMA : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Reserva, Ejercicio 3, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva 3, Ejercicio 3, Opción A Reserva
Más detalles2.- Sistemas de ecuaciones Lineales
.- Sistemas de ecuaciones Lineales..- Definición, Clasificación de los sistemas lineales y tipos de solución. Definición Una ecuación lineal con las variables escribirse en la forma,..., n es una ecuación
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Índice: 1.Introducción--------------------------------------------------------------------------------------- 2 2. Ecuaciones lineales------------------------------------------------------------------------------
Más detallesUNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA1116 abril-julio de 2009 Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. Ejercicios sugeridos para :
UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA6 abril-julio de 29 I / Ejercicios sugeridos para : los temas de las clases del 2 y 23 de abril de 29. Tema : Matrices. Operaciones con matrices. Ejemplos. Operaciones elementales
Más detalles2.- Sistemas lineales.
2.- Sistemas lineales. 2.1.-Definiciones previa. 2.1.1.-Ecuación lineal con n incógnitas: Cualquier expresión del tipo:, donde a i, b, ú. Los valores a i se denominan coeficientes, b término independiente
Más detallesUna forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Primero vamos a estudiar algunas propiedades de los determinantes.
Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Ejemplos: Tarea: realizar al menos tres ejercicios de cálculo de determinantes de matrices de 2x2 y otros tres de 3x3. PARA DETERMINANTES DE MATRICES
Más detallesMatrices: repaso. Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas. Una matriz A M m n es de la forma A =
Matrices: repaso Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas Una matriz A M m n es de la forma a 11 a 1n A = a m1 a mn Denotaremos A ij = a ij el coeficiente
Más detallesSOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y ALGUNAS APLICACIONES
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS CONFERENCIA: SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y ALGUNAS APLICACIONES PONENTE: FRANCISCO BARRERA GARCÍA OCTUBRE 30, 2015. CONCEPTOS BÁSICOS
Más detallesEJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES JUNIO 06/07. a) Calcula el rango de la matriz A según los valores del parámetro a 3 a A = 4 6 8 3 6 9 b)
Más detallesBloque 1. Aritmética y Álgebra
Bloque 1. Aritmética y Álgebra 12. Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático
Más detallesMatrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial
Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 20 de agosto de 2008 Índice 121 Introducción 1 122 Transpuesta 1 123 Propiedades de la transpuesta 2 124 Matrices
Más detallesAplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 10 de enero de 2011 Índice 3.1. Introducción............................................... 1 3.2. Objetivo.................................................
Más detalles1 0 4/ 5 13/
1 1 1 7 1 0 4/ 5 13/ 5 R1 R 1+1/5R3 0 0 0 2 R2 R3 0 5 9 22 0 5 9 22 0 0 0 2 Como la matriz tiene un renglón (0, 0, 0, 2) indica que el sistema no tiene solución ya que no existe un número que sea 2 y al
Más detallesPrimer examen parcial Geometría y Álgebra Lineal 1 2 de mayo de 2015 Respuestas y solución
Primer examen parcial Geometría y Álgebra Lineal 1 2 de mayo de 2015 Respuestas y solución Respuestas a la versión 1: (La versión 1 es aquélla cuyo primer ejercicio dice Un sistema lineal de m ecuaciones
Más detallesAdvanced Engineering for Real Solutions CURSO BÁSICO DE ELEMENTOS FINITOS 1.2 CONCEPTOS DE ÁLGEBRA LINEAL
CURSO BÁSICO DE ELEMENTOS FINITOS. CONCEPTOS DE ÁLGEBR LINEL Siguiente Paso: Conceptos de Álgebra Lineal Métodos Numéricos Álgebra matricial y solución de ecuaciones Módulo MEF. Introducción al Método
Más detallesMatrices 3. Matrices. Verónica Briceño V. agosto 2012
3 agosto 2012 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa Determinante En esta Presentación... En esta Presentación
Más detalles1.- ECUACIONES LINEALES CON 2 Y 3 INCÓGNITAS ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO. Infinitas soluciones) Infinitas soluciones)
TEMA 2.- SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- ECUACIONES LINEALES CON 2 Y 3 INCÓGNITAS La ecuación 2x 3 5 tiene un término en x (el término 2x), otro en y (el término -3y) y un término independiente (el 5) Este
Más detallesMatrices 2º curso de Bachillerato Ciencias y tecnología
MATRICES Índice:. Introducción-------------------------------------------------------------------------------------- 2. Definición de matriz-----------------------------------------------------------------------------
Más detalles3. Determinantes. Propiedades. Depto. de Álgebra, curso
Depto de Álgebra curso 06-07 3 Determinantes Propiedades Ejercicio 3 Use la definición para calcular el valor del determinante de cada una de las siguientes matrices: 3 0 0 α A = 5 4 0 A = 6 A 3 = 0 β
Más detalles