Métodos Numéricos. Resolución de sistemas de ecuaciones

Transcripción

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2 Al flzr est udd el prtcpte estrá e cpcdd de resolver u sstem de ecucoes leles o o leles de ecucoes co cógts por los métodos drectos e tertvos.

3 Itroduccó Prolem clásco del álger lel: se quere solucor u sstem de ecucoes co cógts. Los sstems de ecucoes leles form u gr fml que tervee e u gr prte de álss e spectos de geerí: Estructurs Dámc Métodos de dferecs fts y elemetos ftos Resolucó ecucoes de Redes Eléctrcs

4 Itroduccó Métodos Numércos Prolem clásco del álger lel: Se quere solucor u sstem de ecucoes co cógts. Se estudr prolems de sstems leles de ecucoes co cógts, co u solucó úc. L teorí de sstems leles se supoe que h sdo e cuert e los cursos de álger lel.

5 Itroduccó Métodos Numércos El terés quí es úcmete por l solucó de prolems del tpo: Que puede escrrse de l form: v A * X r

6 Importc de ests téccs Métodos Numércos Este tpo de prolem tom u mportc cptl cudo el terés so los métodos umércos, pues él tervee como etp fl e l resolucó de prolems como l solucó umérc de u ecucó co dervds prcles. Además, ls dmesoes de los sstems cosderdos so geerlmete muy grdes ( >. ), y el tempo de clculo ecesro pr est etp represet del l 8% del esfuerzo totl requerdo pr u progrm. E geerl, los sstems de ecucoes leles tee u form prtculr, resultte del método umérco que les d lugr: mtrz smétrc, trgulr, trdgol, etc. Deerá etoces elegrse u lgortmo que permt l eplotcó de est prtculrdd y progrmrlo

7 Métodos drectos Métodos Numércos Se llm métodos drectos de resolucó de u sstem lel de ecucoes todos los método que permt l otecó de u solucó ect l co de u úmero fto de opercoes s el cálculo es efectudo co u precsó totl Los métodos más comúmete empledos se derv todos del msmo prcpo, plcdos de mer dferetes dverss clses de mtrces. Mtrces dgoles Mtrces trgulres Culquer mtrz

8 Métodos drectos Mtrces dgoles Métodos Numércos Se cosder l mtrz D (d j ) co d j s j el sstem lel D X S todos los elemetos dgoles d so o ulos, l solucó de este sstem se otee medtmete por ls relcoes d se escre sí e dvsoes. d d d M

9 Métodos drectos Mtrces trgulres Métodos Numércos Se cosder u mtrz trgulr (superor por ejemplo). T (t j ) dode t j sí j <. El sstem lel socdo T X se escre sí: t + t t t t..... t

10 Métodos drectos Mtrces trgulres Métodos Numércos Se supoe que l mtrz T es regulr: t pr todo,,..., l solucó del sstem se otee etoces por ls relcoes de "retoro hc trás" o tmé "susttucó hc trás". d j + t t j j,, K,

11 Métodos drectos Culquer mtrz Método de Guss El método de Guss, co frecuec llmdo método de Elmcó de Guss, es él más coocdo y él más utlzdo Este método cosste e trsformr u sstem lel culquer e u form trgulr superor dode y se vo l fcldd de solucó Por este método se trsform l mtrz A e mtrz trgulr superor, pr después oteer fáclmete l solucó por "susttucó hc trás" del sstem trgulr resultte

12 Métodos drectos Culquer mtrz Métodos Numércos Método de Guss Se relz trsformcoes leles sore ls fls de l mtrz [A:], mtrz [A:] es l mtrz [ A ] umetd co el vector ocupdo l + esm colum de [ A ], hst oteer u sstem equvlete T. ', dode T es l mtrz trgulr superor.

13 Métodos drectos Método de Guss Métodos Numércos Algortmo del método. Aumetr l mtrz de los coefcetes A del vector de segudo memro pr formr u uev mtrz de fls y ( + ) colums.

14 Métodos drectos Método de Guss Métodos Numércos Algortmo del método. Permutcó de ls fls s es ecesro f que teg el vlor soluto ms grde de los coefcetes de l er colum.. Crer ceros dejo de de l d hst l esm fl restdo veces l er fl de l esm fl,,, Ej: uevo uevo

15 Métodos drectos Algortmo del método Método de Guss. Repetr ls etps y pr ls fls,,,. Al fl de est etp se otee u sstem trgulr superor T A '. Oteer prtr de l esm ecucó como sgue,,, +. Oteer,,, prtr de l ecucó geerl j j j + +,,,, K

16 Métodos drectos Método de Guss Métodos Numércos Algortmo del método Estrteg del pvotje prcl y codcometo Cosste e llevr sempre l poscó de pvote l elemeto de myor vlor soluto. Esto permte mmzr l cumulcó de errores umércos y mejor l precsó de l solucó

17 Métodos drectos Métodos Numércos Método de Guss Ejemplo Resolver el sstem de ecucoes leles sguete por el método de elmcó de Guss

18 Métodos drectos Métodos Numércos Método de Guss Ejemplo Resolver el sstem de ecucoes leles sguete por el método de elmcó de Guss L mtrz umetd es etoces 7

19 Métodos drectos No se puede utlzr y que, por lo que se dee permutr ls fls. Lo mejor es cmr ls fls y. 7 7

20 Métodos drectos crer los jo restdo de l esm fl (,, ) veces l er fl Resultdo: 7 Pr l segud fl serí: -/* -/*.7 -/*(-) -/*(-).7 --/*()-,,7,7,7 Resultdo:

21 Métodos drectos Permutdo l fls y, pr dejr el coefcete myor (e vlor soluto) e,,7,7,7,7,7,,7

22 Métodos drectos Sguedo el proceso hor pr l sguete fl crer los jo restdo de l esm fl (, ) veces l d fl,7,7,,7,7,88,88,,, 9,,9999

23 Métodos drectos Sguedo el proceso hor pr l ultm fl crer los jo restdo de l esm fl ( ) veces l r fl,7,88,88,,, 9, ;,9999,7,88,,, 9,,99

24 Métodos drectos Sguedo el proceso hor pr l ultm fl,, y so otedos por susttucó hc trás como sgue:,99,,9999 9,,,88 (,9999 ), (,),(,9999 ),7, ( ) ( )(,) ( )(,9999 ),,

25 Métodos drectos Comprdo l solucó ecotrd co l ect se tee: Ect -,. / - Clculd -,.. -,999

26 Métodos drectos Método de Guss-Jord Este método cosste trsformr l mtrz de prtd e u mtrz dgol El umero de opercoes es ms elevdo y es meos utlzd e l prctc. A r r T r r ' r A r D r r ''

27 Métodos drectos Mtrces Trdgoles: Método de Thoms (TDMA) Muchos ejemplos e álss umérco d sstems leles dode cd vrle est lgd ls dos vrles vecs. U ejemplo de u mtrz trdgol es: d d d d d c c c c

28 Métodos drectos Mtrces Trdgoles: Método de Thoms (TDMA) Gr prte de los elemetos de l mtrz so ulos El procedmeto de cálculo es prtculrmete smple cudo se plc l Elmcó de Guss u mtrz de este tpo Cuts opercoes se requere pr plcr el proceso de Guss l segud fl?

29 Métodos drectos Mtrces Trdgoles: Método de Thoms (TDMA) c β U opercó pr modfcr el termo d d δ U opercó pr el termo costte d d d d d d c c c c

30 Métodos drectos Mtrces Trdgoles: Método de Thoms (TDMA) Dos opercoes so ecesrs pr cd fl, fí de reducr l mtrz trdgol e u mtrz trgulr superor. E geerl ls opercoes ecesrs pr u fl so: + c + + δ d + + β β β + Pr hst - δ

31 Métodos drectos Mtrces Trdgoles: Método de Thoms (TDMA) Después de l trgulrzcó se tee: Est mtrz se resuelve fáclmete por δ δ δ δ β β β β d c c c c "susttucó hc trás" β δ ( ) + c δ β

32 Métodos drectos Los métodos de elmcó (drectos) so geerlmete preferdos pr pequeños cojutos de ecucoes lgercs que cotee pocos coefcetes gules cero. Estos métodos so sesles los errores de redodeo (dedo l retecó de u umero lmtdo de cfrs sgfctvs) y ls solucoes ecotrds puede lgus veces dferr de mer precle de los vlores ectos. Este cso puede presetrse cudo se dvde por u umero muy pequeño (certos coefcetes j so pequeños) o por l rest de úmeros vecos.