Height (altura) Extraction (extracción)

Transcripción

1 Regresón Posson Resumen El procedmento Regresón Posson está dseñado para ajustar un modelo de regresón en el cual la varable dependente Y consste de conteos. El modelo de regresón ajustado relacona Y con una o más varables predctoras X, que pueden ser cuanttatvas o categórcas. El procedmento ajusta un modelo usando máxma verosmltud o mínmos cuadrados ponderados. La seleccón de varables por pasos es una opcón. Se realzan pruebas de razón de verosmltud para probar la sgnfcanca de los coefcentes del modelo. El modelo ajustado puede grafcarse y generarse predccones a partr del msmo. Se dentfcan y grafcan resduos atípcos. StatFolo de Ejemplo: Posson reg.sgp Datos de Ejemplo: El archvo mnes.sf6 contene un grupo de datos tomados de Myers (1990) que descrben el número de lesones que ocurren en los campos de carbón en West Vrgna. Los datos conssten de n = 44 observacones de dferentes mnas. A contnuacón se muestra una porcón de los datos: Fractures (fracturas) Thckness (grosor) Extracton (extraccón) Heght (altura) Years (años) La varable dependente es Fractures (fracturas), que tabula el número de lesones en cada mna. Las otras 4 columnas son varables predctoras potencales que cuantfcan dversos atrbutos de cada mna by StatPont, Inc. Regresón Posson - 1

2 Ingreso de Datos La caja de dálogo del ngreso de datos solcta nformacón sobre las varables de entrada: Varable Dependente: varable numérca que contene los n valores de la varable dependente y. Y debe consstr de conteos enteros no negatvos. (Tamaños de Muestra): tamaño de muestra opconal t correspondente a cada cuenta. S no se especfca, todos los t se gualan a 1. Factores Cuanttatvos: columnas numércas que contenen los valores de cualesquera factores cuanttatvos a ser ncludos en el modelo. Factores Categórcos: columnas numércas o no numércas que contenen los nveles de cualesquera factores a ser ncludos en el modelo. Seleccón: seleccón de un subgrupo de datos by StatPont, Inc. Regresón Posson - 2

3 Modelo Estadístco El modelo estadístco asumdo para los datos es que los valores de la varable dependente Y sguen una dstrbucón Posson de la forma p ( Y ) ( t ) λ t e λ = (1) Y! donde λ es el parámetro de la tasa Posson en los valores de las varables predctoras correspondentes a la -ésma observacón. Se supone además que la tasa se relacona con las varables predctoras a través de una funcón de enlace log-lneal de la forma ( λ ) = β + β X + β X β X k k log 0 2 (2) Resumen del Análss El Resumen del Análss presenta una tabla que muestra el modelo estmado y las pruebas de sgnfcanca para los coefcentes del modelo. A contnuacón se muestra una salda típca: Regresón de Posson - Fractures Varable dependente: Fractures Factores: Thckness Extracton Heght Years Modelo Estmado de Regresón (Máxma Verosmltud) Error Razón de Momos Parámetro Estmado Estandar Estmada CONSTANTE Thckness Extracton Heght Years Análss de Desvacón Fuente Desvacón Gl Valor-P Modelo Resduo Total (corr.) Porcentaje de desvacón explcado por el modelo = Porcentaje ajustado = Pruebas de Razón de Verosmltud Factor Ch-Cuadrada Gl Valor-P Thckness Extracton Heght Years Análss de Resduos Estmacón n 44 CME MAE MAPE ME MPE Valdacón 2006 by StatPont, Inc. Regresón Posson - 3

4 La salda ncluye: Resumen de los Datos: un resumen de los datos que fueron ngresados. Modelo Estmado de Regresón: estmacones de los coefcentes del modelo de regresón, con errores estándar y las Razones de Momos. Las razones de momos se calculan a partr de los coefcentes del modelo βˆ por medo de razón de momos = ( βˆ ) j exp (3) j La razón de momos representa el ncremento porcentual en el momo de los eventos por undad de ncremento en X. Análss de Desvacón: descomposcón de la desvacón de los datos en un componente explcado (Modelo) y un componente no explcado (Resduo). La Desvacón compara la funcón de verosmltud de un modelo con el valor más grande que puede alcanzar la funcón de verosmltud, de tal forma que un modelo perfecto tendría una desvacón gual a 0. Hay tres renglones en la tabla: 1. Total (corr.) la desvacón de un modelo que contene úncamente un térmno constante, δ(β 0 ). 2. Resduo la desvacón que queda después de haber ajustado el modelo. 3. Modelo la reduccón en la desvacón debda a las varables predctoras, δ(β 1,β 2,,β k β 0 ), gual a la dferenca entre los otros dos componentes. El Valor de P para el Modelo prueba s el añadr las varables predctoras reduce sgnfcatvamente la desvacón comparada con un modelo que contene sólo un térmno constante. Un Valor de P pequeño (menor de 0.05 s se trabaja con un nvel de sgnfcanca del 5%) ndca que el modelo ha reducdo sgnfcatvamente la desvacón y es así útl para predecr a Y. El Valor de P para el térmno Resduo prueba s hay una falta de ajuste sgnfcatva,.e., s puede haber un modelo mejor. Un Valor de P pequeño ndca que una desvacón sgnfcatva queda aún en los resduos, así que puede haber un mejor modelo. Porcentaje de Desvacón el porcentaje de desvacón explcada por el modelo, calculada por medo de ( β1, β 2,..., β k β 0 ) δ ( β ) 2 δ R = (4) 0 Es smlar a una estadístca R cuadrada en regresón múltple, en que va de 0% a 100%. Tambén se calcula una desvacón ajustada con R ( β1, β 2,..., β k β 0 ) δ ( β ) 2 δ 2 adj 0 p = (5) 2006 by StatPont, Inc. Regresón Posson - 4

5 donde p es gual al número de coefcentes en el modelo ajustado, ncluyendo al térmno constante. Es semejante a la estadístca R-cuadrada ajustada en que compensa el número de varables en el modelo. Pruebas de Razón de Verosmltud una prueba de sgnfcanca para cada efecto en el modelo ajustado. Estas pruebas comparan la funcón de verosmltud del modelo completo con la del modelo en el cual sólo el efecto ndcado ha sdo removdo. Valores de P pequeños ndcan que el modelo ha mejorado sgnfcatvamente por el efecto correspondente. Análss de Resduos s un subgrupo de flas en la hoja de datos ha sdo excludo del análss usando el campo Selecconar en la caja de dálogo de ngreso de datos, el modelo ajustado se usa para hacer predccones de los valores de Y para estas flas. Esta tabla muestra estadístcas sobre los errores de predccón, defndos por e = y λˆ t (6) Se ncluyen el cuadrado medo del error (CME), el error absoluto medo (MAEA), el error porcentual absoluto medo (MAPE), el error medo (ME), y el error porcentual medo (MPE). Estas estadístcas de valdacón pueden ser comparadas con las estadístcas del modelo ajustado para determnar qué tan ben el modelo predce las observacones fuera de los datos usados para ajustarlo. El modelo ajustado para los datos del ejemplo es ˆ λ = exp ( Thckness Extracton Heght Years) La regresón explca alrededor del 49.5% de la desvacón de un modelo con sólo una constante. El valor de P para un par de varables está por arrba 0.05, ndcando que podrían ser removdos razonablemente del modelo by StatPont, Inc. Regresón Posson - 5

6 Opcones de Análss Modelo: orden del modelo a ser ajustado. Los modelos de prmer orden ncluyen solo efectos prncpales. Los modelos de segundo orden ncluyen efectos cuadrátcos para los factores cuanttatvos e nteraccones de dos factores entre todas las varables. Inclur Constante: S no se marca esta opcón, el térmno constante β 0 será omtdo del modelo. Ajustar: especfca s todas las varables ndependentes especfcadas en caja de dálogo del ngreso de datos deben ser ncludas en el modelo fnal, o s se debe aplcar una seleccón por pasos de las varables. La seleccón por pasos ntenta encontrar un modelo parsmonoso que contenga sólo varables sgnfcatvas estadístcamente. Un ajuste por Seleccón Haca Adelante comenza sn varables en el modelo. Un ajuste por Seleccón Haca Atrás comenza con todas las varables en el modelo. P-para-Introducr - En un ajuste por pasos, las varables entrarán al modelo en un paso dado s sus valores de P son menores o guales al valor especfcado de P-para-Introducr. P-para-Elmnar - En un ajuste por pasos, las varables serán removdas del modelo en un paso dado s sus valores de P son mayores que el valor especfcado de P-para-Elmnar. Pasos Max.: máxmo número de pasos permtdos cuando se lleva a cabo un ajuste por pasos. Mostrar: s se muestran los resultados en cada paso cuando se lleva a cabo un ajuste por pasos. Exclur: Presone este botón para exclur efectos del modelo. Se mostrará una caja de dálogo: 2006 by StatPont, Inc. Regresón Posson - 6

7 Haga doble clc sobre un efecto para moverlo del campo Inclur al campo Exclur o para regresarlo. Ejemplo: Ajuste por Pasos haca Atrás de un Modelo de Segundo Orden Para encontrar un predctor parsmonoso pero útl para el número de Fractures (fracturas), se consderó un modelo de segundo orden. Este modelo agrega térmnos adconales que nvolucran efectos cuadrátcos tales como Thckness 2 (grosor 2 ) e nteraccones entre cada par de varables, representadas por productos cruzados tales como Thckness*Extracton (grosor*extraccón). Para evtar que el modelo tuvera muchos térmnos no sgnfcatvos, se empleó un enfoque por pasos. Dos enfoques de ese tpo están dsponbles: Seleccón haca adelante Comenza con un modelo con sólo un térmno constante y mete una varable a la vez con base en su sgnfcanca estadístca s entrara al modelo actual. En cada paso, el algortmo pone en el modelo la varable que tendría la mayor sgnfcanca estadístca s entrara. Sempre que la varable más sgnfcatva tenga un valor de P menor o gual al especfcado en la caja de dálogo Opcones del Análss, será ntroducda al modelo. Cuando nnguna varable tenga un valor de P lo sufcentemente pequeño, se detene la seleccón de varables. Además, las varables ntroducdas al modelo al prncpo del procedmento pueden ser removdas después s su valor de P cae dentro del crtero P-para-Elmnar. Seleccón haca atrás Comenza con un modelo con todas las varables especfcadas en la caja de dálogo del ngreso de datos y quta una varable a la vez con base en su sgnfcanca estadístca en el modelo actual. En cada paso, el algortmo saca del modelo la varable que es la menos sgnfcatva estadístcamente. S la varable menos sgnfcatva tene un valor de P mayor al especfcado en la caja de dálogo Opcones del Análss, será removda del modelo. Cuando todas las varables restantes tengan valores pequeños de P, se detene el procedmento. Además, las varables removdas del modelo al prncpo del procedmento pueden ser rentroducdas después s su valor de P alcanza el crtero P-para-Introducr by StatPont, Inc. Regresón Posson - 7

8 2006 by StatPont, Inc. Regresón Posson - 8

9 La salda a contnuacón muestra el resultado de un ajuste por pasos haca atrás: Seleccón de factores por etapas Método: seleccón haca atrás P-para-ntroducr: 0.05 P-para-elmnar: 0.05 Paso 0: 14 factores en el modelo. 29 g.l. para el error. Porcentaje de desvacón explcada = 68.75% Porcentaje ajustado = 28.74% Paso 1: Elmnando factor Years wth P-para-elmnar = factores en el modelo. 30 g.l. para el error. Porcentaje de desvacón explcada = 68.74% Porcentaje ajustado = 31.40% Paso 2: Elmnando factor Heght*Heght wth P-para-elmnar = factores en el modelo. 31 g.l. para el error. Porcentaje de desvacón explcada = 68.49% Porcentaje ajustado = 33.82% Paso 3: Elmnando factor Thckness*Thckness wth P-para-elmnar = factores en el modelo. 32 g.l. para el error. Porcentaje de desvacón explcada = 68.39% Porcentaje ajustado = 36.39% Paso 4: Elmnando factor Thckness*Years wth P-para-elmnar = factores en el modelo. 33 g.l. para el error. Porcentaje de desvacón explcada = 68.35% Porcentaje ajustado = 39.01% Paso 5: Elmnando factor Extracton*Years wth P-para-elmnar = factores en el modelo. 34 g.l. para el error. Porcentaje de desvacón explcada = 68.13% Porcentaje ajustado = 41.46% Paso 6: Elmnando factor Heght wth P-para-elmnar = factores en el modelo. 35 g.l. para el error. Porcentaje de desvacón explcada = 67.60% Porcentaje ajustado = 43.60% Paso 7: Elmnando factor Extracton*Heght wth P-para-elmnar = factores en el modelo. 36 g.l. para el error. Porcentaje de desvacón explcada = 67.60% Porcentaje ajustado = 46.26% Paso 8: Elmnando factor Years*Years wth P-para-elmnar = factores en el modelo. 37 g.l. para el error. Porcentaje de desvacón explcada = 66.66% Porcentaje ajustado = 47.99% Paso 9: Elmnando factor Thckness*Heght wth P-para-elmnar = factores en el modelo. 38 g.l. para el error. Porcentaje de desvacón explcada = 65.69% Porcentaje ajustado = 49.69% Paso 10: Elmnando factor Heght*Years wth P-para-elmnar = factores en el modelo. 39 g.l. para el error. Porcentaje de desvacón explcada = 61.74% Porcentaje ajustado = 48.41% Modelo fnal selecconado. El algortmo comenzó con 14 efectos. Después de 10 pasos, el número de efectos n el modelo se ha reducdo a 4. A contnuacón de muestra un resumen del modelo fnal: 2006 by StatPont, Inc. Regresón Posson - 9

10 Regresón de Posson - Fractures Varable dependente: Fractures Factores: Thckness Extracton Heght Years Modelo Estmado de Regresón (Máxma Verosmltud) Error Razón de Momos Parámetro Estmado Estandar Estmada CONSTANTE Thckness Extracton Thckness*Extracton Extracton^ Análss de Desvacón Fuente Desvacón Gl Valor-P Modelo Resduo Total (corr.) Porcentaje de desvacón explcado por el modelo = Porcentaje ajustado = Pruebas de Razón de Verosmltud Factor Ch-Cuadrada Gl Valor-P Thckness Extracton Thckness*Extracton Extracton^ El modelo fnal nvolucra sólo 2 varables: Thckness y Extracton. Contene efectos prncpales para ambas varables, una nteraccón entre las 2 varables, y un efecto cuadrátco para Extracton. El porcentaje de desvacón explcada por el modelo ha aumentado a aproxmadamente 61.7%. Gráfca del Modelo Ajustado La Gráfca del Modelo Ajustado muestra la tasa meda estmada ˆ λ ( X ) versus cualquer varable predctora, mantenendo constantes las otras varables by StatPont, Inc. Regresón Posson - 10

11 5 4 Gráfca del Modelo Ajustado con ntervalos de confanza del 95.0% Extracton= Heght= Years= Fractures Thckness Se ncluyen en el gráfco los límtes de confanza para λ(x). Opcones de Ventana Factor: seleccona el factor a grafcar en el eje horzontal. Bajo y Alto: especfca el rango de valores para el factor selecconado by StatPont, Inc. Regresón Posson - 11

12 Mantener: valores en los que se mantendrán fjos los factores no selecconados. Nvel de Confanza: porcentaje usado para los límtes de confanza. Poner en 0 para omtr los límtes. Sguente y Atrás: usado para mostrar otros factores cuando hay presentes más de 16. La tasa estmada de fracturas dsmnuye de una alta de cas 4.5 a una baja de cas 0 conforme el grosor (Thckness) de la mna aumenta, en Extracton = 75, Heght = 50, y Years = 7. Observados Versus Predchos El gráfco Observados versus Predchos muestra los valores observados de Y en el eje vertcal y los valores medos predchos λˆ en el eje horzontal. t 5 Gráfca de Fractures 4 observado predcho S el modelo ajusta ben, los puntos deben estar esparcdos aleatoramente alrededor de la línea dagonal. Predccones El modelo de regresón ajustado puede usarse para predecr el resultado de nuevas muestras cuyas varables predctoras son dadas. Por ejemplo, suponga que se desea una predccón para una mna con Thckness = 100, Extracton = 70, Heght = 50, y Years = 10. Se puede agregar una nueva columna a la hoja de datos con estos valores para las varables predctoras, pero se dejaría en blanco la entrada para Fractures. Entonces la ventana Predccones presentaría: Predccones para Fractures Observado Ajustado LC Inferor 95.0% LC Superor 95.0% Fla para Predccón para Predccón La tabla muestra el valor ajustado λˆ, junto con ntervalos de confanza aproxmados del 95%. t 2006 by StatPont, Inc. Regresón Posson - 12

13 Opcones de Ventana STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007 Mostrar: muestra Todos los Valores (predccones para todas las flas en la hoja de datos), o Sólo Pronóstcos (predccones para las flas con valores faltantes para Y). Nvel de Confanza: porcentaje usado para los ntervalos de confanza. Intervalos de Confanza La ventana Intervalos de Confanza muestra el error de estmacón potencal asocado con cada coefcente en el modelo, así como para las razones de tasas. Intervalos de confanza del 95.0% para los estmados de los coefcentes Error Parámetro Estmado Estándar Límte Inferor Límte Superor CONSTANTE Thckness Extracton Heght Years Intervalos de confanza del 95.0% para la razón de tasas Parámetro Estmado Límte Inferor Límte Superor Thckness Extracton Heght Years Opcones de Ventana Nvel de Confanza: nvel porcentual para los ntervalos de confanza by StatPont, Inc. Regresón Posson - 13

14 Matrz de Correlacón La Matrz de Correlacón muestra estmacones de la correlacón entre los coefcentes estmados. Matrz de correlacón para los coefcentes estmados CONSTANTE Thckness Extracton Heght Years CONSTANTE Thckness Extracton Heght Years Esta tabla puede ser útl para determnar que tan ben se han separado unos de otros los efectos de las varables ndependentes. Resduos Atípcos Una vez que el modelo ha sdo ajustado, es útl estudar los resduos para determnar s exste algún valor atípco que debera ser removdo de los datos. La ventana Resduos Atípcos lsta todas las observacones que tenen resduos grandes atípcos. Resduos Atípcos para Fractures Y Resduo Resduo de Fla Y Predcha Resduo Pearson Desvacón La tabla muestra: Fla el número de fla en la hoja de datos. Y el valor observado de Y. Y Predcha el valor ajustado λˆ t. Resduo la dferenca entre los valores observado y predco, defndo por e = y λˆ t (7) Resduo de Pearson un resduo estandarzado en el cual cada resduo es dvdo entre una estmacón de su error estándar: r e = (8) λˆ t Resduo de Desvacón un resduo que mde la contrbucón de cada observacón a la desvacón de los resduos: 2006 by StatPont, Inc. Regresón Posson - 14

15 d STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007 y sgn( r ) 2 y ln y + ˆ λt (9) ˆ λt = La suma de los resduos de desvacón cuadrados es gual a la desvacón en el renglón de Resduos en la tabla del análss de desvacón. La tabla ncluye todas las flas para las cuales el valor absoluto del resdual de Pearson es mayor que 2.0. El presente ejemplo muestra 2 resduos que exceden 2.5, nnguno de los cuales excede de 3.0. Gráfcas de Resduos Al gual que con todos los modelos estadístcos, es una buena práctca examnar los resduos. El procedmento Regresón Posson ncluye varos tpos de gráfcas de resduos, dependendo de las Opcones de Ventana. Dagrama de Dspersón versus Valor Predcho Este gráfco es útl para vsualzar s la varabldad de los resduos es constante o depende de las varables predctoras. 2.8 Gráfca de Resduos Resduos de desvacón predcho Fractures Autocorrelacones entre Resduos Este gráfco calcula la autocorrelacón entre resduos como una funcón del número de flas entre ellos en la hoja de datos by StatPont, Inc. Regresón Posson - 15

16 Autocorrelacones Resduales para Fractures autocorrelacón retraso Esto sólo es relevante s los datos se colectaron secuencalmente. Cualquer barra extendéndose más allá de los límtes de probabldad ndcaría dependenca sgnfcatva entre resduos separados por el retraso ndcado. Opcones de Ventana Grafcar: el tpo de resduos a grafcar: 1. Resduos los valores observados menos los ajustados. 2. Resduos Pearson los resduos dvddos entre sus errores estándar estmados. 3. Resduos de Desvacón resduos escalados de tal forma que la suma de sus cuadrados es gual a la desvacón de los resduos by StatPont, Inc. Regresón Posson - 16

17 Tpo: el tpo del gráfco a crear. Se usa un Dagrama de Dspersón para probar curvatura. Se emplea una Gráfca de Probabldad Normal para determnar s los resduos del modelo provenen de una dstrbucón normal (no se espera normaldad en este procedmento). Se usa una Funcón de Autocorrelacón para probar dependenca entre resduos consecutvos. Grafcar versus: para un Dagrama de Dspersón, la cantdad a grafcar en el eje horzontal. Número de Retrasos: para una Funcón de Autocorrelacón, el máxmo número de retrasos. Para grupos pequeños de datos, el número de retrasos grafcados puede ser menor que este valor. Nvel de Confanza: para una Funcón de Autocorrelacón, el nvel usado para crear los límtes de probabldad. Puntos Influyentes Cuando se ajusta un modelo de regresón, no todas las observacones tenen la msma nfluenca en la estmacón de los parámetros del modelo ajustado. Aquellos con valores atípcos de las varables ndependentes tenden a tener mayor nfluenca que los otros. La ventana Puntos Influyentes presenta cualquer observacón que tenga gran nfluenca en el modelo ajustado: Puntos Influyentes para Fractures Fla Leverage Leverage promedo de un solo punto = La tabla muestra todos las observacones con leverage alto. El punto leverage es una estadístca que mde cuán dstante está una observacón de la meda de las n observacones en el espaco de las varables ndependentes. Entre más grande el leverage, mayor el mpacto del punto en los valore ajustados ŷ. Los puntos son colocados en la lsta s el leverage es mayor de tres veces el de un punto promedo La observacón con el punto leverage mayor en los datos de la muestra es la fla #25, aunque es sólo alrededor de 4 veces el punto leverage promedo. Salvar Resultados Se pueden salvar en la hoja de datos los sguentes resultados: 1. Valores Predchos los valores ajustados λˆ t correspondentes a cada fla de la hoja de datos. 2. Límtes Inferores los límtes nferores de confanza para λˆ t. 3. Límtes Superores los límtes superores de confanza para λˆ t. 4. Resduos los resduos ordnaros. 5. Resduos Pearson los resduos estandarzados de Pearson. 6. Resduos de Desvacón los resduos de desvacón. 7. Leverages los puntos nveladores para cada fla by StatPont, Inc. Regresón Posson - 17

18 Cálculos Sea λ = la tasa estmada en los valores de las varables predctoras en la fla. Funcón de Verosmltud L = y [ λ t ] exp( λ t ) n = 1 y! (10) Desvacón L( ˆ) β δ ( ˆ) β (11) y ) = n y y exp( = 1 y! Punto Leverage h 1 { X ( X WX ) X } w = dag (12) p h = (13) n 2006 by StatPont, Inc. Regresón Posson - 18