UNIDAD 4 MODELOS PROBABILÍSTICOS

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1 Uiversidad Nacioal del Litoral Facultad de Igeiería y Ciecias Hídricas ESTADÍSTICA Igeiería Iformática TEORÍA Mg.Ig. Susaa Valesberg Profesor Titular UNIDAD 4 MODELOS PROBABILÍSTICOS Estadística - Igeiería e Iformática FICH UNL Págia 1

2 La aplicació de la teoría de probabilidades ha origiado ua serie de modelos. E diversas situacioes reales se realiza supuestos respecto de u problema, y esto lleva a descripcioes aálogas y a formas matemáticamete iguales a las de los modelos probabilísticos MODELOS DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Modelo Beroulli Tal vez la situació más comú que se preseta es aquella e la que los resultados de los eperimetos puede separarse e dos categorías mutuamete ecluyetes: éito o fracaso; por ejemplo predido o apagado. Puede etoces defiirse la variable aleatoria Beroulli y asigársele valores (arbitrarios pero muy prácticos) a los evetos ates mecioados: fracaso 1 éito La fució masa de es simplemete: f() p si 1 1 p si (1) siedo p la probabilidad de éito. Esta fució deberá cumplir co las codicioes de ua fució de probabilidad, ua de ellas es que deberá ser igual a uo para todos los valores de la variable: i1 i f( i ) 1 p +(1- p) p+1- p1 Las características de este modelo so: Estadística - Igeiería e Iformática FICH UNL Págia

3 E() ( - p ) (1- p)+(1- p ) f( i ).(1- p)+1.p p i () _ i V() _ i ( i - E() ) f( i ) p (1- p)+(1- p ).p.p p(1- p)(p +1- p) V() p(1- p) (3) Modelo Biomial Si se realiza ua serie de pruebas de tipo Beroulli cuyos resultados sea mutuamete idepedietes y si la probabilidad de éito permaece ivariable e todas ellas se origia u uevo modelo deomiado BINOMIAL. Se tratará de determiar la distribució del úmero total de éitos e pruebas de tipo Beroulli cada ua co probabilidad favorable igual a p. Para esto se cosiderará 3 pruebas y se aalizará las probabilidades de igú éito, 1 éito, éitos y 3 éitos: - Nigú éito: ; ; ; (1 - p ) 3 - U éito: 1 ; ; ; ó ; 1 ; ; ó ; ; 1 cada secuecia es u eveto, que etre sí so mutuamete ecluyetes; cuya probabilidad es : p ( 1 - p ) ; de esta maera la probabilidad de u éito es : 3 p ( 1 - p ) Estadística - Igeiería e Iformática FICH UNL Págia 3

4 - Dos éitos: 1 ; 1 ; ; ó 1 ; ; 1 ; ó ; 1 ; 1 ; uevamete cada secuecia es u eveto que es ecluyete de los restates: p (1 - p) y el total: 3 p (1 - p). - Tres éitos: 1; 1; 1; p ; p ; p p 3 Esto permite geeralizar y obteer la fució masa de probabilidad de este modelo; ya que si se aaliza los distitos casos se ve que se tiee e cueta la forma de presetarse el resultado deseado, lo cual puede resumirse calculado los úmeros combiatorios de tomados de a ( co, 1,,3 e este caso): P(X ) p (1- p ) - co el coeficiet e biomial!!( - )! (4) que como se epresó tiee e cueta el úmero de formas e que eactamete éitos se presete e pruebas. y p so los parámetros de este modelo; es claro que debe ser etero y p u úmero compredido etre y 1. El modelo se deomia BINOMIAL porque puede cosiderarse como el desarrollo del biomio ( p + q ). La fució masa de probabilidad deberá ser igual a 1 para todos los valores que puede tomar la variable: Estadística - Igeiería e Iformática FICH UNL Págia 4

5 _ i f( i ) 1 _ i p i i q -i i! i!( - i )! p i q -i!! p q +! 1! ( -1)! p q !!! p q q + ( -1)! ( -1)! p q p (p+q ) 1 1 La fució de distribució puede obteerse haciedo la suma de todos los valores de la fució masa meores o iguales que : F() P(X ) f( i ) (5) _ i Características del modelo E(X) i i f( i )!.! (-)! p q +1.! 1! ( -1)! 1 p q -1! p q! ( - )! -1 ( -1)! + ( -1)! p q p q p( q ( -1) p - q + p -1 ) p(p+q ) -1 Estadística - Igeiería e Iformática FICH UNL Págia 5

6 E() p (6) La variaza se obtiee por cosiderar a la variable aleatoria X como la suma de variables idepedietes idéticamete distribuidas como Beroulli, co esperaza p y variaza p q: Var(X) Var( i ) p(1- p) p q (7) i1 La distribució Biomial ha sido tabulada, tato su fució de cuatía o masa y la de distribució. Figura Nº 1 - Distribució Biomial para distitos valores de y p Ejemplo U estudio reciete reveló que el 6% de los coductores de automóviles se coloca el cituró de seguridad al maejar. Si se seleccioa ua muestra de 1 automovilistas e ua calle de uestra ciudad, cuál es la probabilidad de que eactamete 7 se haya colocado el cituró. Estadística - Igeiería e Iformática FICH UNL Págia 6

7 Estadística - Igeiería e Iformática FICH UNL Págia 7 Solució A {coductor que usa cituró de seguridad} P(A).6 X úmero de veces que se preseta el suceso A. X,1,, Modelo Poisso Cosiderado las codicioes que caracteriza al modelo Biomial, es ecesario aalizar que sucede co la distribució de la variable si el úmero de pruebas se icremeta y asociado a esto la probabilidad p de éito se hace cada vez más pequeña. Es así que se icremeta y p se hace pequeña, pero el úmero promedio de evetos e el itervalo total debe permaecer costate e igual a p.. Deomiado a esta costate λ y cosiderado la fució masa de probabilidad de e el límite, esto es co p y y λ. p a partir de la fució del modelo Biomial: f p p 1 )! ( )! 1))( ( )...( 1)( ( 1! 1 )! (! 1! 1 )!!(! ) ( La epresió etre corchetes tiee térmios e el umerador y térmios e el deomiador, y para u suficietemete grade, este térmio es igual a : ) ( ) ( ) P(.15

8 / 1 co lo cual queda por evaluar la epresió ( 1 - λ/ ) que cuado es igual a la costate e -λ, esto permite epresar a la fució masa de probabilidad del modelo de Poisso de la siguiete forma: - e f() P (X )! (8) siedo λ el parámetro del modelo. Esta fució deberá cumplir co la codició de ser igual a 1 para todos los valores que la variable puede tomar: - e! e - [ ]! 1!!! [ ] e! 1!!! e -.e e - + e 1 Estadística - Igeiería e Iformática FICH UNL Págia 8

9 Características E(X) - e! - -1 e ( -1)! - -1 e 1 ( -1)! E(X) (9) Var(X) E( X ) - E (X) E( X ) e -! [ 1 [ -1 - e ( -1)! ] -1 - e ( -1)! ] si y -1 y+1, luego [ y y e (y+1) y! - ] [ y - y e y + y! y - y e ] y! Estadística - Igeiería e Iformática FICH UNL Págia 9

10 y - y e y E(Y) y! y - y e 1 y! luego E( X ) ( +1) + Var(X) + - Var(X) (1) Geeralmete este modelo se vicula a aquellos evetos que ocurre e ua uidad de tiempo, luego el período de tiempo e el que se realiza el aálisis costituye ua secuecia de pruebas idepedietes cada ua co distribució Biomial. Si se tomara para el aálisis u itervalo de tiempo igual al doble o al triple del iicial se verá que el parámetro es tambié igual al doble, al triple, etc., marcado esto la depedecia del tiempo de este modelo y por ello viculado a los procesos estocásticos. Se etiede por procesos estocásticos a aquellos e los que iteresa la secuecia, e el tiempo, de ocurrecia de evetos. Estadística - Igeiería e Iformática FICH UNL Págia 1

11 Figura Nº - Distribució de Poisso para distitos valores del parámetro Ejemplo U estudio de filas de clietes e las cajas registradoras e Supermercados e ua zoa dada reveló que durate cierto período (etre las 5 y las 9 p.m.) e los fies de semaa, el úmero medio de clietes e espera fue igual a 4. Determiar la probabilidad de que al visitar u supermercado e ese lapso de tiempo se ecuetre que o hay clietes e la fila de ua de las cajas. Solució Estadística - Igeiería e Iformática FICH UNL Págia 11

12 P(X - -4 e e ) 4!!, Modelo hipergeométrico Este modelo surge cuado se realiza u muestreo si reposició de ua població fiita co sus elemetos clasificados e dos categorías. Si N es el total de elemetos de los cuales hay k de ua categoría y N-k de otra, al realizar ua etracció de elemetos, si reposició, cada etracció que se realice posteriormete es depediete del resultado de la etracció aterior co lo cual va cambiado la probabilidad de éito. Para derivar la fució correspodiete a la variable aleatoria : úmero de éitos o elemetos perteecietes a la categoría que se estudia, e ua etracció, se deberá cosiderar todas las maeras posibles o combiacioes, de etraer elemetos de la categoría deseada, de los etraídos y los restates que perteezca a la otra categoría. El total de casos se obtiee de las combiacioes del total N etraídos de a. Luego la fució masa de probabilidad para este modelo es la siguiete: k N - k P (X ) f() - (11) N Características Para obteer las características es posible decir que la variable aleatoria X es la suma de variables i como e el caso Biomial, pero co la diferecia que aquí las i so depedietes. pero como para sumar las esperazas o se ecesita que las variables aleatorias sea idepedietes es posible obteer la esperaza de la siguiete forma: E(X) E( 1 )+ E( )+...+E( ) dode cada E( i ) es el producto de la probabilidad de e la iésima prueba: k/n, si o se sabe que ha ocurrido e pruebas ateriores o posteriores por la catidad de pruebas: Estadística - Igeiería e Iformática FICH UNL Págia 1

13 k p N E(X) (1) La variaza e cambio o es aditiva para variables depedietes. Pero se obtiee la siguiete epresió: k (N - k) N - Var(X) (13) N N - 1 N - Var(X) * p* q* N -1 N - siedo el factor de correcció por muestreo si reposició y població fiita. N - 1 Cuado. 5la distribució Hipergeométrica se aproima a la Biomial. N Figura Nº 3 - Distribució Hipergeométrica para distitos valores de N, y K Estadística - Igeiería e Iformática FICH UNL Págia 13

14 Ejemplo Se sabe que de ua caja que cotiee diskettes, 13 so uevos y 7 so usados. Si se seleccioa al azar 3 de ellos; determiar la probabilidad de que sea uevos. Solució P( ) 1 3 Estadística - Igeiería e Iformática FICH UNL Págia 14