Modulo Teórico Geométrico 2.

Transcripción

1 Modulo Teórico Geométrico Elementos Geométricos. Contenido Elementos Geométricos. 1 Ángulos. 2 Superficies planas. Polígonos. 3 Triángulos. 4 Cuadriláteros. 5 Circunferencia. 6 Construcción de polígonos inscriptos. 7 Representación de sólidos. 8 Desarrollo de sólidos a partir de superficies planas. 9 Punto: El punto no tiene dimensiones, tan sólo es una posición. Se nombra con una letra mayúscula o con un número. Línea recta: Es una sucesión de puntos en la misma dirección. Se nombra con una letra minúscula. Posiciones relativas entre rectas: Dos rectas se cortan cuando tienen un punto en común. Dos rectas son paralelas cuando no se encuentran nunca. Se dice entonces que su punto en común está en el infinito. -1-

2 Dos rectas se cruzan en el espacio cuando no tienen ningún punto en común. Línea curva: Es una sucesión de puntos no situados en la misma dirección. Se nombra con una letra minúscula. Segmento: Es una porción de recta limitada por dos puntos extremos: segmento AB. Plano: Es el conjunto de puntos generados por una recta al moverse según una dirección determinada. Se nombra mediante una letra griega: plano π. -2-

3 Un plano queda definido por:. 1. Tres puntos no alineados. 2. Dos rectas que se cortan.. 3. Dos rectas paralelas. 3. Una recta y un punto exterior a ella. Mediatriz de un segmento: recta perpendicular al segmento en su punto medio. dado el segmento AB 1. con centros en A y B y con radio mayor que la mitad del segmento. 2. trazamos los arcos 1 y 2 se cortan en los puntos M y N. -3-

4 3. uniendo los puntos M y N obtenemos la recta m mediatriz del segmento dado. 2. Ángulos El ángulo se define como la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen. Las semirrectas son los lados del ángulo y el punto origen de ambas es el vértice del ángulo. Dos rectas que se cortan dan lugar a cuatro ángulos, opuestos por el vértice, y adyacentes. Los opuestos tienen el mismo valor y los adyacentes son suplementarios y suman

5 Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado en común. Y complementarios cuando suman 90. Dos rectas paralelas cortadas por una tercera dan lugar a 8 ángulos. Se llaman ángulos correspondientes los ángulos situados al mismo lado de la recta secante siendo uno de ellos interior y el otro exterior a las rectas paralelas. Los ángulos correspondientes tienen el mismo valor. Se llaman ángulos alternos internos o alternos externos los situados a distinto lado de la secante, siendo ambos interiores o exteriores respectivamente a las rectas paralelas. También estos ángulos tienen el mismo valor. Bisectriz de un ángulo Es la recta que divide al ángulo en dos partes iguales. dado el ángulo avb 1. trazamos con centro en V un arco de radio cualquiera obteniendo los puntos de corte A y B. -5-

6 2. con centro en estos puntos dibujamos dos arcos del mismo radio, que al cortarse determinan el punto P. 3. la recta definida por los puntos V y P es la bisectriz buscada. 3. Superficies Planas. Polígonos. La palabra polígono deriva del griego antiguo πολύγωνος (polúgonos), a su vez formado por πολύ (polú) muchos y γωνία (gōnía) ángulo, aunque hoy en día los polígonos son usualmente entendidos por el número de sus lados. Es requisito geométrico para un polígono que dos lados que se intersecan en un vértice formen un ángulo no llano (distinto a 180 ), ya que de otra manera los segmentos se considerarían partes de un lado único Línea poligonal: conjunto de segmentos sucesivamente por sus extremos, no alineados, donde extremo de cada segmento es origen del siguiente. Línea poligonal cerrada: s una sucesión de segmentos unidos por sus extremos que empieza y termina en el mismo punto y da origen al polígono. -6-

7 Un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el plano. El interior del polígono es llamado área. El polígono es el caso bidimensional del politopo, figura geométrica general definida para cualquier número de dimensiones. Y un politopo de tres dimensiones se denomina poliedro. Elementos principales del polígono: lados: cada uno de los segmentos de la línea poligonal. vértices: puntos de intersección entre cada dos segmentos o lados consecutivos. ángulos interiores: determinados por cada dos lados consecutivos. ángulos exteriores: definidos como los suplementarios de los interiores. diagonales: cada uno de los segmentos que une dos vértices no consecutivos. Clasificación Según su forma Cóncavo: al menos alguno de sus ángulos interiores mayor a 180. Al atravesarlo con una recta, se corta en más de dos puntos. Convexo: sus ángulos interiores son todos menores de 180. Al atravesarlo con una recta, lo corta solo en de dos puntos. -7-

8 Polígono Regular: tiene todos sus lados y ángulos iguales. Polígono Irregular: tiene lados y ángulos desiguales Clasificación Según el número de lados 11 lados, Endecágonos; 12 lados, dodecágonos; 13 lados, tridecágonos, 14 lados tetradecágono etc. -8-

9 4. Triángulo. Es la reunión de tres segmentos que determinan tres puntos del plano y no colineales. Cada punto dado pertenece a dos segmentos exactamente. Los puntos comunes a cada par de segmentos se denominan vértices del triángulo y los segmentos de recta determinados entre puntos son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Un triángulo es una figura estrictamente convexa. La suma de sus ángulos internos siempre es igual a 180º. Clasificación según sus lados Equilátero: todos sus lados son iguales y todos los ángulos internos son de 60º. según sus ángulos Acutángulo: todos sus ángulos son agudos. Isósceles: tiene dos lados iguales y uno desigual. Rectángulo: uno de sus ángulos es recto. Escaleno: todos sus lados son desiguales. Obtusángulos: uno de sus ángulos es mayor de 90º. 5. Cuadrilátero. Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas, pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales, y la suma de sus ángulos internos siempre da como resultado 360. Los componentes de un cuadrilátero son: 4 vértices: puntos de intersección de los lados que conforman el cuadrilátero. 4 lados: segmentos limitados por dos vértices contiguos. 2 diagonales: segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos. 4 ángulos interiores: conformados por dos lados y un vértice común. 4 ángulos exteriores: prolongación de los lados y el vértice correspondiente. -9-

10 Paralelogramos: sus lados son paralelos de a pares. Cuadrado Tiene sus 4 lados y sus 4 ángulos iguales Rectángulo Tiene sus lados iguales de a pares y sus 4 ángulos iguales Rombo Tiene sus 4 lados iguales y sus ángulos iguales de a pares Romboide Tiene sus lados y sus ángulos iguales de a pares Trapecios: tienen sólo dos lados paralelos. Isósceles Tiene sus lados no paralelos iguales Rectángulo Tiene un ángulo rectángulo Escaleno Tiene sus lados no paralelos desiguales Trapezoides: no tienen lados paralelos. -10-

11 6. Circunferencia. La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro punto O llamado centro. A la superficie comprendida dentro de la circunferencia se le llama círculo. Los elementos de la circunferencia son: 1. Centro: el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia. 2. Radio: Es todo segmento r que tiene un extremo en el centro de la circunferencia y el otro sobre ella. 3. Diámetro: Es el segmento d que une dos puntos de la circunferencia alineados con su centro. 4. Cuerda: Es el segmento c que une dos puntos de la curva sin pasar por su centro. -11-

12 5. Flecha de una cuerda: Es el segmento f de radio, comprendido entre la circunferencia y la cuerda, siendo éste perpendicular a dicha cuerda. 6. Secante: Es la recta s que corta a la circunferencia, en dos de sus puntos, J y P. 7. Tangente: Es la recta t que tiene sólo un punto común con la circunferencia. Es perpendicular al radio en dicho punto. 7. Construcción de Polígonos Inscriptos. Se llama polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son congruentes entre sí, es decir, que son iguales. Pueden estar inscriptos en una circunferencia. Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma medida. Y también se los denomina equiangulares, puesto que todos sus ángulos interiores tienen la misma medida. Elementos de los polígonos regulares: 1. Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono. 2. Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos. 3. Centro, O: el punto central equidistante de todos los vértices. 4. Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices. 5. Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono. 6. Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos. 7. Perímetro, P: es la suma de sus lados. 8. Sagita o Flecha de polígono, s: parte del radio comprendida entre el punto medio de un arco de circunferencia y cuerda. -12-

13 Todo polígono regular tiene una circunferencia circunscrita que pasa por los vértices del mismo. El radio de esta circunferencia es también el radio del polígono. Cuando los lados del polígono regular son tangentes a una circunferencia, se dice que la misma está inscrita en el polígono. El radio de esta circunferencia se llama apotema del polígono. -13-

14 Podemos crear polígonos a partir de conocer el lado del polígono o bien a partir de la circunferencia donde están inscritos. La base de este tipo de construcción es la división de la circunferencia en partes iguales. Una vez dividida sólo hay que trazar cuerdas de la misma por sus puntos de división que serán los lados de los polígonos regulares. Construcción de Triángulo Equilátero. Inscripto en una Circunferencia. 1. Dibujamos una circunferencia inicial de radio O. Marcamos sus ejes y definimos el segmento AB. 2. Desde el punto B, con el mismo radio de la 1er circunferencia, trazamos un arco e que nos define los puntos C y D. 3. Por último unimos los tres puntos A, C y D para forman el triángulo equilátero. Triángulo equilátero dado el segmento AB. 1. Trazar un segmento AB. Desde el punto A con radio en B trazamos un arco. 2. Desde el punto B trazar un segundo arco que cruce el anterior donde obtendremos el punto C. 3. Uniendo A y B con C se completa el Triángulo equilátero. -14-

15 Construcción del Cuadrado. Inscripto en una Circunferencia. 1. Sobre la circunferencia inicial (circunscrita) dibujamos los dos diámetros perpendiculares entre sí, m y n. 2. Los diámetros sobre la circunferencia definen los puntos A, B, C y D. 3. Finalmente unimos los cuatro puntos A, B, C y D para obtener el cuadrado. 4. Para dibujar el Cuadrado apoyado en una de sus caras solo deben dibujarse los diámetros de la circunferencia a 45º y continuar con los pasos siguientes. Construcción de Pentágono regular. 1. Sobre la circunferencia inicial dibujamos los dos diámetros perpendiculares entre sí, m y n. 2. Hallamos en la mediatriz del radio CO, que nos define el punto medio E de dicho radio. 3. Con centro en el punto E y radio EA, dibujamos un arco hasta que nos corte en el punto F al diámetro horizontal n. -15-

16 4. Con centro en A y radio AF, dibujamos otro arco que corte la circunferencia y se obtienen los puntos F. El segmento AF es el lado del polígono. 5. Con el mismo arco AF, ahora apoyando en cada intersección F, trazamos otros dos arcos F que corten la circunferencia. Así obtenemos los 5 vértices del pentágono. 6. Finalmente dibujamos el pentágono uniendo todos los puntos A, F (dos) y F (dos). Otro método para construir un pentágono regular consiste en: 1. Dentro de una circunferencia inicial, con sus diámetros m y n, dibujamos una circunferencia de diámetro AO (el radio de la mayor). 2. Desde el centro ao trazamos un segmento hasta B y donde corta la circunferencia menor obtenemos el punto e. 3. Con centro en el punto B y radio Be, dibujamos un arco hasta que la circunferencia mayor y obtenemos los puntos F, que forman el segmento del lado del polígono. -16-

17 7. Tomamos FF como segmento de lado, ahora apoyando en cada intersección F, trazamos otros dos arcos F que corten la circunferencia y un 5to arco para obtener el último punto F. Así obtenemos los 5 vértices del pentágono. 8. Finalmente dibujamos el pentágono uniendo todos los puntos F (dos), F (dos) y F. Construcción de Hexágono regular. 1. En el hexágono el radio y el lado del polígono, son iguales. Por tanto llevamos sobre la circunferencia la medida del radio. 2. Desde A trazamos un arco que nos define los puntos C y D. 3. Desde B trazamos otro arco, simétrico del anterior, que nos define los puntos E y F. 4. Finalmente unimos todos los vértices hallados para obtener el hexágono. Heptágono, Octógono, Eneágono y Decágono. No son los más usados pero tiene sus propios métodos de construcción circunscriptos a una circunferencia. -17-

18 Heptágono Octógono Eneágono Decágono Construcción de Polígonos de n lados, Cuando obtenemos el lado del polígono, y lo llevamos sucesivas veces a lo largo de la circunferencia. Se aconseja no llevar todos los lados sucesivamente en un solo sentido de la circunferencia; con objeto de minimizar los errores de construcción, inherentes al instrumental o al procedimiento. Entonces partiendo de un vértice se lleve la mitad de los lados en una dirección y la otra mitad en sentido contrario. -18-

19 8. Representación de Solidos. Un cuerpo sólido es todo lo que ocupa lugar en el espacio. Se encuentran definidos o limitados por varias superficies bidimensionales, dando lugar así al origen de figuras tridimensionales. 1. poliedros o cuerpos planos: formados por caras planas exclusivamente. Sólidos platónicos Pirámides Prismas 2. cuerpos redondos: tienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva. Esferas Cilindros Conos Toroides -19-

20 Poliedros Regulares Los Poliedros Regulares son poliedros convexos donde todas sus caras son polígonos regulares iguales entre sí, todos sus ángulos son iguales y en cada uno de sus vértices concurre el mismo número de caras. Se los conoce como Sólidos Platónicos, por considerar a Platón el primero en estudiarlos. Sólo existen cinco de ellos ya que es imposible construir otro sólido que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad. Poliedros Irregulares. Son aquellos que tienen sus caras y ángulos desiguales. Los principales poliedros irregulares son: Prismas rectos: compuesto por dos caras iguales y paralelas llamadas bases, generalmente polígonos regulares o paralelogramos y las caras laterales que son todas paralelogramos. -20-

21 Prisma oblicuo: similar al prisma, y dependiendo de la base o hacia lado se inclina sus caras laterales son romboides. Pirámide recta: Se construye con un polígono regular de base, sus caras laterales son triángulos isósceles iguales y la altura cae al punto medio de la base. Pirámide inclinada: Igual a la anterior en su base, pero una de sus caras laterales no es un triángulo isósceles y la altura no cae al punto medio de la base. Dependiendo donde se ubique la altura todas sus caras pueden ser desiguales. -21-

22 Esfera. Universidad Nacional de Mar del Plata Carrera de Diseño Industrial 1er Cuatrimestre 2016 Cuerpo redondo, sin caras, formado por una sola superficie curva. Todos los puntos que forman la superficie esférica equidistan de uno fijo llamado centro, y que corresponde al centro de la semicircunferencia que gira. Al girar el semicírculo alrededor del diámetro AB, se genera una superficie esférica donde se determinan los siguientes elementos: 1. Generatriz: es la semicircunferencia que genera la superficie esférica. 2. Centro de la esfera: es el centro de la semicircunferencia y corresponde al punto O. 3. Radio de la esfera: es el radio de la semicircunferencia OA. 4. Diámetro de la esfera: es el segmento que une 2 puntos opuestos de la superficie esférica, pasando por el centro: AB. generatriz -22-

23 Cilindro. Universidad Nacional de Mar del Plata Carrera de Diseño Industrial 1er Cuatrimestre 2016 Cuerpo redondo formado por dos bases paralelas e iguales que son dos círculos, y por una superficie lateral curva, que desplegada como un plano es un paralelogramo. El cilindro es el cuerpo geométrico generado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus bases. Es posible determinar los elementos de un cilindro, que son: 1. Eje: lado AD, alrededor del cual gira el rectángulo. 2. Bases: son los círculos paralelos y congruentes que se generan al girar los lados AB y CD del rectángulo. Cada uno de estos lados es el radio de su círculo y también, el radio del cilindro. 3. Altura: corresponde al mismo eje AD; es perpendicular a las bases y llega al centro de ellas. Esta es la razón por la que el cilindro es recto. 4. Generatriz: es el lado BC, congruente con el lado AD, y que al girar forma la cara lateral o manto del cilindro. Cono. Cuerpo redondo formado por una única base que es un círculo, y por una superficie lateral curva (que es una porción de un círculo mayor), más un vértice llamado cúspide. Es un cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos; podemos distinguir los no recto: 1. Eje: es el cateto AC. Alrededor de él gira el triángulo rectángulo. 2. Base: es el círculo que genera la rotación del otro cateto, AB. Por lo tanto AB es el radio del cono. La base se simboliza: O (A, AB). 3. Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo, BC, que genera la región lateral conocida como manto del cono. También es el radio del cilindro mayor que genera la envolvente del cono. 4. Altura: corresponde al eje del cono, porque une el centro del círculo con la cúspide siendo perpendicular a la base. -23-

24 Desarrollo de solidos a partir de superficies planas. Tetraedro Regular, con arista de X mm. 1. Construir un triángulo equilátero de lado igual al doble de la arista del tetraedro. 2. Unir los puntos medios de los lados, por medio de líneas rectas. 3. Así se obtienen los cuatro triángulos equiláteros (caras del tetraedro) que forman el desarrollo de este sólido. -24-

25 Hexaedro, con arista de X mm. 1. Dibujar seis cuadrados iguales de lado igual a X mm, cuatro ordenados uno al lado del siguiente y los otros dos, uno por debajo y otro por arriba de la línea de cuatro. Prisma de base cuadrada, con base de arista igual a X mm, y altura h mm. 1. Mantener base y tapa con arista igual X mm, igual al Hexaedro. 2. Modificar la altura de los 4 polígonos centrales, con altura = h mm. -25-

26 Prisma de base rectangular, con base de arista igual a X y S mm, y altura h. 1. Base y tapa, con un par de aristas paralelas igual X mm, y las otras dos con arista igual S mm. 2. Altura de los 4 polígonos centrales = h mm. Prisma de base triangular. Base triángulo equilátero, con X mm de arista; y altura h mm. 1. Las caras laterales son rectángulos de longitud igual a la altura del prisma en proyección vertical y de ancho igual a los lados de la base. -26-

27 Prisma con base pentágonal, con X mm de arista de base; y altura h mm. Prisma con base hexágonal, con X mm de arista de base; y altura h mm. -27-

28 Cilindro recto. Con radio = X mm de arista de base; y altura h mm. 1. compuesto por dos círculos pertenecientes a la base inferior y superior 2. mas la superficie lateral del cilindro, cuyo perímetro coincide con la circunferencia que delimita a los círculos de las bases. El perímetro de la superficie lateral o envolvente del cilindro se determina por la siguiente ecuación: P = 2 x x r Autor del Módulo Teórico. DI Marianela Amado. Mayo Editor del Módulo Teórico. Dibujos y Figuras. DI Leandro Strano. Bibliografía. Dibujo técnico, 1º Bachillerato. Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, Mª Ángeles García, José Antonio Oriozabala. EREIN Manual de Normas de Aplicación para Dibujo Técnico. IRAM. Edición XXVII DICCIONARIO DE LA LENGUA ESPAÑOLA Vigésima segunda edición. REAL ACADEMIA ESPAÑOLA. El dibujo técnico mecánico. Ing. S. L. Straneo y Prof. R. Consorti. Ediciones Montaner y Simón, SA; Barcelona Links de referencia para la construcción de figuras. nes%20de%20dibujo%20tecnico/msp_plgr.htm