PROBABILIDAD: TEORÍA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES

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1 PROBABILIDAD: TEORÍA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES INTRODUCCIÓN HISTÓRICA Cas ada e la vda es seguro. E todo lo que hacemos estmamos las posbldades de resultados satsfactoros. Pero durate gra parte de la hstora de la humadad, la probabldad, el estudo formal de las leyes del azar, se desarrolló co u objetvo: apostar favorablemete e los juegos de azar. E el sglo XVI el médco y matemátco talao Gerolamo Cardao (50-576) expoe e su mauscrto Lber de Ludo Aleae (Lbro de los juegos de azar) ua sere de resultados sobre juegos co dos y tres dados. E este lbro expoe tablas de frecuecas para los dferetes resultados de los juegos de dados y expoe coceptos como los de equprobabldad y esperaza matemátca. Por esa msma época u jugador talao expresó a Galleo Galle (564-64) su sorpresa al observar que al jugar co tres dados a la suma 0, teía más oportudades de gaar que cuado jugaba a la suma 9. E su mauscrto, Sopra le Scoperte de Dad (Sobre los descubrmetos de los dados) do la solucó correcta a dcho problema. E la socedad fracesa del sglo XVII, muy afcoada a todo tpo de juegos de azar, aparece u oble fracés llamado Atoo Gombaud (60-685), más coocdo por Caballero de Mère, de gra habldad y expereca e los juegos de azar, que propuso al matemátco fracés Blase Pascal (6-66) dversos problemas relacoados co estos juegos, pdédole explcacoes sobre alguas cotradccoes aparetes etre su razoameto teórco y las observacoes que había recogdo por vía expermetal medate el juego. Pascal comucó por carta estos problemas a otro matemátco fracés llamado Perre de Fermat (60-665), y ambos los resolvero separadamete co demostracoes dsttas. La correspodeca prvada etre estos dos grades matemátcos, producda sobre el año 654, se cosdera hoy e día como el orge de la teoría de la probabldad. El físco, geómetra y astróomo holadés Chrsta Huyges (69-695), teresado e la correspodeca prvada de Pascal y Fermat, publcó e 657, e holadés, ua memora ttulada La razó e los juegos de azar, que se cosdera el prmer trabajo mpreso dedcado exclusvamete a probabldades. E 669 publcó Aplcacó de la probabldad matemátca a la esperaza de vda, que fue rápdamete llevada a la práctca medate el estudo de tablas de mortaldad, retas vtalcas, etcétera. Es el orge de algo ta de moda hoy e día como las compañías de seguros. Defr el cocepto de probabldad es u problema complejo. Etre las prcpales aproxmacoes hstórcas a esta cuestó destacamos las sguetes (por su aplcacó a muchos de los razoametos que se hará e este tema): Defcó frecuetsta de probabldad de u suceso Se basa e la ley de los grades úmeros, eucada por Jakob Beroull ( ) y que dce así: La frecueca relatva de u suceso tede a establzarse e toro a u úmero a medda que el úmero de veces que se repte el expermeto crece defdamete. Este úmero es a lo que se llama probabldad del suceso. Como comprobacó expermetal de la ley de los grades úmeros se propoe realzar el expermeto aleatoro de lazar al are dos moedas guales, aotado el úmero de caras que ha saldo y repetr el expermeto 00 veces. S se va completado la sguete tabla co las frecuecas relatvas de los resultados 0 caras, cara, caras después de 0 lazametos, después de 0 lazametos, etc., se puede r vedo que cada ua de estas frecuecas relatvas se aproxma a u valor fjo (la probabldad de cada resultado): Nº de lazametos Frecueca relatva de 0 caras 0,5 Frecueca relatva de cara 0,5 Frecueca relatva de caras 0,5 PROBABILIDAD Pága de

2 Usaremos esta dea tutva de probabldad e muchos razoametos futuros. Es decr, etedemos como probabldad de u suceso, la proporcó de veces que ocurrría dcho suceso (a la larga) s el expermeto se reptese muchísmas veces. La defcó de probabldad eucada por Beroull medate la ley de los grades úmeros (a la que dedcó, segú propa cofesó, más de vete años de su vda) preseta u coveete de tpo práctco, ya que para calcular la probabldad de u suceso sería ecesaro realzar u gra úmero de pruebas co el f de obteer expermetalmete el valor al que se aproxma las frecuecas relatvas del suceso e estudo. Por otra parte, de esta forma obtedríamos u valor aproxmado, e lugar del valor exacto de la probabldad. Defcó clásca de probabldad de u suceso Fue eucada por Perre Smo, marqués de Laplace (749-87) por lo que se cooce como regla de Laplace y dce así: La probabldad de u suceso A es el cocete etre el úmero de casos favorables al suceso y el úmero de casos posbles. Es decr, s dcamos la probabldad del suceso A por p( la regla de Laplace podría escrbrse medate la sguete fórmula: úmero de casos favorables a A p ( úmero de casos posbles Esta defcó preseta també u grave coveete: sólo puede aplcarse e aquellas stuacoes e las que todos los casos posbles so gualmete probables (equprobables). Así, por ejemplo, os srve para asgar como probabldad del suceso A sale 6 e el expermeto de lazar u dado, el valor p(/6 (u caso favorable etre 6 casos posbles). Pero o os srve para asgar probabldades a las dsttas caras de u dado trucado. Laplace escrbó multtud de artículos sobre el cálculo de probabldades, y todos los resultados que obtuvo juto co los de sus predecesores los cluyó e su lbro Théore aalytque des probabltés, publcado e 8. Dos años más tarde publcó otro lbro ttulado Essa phlosophque de probabltés, e el que trataba de dvulgar el cálculo de probabldades para lectores o especalstas. Laplace escrbó las sguetes setecas: E el fodo, la teoría de probabldades es sólo setdo comú expresado co úmeros. Es otable que ua ceca que comezó co las cosderacoes de juegos de azar había de llegar a ser el objeto más mportate del coocmeto humao. Las cuestoes más mportates de la vda costtuye e su mayor parte, e realdad, solamete problemas de probabldad. A medados del sglo XIX Gregor Medel có el estudo de la hereca, la geétca, co sus teresates expermetos sobre el cruce de platas de dferetes característcas. Su obra, La matemátca de la Hereca, fue ua de las prmeras aplcacoes mportates de la teoría de probabldad a las cecas aturales. Desde los orígees la prcpal dfcultad para poder cosderar la probabldad como ua rama de la matemátca fue la elaboracó de ua teoría sufcetemete precsa como para que fuese aceptada como ua forma de matemátca. A prcpos del sglo XX el matemátco ruso Adre Kolmogorov la defó de forma axomátca y establecó las bases para la modera teoría de la probabldad. Durate el sglo XX la aplcacó de la probabldad al campo de la Físca, e cocreto de la físca atómca ha sdo espectacular. El determsmo rguroso de la físca clásca ha sdo susttudo por ua terpretacó probablístca. Las vestgacoes, a prcpos del sglo XX del matemátco ruso Markov sobre cadeas de sucesos eslaboados se aplcaro al estudo de la estructura de muchos procesos socales, ecoómcos, médcos, bológcos, etc., e los que la probabldad de que u suceso acotezca depede de resultados aterores. E la actualdad, la probabldad y la estadístca so parte mportate de los fudametos de la mayoría de las cecas. PROBABILIDAD Pága de

3 ESTABLECIENDO UNA TEORÍA SOBRE EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES. EXPERIENCIAS ALEATORIAS Y SUCESOS. U expermeto aleatoro es aquel cuyo resultado o puede predecrse porque depede del azar. Los sucesos elemetales so los resultados posbles del expermeto aleatoro. El espaco muestral, E, es el cojuto de todos los sucesos elemetales del expermeto aleatoro. Ejemplo : S se laza ua moeda, el expermeto aleatoro puede cosstr e aotar el resultado, los sucesos aleatoros elemetales so etoces C cara y X cruz, y el espaco muestral es el cojuto de estos dos resultados E { C, X} Ejemplo : El espaco muestral del expermeto aleatoro que cosste e lazar u dado y aotar el úmero de la cara superors es E {,,, 4, 5, 6} Ejemplo : Para el lazameto de u par de dados, supogamos que, por ejemplo, u dado es egro y el otro blaco, y e cada realzacó del expermeto aotamos los resultados del egro y del blaco por este orde. El espaco muestral tee 6 sucesos elemetales E{(,), (,), (,), (4,), (5,), (6,), (,), (,), (,), (4,), (5,), (6,), (,), (,), (,), (4,), (5,), (6,), (,4), (,4), (,4), (4,4), (5,4), (6,4), (,5), (,5), (,5), (4,5), (5,5), (6,5), (,6), (,6), (,6), (4,6), (5,6), (6,6)} U suceso es u cojuto de resultados elemetales, es decr, u subcojuto de E. U suceso está caracterzado por su ocurreca o o ocurreca respecto de cualquer resultado que observemos al realzarse el expermeto aleatoro. Por ejemplo, alguos sucesos del expermeto aleatoro de trar dos dados so: A los dados suma A{(,), (,)} suceso formado por resultados elemetales B los dados suma 6 B{(,5),(,4),(,),(4,),(5,)} formado por 5 resultados elemetales C el dado blaco es C{(,),(,),(;),(4,),(5,),(6,)} formado por 6 resultados elemetales D el dado egro es D{(,),(,),(,), (,4),(,5),(,6)} formado por 6 resultados elemetales Cuado el suceso es u subcojuto de E formado por u solo resultado elemetal, se llama suceso elemetal. Cuado el suceso se compoe de varos sucesos elemetales (como los sucesos A, B, C y D del ejemplo ateror), se llama suceso compuesto. El cojuto de todos los sucesos que puede defrse para el espaco muestral de u expermeto aleatoro recbe el ombre de Espaco de Sucesos, y lo desgaremos por S. S el espaco muestral, E, tee elemetos, S está formado por sucesos, etre los que hay que clur dos sucesos muy especales: PROBABILIDAD Pága de

4 Suceso seguro. Se llama así al suceso que sempre se verfca e la realzacó del expermeto. Es evdete que tee que estar formado por todos los resultados elemetales y, por tato, cocde co el propo espaco muestral, E. Suceso mposble. Se llama así al suceso que o se verfca uca e la realzacó del expermeto y se desga por Ø (cojuto vacío porque o tee gú elemeto). OPERACIONES CON SUCESOS. PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE SUCESOS Lo bueo de usar sucesos, e lugar de resultados elemetales, es que podemos combar los sucesos para costrur otros sucesos, usado operacoes lógcas. Las palabras clave so Y, O, NO equvaletes a las operacoes co cojutos: terseccó ( ), uó ( ) y complemetaro ( ). Es decr, dados dos sucesos A y B, podemos defr uevos sucesos medate las sguetes operacoes co ellos: Iterseccó de sucesos: A Y B A B Los sucesos A y B ocurre a la vez ( A B es el cojuto de elemetos que perteece smultáeamete a A y a Uó de sucesos: A O B A B Ocurre el suceso A o el suceso B o ambos ( A B es el cojuto de elemetos que perteece a A o a B o a ambos) Suceso cotraro (complemetacó): NO A A E - A El suceso A o ocurre (La dfereca de cojutos E-A es el cojuto de elemetos de E que o perteece a El suceso seguro y el suceso mposble so sucesos cotraros: E φ φ E El suceso cotraro del cotraro de A es, evdetemete, el propo suceso A: A A Se dce que A y B so sucesos compatbles s o tee gú resultado elemetal e comú ( A B φ ), por lo que o puede verfcarse smultáeamete e ua realzacó del expermeto. E caso cotraro, es decr s A B φ, se dce que A y B so sucesos compatbles. Se dce que u suceso A está cludo e otro suceso B, y se escrbe A B, cuado todos los elemetos de A está e B, de forma que sempre que ocurre A, se da B. També se dce que A está cotedo e B o que A mplca B. Es evdete que s ocurre que A B y B A, etoces los sucesos A y B so el msmo, A B(A y B está formados por los msmos sucesos elemetales) Por ejemplo, e el expermeto aleatoro lazar u dado, el suceso A sacar mayor que 4 está cludo e el suceso B sacar mayor que : A{5,6} B{, 4, 5, 6} A B Volvamos al ejemplo del lazameto de dos dados: S A es el suceso "dado blaco " (prmera fla), y B es el suceso "dado egro " (prmera columa), etoces: A B es el área sombreada (e la que uo u otro dado es ); A B es la superposcó de las zoas sombreadas (e la que ambos dados so ) ; A está formado por los sucesos que o está e la prmera fla. B está formado por los sucesos que o está e la prmera columa. A B está formado por los sucesos que o está e la zoa sombreada ( e la prmera fla e la prmera columa) ; A B está formado por todos los sucesos dsttos del suceso (,) (,) (,) (,) (4,) (5,) (6,) (,) (,) (,) (4,) (5,) (6,) (,) (,) (,) (4,) (5,) (6,) (,4) (,4) (,4) (4,4) (5,4) (6,4) (,5) (,5) (,5) (4,5) (5,5) (6,5) (,6) (,6) (,6) (4,6) (5,6) (6,6) Los sucesos C los dos dados suma 4" y D los dos dados suma 6" so compatbles PROBABILIDAD Pága 4 de

5 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS Las tres operacoes que se ha defdo e el Espaco de Sucesos S (uó, terseccó y complemetacó o cotraro) verfca las sguetes propedades: Uó Iterseccó Asocatva ( A C A ( B C) ( C A ( B C) Comutatva Idempotete Smplfcatva ( Absorcó) Dstrbutva A B B A A B B A A A A A A ( B ) A A ( B A A ( B C) ( A ( A C) A ( B C) ( ( A C) Todo suceso A tee suceso cotraro A que verfca A A E y A φ Por verfcarse las propedades aterores el Espaco de Sucesos es u álgebra de Boole y como cosecueca se deduce las sguetes propedades (que puede demostrarse fáclmete a partr de las aterores): El suceso mposble verfca que para cualquer suceso A es A φ A y A φ φ El suceso seguro verfca que para cualquer suceso A es A E E y A E A Dados dos sucesos A y B del espaco de sucesos, se verfca las sguetes relacoes, coocdas como LEYES DE MORGAN: A B A B, A B A B El uso de dagramas de Ve, para represetar los cojutos que so los sucesos, es útl para vsualzar los razoametos e alguos problemas de probabldad. La mage de la zquerda muestra dos sucesos A y B defdos e u espaco muestral E que se descompoe como uó de cuatro sucesos (subcojutos) compatbles (dsjutos): A B, A B, A B y A B Los sucesos A, B y su uó puede descompoerse a su vez como uó de sucesos compatbles: A ( (, B (B ) (B ), A B ( ( ( Se defe la dfereca de dos suceso A y B, como el suceso que se da cuado se da A y o B, de forma que podemos escrbr co la otacó de la dfereca los sucesos A B A B y A B B A Es fácl demostrar la seguda ley de Morga usado los dagramas de Ve: A ( ( B ( ( A B ( ( ( A B, PROBABILIDAD Pága 5 de

6 . PROBABILIDAD DE UN SUCESO. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD A partr de la dea tutva de probabldad de u suceso como frecueca relatva co la que se produce el suceso cuado el úmero de realzacoes del expermeto es muy grade, y teedo e cueta las propedades de las frecuecas relatvas, Kolmogorov euca la sguete defcó axomátca de probabldad (que es la ofcal e la matemátca modera): Se llama probabldad a ua aplcacó que asoca a cada suceso A del espaco de suceso S u úmero real, que llamamos probabldad de A y represetamos por, que cumple los sguetes axomas (codcoes). 0 (No tee setdo ua probabldad egatva: peor que mposble o es posble). P (E) (La probabldad del suceso seguro tee que ser ). S A y B so sucesos compatbles ( A B φ ), etoces P (A De estas propedades axomátcas se deduce otras propedades: Probabldad del suceso cotraro: Demostracó: Como A A E y A φ P ( E) Probabldad del suceso mposble: P ( φ ) 0 (Ua probabldad 0 sgfca que u suceso o puede ocurrr) Se demuestra a partr de la propedad ateror porque φ E φ) E) 0 S A B (propedad evdete a partr de la propedad ) P ( cualquera que sea A (propedad evdete a partr de la ateror) PROBABILIDAD DE LA UNIÓN (regla de la suma): A Puede demostrarse co los sucesos compatbles del dagrama de Ve: y B ) B ) A La últma fórmula es la más geeral para calcular la probabldad de la uó de dos sucesos, y para el caso partcular de sucesos compatbles se coverte e la dada como propedad axomátca. Podemos comprobar la fórmala de la uó para el ejemplo del lazameto de dos dados, co los sucesos A "dado blaco " y B "dado egro : A /6, como puede verse cotado los resultados elemetales. Por otro 6 6 lado, /6. Luego + A Puesto que al sumar + cotamos dos veces los resultados elemetales que perteece a la vez a A y a B, teemos que restar la catdad extra que es. La geeralzacó a la uó de más de dos sucesos es seclla s los sucesos so compatbles dos a dos: S A j φ A A... A ) A ) +... A ) PROBABILIDAD Pága 6 de

7 La geeralzacó de la regla de la suma cuado los sucesos o so compatbles dos a dos o es ta seclla, por eso es ta mportate descompoer la uó e sucesos compatbles. Para la uó de tres sucesos compatbles sería A B C) C) A C) B C) A B C) REGLA DE LAPLACE Para u expermeto aleatoro co sucesos elemetales, E {O, O,..., O }, s O ) desga la probabldad del suceso O, se tee que verfcar que O ) O ) +... O ) Cuado todos los resultados elemetales del expermeto aleatoro so equprobables y se quere calcular la probabldad de u suceso compuesto, la regla de la suma se coverte e la regla de Laplace, ya que s todos los sucesos tee la msma probabldad, etoces O ) O ). S u suceso A está compuesto por m de estos sucesos elemetales equprobables, etoces m sumados m º de elemetos de A º de elemetos de E Pero los sucesos elemetales o tee ecesaramete la msma probabldad. Por ejemplo, s se laza u dado cargado para que salga u 5% de las veces (a la larga) y los otros resultados sea gualmete probables, el espaco muestral es el msmo que para u dado justo, E{,,, 4, 5, 6}, pero ahora )0,5 metras que ))4)5)6)0,5. E este caso o podemos utlzar la regla de Laplace para calcular la probabldad de u suceso. Por ejemplo, para calcular la probabldad del suceso A sale mpar, teemos que utlzar la regla de la suma: P ( {}) {}) {5}) 0,5 + 0,5 + 0,5 0,55 (co este dado trucado el resultado sería mpar el 55% de las veces, a la larga). PROBABILIDAD CONDICIONADA Uo de los problemas plateados por el Caballero de Mére a Pascal es el sguete acertjo matemátco: Qué es más probable: sacar al meos u ses e cuatro lazametos de u dado, o sacar al meos u doble ses e 4 lazametos de u par de dados?. Él pesaba erróeamete que los dos sucesos era gualmete probables, pero había comprobado (apostado muchas veces) que perdía más frecuetemete co el segudo tpo de apuesta. Las fórmulas que hemos deducdo hasta ahora podría ser adecuadas para respoder la cuestó de De Mère, pero o fáclmete, ya que sería ecesaro calcular los casos posbles y favorables usado téccas combatoras. Por eso es ecesaro troducr la probabldad codcoal - u cocepto esecal e estadístca. Lo haremos e prmer lugar co el sguete ejemplo: Supogamos que cambamos lgeramete el expermeto aleatoro de lazar dos dados (uo blaco y uo egro) y que lazamos el dado blaco ates que el dado egro. Cuál es la probabldad de que los dos dados sume, suceso al que llamaremos A? Ates de lazar el prmer dado P ( porque A {(, ), (, )} 6 Supogamos ahora que el dado blaco ha sdo (Suceso C) Cuál es la probabldad de A ahora? A esta últma probabldad la llamamos la probabldad codcoal de que ocurra el suceso A dada la codcó de que el suceso C ya se ha producdo. Escrbmos A/C) y leemos probabldad de A dado C o be probabldad de A codcoada por C. PROBABILIDAD Pága 7 de

8 Ates de que se lazara el prmer dado, el espaco muestral teía 6 resultados elemetales, pero ahora que el suceso C ha ocurrdo los posbles resultados debe perteecer al espaco muestral reducdo por C. E este espaco muestral reducdo, compuesto por ses resultados elemetales, sólo u resultado, (,), suma. Por lo tato, la probabldad codcoal es /6. E geeral, para calcular la probabldad codcoal A/C) mramos el suceso A / C como parte del espaco muestral reducdo por C. Esta últma dea se plasma e ua defcó formal: A C) La probabldad de A codcoada por C es: A/ C) C) A partr de la defcó se deduce alguas propedades evdetes: A/ (Ua vez que A ocurre su ocurreca es segura) Cuado A y C so compatbles A/C) 0 (S ha ocurrdo C es mposble la ocurreca. A C) E el ejemplo ateror: suma 5 s el dado blaco ha sdo ) P (A / C) 6 C) 6 ELABORACIÓN Y ANÁLISIS DE UNA TABLA DE CONTINGENCIA Volvemos al cocepto de probabldad codcoada co otro ejemplo: Se ha producdo u acalorado debate etre dos sttutos próxmos sobre la dfcultad de aprobar el bachllerato e cada uo de ellos. Para dlucdar la cuestó, ambos sttutos da a coocer el úmero de alumos que ha aprobado º de bachllerato e las covocatoras de Juo de los últmos 5 años y el úmero total de alumos matrculados e cada ua de las modaldades bachllerato de Cecas Socales y bachllerato de Ceca y Tecología : BACHILLERATO DE CIENCIAS SOCIALES: 6 INSTITUTO : Alumos matrculados: 4 Alumos aprobados: 4 INSTITUTO : Alumos matrculados: 695 Alumos aprobados: 48 BACHILLERATO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA: INSTITUTO : Alumos matrculados: 597 Alumos aprobados: 5 INSTITUTO : Alumos matrculados: 59 Alumos aprobados: 07 Co estos datos e la mao, el sttuto afrma que e su cetro aprueba º de bachllerato u porcetaje de alumos superor al que aprueba e el sttuto y que por lo tato la probabldad de aprobar es mayor e su cetro. Co los msmos datos, el sttuto afrma que el porcetaje de alumos aprobados e el bachllerato de Cecas Socales es mayor e su cetro y que també es mayor el porcetaje de alumos aprobados e el bachllerato de Ceca y Tecología. Cocluye, por lo tato, que la probabldad de aprobar el bachllerato de Cecas Socales es mayor e su cetro, y que també es mayor la probabldad de aprobar el bachllerato de Ceca y Tecología. Es posble que ambos cetros tega razó? Se puede comprobar que así es, auque parezca paradójco, completado las sguetes tablas de cotgeca y calculado después las probabldades que tervee e el coflcto plateado: INSTITUTO bachllerato CS bachllerato CT totales Aprobados Suspesos Totales PROBABILIDAD Pága 8 de

9 INSTITUTO bachllerato CS bachllerato CT totales Aprobados Suspesos Totales Cuál es la probabldad de aprobar s se cursa el bachllerato de Cecas Socales e cada uo de los sttutos? Se pde la probabldad codcoal del suceso A aprobar codcoada por el suceso S cursar la modaldad de bachllerato de Cecas Socales, es decr, la proporcó de alumos aprobados e el grupo reducdo de alumos que cursa esta modaldad. Nº de alumos del bachllerato CS y aprobados 4 E el INSTITUTO : P (A / S) 0, 56 Nº de alumos del bachllerato CS 4 (Aprueba el bachllerato de Cecas Socales u % de los alumos, aproxmadamete) Nº de alumos del bachllerato CS y aprobados 48 E el INSTITUTO : P (A / S) 0, 568 Nº de alumos del bachllerato CS 695 (Aprueba el bachllerato de Cecas Socales u 6% de los alumos, aproxmadamete) La probabldad de aprobar el bachllerato de Cecas Socales es mayor e el sttuto Cuál es la probabldad de aprobar s se cursa el bachllerato de Ceca y Tecología e cada uo de los sttutos? Ahora se pde la probabldad del suceso A aprobar codcoada por el suceso C cursar la modaldad de Ceca y Tecología, es decr, la proporcó de alumos aprobados e el grupo reducdo de alumos que cursa esta modaldad. Nº de alumos del bachllerato CT y aprobados 5 E el INSTITUTO : P (A / C) 0, 5444 Nº de alumos del bachllerato CT 597 (Aprueba el bachllerato de Ceca y Tecología u 54% de los alumos, aproxmadamete) Nº de alumos del bachllerato CT y aprobados 07 E el INSTITUTO : P (A / C) 0, 5766 Nº de alumos del bachllerato CT 59 (Aprueba el bachllerato de Ceca y Tecología u 58% de los alumos, aproxmadamete) La probabldad de aprobar el bachllerato de Ceca y Tecología es mayor e el sttuto Cuál es la probabldad de aprobar e cada sttuto? Ahora se pde la proporcó de alumos aprobados e el total de alumos matrculados, s dferecar la modaldad de bachllerato. Nº de alumos aprobados 466 E el INSTITUTO : P ( 0, 454 Nº de alumos total 00 (Aprueba º de bachllerato u 45% de los alumos, aproxmadamete) Nº de alumos aprobados 455 E el INSTITUTO : P ( 0, 46 Nº de alumos total 054 (Aprueba º de bachllerato u 4% de los alumos, aproxmadamete) La probabldad de aprobar º bachllerato es mayor e el sttuto PROBABILIDAD Pága 9 de

10 Cuál es la probabldad de cursar el bachllerato CS y aprobar e el sttuto? Ahora se pde la proporcó de alumos que cursa esta modaldad y aprueba e el total de alumos matrculados: Nº de alumos del bachllerato CS y aprobados 4 P (A S) 0,69 Nº de alumos total 00 (Hace bachllerato CS y lo aprueba u 4 % de los alumos, aproxmadamete) Cuál es la probabldad de cursar el bachllerato CS e el sttuto? Ahora se pde la proporcó de alumos de esta modaldad e el total de alumos matrculados: Nº de alumos del bachllerato CS 4 P (S) 0,404 (Hace bachllerato CS u 4 % de los alumos) Nº de alumos total 00 Comprobamos la fórmula dada como defcó de probabldad codcoada para el sttuto : 4 A S) 00 4 P (A / S) S) PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN (REGLA DEL PRODUCTO) C ) Despejado e la defcó de la probabldad codcoada, C /, la probabldad de la terseccó y teedo e cueta que C A C, se obtee la regla de multplcacó para calcular la probabldad de la terseccó de dos sucesos: A C) C / Por ejemplo, para calcular la probabldad de que al sacar dos cartas de ua baraja española sea ambas reyes, se hace u razoameto como el que sgue: Nombramos los sucesos R la prmera carta es rey, R la seguda carta es rey. Nos pde la probabldad del suceso R R la prmera y la seguda carta so reyes. Aplcamos la regla del producto: 4 R R ) R ) R / R) 0, La regla del producto se geeralza de la sguete maera para calcular la probabldad de la terseccó de más de dos sucesos: A... ) A ) A / A ) A / A ) A / A... ) Por ejemplo, la probabldad de que al sacar cuatro cartas de ua baraja española sea los cuatro reyes se calcula usado la regla del producto: 4 R R R R 4 ) R ) R / R) R / R R ) R 4 / R R R ) INDEPENDENCIA DE SUCESOS Y REGLA ESPECIAL DEL PRODUCTO. Se dce que A y C so dos sucesos depedetes uo del otro s la ocurreca de uo de ellos o tee gua flueca e la probabldad de ocurreca del otro. PROBABILIDAD Pága 0 de 0,0000 Por ejemplo, e el expermeto aleatoro del lazameto de dos dados, el lazameto de u dado y su resultado o tee gú efecto e el lazameto del otro (a meos que esté pegados, magetzados, etc.)

11 E térmos de la probabldad codcoal, lo ateror equvale a decr que A y C so dos sucesos depedetes s A/C) o, lo que es equvalete, C/C). Cuado A y C so depedetes teemos ua regla especal de multplcacó: A C) C) A y C so depedetes La relacó ateror se usa també para demostrar la depedeca de dos sucesos A y B de los que se cooce o se puede calcular P (, P ( y. E otras stuacoes sabemos, por la aturaleza del expermeto aleatoro, que los sucesos A y B so depedetes, y etoces usamos la relacó A para calcular la probabldad de la terseccó de A y de B como producto de las probabldades de cada uo de los sucesos. Hay que teer muy presete que esta relacó es u caso partcular de la regla geeral del producto que solamete es aplcable cuado los sucesos so depedetes. Por ejemplo, verfquemos la depedeca de los sucesos A dado blaco y C dado egro : A C) 6 P ( A/ C) C) Pero la ocurreca del suceso B dado blaco obvamete afecta a la probabldad del suceso D la suma de los dos dados es : D P{ (,) } 6 P (D / D) Por lo tato los sucesos D y B o so depedetes La regla del producto se geeralza de maera obva para la probabldad de la terseccó de sucesos depedetes etre sí: A... ) A ) A )... A ) s A, A,..., A so depede tes Veamos como ejemplo el problema del caballero De Mère: sea A el suceso de cosegur al meos u 6 e 4 lazametos de u dado. Cuál es la probabldad P (? Este es uo de esos sucesos para los que es más fácl calcular la probabldad del suceso cotraro o complemetaro: A es el suceso o sale gú 6 e las 4 tradas. S A es el suceso o se cosgue u 6 e la -ésma trada, sabemos que (A ) 5 / 6 sucesos A so depedetes, por lo tato: 5 4 P. També sabemos que los P ( A 4 ) 0, 48 Así pues, P ( 0, 58 6 (S de Mère realzaba muchas veces este tpo de apuesta, debería gaar aproxmadamete el 5% de las msmas) Y ahora, la otra parte: sea D el suceso cosegur al meos u ses doble e 4 lazametos de dos dados. Nuevamete NO D es más fácl de descrbr: D es el suceso o se cosgue u doble ses e gua de las 4 tradas. S D es el suceso o sale u ses doble e la -ésma trada, etoces la probabldad de cada D esd ) 5 / 6, 5 4 por lo tato: P ( D) D D... D4 ) 0, Y podemos coclur que P (D) D) 0, 49 (Por lo tato, de Mére debería gaar aproxmadamete el 49% de las veces co este tpo de apuesta) PROBABILIDAD Pága de

12 De Mére cotó a Pascal que él había observado realmete que el suceso D ocurría co meor frecueca que el suceso A, pero o teía dea del porqué (de lo que deducmos que De Mère apostaba a meudo y guardaba u regstro cudadoso de los resultados) 5. PROBABILIDAD CONDICIONADA Y PROBABILIDAD TOTAL U SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS es u cojuto de sucesos compatbles etre sí (dsjutos dos a dos) y cuya uó es el espaco muestral. E los expermetos compuestos de varas pruebas se suele tomar como sstema completo de sucesos los posbles resultados de la prmera prueba. A partr de u sstema completo de sucesos { A,A,...,A } se puede calcular la probabldad de cualquer suceso B aplcado el TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL: A ) B / A ) A ) B / A ) +... A ) B / A ) La relacó dada por el teorema ateror se obtee de aplcar la regla de la suma para calcular teedo e cueta que B es la uó de los sucesos compatbles A B, A B,, A B y aplcar después la regla del producto para calcular la probabldad de cada ua de estas terseccoes, A A ) B / A ) Se suele usar dagramas e árbol para escrbr los datos y realzar los razoametos e expermetos compuestos de varas pruebas. Del puto cal sale como ramas todos los sucesos del sstema compatble de sucesos { A,A,...,A } o posbles resultados de la prmera prueba, y sobre cada rama se escrbe la probabldad de cada suceso; de cada uo de los sucesos elemetales sale tatas ramas como posbles resultados de la seguda prueba y sobre cada rama se escrbe la probabldad del segudo suceso codcoada por el ateror; y así sucesvamete. La probabldad del suceso fal B se obtee sumado los productos de las dsttas ramfcacoes que terma e B Ejemplo: Ua caja cotee tres moedas P, S y T. La moeda P es ormal, la moeda S tee cara por los dos lados y la moeda T está trucada de forma que la probabldad de salr cara es /. Se elge ua moeda al azar y se tra. Hallar la probabldad de que salga cara. C) R) C / R) S) C / S) T) C / T) PROBABILIDAD Pága de

13 TEOREMA DE BAYES El teorema de Bayes es la aplcacó de la defcó de probabldad codcoada al cálculo de la probabldad de uo de los sucesos de u sstema completo de sucesos, A, codcoada por saber que ha ocurrdo u suceso B: A / A E esta fórmula, el umerador se calcula co la regla del producto A A ) B / A ) y el deomador co la regla de la Probabldad Total: A ) B / A ) A ) B / A ) +... A ) B / A ) Ejemplo: supogamos que ua rara efermedad fecta a ua de cada 000 persoas de ua poblacó. Y supogamos que hay u bue, pero o perfecto, test para esta efermedad: s ua persoa tee la efermedad, el test da postvo el 99% de las veces. S embargo, el test també produce alguos falsos postvos: u % de pacetes o fectados també da postvo. S ua persoa ha dado postvo e el test, cuál es la probabldad de que tega realmete la efermedad? Teemos dos sucesos co los que trabajar: A el pacete tee la efermedad y B el pacete da postvo e el test La formacó sobre la efectvdad del test puede escrbrse como sgue: P ( 0,00 (U pacete de cada 000 tee la efermedad) P ( B / 0,99 (La probabldad de test postvo dada la feccó es 0.99) P ( B / 0,0 (La probabldad de u falso postvo dado u pacete o fectado es 0.0) Para calcular la probabldad que os pde, P ( A /, podemos utlzar el teorema de Bayes: A / B / Calculamos prmero el deomador co el teorema de la probabldad total: B / B / 0, , , 00, 00097, 000, 099, Luego P ( A / 0, , A pesar de la gra precsó del test, meos del 5% de los que ha dado postvo e el test tee realmete la efermedad! Esto es lo que se cooce como paradoja del falso postvo. PROBABILIDAD Pága de