ESTADÍSTICA TEÓRICA: CHI-CUADRADO TABLAS DE APLICACIONES CONTINGENCIA

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1 Gstó Aroáutca: Estadístca Tórca Facultad Ccas Ecoómcas y Emprsarals Dpartamto d Ecoomía Aplcada Profsor: Satago d la Fut Frádz ESTADÍSTICA TEÓRICA: CHI-CUADRADO TABLAS DE APLICACIONES CONTINGENCIA Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado

2 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado

3 Gstó Aroáutca: Estadístca Tórca Facultad Ccas Ecoómcas y Emprsarals Dpartamto d Ecoomía Aplcada Profsor: Satago d la Fut Frádz PRINCIPALES APLICACIONES DE LA CHI CUADRADO Al aalzar ua poblacó u caráctr cualtatvo o cuattatvo l studo rsulta muy tdoso por l gra úmro d lmtos dl qu costa la poblacó. Gralmt, s xama ua mustra tomada d la poblacó, lo qu llva a tr ua sr d datos, y vr hasta qué puto la mustra s pud cosdrar prtct a ua dstrbucó tórca coocda. Smpr xstrá dsvacos tr la dstrbucó mpírca u obsrvada y la dstrbucó tórca. S plata la custó d sabr s stas dsvacos so dbdas al azar o al habr tomado ua dstrbucó tórca adcuada. CONTRASTE DE BONDAD DEL AJUSTE El objtvo dl cotrast d bodad dl ajust s sabr s ua mustra procd d ua poblacó tórca co dtrmada dstrbucó d probabldad. Sa ua poblacó, dod s aalza u caráctr X co (x, x,, x k) modaldads xcluyts, dotado por s l úmro d lmtos qu prsta la modaldad x (frcuca obsrvada dx ), k Por otra part, sa modaldad x.p la frcuca sprada o tórca d cada S orga la TABLA DE CONTINGENCIA: X x x x xk Frcuca obsrvada k Frcuca sprada ( ) ( ) ( ) ( k) Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 3

4 La dstrbucó tórca rprsta a Hpótss ula H 0 : la dstrbucó mpírca u obsrvada Para u vl d sgfcacó (o rsgo) S acpta H 0 : stadístco obsrvado k ( ) stadístco tórco,(k ) S rchaza H 0 : stadístco obsrvado k ( ) stadístco tórco,(k ) El stadístco k k ( ) (útl l cálculo) OBSERVACIONES DE LA APLICACIÓN a) El tst d la s pud aplcar stuacos dod s dsa dcdr s ua sr d datos (obsrvacos) s ajusta o o a ua fucó tórca prvamt dtrmada (Bomal, Posso, Normal, tc.) b) Es csaro qu las frcucas spradas d las dsttas modaldads o sa frors a cco. S algua modaldad t ua frcuca sprada mor qu cco s agrupa dos o más modaldads cotguas ua sola hasta cosgur qu la frcuca sprada sa mayor qu cco. c) Los grados d lbrtad d la dpd dl úmro d parámtros qu s csta hallar para obtr las frcucas spradas. E st stdo, s s rqur hallar p parámtros, los grados d lbrtad so (k p) s las modaldads so dpdts y (k p ) cuado las modaldads so xcluyts. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 4

5 TABLAS CONTINGENCIA: CONTRASTE DE DEPENDENCIA INDEPENDENCIA Cuado s dsa comparar dos caractrs (X, Y) ua msma poblacó qu admt las modaldads: X(x,x,,x,,x k) Y(y,y,,y j,,y m), s toma ua mustra d tamaño, rprstado por l úmro d lmtos d la poblacó qu prsta la modaldad x d X y j d Y. X Y y y y j ym k x j m x j m x m x k m j j k k kj km j m No xst dfrca tr las Hpótss ula H 0 : dstrbucos mpírcas d X Y Bajo la hpótss ula, cada frcuca obsrvada dod (,, k ; j,, m) d la tabla d cotgca (k x m) hay ua frcuca sprada ( ) qu s obt mdat la xprsó: p x j p. x j k Agrupado frcucas obsrvadas y spradas la TABLA DE CONTINGENCIA k x m Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 5

6 X x Y y y y j ym ( ) ( ) j ( j) m ( m ) ( ) j m ( ) ( ) k x ( ) j m x ( ) ( ) ( ) m ( ) x k m j j k ( ) k k ( ) kj ( ) km ( ) k kj m km j m Las codcos csaras para aplcar l tst d la Ch cuadrado xg qu al mos l 80% d los valors sprados d las cldas sa mayors qu 5. Cuado sto o ocurr hay qu agrupar modaldads cotguas ua sola hasta lograr qu la uva frcuca sa mayor qu cco. E ua TABLA DE CONTINGENCIA d x s csaro qu todas las cldas tga frcucas spradas mayors qu cco, s b la práctca sul prmtrs qu ua d llas tga frcucas spradas lgramt por dbajo d 5. El stadístco d cotrast obsrvado aproxmadamt ua Ch cuadrado co lbrtad. k ( ) sgu k m (k ).(m ) j (k ) x (m ) grados d Para u vl d sgfcacó s pud cotrastar la dfrca sgfcatva tr las dos dstrbucos mpírcas o la dpdca d las dstrbucos mpírcas. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 6

7 CONTRASTE DE HOMOGENEIDAD S acpta H o sí: stadístco obsrvado ( ) stadístco tórco k m,(k).(m) j S rchaza H o sí: stadístco obsrvado ( ) stadístco tórco k m,(k).(m) j CONTRASTE DE INDEPENDENCIA Hpótss ula H o : Las dstrbucos mpírcas X Y so dpdts S acpta S rchaza H o sí: H o sí: stadístco obsrvado ( ) stadístco tórco k m,(k).(m) j stadístco obsrvado ( ) stadístco tórco k m,(k).(m) j Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 7

8 TABLAS CONTINGENCIA x y x 3 Para las tablas d cotgca x y x 3 s obt fórmulas scllas d la utlzado úcamt las frcucas obsrvadas X Y y y x x (.. )... S acpta H o : H :, S rchaza o, X Y y y y3 x 3 x S acpta H o : S rchaza H o :,, Cofct d CONTINGENCIA Es ua mdda dl grado d rlacó o dpdca tr dos caractrs la tabla d cotgca, s df: C 0C Mayor valor d C dca u grado d dpdca mayor tr X Y Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 8

9 FACTOR d corrccó d YATES Advértas qu como la mustra 40 s hac acosjabl l uso d la Ch cuadrado co l factor d corrccó d cotudad d Yats: Factor corrccó 0,5 0,5 Para ua tabla d cotgca d x la corrccó d Yats:..... La corrccó o s válda cuado.. E gral, la corrccó d Yats s hac cuado l úmro d grados d lbrtad s. Tst G d la razó d vrosmltud El tst d cotrast d dpdcas por la razó d vrosmltuds (tst G) s ua pruba d hpótss d la Ch cuadrado qu prsta mjors rsultados qu l d Parso. S dstrbuy astótcamt co ua varabl alatora co (k ) x (m ) grados d lbrtad. S df l stadístco S acpta la hpótss ula G l k m j H o sí: k m G l j, (k ). (m ) Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 9

10 Tst d McNmar El tst d McNmar s utlza para dcdr s s pud acptar o o qu dtrmado tratamto duc u cambo la rspusta d los lmtos somtdos al msmo, y s aplcabl a los dsños dl tpo ats dspués los qu cada lmto actúa como su propo cotrol. Cosst obsrvacos d ua varabl alatora bdmsoal (X,Y). La scala d mdcó para X Y s omal co dos catgorías, tals como postvo o gatvo, hmbra o macho, prsca o ausca, qu s pud domar 0 y. X Y Total a b a b c d c d Total a c b d Los casos qu mustra cambos tr la prmra y sguda rspusta aparc las cldllas b y c U dvduo s clasfcado la cldlla b s camba d a, la cldlla a cuado la rspusta s ats y dspués, la cldlla d cuado la rspusta s ats y dspués. E l tst d McNmar para la sgfcacó d cambos solamt trsa coocr las cldas b y c qu prsta cambos. Pusto qu (b c) s l úmro d dvduos qu cambaro, bajo l supusto d la hpótss ula, s spra qu (b c) / casos camb ua drccó y (b c) / casos camb otra drccó. Hpótss ula H : El tratamto o duc cambos sgfcatvos las rspustas 0 Estadístco d cotrast sí b c 0: S acpta H o sí b McNmar /, Estadístco d cotrast s b c 0: Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 0

11 S acpta H o sí (b c) b c McNmar /, La aproxmacó mustral a la dstrbucó Ch cuadrado s más prcsa s s ralza la corrccó d cotudad d Yats (ya qu s utlza ua dstrbucó cotua para aproxmar ua dstrbucó dscrta). El stadístco corrgdo: S acpta H o sí bc b c McNmar /, COEFICIENTES EN DISTRIBUCIONES DICOTÓMICAS Los cofcts más utlzados varabls dcotómcas so los d corrlacó ph y Q d Yul. Estos cofcts t alguas propdads comus d trés: a) Está ormalzados, las magtuds o dpd dl tamaño d la tabla. b) So muy ssbls a la dstrbucó mpírca obsrvada, traducdo coctracos d casos alguas cldas magtuds. c) T u rcorrdo tórco tr [,] dcado stuacos d asocacó prfcta y d dpdca stadístca. Los cofcts y Q d Yul s dfrca la ssbldad rcoal: El cofct alcaza su máxmo valor sólo cuado ua d las dos dagoals s ha vacado. El cofct Q s muy ssbl a la xstca d ua clda qu térmos rlatvos s stá vacado. Su valor máxmo s alcaza cuado ua clda o hay gú caso, sto s lo qu s cooc como ssbldad rcoal. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado

12 X Y y y Total x a b a b x c d c d Total a c b d Cofct Ph: ad bc 0 (a b)(c d)(a c)(b d) Cofct Q d Yul: ad bc Q 0Q ad bc TEST EXACTO DE FISHER S las dos varabls qu s stá aalzado so dcotómcas, y la frcuca sprada s mor qu 5 más d ua clda, o rsulta adcuado aplcar l tst d la auqu sí l tst xacto d Fshr. El tst xacto d Fshr prmt aalzar s dos varabls dcotómcas stá asocadas cuado la mustra a studar s dmasado pquña y o cumpl las codcos csaras para qu la aplcacó dl tst d la Ch cuadrado sa dóa. X Y y y Total x a b a b x c d c d Total a c b d E ua TABLA DE CONTINGENCIA d x s csaro qu todas las cldas tga frcucas spradas mayors qu cco, s b la práctca sul prmtrs qu ua d llas tga frcucas spradas lgramt por dbajo d 5. El tst xacto d Fshr s basa valuar la probabldad asocada a cada ua d las tablas x qu s pud formar matdo los msmos totals d flas y columas qu los d la tabla obsrvada. Cada uo d Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado

13 stas probabldads s obt bajo la hpótss d dpdca d las dos varabls qu s stá aalzado. La probabldad asocada a los datos qu ha sdo obsrvados v dada por: p (a b)! (c d)! (a c)! (b d)!! a! b! c! d! La fórmula gral d la probabldad dscrta dbrá calculars para todas las tablas d cotgca qu puda formars co los msmos totals d flas y columas d la tabla obsrvada. El valor d la p asocado al tst xacto d Fshr pud calculars sumado las probabldads d las tablas qu rsult mors o guals a la probabldad d la tabla qu ha sdo obsrvada. El platamto s blatral, s dcr, cuado la hpótss altratva asum la dpdca tr las varabls dcotómcas, pro s spcfcar d atmao qué stdo s produc dchas dfrcas, l valor d la p obtdo s multplca por. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 3

14 EJERCICIOS APLICACIONES DE LA CHI CUADRADO INTERPRETACIÓN DE DATOS S ha ralzado u studo sobr la stuacó laboral d las mujrs y su stado cvl, los datos obtdos furo: Trabajo Estado cvl rmurado Casada Soltra Total S No Total Los rsultados obtdos l aálss d la tabla d cotgca furo: Estadístcos Valor p valor Ch cuadrado Parso 5, ,075 Ch cuadrado d Yats 4, ,0357 Tst G 5, ,089 Ch cuadrado NcNmar,94 0,0978 Corrlacó Ph 0, ,078 Q d Yul 0,8345 Co u vl d sgfcacó 0,05, s pd: a) S cutra asocada la stuacó laboral d la mujr a su stado cvl? b) Gralmt, las mujrs qu ralza u trabajo rmurado co soltras? Solucó: a) Para aalzar la dpdca o o d la stuacó laboral d la mujr co su stado cvl (asocacó tr varabls catgórcas ua tabla d ) x s utlza l tst d la d Parso, co o s corrccó d Yats, l tst G d razó d vrosmltuds. El tst d McNmar o s pud utlzar st caso por o tratars d mustras paradas (ats dspués). Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 4

15 Establcdo la hpótss ula: H : La stuacó laboral d la mujr s dpdt d su stado cvl. 0 Los trs stadístcos prmros, basados la, prsta u p valor < 0,05, co lo qu s rchaza la hpótss ula H 0, cocluydo qu la stuacó laboral d la mujr stá asocada a su stado cvl. b) Partdo d qu la stuacó laboral d la mujr s cutra asocada a su stado cvl, falta por dtrmar la drccó d dcha asocacó, para lo qu s rcurr al cofct d corrlacó Ph y la Q d Yul. Ambos stadístcos so gatvos, co p valor < 0,05, puddo afrmar qu la corrlacó tr la stuacó laboral y l stado cvl d las mujrs s vrsa y sgfcatva al 5%. S pud coclur qu la stuacó laboral d la mujr (sí sta trabajado) sta asocada a las soltras, co u vl d sgfcacó dl 5%. CONTRASTE NO PARAMÉTRICO DE BONDAD DE AJUSTE Para comprobar s los opraros cotraba dfcultads co ua prsa maual d mprmr, s hzo ua pruba a cuatro opraros aotado l úmro d atascos sufrdos al troducr l msmo úmro d hojas, dado lugar a la sgut tabla: Opraro A B C D Total Obstruccos Co u vl d sgfcacó dl 5%, xst dfrca tr los opraros? Solucó: Establcdo la hpótss ula H 0 : No xst dfrca tr los opraros. La probabldad d qu s atascas ua hoja sría 4 / para todos los opraros. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 5

16 D st modo, l úmro d atascos sprados para cada uo d llos ( 0) sría,, 4 Tabla d Cotgca x 4: Opraro A B C D Total Obstruccos (0) (0) (0) (0) (40) S acpta la hpótss ula, a u vl d sgfcacó sí k k ( ) k ; k stadístco cotrast stadístco tórco k Númro trvalos Rgó d rchazo d la hpótss ula: R co lo cual, k ( ) ;k Co l vl d sgfcacó 0,05 l stadístco tórco: Sdo 9 7,85 s vrfca la rgó d rchazo. 3 0,05 ; 3 0,05 ; 3 7,85 E coscuca, s rchaza la hpótss ula, cocluydo qu xst dfrca sgfcatva tr los opraros rspcto al úmro d atascos la prsa d mprmr. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 6

17 CONTRASTE NO PARAMÉTRICO DE BONDAD DE AJUSTE A UNA DISTRIBUCIÓN DE POISSON CON PARÁMETRO DESCONOCIDO E u laboratoro s obsrvó l úmro d partículas qu llga a ua dtrmada zoa procdt d ua sustaca radactva u corto spaco d tmpo smpr gual, obtédos los sguts rsultados: Númro partículas Númro príodos d tmpo S pud ajustar los datos obtdos a ua dstrbucó d Posso, co u vl d sgfcacó dl 5%? Solucó: Hpótss ula H 0 : La dstrbucó mpírca s ajusta alaposso La hpótss ula s acpta, a u vl d sgfcacó sí ( ) k k k p ; k p stadístco cotrast stadístco tórco k Númro trvalos p Númro parámtros a stmar Rgó d rchazo d la hpótss ula: R k ( ) χ α ;kp La dstrbucó d Posso s caractrza porqu sólo dpd dl parámtro qu cocd co la mda. Sa la varabl alatora X = Númro d partículas y Númro d príodos d tmpo Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 7

18 x x P(xk) p , , , , , ,006 = x 590 x, 49, P(x k) k! k, k 0,,5 Las probabldads co qu llga las partículas k 0,,5 s obt k,, susttuydo los valors d k P(x k) o las tablas co k!, Para vrfcar s l ajust d los datos a ua dstrbucó d Posso s acpta o o, mdat ua, hay qu calcular las frcucas spradas (. p ) x Fr , 77,8 06,7 3 4, ,8 49.0,30 48, 49.0,364 77, ,69 06,7 49.0,0867 4,7 49.0,060,8 49.0,006 3,05 5 3,05 Dado lugar a ua tabla d cotgca x 6, dod hay qu agrupar las dos últmas columas por tr la últma columa frcucas spradas mors qu cco. S t la tabla d cotgca x 5: x y 5 Frcucas , 77,8 06,7 3 4,7 Así, los grados d lbrtad so trs: k p ,8 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 8

19 El stadístco d cotrast: 5 5 ( ) ,3 48, 77,8 06,7 4,7 5,8 El stadístco tórco: 0,05 ; 3 7,85 El stadístco d cotrast (bodad d ajust) s mayor qu l stadístco tórco (7,85), rchazádos la hpótss ula, s dcr, la dstrbucó NO s pud ajustar a ua dstrbucó d Posso a u vl d sgfcacó dl 5%. S vrfca la rgó d rchazo: k ( ) R ;kp3,3 7,85 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 9

20 La tabla rflja l úmro d accdts mortals d tráfco qu s produc ua carrtra a lo largo d u príodo d tmpo. Accdts mortals por día Númro d días S ajusta los datos a ua dstrbucó d Posso?. Utlzar u vl d sgfcacó 0,05 Solucó: Hpótss ula H 0 : La dstrbucó mpírca s ajusta alaposso La hpótss ula s acpta, a u vl d sgfcacó sí ( ) k k k p ; k p stadístco tórco stadístco cotrast k Númro trvalos p Númro parámtros a stmar La dstrbucó d Posso s caractrza porqu sólo dpd dl parámtro qu cocd co la mda. Sa la varabl alatora X = Númro d accdts mortals por día y Númro d días x x P(xk) p , , , , , ,0 = x 756 x,4 540,4 P(x k) k! k,4 k 0,,5 Las probabldads co qu llga las partículas k 0,,5 s obt k,4,4 susttuydo los valors d k P(x k) o las tablas co k!,4 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 0

21 Para vrfcar s l ajust d los datos a ua dstrbucó d Posso s acpta o o, mdat ua, hay qu calcular las frcucas spradas (. p ) x Fr 3 33, , , , ,3 9 5, ,466 33, ,345 86, ,47 30, ,8 60, ,0395, ,0 5,97 Dado lugar a ua tabla d cotgca x 6, o tdo qu agrupar columas cotguas al o aparcr frcucas spradas mor qu cco. Los grados d lbrtad so cuatro: k p64 Estadístco d cotrast: 6 6 ( ) ,87 33,6 86,43 30,5 60,9,3 5,97 Estadístco tórco: 0,05 ; 4 9,488 El stadístco d cotrast (bodad d ajust) s mor qu l stadístco tórco (9,488), por lo qu s acpta la hpótss ula, s dcr, co u vl d sgfcacó 0,05, los accdts mortals d tráfco daros la carrtra s ajusta a ua dstrbucó d Posso. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado

22 CONTRASTE NO PARAMÉTRICO DE BONDAD DE AJUSTE A UNA NORMAL CON PARÁMETROS DESCONOCIDOS. Para ua mustra alatora smpl d 350 días, l úmro d urgcas tratadas daramt u hosptal A quda rfljado la sgut tabla: Nº urgcas Total días Nº días Cotrastar, co u vl d sgfcacó dl 5%, s la dstrbucó dl úmro d urgcas tratadas daramt l hosptal A s ajusta a ua dstrbucó ormal. Solucó: Para ajustar los datos obtdos a ua dstrbucó ormal N(, ) d parámtros dscoocdos, s csta stmar los dos parámtros rcurrdo a los stmadors máxmo vrosímls: ( ˆ x, ˆ x ), dod la varabl alatora X = Númro d urgcas daras. S stablc la hpótss ula: H 0 : La dstrbucó mpírca s ajusta alaormal S acpta la hpótss ula, a u vl d sgfcacó sí ( ) k k k p ; k p stadístco tórco stadístco cotrast k Númro trvalos p Númro parámtros a stmar S obt la mda y la dsvacó típca: Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado

23 Itrvalos x x x 0 5, , ,5 3656,5 0 5, , ,5 9093,75 0 5, , , = 350 x = 5075 x ,5 = = x (x x) x. x x 4,5 (x) 36,7 x 6, S procd al ajust d ua dstrbucó ormal N(4,5; 6,06), hallado las probabldads d cada uo d los trvalos: Itrvalos p p. ( ) ( ) / ,0498 7,43 6,6 0, ,74 59,99 5, 0, ,303 05,8 33,76 0, ,867 00,35 8,6 0, ,396 48,86 4,, ,0366,8 7,9 0, ( ) 0 4,5 x 4,5 54,5 P(0 x 5) P P(,39 z,57) 6,06 6,06 6,06 P(,57 z,39) P(z,57) P(z,39) 0,058 0,0084 0, ,5 x 4,5 0 4,5 P(5 x 0) P P(,57z0,74) 6,06 6,06 6,06 P(0,74 z,57) P(z 0,74) P(z,57) 0,96 0,058 0,74 4,57 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 3

24 0 4,5 x 4,5 5 4,5 P(0 x 5) P P( 0,74 z 0,08) 6,06 6,06 6,06 P(0,08 z 0,74) P(z 0,74) P(z 0,08) 0,468 0,96 0, ,5 x 4,5 0 4,5 P(5 x 0) P P(0,08 z 0,9) 6,06 6,06 6,06 P(z 0,08) P(z 0,9) 0,468 0,84 0, ,5 x 4,5 5 4,5 P(0 x 5) P P( 0,9 z,73) 6,06 6,06 6,06 P(z 0,9) P(z,73) 0,84 0,048 0,396 54,5 x 4,5 30 4,5 P(5 x 30) P P(,73z,56) 6,06 6,06 6,06 P(z,73) P(z,56) 0,048 0,005 0,0366 S calcula las frcucas spradas, multplcado las probabldads por l úmro total d datos p. E l stadístco d cotrast, l úmro d grados d lbrtad s 0 0 k p ( trvalos) ( parámtros a stmar) 6 3, co lo cual, 6 ( ) 3 4,57 Por otra part, l stadístco tórco 0,05 ; 3 7,85 Sdo 3 4,57 0,05 ; 3 7,85, s acpta la hpótss ula a u vl d sgfcacó dl 5%. E coscuca, la varabl alatora úmro d urgcas l hosptal A sgu ua dstrbucó N(4,5; 6,06). Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 4

25 La tabla rflja l úmro d accdts mortals d tráfco qu s produc ua carrtra a lo largo d u príodo d tmpo. Accdts mortals por día Númro d días S ajusta los datos a ua dstrbucó d Posso?. Utlzar u vl d sgfcacó 0,05 Solucó: Hpótss ula H 0 : La dstrbucó mpírca s ajusta alaposso La hpótss ula s acpta, a u vl d sgfcacó sí ( ) k k k p ; k p stadístco cotrast stadístco tórco k Númro trvalos p Númro parámtros a stmar La dstrbucó d Posso s caractrza porqu sólo dpd dl parámtro qu cocd co la mda. Sa la varabl alatora X = Númro d accdts mortals por día y Númro d días x x P(xk) p , , , , , ,0 = x 756 x,4 540,4 P(x k) k! k,4 k 0,,5 Las probabldads co qu llga las partículas k 0,,5 s obt k,4,4 susttuydo los valors d k P(x k) o las tablas co k!,4 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 5

26 Para vrfcar s l ajust d los datos a ua dstrbucó d Posso s acpta o o, mdat ua, hay qu calcular las frcucas spradas (. p ) x Fr 3 33, , , , ,3 9 5, ,466 33, ,345 86, ,47 30, ,8 60, ,0395, ,0 5,97 Dado lugar a ua tabla d cotgca x 6, o tdo qu agrupar columas cotguas al o aparcr frcucas spradas mor qu cco. Los grados d lbrtad so cuatro: k p64 El stadístco d cotrast: 6 6 ( ) ,87 33,6 86,43 30,5 60,9,3 5,97 El stadístco tórco: 0,05 ; 4 9,488 El stadístco d cotrast (bodad d ajust) s mor qu l stadístco tórco (9,488), por lo qu s acpta la hpótss ula, s dcr, co u vl d sgfcacó 0,05, los accdts mortals d tráfco la carrtra s ajusta a ua dstrbucó d Posso. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 6

27 CONTRASTE DE HOMOGENEIDAD Para coocr la opó d los cudadaos sobr la actuacó dl alcald d ua dtrmada cudad, s ralza ua custa a 404 prsoas, cuyos rsultados s rcog la sgut tabla: Dsacurdo D acurdo No cotsta Mujrs Varos Cotrastar, co u vl d sgfcacó dl 5%, qu o xst dfrcas d opó tr hombrs y mujrs at la actuacó dl alcald. Solucó: S trata d u cotrast d homogdad l qu s dsa comprobar s las mustras procd d poblacos dsttas. S t dos mustras clasfcadas trs vls, dod s dsa coocr s los hombrs y mujrs procd d la msma poblacó, s dcr, s s comporta d mara smjat rspcto a la opó d la actuacó dl alcald. Hpótss ula: H 0 : No xst dfrca tr hombrs y mujrs rspcto a la opó. Rgó d rchazo hpótss ula: Rrchazo (k).(m) ; (k).(m) O b s acpta H 0 cuado (k ). (m ) ; (k ).(m ) S forma ua tabla d cotgca x 3: E cada frcuca obsrvada ( ),, k ; j,, m s t ua frcuca tórca o sprada qu s x j calcula mdat la xprsó: p., dod p so las probabldads d qu u lmto tomado d la mustra prst las modaldads x d X y j d Y. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 7

28 Dsacurdo D acurdo No cotsta Mujrs 99,5 68, , Varos 0, 5 7,03 3 3, = 404 j ,5 68, , ,5 7,03 3 3, Estadístco d cotrast: j ( ) 3 ( ).(3 ) j 3 ( ) (84 99,5) (78 68,96) (37 30,53) 99,5 68,96 30,53 (8 0,5) (6 7,03) (5 3,46) 9,76 0,5 7,03 3,46 sgu ua co dos grados d lbrtad s s crta la hpótss ula co 5, j. E caso cotraro sría csaro agrupar flas o columas cotguas. El stadístco tórco 0,05 ; 5,99 Como 9, 76 0,05 ; 5,99 s cumpl la rgó d rchazo, cocluydo qu las mustras o so homogéas, s dcr, o procd d la msma poblacó, hombrs y mujrs o opa lo msmo. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 8

29 CONTRASTE DE INDEPENDENCIA Novctos ccuta scolars s clasfcaro d acurdo a sus hábtos almtcos y a su cofct tlctual: Cofct Itlctual < Total Nutrcó bua Nutrcó pobr Total A u vl d sgfcacó dl 0%, hay rlacó tr las dos varabls tabuladas? Solucó: S trata d u cotrast d dpdca tr l cofct tlctual y los hábtos almtcos. Hpótss ula: H: 0 Las dos varabls aalzadas so dpdts Estadístco d cotrast: ( ) k m k m j = j= E la tabla d cotgca x 4 para cada frcuca obsrvada ( ),, k ; j,, m s t ua frcuca tórca o sprada qu s x j calcula mdat la xprsó: Cofct Itlctual < Nutrcó bua 5,46 33,5 3 73,8 4 09, Nutrcó pobr 3,53,74 3 6, 4 9, j , 46 33,5 3 73,8 4 09, Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 9

30 ,53,74 3 6, 4 9, ,46 33,5 73,8 09,47 3,53,74 j ,75 6, 9,5 O b, 3 4 j ( ) (45 5,46) (8 33,5) (77 73,8) (9 09,47) 5,46 33,5 73,8 09,47 (3 3,53) (7,74) (3 6,) (0 9,5) 9,75 3,53,74 6, 9,5 sgu ua co trs grados d lbrtad s s crta la ( ). (4 ) 3 hpótss ula co 5, j. E caso cotraro sría csaro agrupar flas o columas cotguas. Estadístco tórco 0,0 ;3 6,5 Como 3 9,75 0,0 ; 3 6,5 s rchaza la hpótss ula, habdo por tato dpdca stadístca tr l cofct tlctual y la almtacó. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 30

31 E u studo sobr la opó d fumar lugars públcos s ralza ua custa a 350 prsoas, obtdo los sguts rsultados: Opó Muy Muy a E cotra A Favor cotra favor Fumador No Fumador j Co u vl d sgfcacó d 0,05 s dsa coocr s xst dfrca d opó tr fumadors y o fumadors. Solucó: S stablc las hpótss: H 0: La opó s dpdt d su codcó d fumador o o fumador H : La opó o s dpdt d su codcó d fumador o o fumador S acpta Fumador No Fumador j H o sí: stadístco obsrvado stadístco tórco ( ) 4 c,().(4) 0,05,3 j Muy cotra E cotra Opó A Favor Muy a favor Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 3

32 4 4 ( ) c j j , Estadístco tórco: 0,05,3 7,85 Sdo c 33,46 0,05,3 7,85 s rchaza la hpótss ula, s acpta por tato la hpótss altratva, puddo afrmar co ua sgfcacó 0,05 qu la opó sobr l tabaco dpd d sí s o o fumador. Cofct d cotgca: 33,46 C 0,55 33, c c El grado d dpdca s dl 5,5% por lo qu la asocacó tr las varabls s alta. E las tablas d cotgca x k k l valor máxmo d C s Cmáxmo k k Cofct Ph: c 33,46 0, El stadístco Ph md l grado d asocacó tr las varabls. Cofct V d Cramr: c c 33,46 VCramr 0,68.mí(k,m) 350 E las tablas d cotgca x s détco al stadístco Ph, prsta l problma d substmar l grado d asocacó tr las varabls. Tst G d la razó d vrosmltud: G l k m j Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 3

33 S acpta la hpótss ula H o sí: G l, ( ). ( 4 ) 4 j Fumador No Fumador j Muy cotra 60 8 g 45,7 0 4 g 4,3 E cotra 50 3 g, g 4, Opó A Favor g, g 8, 3 Muy a favor g 4, g 4, g 60l 45,7 g 50l,3 g3 0 l,7 g4 0 l 4, g 0 l 4,3 g 30 l 4, g3 70 l 8, g4 00 l 4, ,7,3,74,84,34,8,4,6 45,475 4 G l j El tst G da la razó d vrosmltud s ua Pruba d hpótss d la Chcuadrado qu prsta mjors rsultados qu l Tst d la Ch cuadrado d Parso. Cofct Lambda (λ) d Goodma y Kruskal, coocdo també como cofct d Goodma Prdccó, s basa la rduccó proporcoal dl rror la prdccó la moda, d s dcr l úmro d acrtos qu proporcoa l coocr la dstrbucó dvdo por l úmro d rrors s coocrla. MY Frcuca modal global my MY YX my Suma d frcucas modals M Y Númro total d casos Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 33

34 També, E E E E M y E m y Valors Lambda (λ) próxmos a 0 mplca baja asocacó y valors próxmos a dota furt asocacó. Dos varabls so dpdts cuado λ = 0. S mbargo λ = 0 o mplca dpdca stadístca. Opó Muy Muy a E cotra A Favor cotra favor Fumador No Fumador j my MY 80 0 Y M 0 YX 0,5 my M Y E y E E M YX 0,5 E 40 E m y mx MX 60 0 X M 0 XY 0,08 mx M E X E E M XY 0,08 E 40 E m X U Fumador qu stuvra Muy cotra d fumar lugars públcos acrtaría 60 vcs d 70, s dcr fallaría 0 ocasos. U fumador qu stuvra cotra tdría rrors. X Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 34

35 Cofct Tau d Goodma y Kruskal: Al gual qu l cofct Lambda (λ) s u cofct asmétrco, auqu a dfrca dl Lambda part d los rrors comtdos al asgar alatoramt los casos a las catgorías d la varabl dpdt. E E E dod E ( ) k y E m k ( j ) j j Para coocr los rrors s coocr la dstrbucó d la varabl dpdt: S supo qu cada catgoría s clasfcara rróamt por azar u úmro d casos, qu cada catgoría s gual al úmro d casos qu o prtc a la msma. k úmro total d casos ( ) E kúmro d catgorías d la varabl frcuca d la catgoría ésma Opó Muy Muy a E cotra A Favor cotra favor Fumador No Fumador j E la catgoría d Fumadors d 40 d u total d 350 s comtría rrors. Ittado dsgar al azar los 40 casos d Fumadors s ( ) comtría u rror promdo d: x x E la catgoría d No Fumadors d 0 d u total d 350 s comtría rrors. Ittado dsgar al azar los 0 casos d No Fumadors s ( ) comtría u rror promdo d: x x Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 35

36 (350 ) E Para coocr los rrors coocdo la dstrbucó d la varabl dpdt: j E m k ( j ) j j frcuca d cada cldlla la catgoría ésma varabl dpdt m úmro d catgorías d la varabl dpdt total parcal d las catgoras d la varabl dpdt Catgoría co la opó Muy cotra: ( ) (70 60) 60 Fumadors: 8,57 70 ( ) (70 0) 0 No Fumadors: 8,57 70 Errors la catgoría E 8,578,577,4 Catgoría co la opó E cotra: Fumadors: No Fumadors: ( ) (80 50) 50 8,75 80 ( ) (80 30) 30 8,75 80 Errors la catgoría E 8,75 8,75 37,5 Catgoría co la opó A favor: Fumadors: No Fumadors: ( 3 3) 3 (90 0) 0 5, ( 3 3) 3 (90 70) 70 5, Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 36

37 Errors la catgoría E3 5,56 5,56 3, Catgoría co la opó Muy a favor: ( 4 4) 4 (0 0) 0 Fumadors: 9, ( 4 4) 4 (0 00) 00 No Fumadors: 9, Errors la catgoría E4 9,099,098,8 4 ( j ) E 7,4 37,5 3, 8,8 03,94 j j E E 6803,94 E 68 0,38 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 37

38 E l gráfco s prsta la valuacó dl stado gral d salud d ua mustra d prsoas adultas mayors, sgú sa su pso ormal o sobrpso. Aalzar la xstca d ua rlacó sgfcatva tr l pso y l stado gral d salud l adulto mayor, co u vl d sgfcacó dl 5%, Solucó: S trata d dos varabls dcotómcas co datos d frcuca, pudédos aplcar ua pruba d cotrast d asocacó co la Chcuadrado. La hpótss ula H : El stado d salud y l pso so dpdts 0 Llvado la formacó a ua tabla d cotgca d Estado d Salud Pso Normal Sobrpso Buo 8 0 9,4 0,59 0 Malo ,59 7, j x La frcuca obsrvada 4 s mor qu lo acosjabl cada clda ( 5), lo qu podría hacr psar ua stabldad dl cálculo. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 38

39 Como la frcuca sprada 6,59, todas las cldas cumpl co l mímo acosjabl d 5 su valor sprado. E la práctca s acpta hasta u 0% d las cldas qu o cumpl co l rqusto d qu la frcuca sprada sa 5 S calcula los valors d corrspodts a las dos obsrvacos, x j sdo la frcuca sprada , ,59 34 Estadístco d cotrast: j , , (). () 34 3,65 9, 4 0,59 6,59 7, 4 Estadístco tórco: 0,05, 3,84 Como 3,65 3,84 0,05, s acpta la hpótss ula, cocluydo qu l stado gral d salud dl adulto mayor o stá asocado a su pso. Advértas qu como la mustra 40 s hac acosjabl l uso d la Ch cuadrado co l factor d corrccó d cotudad d Yats: Factor corrccó Para ua tabla d cotgca d 0,5 0,5 x la corrccó d Yats:..... La corrccó o s válda cuado.. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 39

40 E gral, la corrccó d Yats s hac cuado l úmro d grados d lbrtad s. E st caso, 34 x0 8 x4 0 x4 x6 x8 34,5 Como,5 3,84 s acpta la hpótss ula. 0,05, La valdz dl cotrast també s pud hacr co l p valor ( p ): P,5 0,73 p p, 0,90 p 0,0 0,058,5,706 p p 0,90 0,0 0,058,706 0,0,5,706 ( 0,0) x (0,058,706) (0,90 0,0) x (,5,706) 0,73 Al sr p 0,73 0,05 s acpta la hpótss ula, afrmado qu l stado gral d salud dl adulto mayor s dpdt d su pso. Tst G d la razó d vrosmltud: G l j l 8l 4l 0l 3,344 9, 4 0,59 6,59 7,4 Cofct Ph: c 3,65 0,30 34 El stadístco Ph md l grado d asocacó tr las varabls. Cofct V d Cramr: c 3,65 3,65 VCramr 0,30.mí(k,m) 34.mí(,) 34 p E tablas d cotgca msmo valor. x l stadístco Ph y V d Cramr t l Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 40

41 Gamma d Goodma y Kruskal: C D 0 3 0,579 C D 0 3 Estado d Salud Pso Normal Sobrpso Buo 8 0 Malo j Pars Cocordats: C 0 0 Pars Dscordats: D 8 43 ( ) TX Parjas mpatadas X: j ( ) TY j j Parjas mpatadas Y:.mí(k, m).(c D)..(0 3) Tau C d Kdall: C 0,304 mí(k, m ). 34 Tau B d Kdall: B B x33 34 x C D ( ) ( ) T T X Y 0,30 Lambda d Goodma y Kruskal: (X,Y) (Estado Salud, Pso) M 0 Y my MY 0 Y YX 0,43 my 0 M M Frcuca modal global m Suma d frcucas modals Y Y Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 4

42 MX 8 mx MX 8 XY 0,50 mx 0 MX Tau d Goodma y Kruskal: E E 6,47 4,89 Pso dpdt: YX 0,096 E 6,47 E E ( ) (34 0)0 (34 4) ,47 ( j ) j j (6 ) (6 4)4 (8 8)8 (8 0)0 4, E E 6,94 5,3 Estado Salud dpdt: YX 0,096 E 6,94 E E ( ) j j j (34 6)6 (34 8) ,94 ( ) j (0 ) (0 8)8 (4 4)4 (4 0)0 5, Cofct d Icrtdumbr I(X) l l l 0, j j I(Y) l l l 0,69 j Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 4

43 I(XY) l l l l l j,39 Cofct smétrco: I(X) I(Y) I(XY) 0,677 0,69,39 I 0,07 I(X) I(Y) 0,677 0,69 Estado d salud como varabl dpdt: I(X) I(Y) I(XY) 0,677 0,69,39 IX/Y 0,073 I(X) 0,677 Pso como varabl dpdt: I(X) I(Y) I(XY) 0,677 0,69,39 IY/X 0,07 I(Y) 0,69 El cofct o ídc d Kappa s ua mdda d cocordaca propusta por Coh 960, s basa comparar la cocordaca obsrvada u cojuto d datos, rspcto a lo qu podría ocurrr por pura casualdad. S pud calcular tablas d cualqur dmsó, l caso d tablas d x t alguas pculardads. X Y y y x x p0 p Ídc d Kappa: p p0 p x Dod p 0 s la proporcó d cocordaca obsrvada y p s la proporcó d cocordaca sprada por azar. Cuado s da la máxma cocordaca posbl. El valor 0dca qu la cocordaca obsrvada s prcsamt la qu s spra por pura casualdad. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 43

44 0 p 0, x6 4 x8 p x 0, p p 0,647 0,495 0 p 0,495 0,30 E l caso d más d dos valuadors, clasfcacos, métodos, tc., Josph L. Flss gralzó l método d Coh, dado lugar a la Kappa d Flss. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 44

45 E la tabla s rflja la dad d los mplados d ua mprsa y l grado d satsfaccó l trabajo, co u vl d sgfcacó dl 5%, cotrastar s l grado d satsfaccó l trabajo o dpd d la dad d los mplados. Edad Satsfaccó l trabajo A B C D E > Solucó: Varabls: X 'dad d los mplados' Y 'satsfaccó l trabajo' Hpótss ula H:'El 0 grado d satsfaccó l trabajo o dpd d la dad d los mplados' S acpta H: 0 ;( ).( ) ( ) c 3 5 j j S forma la tabla d cotgca 3 x 5 dod cada frcuca obsrvada ( ),,3 ; j,,5 t ua frcuca tórca o sprada caso d x j dpdca Satsfaccó l trabajo Edad A B C D E > 36 33,75 0, ,87 3 6,5 0 6,6 50 7, 3 4, , , , ,6 0 7, 34 39, , , (50) 95 (95) 55 (55) j Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 45

46 ,75,37 34, ,5 6,6 7, ,37 5, 44 5, ,5 6,6 7, ,37 4,94 40, Estadístco obsrvado: ( ) c j j ,75 6,5 4,37 6,5 39,37,37 6,6 5,44 6,6 4, , ,87 7, 5,9 7, 40,69 Estadístco tórco: 0,05 ; (3).(5) 0,05; 8 5,507 Como 8 43, 458 5,507 0,05 ; 8 s rchaza la hpótss ula d dpdca tr la dad y la satsfaccó l trabajo. E coscuca, la dad fluy sgfcatvamt la satsfaccó l trabajo. ESTADÍSTICOS VARIABLES NOMINALES: FUERZA DE LA RELACIÓN c 43,5 Cofct Ph: 0, El stadístco Ph md l grado d asocacó tr las varabls. Cofct V d Cramr: c 43,5 43,5 VCramr 0, 43. mí(k, m ) 400.mí(3, 5 ) 400. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 46

47 El stadístco V d Cramr s ua mdda smétrca qu cuatfca la rlacó tr dos o más varabls d la scala omal. Quzás s l stadístco más utlzado. U valor dl stadístco V d Cramr próxmo a 0 dca la falta d asocacó d las varabls, mtras qu próxmo a rflja mayor asocacó tr las varabls studo. Como VCramr 0,43 s dtcta ua rlacó modrada d las varabls. Cofct d cotgca: c 43,5 C 0,54 43,5 400 c El grado d dpdca s dl 5,4% por lo qu la asocacó tr las varabls s alta. Tst G d la razó d vrosmltud: S acpta la hpótss ula H 0 sí: G l k m j G l, ( 3 ). ( 5 ) 3 5 j Satsfaccó l trabajo Edad A B C D E > 36 j 33,75 g,6 0,37 g, ,87 3 g 3,56 3 6,5 g 9,65 0 6,6 g 5, , 3 g 30,59 3 4,37 3 g 3, ,44 g 0, ,9 g 5, ,5 g 6, ,6 g 3, , g 9, ,37 g 40, ,94 g 5, ,69 g 0, (50) (3,37) 95 (95) (,4) 55 (55) (47,93) (8,7) 3 5 G l.8,667 63,334 5,507 j 0,05;8 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 47

48 S rchaza la hpótss ula d dpdca tr la dad y la satsfaccó l trabajo, cocluydo qu la dad fluy sgfcatvamt la satsfaccó l trabajo. 0 g 0l,6 33,75 0 g 0 l 9,65 6,5 0 g3 0l 3,95 4,37 40 g4 40 l 6,85 6,5 70 g5 70l 40,8 39,37 0 g 0 l,33,37 0 g 0l 5,08 6,6 5 g3 5l 0,43 5,44 0 g4 0l 3,7 6,6 30 g5 30 l 5,54 4,94 60 g3 60 l 3,56 34,87 50 g3 50 l 30,59 7, 30 g33 30 l 5,4 5,9 0 g34 0l 9,98 7, 5 g35 5l 0,48 40,69 El tst G da la razó d vrosmltud s ua Pruba d hpótss qu prsta mjors rsultados qu l Tst d la Ch cuadrado d Parso. MEDIDAS DE ASOCIACIÓN DE VARIABLES ORDINALES Satsfaccó l trabajo Edad A B C D E > j Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 48

49 Pars Cocordats: C Pars Dscordats: D La Gamma d Goodma y Kruskal md la furza d asocacó d los datos cuado las varabls s md l vl ordal. 0 dca la ausca d asocacó. C D C D C D ,66 C D Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 49

50 El cofct d rago d Kdall ( C) a mudo s utlza como u stadístco cotrol ua pruba d hpótss stadístca para stablcr s dos varabls pud cosdrars stadístcamt dpdts. Es ua pruba o paramétrca, ya qu o s basa suposcos sobr las dstrbucos d X o Y o la dstrbucó d (X, Y). Bajo la hpótss ula d dpdca d X Y, la dstrbucó mustral d Tau C ( ) t u valor sprado d cro. C.mí(k, m).(c D) Para mustras pquñas: C mí(k, m ). E mustras grads, s utlza ua aproxmacó a N(0, ): C ( 5) 9( ).mí(k, m).(c D).mí(3, 5).( ).3.( 745) C 0,54 mí(k, m ). mí(3, 5 ) Parjas mpatadas X o Y: T X k ( ) T Y m j ( ) j j 3 ( ) TX j(j ) TY j El cofct Tau B d Kdall ( B) s ua mdda o paramétrca d la corrlacó para varabls ordals o d ragos qu t cosdracó los mpats. El sgo dl cofct dca la drccó d la rlacó y su valor absoluto dca la furza d la rlacó. Varía tr y sgú sa l stdo d la asocacó tr las varabls. Los valors mayors dca qu la rlacó s más strcha. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 50

51 Cuado la tabla o s cuadrada st cofct o pud llgar a valr dado qu xstrá más pars mpatados la varabl qu tga más catgorías. B B C D ( ) ( ) T T X Y ,477 El stadístco D d Somrs stablc s las varabls ordals so dpdts o dpdts tr sí. El cofct D d Somrs varía tr y, s ua mdda asmétrca como l cofct Lambda, los dos valors qu s pud obtr d la tabla dpd d qu s tom como dpdt la varabl X o Y. Valors dl stadístco D crcaos a 0 dca qu o hay gua o muy poca asocacó tr las varabls. D d Somrs: D Númro d pars: X C D ( ) TX D Y C D ( ) TY ( ) 400(400 ) C D DX 0,55 ( ) T X C D DY 0,43 ( ) T X Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 5

52 MEDIDAS BASADAS EN EL ERROR PROPORCIONAL Cofct Lambda (λ) d Goodma y Kruskal, coocdo també como cofct d Goodma Prdccó, s basa la rduccó proporcoal dl rror la prdccó la moda. Estadístco utlzado para dtrmar s usar los rsultados d ua d las varabls pud utlzars para prdcr los rsultados d la otra varabl. Valors Lambda (λ) próxmos a 0 mplca baja asocacó y valors próxmos a dota furt asocacó. Dos varabls so dpdts t λ = 0. S mbargo λ = 0 o mplca dpdca stadístca. Satsfaccó l trabajo Edad A B C D E > j MY Frcuca modal global my MY YX my Suma d frcucas modals M Y Númro total d casos E També, E E E M y E m y MY 55 my MY YX 0,388 my MY Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 5

53 MX 05 mx MX XY 0,86 mx MX Tau d Goodma y Kruskal ( ) cosdra todas las catgorías d rspusta y o úcamt la qu cotmpla más casos tr dos varabls omals (varabls cualtatvas). El valor d Tau d Goodma y Kruskal ( ) s trprta como l porctaj qu mjora l rror al clur la varabl dpdt la prdccó d los valors d la varabl dpdt. S parc a la Lambda (λ), sdo su cálculo más compljo. Lo msmo qu Lambda adopta valors tr 0 y, dód 0 s dpdca y l total d dpdca. E E E Errors s coocr la dstrbucó d la varabl dpdt: k úmro total d casos ( ) E k úmro d catgorías d la varabl frcuca d la catgoría ésma Errors coocdo la dstrbucó d la varabl dpdt: j E m k ( j ) j j frcuca d cada cldlla la catgoría ésma varabl dpdt m úmro d catgorías d la varabl dpdt total parcal d las catgoras d la varabl dpdt Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 53

54 Satsfaccó l trabajo Edad A B C D E > j E ( ) 3 (400 50)50 (400 95)95 (400 55)55 6, E 5 3 j ( ) j j (90 0)0 (90 0)0 (90 60) (70 0)0 (70 0)0 (70 50) (65 0)0 (65 5)5 (65 30) (70 40)40 (70 0)0 (70 0) (05 70)70 (05 30)30 (05 5) ,93 E E 6,5 06,93 E 6,5 0,08 dad varabl dpdt Cuado la varabl dpdt s la satsfaccó l trabajo: E ( ) 5 j j j (400 90)90 (400 70)70 (400 65)65 (400 70)70 (400 05)05 37, Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 54

55 E ( ) 3 5 j (50 0)0 (50 0)0 (50 0)0 (50 40)40 (50 70) (95 0)0 (95 0)0 (95 5)5 (95 0)0 (95 30) (55 60)60 (55 50)50 (55 30)30 (55 0)0 (55 5) ,38 E E 37,5 85,38 E 37,5 0,00 satsfaccó varabl dpdt El Cofct d Icrtdumbr s ua mdda d asocacó basada la rduccó proporcoal dl rror. Es ua mdda smjat a Lambda cuato a su cocpcó d la asocacó d las varabls, rlacó a la capacdad prdctva y la dsmucó dl rror d dcha prdccó. El cofct d crtdumbr (I) dpd d toda la dstrbucó y o sólo d los valors modals (caso d Lambda), varía tr 0 y, tomado l valor 0 l caso total d dpdca. Es más dfícl d trprtar qu Lambda. T vrsos asmétrcas (dpddo d cual d las dos varabls sa dpdt) y ua smétrca (dod o s dstgu tr varabl dpdt dpdt). La vrsó asmétrca s trprta como la proporcó d crtdumbr rducda al prdcr los valors d ua varabl a partr d los d valors d la otra varabl. La vrsó smétrca s trprta como la proporcó d crtdumbr rducda al prdcr los valors d cualqura d las dos varabls mdat la tabla d cotgca. S obt mdat la fórmula: I Y/X I(X) I(Y) I(XY) I(Y) Para obtr I X/Y basta co trcambar los papls d I(X) I(Y). Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 55

56 I(X) I(Y) I(XY) La vrsó smétrca: I I(X) I(Y) dod: k m k m j j I(X) l I(Y) l I(XY) l j j Satsfaccó l trabajo Edad A B C D E > 36 0,09 0 0, ,84 90 j 0,335 0,09 0 0, , ,305 0, , , ,95 4 0, , , ,305 0, , , , , , , l 0,368 l 0,34 3 l 0, I(X) l 0,368 0,34 0,367, l 0,335 l 0,305 3 l 0, l 0,305 5 l 0, j j I(Y) l 0,335 0,305 0,95 0,305 0,35,59 j l 0,09 l 0,50 3 l 0, l 0,09 l 0,09 3 l 0, Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 56

57 l 0,50 3 l 0,3 3 l 0, l 0,30 4 l 0,50 34 l 0, l 0,305 5 l 0,94 35 l 0, I(XY) l, 463 j Cofct d Icrtdumbr, Satsfaccó como varabl dpdt: I(X) I(Y) I(XY),076,59, 463 IY/X 0,8 I(Y),59 Cofct d Icrtdumbr, Edad como varabl dpdt: I(X) I(Y) I(XY),076,59, 463 IX/Y 0,90 I(X),076 Cofct d Icrtdumbr smétrco: I(X) I(Y) I(XY),076,59,463 I 0,53 I(X) I(Y),076,59 Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 57

58 H: Las varabls so dpdts 0 Ch cuadrado d Parso Prubas sgfcacó stadístca Razó d vrosm ltud Ch cuadrado H: La asocacó tr las varabls s ula (so dpdts) 0 Ph Cofct d Cotgca Estadístcos NomalsV d Cramr Varabls Cualtatvas Lambda Cofct d Icrtdumbr Q d Yul H: La asocacó tr las varabls s ula (so dpdts) 0 Estadístcos Ordals Varabls Cuattatvas Gamma d Goodma y Kruskal D d Somrs Tau B d Kdall Tau C d Kdall Rsgo rlatvo Aálogos a las mddas d asocacó, aplcabls a las varabls qu s computa fucó d acurdos dsacurdos o cocordacas dscrpacas Ídc d Cocordaca Prubas d Cocordaca Cofct Kappa d Coh Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 58

59 La tabla adjuta rflja u aálss d la obsdad 4 sujtos. Co u vl d sgfcacó d 0,05, s dsa aalzar s xst dfrcas la prvalca d obsdad tr hombrs y mujrs o s, por l cotraro, l porctaj d obsos o varía tr sxos. Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs 4 5 Hombrs 7 9 Total Solucó: El tst xacto d Fshr prmt aalzar s dos varabls dcotómcas stá asocadas cuado la mustra a studar s dmasado pquña y o cumpl las codcos csaras para qu la aplcacó dl tst d la Ch cuadrado sa dóa. Las codcos csaras para aplcar l tst d la Ch cuadrado xg qu al mos l 80% d los valors sprados d las cldas sa mayors qu 5. D st modo, ua tabla d cotgca d x srá csaro qu todas las cldas vrfqu sta codcó, s b la práctca sul prmtrs qu ua d llas tga frcucas spradas lgramt por dbajo d 5. S las dos varabls qu s stá aalzado so dcotómcas, y la frcuca sprada s mor qu 5 más d ua clda, o rsulta adcuado aplcar l tst d la, auqu sí l tst xacto d Fshr. El tst xacto d Fshr s basa valuar la probabldad asocada a cada ua d las tablas x qu s pud formar matdo los msmos totals d flas y columas qu los d la tabla obsrvada. Cada uo d stas probabldads s obt bajo la hpótss d dpdca d las dos varabls qu s stá aalzado. Probabldad asocada a los datos qu ha sdo obsrvados: (a b)! (c d)! (a c)! (b d)! p! a! b! c! d! Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 59

60 La fórmula gral d la probabldad dscrta dbrá calculars para todas las tablas d cotgca qu puda formars co los msmos totals d flas y columas d la tabla obsrvada. El valor d la p asocado al tst xacto d Fshr pud calculars sumado las probabldads d las tablas qu rsult mors o guals a la probabldad d la tabla qu ha sdo obsrvada. El cotrast blatral asum qu la hpótss altratva stablzca la dpdca tr las varabls dcotómcas, pro s spcfcar d atmao qué stdo s produc dchas dfrcas. Hpótss ula H: 0 El sxo y sr obso so dpdts Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs (a) 4 (b) 5 (a+ b) Hombrs 7 (c) (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 () (a b)! (c d)! (a c)! (b d)! 5! 9! 8! 6! p 0,0599!a!b!c!d! 4!!4!7!! Las sguts tablas mustra todas las posbls combacos d frcucas qu s pud obtr co los msmos totals d flas y columas: Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs 4 (a) (b) 5 (a+ b) Hombrs 4 (c) 5 (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 () p = 0,098 (a b)! (c d)! (a c)! (b d)! 5! 9! 8! 6! p 0,098!a!b!c!d! 4!4!!4!5! Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 60

61 Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs (a) 3 (b) 5 (a+ b) Hombrs 6 (c) 3 (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 () Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs 3 (a) (b) 5 (a+ b) Hombrs 5 (c) 4 (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 () p = 0,797 p = 0,496 (a b)! (c d)! (a c)! (b d)! 5! 9! 8! 6! p 0, 496!a!b!c!d! 4!3!!5!4! Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs 0 (a) 5 (b) 5 (a+ b) Hombrs 8 (c) (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 () Sxo Obsdad Sí No Total Mujrs 5 (a) 0 (b) 5 (a+ b) Hombrs 3 (c) 6 (d) 9 (c + d) Total 8 (a + c) 6 (b + d) 4 () p = 0,0030 p = 0,080 Sumado las probabldads d las tablas qu so mors o guals a la probabldad d la tabla obsrvada (p = 0,0599 ) s t: p = 0, , ,080 = 0,0909 Sdo p valor = 0,0909 > 0,05 s acpta la hpótss ula, cocluydo qu l sxo y l hcho d sr obso so dpdts, s dcr, o xst asocacó tr las varabls studo, co u vl d sgfcacó α =0,05 Otro método d calcular l p valor cosst sumar las probabldads asocadas a aqullas tablas qu sa más favorabls a la hpótss Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 6

62 altratva d los datos obsrvados. La tabla xtrma d los datos obsrvados s la qu o s obsrva gua mujr obsa, p = 0,0030 p = 0, ,0030 = 0,069 SPSS para l cómputo dl tst d Fshr, calcula l p valor corrspodt a u cotrast blatral (p = 0,0909) y l p valor asocado a u cotrast ulatral (p = 0,069). Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 6

63 Para aalzar la rprcusó qu t los dbats tlvsvos la tcó d voto, u qupo d vstgacó rcogó datos tr 40 dvduos ats y dspués dl dbat, rsultado la sgut tabla: Dspués dl dbat Ats dl dbat (caddatos) (caddatos) A B Total A B Total S dsa sabr s l dbat tlvsvo cambó la tcó d voto, co u vl d sgfcacó dl 5%. Solucó: S trata d ua mustra parada ua stuacó ats dspués, co lo qu s dóo u cotrast stadístco Ch cuadrado d McNmar. Dspués dl dbat Ats dl dbat (caddatos) (caddatos) A B Total A 46 (a) 50 (b) 96 (a+b) B 85 (c) 59 (d) 44 (c + d) Total 3 (a + c) 09 (b + d) 40 () Hpótss ula H: La tcó d voto s la msma ats y dspués dl dbat 0 E sta pruba para la sgfcacó d cambos solo trsa coocr las cldas qu prsta cambos (cldas b y c) y sdo (b c) l úmro d prsoas qu cambaro, d acurdo co la hpótss ula platada s b c spra qu casos camb ua drccó y b c casos a otra drccó. Estadístco d cotrast sí b c 0 S acpta H o sí b McNmar /, Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 63

64 Estadístco d cotrast sí b c 0: McNmar bc b c La aproxmacó mustral a la dstrbucó Ch cuadrado llga a sr muy bua s s ralza ua corrccó por cotudad, cosdrado qu s utlza ua dstrbucó cotua para aproxmar ua dstrbucó dscrta (bomal), por lo qu s ralza la corrccó d Yats. S acpta H o sí bc b c McNmar /, E st caso, b c Estadístco mustral: Estadístco tórco: McNmar 8, /, 0,05, 5,04 Como McNmar 8,563 5,04 0,05, s rchaza la hpótss ula, cocluydo qu la tcó d voto cambó sgfcatvamt dspués dl dbat, co u vl d sgfcacó dl 5%. Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 64

65 E ua mustra alatora d prsoas s aalza alguos hábtos d la vda, habdo rcogdo datos d las sguts varabls: X= Estado gral d salud: muy buo (3), buo (), rgular (), malo (0) X= Sxo: mujr (), hombr (0) X= 3 Nvl dl jrcco daro: tso (), modrado (), guo (0) Ralzadas las tablas d cotgca corrspodts, s calcularo los sguts stadístcos para cotrastar la asocacó: a) (X, X ) 8 b) (X, X 3) 4,5 c) (X, X ) 6, 3 Co la formacó facltada, a u vl d sgfcacó dl 5%, laborar u dagóstco para cada ua d las parjas d varabls. Solucó: Calculado los p valor ( p ) d cada stadístco s obt: a) H: 0 X X so dpdts E (X, X ) 8 l úmro d grados d lbrtad s (4 ) x( ) 3 P( 8). Itrpolado la tabla d la Ch cuadrado: p p,3 0,05 p 0,05 0,05 0,05 7,85 9,348 7,85 8 9,348 p 0,05 8 9,348 ( 0,05) x (7,85 9,348) (0,05 0,05) x (8 9,348) 0,0469 p Sdo p 0,0469 0,05 s rchaza la hpótss ula, cocluydo qu l stado gral d salud stá asocado al sxo. b) H: 0 X X 3 so dpdts E (X, X ) 4,5 l úmro d grados d lbrtad s ( ) x(3 ) 3 P( 4,5). Itrpolado la tabla d la Ch cuadrado: p p, 0,90 p 0,0 0,90 0,0 0, 4,605 0, 4,5 4,605 p 0,0 4,5 4,605 p Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 65

66 ( 0,0) x (0, 4,605) (0,90 0,0) x (4,5 4,605) 0,9 p Sdo p 0,9 0,05 s acpta la hpótss ula, cocluydo qu l sxo s dpdt dl vl dl jrcco daro. c) H: 0 X X 3 so dpdts E (X, X ) 6, l úmro d grados d lbrtad s (4 ) x(3 ) 6 3 P( 6,). Itrpolado la tabla d la Ch cuadrado: p p,6 0,90 p 0,0 0,90 0,0,04 0,645,04 6, 0,645 p 0,0 6,0,645 ( 0,0) x (,04 0,645) (0,90 0,0) x (6, 0,645) 0,530 p Sdo p 0,530 0,05 s acpta la hpótss ula, cocluydo qu l stado gral d salud s dpdt dl vl dl jrcco daro. p p Gstó Aroáutca: Estadístca Tórca Facultad Ccas Ecoómcas y Emprsarals Dpartamto d Ecoomía Aplcada Profsor: Satago d la Fut Frádz Estadístca Tórca: Aplcacos Ch-cuadrado 66