(Véase el Ejercicio 13 Beneficio de los bancos )

Transcripción

1 étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 /3 étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 /3 Tema 3. El modelo de regresó múltple. Hpótess báscas. El modelo. as pótess báscas. Estmacó de parámetros 3. Propedades de los estmadores 3. Cálculo de esperazas 3. Cálculo de varazas 4. Estmacó de la varaza 5. Predccó 5. Predccó del valor medo 5. Predccó para ua ueva observacó. Hpótess báscas.. El modelo El modelo de regresó leal múltple pretede medr el efecto de las varables más mportates (,,..., ) sobre la varable respuesta, represeta el efecto de las varables restates medate ua varable aleatora que llamaremos perturbacó del modelo: f (,,..., ) g(,..., p) Supodremos que e el rago de valores de terés, la fucó f admte ua apromacó leal, co lo que resulta el modelo de regresó leal múltple:... u (Véase el Eercco 3 Beefco de los bacos ) u étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 3/3 étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 4/3.. Hpótess báscas Supodremos que se quere eplcar los valores de ua varable aleatora a partr de u couto de varables matemátcas,,...,, que sobre los dvduos de de la muestra toma valores predetermados coocdos. a v.a. recbe el ombre de varable eplcada, edógea, respuesta o depedete. as varables,,..., recbe el ombre de varables eplcatvas, eógeas, regresores o depedetes. Admtremos que e cada dvduo de la muestra la relacó etre las varables es:... u, para,,...,, dode es el valor de la respuesta e el dvduo -ésmo, mde el efecto margal que produce u aumeto utaro e cuado el resto de varables permaece costates (,,...,), u mde el efecto que produce sobre la respuesta las varables que o está cludas e el modelo. Es el térmo de error o perturbacó. Supodremos que la perturbacó aleatora u verfca las pótess abtuales: () Su esperaza es cero: E ( u ) () Su varaza es costate: var( u ) (3) So depedetes dos a dos: cov( u, u ), E( uu ), (4) a dstrbucó de u es ormal. S llamamos U (u, u,..., u ) al vector columa de dmesó, estas codcoes se resume e: U N (, I) es decr, el vector U tee ua le ormal multvarate de dmesó, co vector de medas E ( U ) ( E( u), E( u ),..., E( u ))' (,,...,)' matrz de covarazas var( U) O O

2 étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 5/3 étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 6/3 Además de estas codcoes sobre la perturbacó aleatora, es ecesaro añadr dos pótess adcoales para poder estmar el modelo s ambgüedad: (5) El tamaño muestral debe ser maor que el úmero de parámetros a estmar, >, (6) as varables eplcatvas,,..., debe ser lealmete depedetes, es decr, el rago de la matrz X debe ser rag(x). as pótess respecto a la perturbacó aleatora puede escrbrse e térmos de la varable respuesta de la forma sguete: (') Para cada couto fo de valores de las, la dstrbucó de tee meda: E )... ( (') a varaza de es costate o depede de los valores de las : var( ) (3') as so depedetes dos a dos. (4') a varable respuesta tee le ormal. étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 7/3 étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 8/3. Estmacó de los parámetros Puesto que, por pótess, la dstrbucó de la varable respuesta es ormal, el método de estmacó por máma verosmltud cocde co el método de estmacó por mímos cuadrados. Así, la fucó a mmzar es: ( ) e dode... so los valores austados, para,,...,, e so los resduos del modelo, para,,...,. Por tato, la fucó a mmzar es: (... ) Buscamos,,..., tales que sea mímo. Para ello debemos dervar parcalmete la fucó respecto de los parámetros,,...,. Dervado parcalmete respecto de,,..., obteemos ecuacoes ormales: (... )( ) para,..., : (... )( ) e e as ecuacoes ormales da lugar a u sstema de ecuacoes co cógtas. Implcacoes de las ecuacoes ormales: a) los resduos debe teer meda cero, b) los resduos o debe estar relacoados co gua de las varables eplcatvas. Esto garatza que e la descomposcó básca ŷ e toda la formacó de la relacó etre la varable respuesta las varables eplcatvas está recogda e ŷ, metras que el resduo e cotee la parte de la respuesta que o está relacoada co las. El sstema de ecuacoes co cógtas puede escrbrse como:

3 étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 9/ étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 /3 matrcalmete: { { X Es decr: X X X Así, la estmacó del vector de parámetros es: X' (X'X) a codcó (6), rag(x), mplca que rag(x X), por tato, que este la matrz versa de X X. étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 /3 Plateameto del modelo: ), (, I U U X N Hperplao de regresó: H H X' X(X'X) X' (X'X) X 443, a matrz H recbe el ombre de proector ortogoal (o at matr) es smétrca (H H) e dempotete (H H). Resduos: H) (I H e a matrz (I-H) se deoma proector ortogoal complemetaro. Observacó: El proector ortogoal I-H defe u espaco ortogoal al defdo por el proector H. Esto mplca que ' e, puesto que Ŷ e perteece a dos espacos dsttos ortogoales. étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 /3 Eercco 4. (Cosumo de 8 provcas españolas) El sguete cuadro preseta tres dcadores de cosumo e 8 provcas españolas: u dcador global de cosumo (), u dcador del úmero de automóvles ( ) u dcador del úmero de teléfoos ( ). Provca Idcador de Cosumo () Automóvles cada ab. ( ) Teléfoos cada ab.( ) Ávla Paleca Segova Burgos Sora 89 8 Valladold ogroño Satader 69 a) Costrur u modelo eplcatvo que relacoe el dcador global co estos dos dcadores de cosumo. b) Qué efecto produce sobre el cosumo u aumeto de ua udad e el úmero de automóvles por cada abtates? c) Qué efecto produce sobre el cosumo u aumeto de ua udad e el úmero de teléfoos por cada abtates?

4 étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 3/3 étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 4/3 as matrces de datos so: X X'X X' X' X X' étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 5/3 étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 6/3 a versa de X X es: ( X'X) la estmacó de los parámetros es: (X'X) X' El perplao de regresó estmado es: ŷ Propedades de los estmadores de los parámetros a) tee le ormal al ser fucó leal de v.a. ormales. b) es u estmador sesgado de, c) a varaza de es: var( ) q, sedo q el( ) - ésmo elemeto de dag(( X' X) ) Estas propedades se resume e: N(, q ), para,,...,. Observacó: a) se demuestra vedo que el estmador mímo-cuadrátco se a obtedo como fucó leal de las (que teía le ormal). Es decr: (X'X) X'.

5 étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 7/3 étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 8/3 3. Cálculo de esperazas Recordemos que el modelo es: X U, U N (, I) A partr de la defcó del estmador mímo-cuadrátco, teemos que: (X'X) X' (X'X) X'(X U) (X'X) X'X (X'X) X' U CU I C costate tomado esperazas: E( ) E ( CU ) CE U 3 ( ) 3. Cálculo de varazas a matrz de varazas-covarazas de los estmadores será ua matrz ()(), smétrca, e cua dagoal estará las varazas de cada (,,,) fuera de la dagoal estará las covarazas etre l. l, para Esta matrz se defe como: var( ) E(( E())( E())' ). Teedo e cueta que E () que CU, dode C (X'X) X', susttuedo e la defcó, se tee que: var( ) E( CUU'C' ) CE( UU') C' CC' (X'X) X'X(X'X) (X'X) 443 I étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 9/3 S llamamos q (,,,,) a los elemetos de la matrz (X X) - : q q q q q q ( X' X) co q q q q q etoces: var( ) q, para,,...,, cov(, ) q, para, l,,...,, co l. l l Puesto que, e geeral, será descoocda, e su lugar utlzaremos la varaza resdual. Etoces: sr q será u estmador de la var( ) q Observacó: E geeral, la matrz X X o será dagoal, por lo que su versa tampoco lo será. Esto mplca que los estmadores o será depedetes, pues sus covarazas o será ulas. Solamete será depedetes s X X es ua matrz dagoal, lo que requere que las varables eplcatvas tega meda cero covarazas ulas. étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 /3 4. Estmacó de la varaza El estmador mámo-verosíml de la varaza de la perturbacó aleatora es la varaza resdual: atrcalmete, s e es el vector columa de dmesó que cotee los resduos, etoces: s e'e ( )'( ) ( X)'( X) R (' 'X 'X' 'X'X) -- { sr e -- (' 'X 'X' 'X(X'X) X'X) -- (' 'X') -- Observacó: como e modelos aterores, se puede demostrar que --χ s R e

6 étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 /3 a esperaza varaza del estmador sr so: 4 E( sr ), var( sr ). Éstas se deduce a partr de la esperaza varaza de la le Gamma, teedo e cueta que: χ Gamma, E( χ ), var( χ ). étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 /3 Eercco 5. Co los datos del Eercco 4 (cosumo de 8 provcas españolas) calcular la varaza resdual ua estmacó de las varazas covarazas etre los coefcetes. Del Eercco 4 sabemos que: X' 65 ( 64,78,83,88,89,99,, )' Calculamos: ( ) 634, ' 64,78,..., ' 'X' ( ) la varaza resdual es: s R e'e (' 'X' ) étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 3/3 étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 4/3 5. Predccó Falmete, la matrz de varazas-covarazas de es: var() s R ( X'X) (la versa de X X se a obtedo e el Eercco 4) as desvacoes típcas de los coefcetes so las raíces cuadradas de los térmos dagoales. U modelo de regresó múltple permte: ) Estmar las medas codcoadas: Estmar las medas de las dstrbucoes de para cada valor de, ) Realzar proóstcos: Prever futuros valores de la varable respuesta. Tato la estmacó de la meda como la predccó de se obtee susttuedo e la ecuacó del perplao de regresó. Por tato, sus valores umércos so détcos. Pero la precsó de estas dos estmacoes es dstta, por tato, los tervalos de cofaza será dsttos.

7 étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 5/3 5.. Estmacó de las medas codcoadas odelo: X U, U N (, I) E(/), El uevo parámetro que se quere estmar es la meda de codcoada a que las varables eplcattvas tome u valor cocreto (,,,, ), es decr: E(/ ) m El estmador putual de m es: ', que tee le ormal uvarate, al ser combacó leal de las compoetes de u vector ormal multvarate. Proposcó: ' es u estmador sesgado de m, cua varaza es var( ) v, dode v '(X'X) (Demostracó) étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 6/3 Observacoes: v '(X'X) es el elemeto -ésmo de la dagoal del proector H. Puede demostrarse que (apédce, Peña II): ( v '(X'X) ), 4 )'S 44( dst. aalaobs dode ' (,,..., ), de maera que ' (, '), es el vector de medas de las varables eplcatvas S es su matrz de covarazas. v es ua medda de dstaca del puto al cetro de gravedad. Además, S v var( ) S v > var( ) > Cuáto más aleado esté de, maor será la varaza var( ), por tato, meor será la precsó de la estmacó. Se defe / v como el º equvalete de observacoes para estmar m. Utlzado esta catdad, var( ). étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 7/3 Itervalo de cofaza para m Utlzaremos la le de probabldad de su estmador putual '. Caso : coocda, m Nm, N(,) Caso : descoocda, m t sr E geeral, se estará e la pótess del Caso, co lo que el I.C. para m al (-α)% será: I. C.( m ) m t sr α dode t -α/ es el percetl (-α/)% de la le t de Studet co -- gr. lbertad v '(X'X) étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 8/3 5. Predccó de ua ueva observacó (proóstco) Se quere prever el valor futuro de la varable respuesta cuado. Por tato, se tee ua ueva v.a. u, dode u N(, ) es depedete de u, u,, u. a predccó o proóstco de la varable respuesta se obtee susttuedo e la ecuacó del perplao de regresó: ' pero, s se quere u tervalo de predccó? El tervalo de predccó o de proóstco es u tervalo de valores probables para la varable aleatora. al (-α)% es m t sr α dode t -α/ es el percetl (-α/)% de la le t de Studet co -- gr. lbertad v '(X'X)

8 étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 9/3 étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 3/3 Cómo se deduce este tervalo? Se cosdera la varable dfereca, es decr, el resduo ormal al ser combacó leal de ormales. e, que tee le Se obtee su esperaza varaza: E( ) E( ' u ' ) { ' { ' m m var( ) var( ) var( ) Observacó: a varaza se obtee como suma de varazas puesto que depedetes al serlo u de u, u,, u., so S es descoocda, etoces se susttue por su estmador, se tee que: t sr Puesto que esta será la stuacó abtual, el tervalo de predccó para la respuesta cocreta es: m t sr α dode v '(X'X) Por tato, se tee que: N, sempre que sea coocda. N(,) étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 3/3 Etrapolacó oculta predccó E la estmacó de la respuesta meda o la predccó de uevas respuestas e u puto cocreto, debemos ser etremadamete cautos co la etrapolacó. S sólo se tee e cueta el producto cartesao, es fácl cosderar la predccó para u puto que puede estar fuera de la ube de putos co la que se a calculado el perplao de regresó (Etrapolacó oculta!!) Para evtar este problema, debemos ceñros al casco coveo (cove ull) de las varables regresoras: el meor couto coveo que cotee a los putos orgales. producto cartesao (-,.5)(-.5,) casco coveo étodos de Regresó- Grado e Estadístca Empresa Tema 3 3/3 E geeral, cuado el úmero de varables regresoras es >, el casco coveo resulta dfícl de calcular. S embargo, es posble calcular de forma seclla u elpsode que cotee al casco coeo, de la forma sguete: Sea v ma { v}, dode v '(X'X) ma etoces, el elpsode de ecuacó: '(X'X) vma, R cotee al casco coveo. (Atecó! Este elpsode o es el meor de los elpsodes que cotee al casco coveo, pero sí el más secllo de calcular.) Para evtar e lo posble la etrapolacó, comprobaremos s el puto para el que se quere realzar la predccó se ecuetra detro de este elpsode: perteece al elpsode s se cumple que '(X' X) v ma (Véase el eemplo Predccó )