Universidad Abierta y a Distancia de México. 2 cuatrimestre. Cálculo diferencial. Unidad 3. Derivación

Transcripción

1 Universia Abierta y a Distancia e Méico cuatrimestre Cálculo iferencial Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías

2 Ínice Presentación e la unia 3 Propósitos 3 Competencia específica 3 3 La erivaa 3 3 Concepto e erivaa 4 3 Propieaes e la erivaa 9 Activia Cambio e variación 3 Funciones trascenentes 3 Funciones eponenciales y logaritmos 3 Funciones trigonométricas 9 33 Funciones iperbólicas 38 Activia Derivaa e funciones trascenentes 4 33 Derivaas e oren superior 4 34 Derivación implícita Teorema e la función inversa 48 Activia 3 Derivación e oren superior e implícita 56 Autoevaluación 57 Eviencia e aprenizaje Aplicación e la erivaa 57 Autorrefleiones 58 Cierre e la unia 58 Para saber más 58 Fuentes e consulta 58 Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías

3 Presentación e la unia Sabemos que la erivaa e una función se puee representar con el cambio e una situación, lo cual ace una e las erramientas importantes para los estuios e iversas áreas e conocimiento Durante la unia se revisaran, esos tipos e cambios, aemás e representar las propieaes e las erivaas El cálculo en si representa una mayor importancia cuano tratamos e una función real, ao que inica la variación e la función en un instante eterminao e la variable Así ecimos que la erivaa e una función para un valor e una variable, es la variación instantánea e ica función y para el valor e la variable En esta unia se presenta el concepto e erivaa e una función como un límite en particular, posteriormente se presentan las propieaes e la erivaa y sus interpretaciones gráficas e icas propieaes Propósitos Ientificar el concepto e erivaa a través e límites e funciones Relacionar la erivaa con la continuia e funciones Aplicar las regla e la caena para resolver operaciones e funciones Utilizar las propieaes e la erivaa para eterminar la erivaa e funciones Competencia específica Aplicar el concepto e la erivaa para analizar el comportamiento e las funciones y sus aplicaciones, utilizano las propieaes e las erivaas 3 La erivaa La erivaa e una función es unos e los conceptos funamentales entro en el estuio el cálculo La erivaa tiene su origen en el estuio e la velocia instantánea e una partícula, también se puee consierar que su origen está en el en el problema geométrico e allar la recta tangente a una curva cualquiera Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 3

4 3 Concepto e erivaa Para motivar la efinición e la erivaa e una función en un punto ao, consiera que se tiene una función f( ) efinia en un intervalo I que contenga a, ao I con y suficientemente cercano a Consierano la recta que pasa por los puntos, f( ) y, ( ) f, es fácil ver que tiene peniente f ( ) f ( ) m, aemás intersecta a la gráfica e f( ) en al menos os puntos, por tal motivo toma el nombre recta secante a f( ), como lo muestra la siguiente figura: Recta secante Aora se tiene que observar que pasa con la recta a meia que se acerca a, como lo muestra la siguiente figura: Se observa que punto, ( ) Recta secante f se aproima al punto, ( ) f, aemás la iscrepancia que eiste entre la recta y la función f( ) es caa vez menor, esas rectas secantes tienen a una recta que toma el nombre e tangente, la cual se efine como una recta Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 4

5 que toca en un solo punto a la curva que forma la gráfica e la función, en la siguiente sección se eplicará con más etalle el significao e recta tangente El comportamiento anterior es la motivación para la efinición e la erivaa e una función en un eterminao valor Definición 3 Sea f( ) una función efinia en un intervalo I que contenga a, se ice que f( ) tiene erivaa en o que f( ) es erivable en si y sólo si el siguiente límite conocio como el cociente e Newton eiste: : f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim lim En caso e cumplirse lo anterior se enota por f '( ) ó f ó D f Aemás se ice que f( ) es erivable en un conjunto S si y sólo si f '( ) eiste para too S Hay que resalta que los límites presentao en efinición son iguales ya que acieno se tiene que si y sólo si Por otro lao, que f( ) eista significa que está lo suficientemente cerca a que cumpla que I De manera gráfica, la erivaa e una función f( ) en un punto es la peniente e la recta tangente a la gráfica e la función f( ) en el punto, f ( ), como lo muestra la siguiente figura: Ejemplo: Daa una función constante f ( ) Gráfica e una función En efecto tomano la efinición e erivaa se tiene lo siguiente: c, se tiene que f '( ) para too Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 5

6 f ( ) f ( ) c c lim lim lim lim Ejemplo: Daa la función f ( ) 4 y 3 si se esea calcular f '(3) sólo ay que aplicar la efinición: Por lo tanto f '(3) f ( ) f ( ) lim lim 6 4 lim lim lim Ejemplo: Daa la función aplicar la efinición: Por consiguiente f '( ) 4 f ( ) y, si se esea calcular f '( ) basta f ( ) f ( ) lim lim lim lim 3 3 lim Ejemplo: Daa la función f( ) efinición el siguiente moo: Por lo tanto f '( ) \, para calcular f '( ) se aplica la y lim lim lim lim Ejemplo: Consierano la función f ( ) se tiene que aplicar la efinición:, para calcular f '( ) para cualquier Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 6

7 f ( ) f ( ) lim lim lim Por lo tanto f '( ) lim lim lim Cabe mencionar que no toas las funciones son erivables, como se muestra a continuación Ejemplo: Sea f ( ) y, se tiene que f '() no eiste ya que f ( ) f () lim lim lim Calculano los límites unilaterales se tiene lo siguiente: lim lim lim y lim lim lim Lo que implica que lim no eiste, por lo tanto f( ) no es erivable en las gráficas e los os últimos ejemplos se tiene lo siguiente: Gráfica e una función Como se puee observar en la gráfica e la función que tiene erivaa, curva que forma la función se construye e manera uniforme, sin embargo la gráfica one la erivaa no Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 7

8 eiste presenta un pico, esto quiere ecir, que la función tiene un comportamiento rástico Por tal motivo, algunos autores suelen utilizar la palabra suave como sinónimo e erivable y en general si una función continua no es erivable su gráfica presenta un pico Como se observó en la unia anterior, también eisten los límites unilaterales y son muy útiles para calcular el límite e una función, estos son aplicaos al concepto e la erivaa Definición 3 Sea f( ) una función efinia en un intervalo I que contenga a, se ice que f( ) tiene erivaa en por la izquiera e o que f( ) es erivable por la izquiera e si y solo si el siguiente límite eiste: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim lim De manera similar, ice que f( ) tiene erivaa en por la ereca e o que f( ) es erivable por la ereca e si y solo si el siguiente límite eiste: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim lim Como consecuencia inmeiata se tiene que Teorema 33 Sea f( ) una función efinia en un intervalo I que contenga a, entonces f( ) es erivable en si y sólo si la erivaa por la ereca y por la izquiera e f( ) en eisten y son iguales Demostración: Esto es una consecuencia inmeiata e la relación que ay entre la eistencia e los límites unilaterales y la eistencia el límite La erivaa por la ereca y la izquiera son muy útiles en el cálculo e la erivaa e una función efinia a secciones, como se muestra a continuación: Ejercicio: Daa la función f( ) si si, mostrar que f( ) es erivable en Solución: Aplicano la efinición e erivaa por la izquiera se tiene lo siguiente: Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 8

9 f ( ) f ( ) lim lim lim lim Por otro lao, aplicano la efinición e erivaa por la izquiera se tiene lo siguiente: f ( ) f ( ) lim lim lim lim lim 3 Como ambas erivaas son iguales se concluye que f '() 3 Propieaes e la erivaa Esta sección se comienza presentano la relación que eiste entre la erivaa y la continuia Teorema 34 Si f( ) es erivable en entonces f( ) es continua en Demostración: Para mostrar lo anterior basta presentar lo siguiente: lim f ( ) f ( ) lim f ( ) f ( ) Por consiguiente f ( ) f ( ) lim f '( ) lim f ( ) f ( ), por lo tanto f( ) es continua en Cabe mencionar que el inverso e este teorema no es válio, es ecir, la continuia no implica la eistencia e la erivaa, por ejemplo en la sección anterior se muestra que la función f ( ) es continua en sin embargo f '() no eiste Aemás, como consecuencia inmeiata se tiene lo siguiente: Corolario 35 Si f( ) es iscontinua en entonces f '( ) no eiste Aora toca el turno e presentar el comportamiento e la erivaa con respecto a las operaciones algebraicas e funciones Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 9

10 Teorema 33 Sean f( ) y g ( ) os funciones efinias en un intervalo I que contenga a, si f( ) y g ( ) son erivables en entonces: f g '( ) f '( ) g '( ) (i) Suma: f g '( ) f '( ) g '( ) (ii) Resta: f g '( ) f ( ) g '( ) f '( ) g( ) (iii) Proucto: (iv) f f '( ) g( ) f ( ) g '( ) Cociente: '( ) g g ( ) cuano g ( ) Demostración: ay que observar que como f( ) y g ( ) son erivables en implican que: Para i y ii se tiene lo siguiente: Para iii, se utiliza el eco f ( ) f ( ) g( ) g( ) lim f ( ) y lim g ( ) f g '( ) lim f g ( ) f g ( ) f( ) g( ) f ( ) g( ) lim lim f( ) f ( ) g( ) g( ) f( ) f ( ) g( ) g( ) lim f '( ) g '( ) lim f ( ) f ( ) porque f( ) es erivable en por consiguiente f( ) es continua en, luego se tiene lo siguiente: f g '( ) lim Para iv se tiene lo siguiente: f g ( ) f g ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) lim lim f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) lim g( ) g( ) f ( ) f ( ) f ( ) g '( ) f '( ) g( ) Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías

11 f f f ( ) f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( ) ( ) f g g g( ) g( ) g( ) g( ) '( ) lim lim lim g f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) g( ) g( ) lim f ( ) g( ) g( ) g( ) f ( ) f ( ) lim g( ) g( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) g( ) f ( ) lim g( ) g( ) g( ) f '( ) f ( ) g '( ) g ( ) Lo que emuestra el resultao Una consecuencia inmeiata el teorema anterior son los siguientes resultaos: Corolario 34 Para too c y toa función f( ), si f( ) es erivable en entonces cf ( ) c f ( ) Demostración: Se utiliza la fórmula e la erivaa e una constante y e un proucto el siguiente moo: cf ( ) c f ( ) f ( ) c c f f c ( ) ( ) f ( ) que es lo que se eseaba mostrar Corolario 35 Para too n y toa n se tiene que n n Demostración: Se procee por inucción sobre n, para n, se tiene lo siguiente: n n lim lim n Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías

12 Supóngase que para n k se tiene k k k Tomano nk se tiene lo siguiente: n Por lo tanto k k k k k k k k k n n para toa n Corolarios 36 Dao un conjunto finito e función f ( ),, ( ) fn iferenciables en entonces f f '( ) f '( ) f '( ) n n Demostración: se obtiene por inucción sobre el número e funciones Ejercicio: Daa la función 3 f ( ) 5 4, calcular f '( ) Solución: Basta aplicar el Teorema 33 el siguiente moo: 3 f '( ) Observación: Para agilizar el cálculo e la erivaa e un monomio tienes que observar que la potencia multiplica al coeficiente y esta isminuye en uno, es símbolos lo anterior se epresa así: n n c cn Ejemplos: Observa cómo se aplica lo eplicao en el párrafo anterior: Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías

13 n Ejercicio: Demostrar que n n Solución: Aplicano el Teorema 33 y el Corolario 35 se tiene lo siguiente: n n n n n n n n n n n n n n también n n Cabe mencionar que este último ejercicio muestra que la fórmula es vália cuano las potencias son negativas Ejemplos: Observa cómo se aplica el comentario anterior: Ejercicio: Calcular 3 4 Solución: Primero ay que observar que se tiene un cociente e cociente e funciones, por consiguiente ay que ocupar la parte iv el Teorema 33, utilizano la notación el ico teorema se tiene que f ( ) 4 3 en consecuencia se tiene lo siguiente: y g( ) 3 4, luego f '( ) 8 3 y g'( ) 3, f ( ) g( ) f '( ) f ( ) g '( ) g( ) g ( ) Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 3

14 Por lo tanto Ejercicio: Calcular Solución: Primero ay que observar que se tiene un cociente e cociente e funciones, por consiguiente ay que ocupar la parte iii el Teorema 33, utilizano la notación el ico teorema se tiene que g '( ) 9 f ( ) 5 y g 3 ( ) 3, en consecuencia se tiene lo siguiente: Por lo tanto 5 f ( ) g( ) f ( ) g '( ) f '( ) g( ), esto implica que f '( ) y Aora toca el turno e presentar la erivación e una composición e funciones, esta relación se conoce como la regla e la caena, ya que la erivaa convierte una caena e composición e funciones en una caena proucto e erivaas Teorema 37 Supóngase que f( ) es erivable en y que g ( ) es erivable en f( ) entonces g f ( ) es erivable en g f '( ) g ' f ( ) f '( ) y Demostración: Se comienza efinieno la siguiente función: si f f f f g f si f f g f f g ( ) ' De forma intuitiva, se tiene que ( ) es continua en y cercano a se tiene que el valor aemás si f f consiguiente lim ( ) g ' f y cercano a ya que si f f está cercano a g ' f f f se tiene que ( ) g ' f Por g f f g Por otro lao, ay que observar que si f f se obtiene lo siguiente: Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 4

15 g f ( ) g f ( ) g f ( ) g f ( ) g f g f ( ) ( ) f f f f ( ) ( ) f f f f f f g f g f ( ) Se manera similar, cuano f f se obtiene que g f ( ) g f ( ) f f y ( ) Lo que implica que g f ( ) g f ( ) f f ( ) Finalmente se tiene que lim g f ( ) g f ( ) f f Por lo tanto lim ( ) g f '( ) g ' f ( ) f '( ) Cabe mencionar que la epresión ' ( ) f f lim( ) lim g ' f f '( ) g f significa que ay que calcular g'( ) y luego se realiza la sustitución f( ) Aora se presentan algunos ejemplos el uso el teorema anterior Ejemplo: Si se esea calcular 5 3 primero ay que presentar a la función 5 3 como la composición e os funciones En este caso, utilizano la notación el Teorema 37, las funciones f ( ) 5 y g( ) 3 5 g f ( ) g f ( ) 3 se componen y se obtiene que Aemás f '( ) y g '( ) 3 ; aplicano la regla e la caena se tiene: 5 g ' f ( ) f '( ) Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 5

16 Ejemplo: Para calcular composición e las funciones Aemás f '( ) y f, ay que observar que la función y g( ) ( ) g f g f ( ) ( ), el siguiente moo g'( ) ; aplicano la regla e la caena se tiene: g ' f ( ) f '( ) es la A continuación se presentan algunos resultaos e funciones erivables sobre intervalos abiertos, esta parte comienza con el siguiente concepto: Definición 38 Sea f( ) una función real efinia sobre un conjunto A elemento A se ice que es un máimo e f( ) en A si y sólo si f( ) f ( ) para too A El valor f ( ) recibe el nombre e valor máimo e f( ) en A De manera similar, un elemento A se ice que es un mínimo e f( ) en A si y sólo si f ( ) f ( ) para too A El valor f ( ) recibe el nombre e valor mínimo e f( ) en A El primer resultao muestra cómo se caracterizan los máimos y mínimos e funciones erivables sobre un intervalo, estos se estuiaran con más etalle en la siguiente unia Teorema 39 Sea f( ) una función efinia sobre, ab, es un máimo o mínimo e f( ) en ab, entonces f '( ) ab Si Demostración: Solo se presenta el caso cuano es un máimo e f( ) en ab, Para un valor pequeño se tiene que f ( ) f ( ), cuano se tiene que f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), lo que implica que lim, e manera similar cuano f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) se tiene que, así lim Como f( ) es erivable en entonces: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim lim f '( ) De manera gráfica lo anterior se presenta e la siguiente forma:, un Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 6

17 Por lo tanto f '( ) Gráfica el límite e una función El siguiente resultao es una aplicación el Teorema 39 el cual se conoce como Teorema e Rolle Teorema 3 Supóngase que f( ) es continua en ab, y erivable en ab, con entonces eiste c ab, f ( a) f ( b) tal que f '( c) Demostración: Como f( ) es continua en ab, toma un máimo en ab, mínimo en ab,, cuano ab, ó ab, se tiene '( ) caso si el máimo o el mínimo e f( ) esta en los etremos e, constantes y cualquier valor e ab, cumple con f '( ) y un f ó f '( ) en otro ab se tiene f( ) es El teorema e Rolle se ejemplifica el siguiente moo: Gráfica Teorema e Rolle Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 7

18 Una aplicación irecta el teorema e Rolle permite emostrar el siguiente resultao que se conoce como Teorema el valor meio Teorema 3 Supóngase que f( ) es continua en ab, y erivable en ab, entonces eiste c ab, tal que f ( b) f ( a) f '( c) b a Demostración: Hay que efinir la función f ( b) f ( a) ( ) f ( ) a b a Claramente se tiene que la función ( ) en continua en ab, y erivable en ab,, aemás satisface lo siguiente: f ( b ) f ( a ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( b y ) f ( a a f a a a f a b f b ) b a f ( a) b a b a Por el Teorema 3 eiste c ab, tal que '( c), aemás es fácil ver que '( ) f '( ) f ( b) f ( a) b a f ( b) f ( a) En consecuencia '( c) f '( c) Por lo tanto f ( b) f ( a) f '( c) b a b a El teorema el valor meio tiene la siguiente interpretación gráfica Teorema el valor meio En la sección anterior se mostró que una función contante tiene erivaa iénticamente igual a cero, aora se muestra el resultao inverso como una consecuencia inmeiata el teorema el valor meio Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 8

19 Corolario 3 Si f '( ) para too ab,, entonces ( ) Demostración: Sean, ab, con, se tiene que ( ) erivable en, por el teorema el valor meio eiste c, f ( ) f ( ) f '( c) Por consiguiente f ( ) f ( ), por lo tanto f( ) es constante f es constante en ab, f es continua en y tal que, Otra aplicación el teorema el valor meio es la siguiente, que presenta la relación que eiste entre os funciones que tienen la misma erivaa Corolario 33 Si f( ) y g ( ) son os funciones efinias en ab, tales que para too ab, f '( ) g '( ) ab,, entonces eiste c tal que f ( ) g( ) c para toos para too ab, Demostración: Se tiene que la función f g'( ) f '( ) g '( ) por consiguiente f ( ) g( ) ab es constante en,, Para finalizar esta sección se presenta la regla e L Hôpital, la cual permite calcular límites que involucran formas ineterminaas Teorema 34 Sean f( ) y g ( ) os funciones erivables en un intervalo que contenga a Supóngase que f( ) eiste y lim g ( ) Demostración: Dao que f( ) f '( ) lim g ( ) g '( ) lim f ( ) lim g( ) y que g'( ) eiste entonces lim f ( ) lim g( ) se puee suponer que f( ) y g ( ) son continuas en tomano f ( ) g( ) Hay que observar que para se tiene lo siguiente: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim lim lim g( ) g( ) g( ) g( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim lim g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) f '( ) g'( ) lim Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 9

20 Por lo tanto f( ) f '( ) lim g ( ) g '( ) 4 Ejercicio: Calcular lim 6 Solución: Con notación el Teorema 34 se tiene que f ( ) son os funciones erivables en, luego ay que observar que Finalmente g '( ) y 4 y 6 lim 4 lim 6 en particular toas las ipótesis el Teorema 34, por consiguiente: 4 g, ( ) 6 g '() 5, lo que muestra que se cumplen lim lim 6 Ejercicio: Calcular lim Solución: Con notación el Teorema 34 se tiene que f y ( ) g() 8 5, son os funciones erivables en 3, luego ay que observar que 3 y lim 3 lim Finalmente g '( ) 8 en particular g '( 3) 3 8, lo que muestra que se cumplen toas las ipótesis el Teorema 34, por consiguiente: lim lim Activia Cambio e variación El propósito e esta activia, es relacionar el primer conocimiento e la erivaa, en específico el cambio e variación, representaos en iferentes contetos e la via cotiiana Para ello: De acuero a lo revisao en los temas anteriores e esta y uniaes pasaas, relaciona tres situaciones e la via cotiiana que iniquen la variación continua e una cantia respecto a otra Ingresa al foro y comenta tus ejemplos e inica cómo se representa la variación continua 3 Revisa tres aportaciones e tus compañeros, aceptano o recazano su respuesta, presentano argumentos válios Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías

21 Nota: Antes e participar en el foro, recuera consultar la Rúbrica general e participación en foros que se encuentra en la sección Material e apoyo 3 Funciones trascenentes Hasta este momento, solo se an utilizao funciones e naturaleza algebraicas, es ecir, aquellas funciones que se obtiene e las operaciones elementas e suma, resta, multiplicación y ivisión, junto con las potencias y las raíces Aora toca el turno e presentar funciones que no provienen e este origen, por tal motivo toman el nombre e funciones trascenentes 3 Funciones eponenciales y logaritmos La primera función trascenente que se presenta es la función eponencial En la Unia se estuió las potencias enteras y fraccionarias e un número real positivo, en la Unia se presenta la función potencia que eja fijo el eponente y la base es variable, aora toca el turno se invertir esos papeles, es ecir, la base es la fija y las potencias varían Se comienza a e una función f( ) efinia en too que tiene cumple que f () y la con la conición f '( ) f ( ) para too Esto implica que f( ) tiene que ser continua para too Aemás tomano la función ( ) f ( ) f ( ) se tiene ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f '( )( ) f '( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) El Corolario 33 afirma que ( ) f ( ) f ( ) c para too Más aún la conición f () implica que c, en consecuencia f( ) para too y lo anterior se tiene el siguiente resultao: f( ) De f( ) Teorema 3 Una f( ) efinia en too que tiene cumple con las coniciones f () y f '( ) f ( ) para too es única Demostración: Supóngase que eiste una función g ( ) que satisface g() y g '( ) g( ) para too Entonces, tomano la función siguiente: f( ) ( ) se tiene lo g ( ) Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías

22 El Corolario 33 afirma que f ( ) g( ) f ( ) g '( ) f ( ) ( ) g( ) g( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) f( ) ( ) c para too, equivalentemente g ( ) f ( ) cg( ), la conición g() afirma que f () cg() c, así f ( ) g( ) para too La siguiente propiea muestra como la función antes efinia relaciona a la suma y al proucto e números reales Lema 3 Para cuales quiera y, se tiene que f ( y) f ( ) f ( y) Demostración: Sea y,, fijano y se efine la función g( ) f ( y), a partir e estos se obtiene lo siguiente: g '( ) f '( y) f ( y) g( ) Lo que implica que g( ) kf ( ) para alguna constante k Tomano se tiene que f ( y) f ( y) g() kf () k Por lo tanto f ( y) f ( ) f ( y) Como consecuencia inmeiata el resultao anterior se tiene lo siguiente: Corolario 33 Para too n \ se tiene que f n f ( ) ( ) n Demostración: Se aplica inucción matemática, para n se tiene f ( n) f ( ) f ( ) f ( ) n Supóngase que para n k se cumple f ( k) f ( ) k, tomano Por lo tanto f n f ( ) k k ( ) f k f k f k f f f f ( ) ( ) n too n Aora la eistencia e una función f( ) efinia en too que tiene cumple con las coniciones f () y f '( ) f ( ) se escapa el objetivo e este curso, en un curso e Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías

23 análisis matemático se muestra que el límite e, es ecir, se tiene que n lim n n n eiste y tal valor es enotao por e lim n n Aemás se emuestra que la relación que eiste entre la función f( ) y la constante e se presenta por f() e Definición 34 La función eponencial es la función que a caa le asigna el número e, el cual satisface e e e y Hay que tener en cuenta que el Lema 3 afirma que e n que n e y finalmente también se cumple la relación Finalmente, la gráfica e la función e es la siguiente: e e e, el Corolario 33 ice e e y y Grafica función Ejemplo: Aplicano la efinición e erivaa calcular e Solución: Basta aplicar la efinición e erivaa a la función e el siguiente moo: e e e e e e e e e lim lim lim e lim e Too se limita a calcular lim, para ello ay que observar lo siguiente: n e lim lim n n Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 3

24 Para cercano e se tiene que e intuitivamente se tiene que lim Ejemplo: Calcular e 3 Solución: Para calcular e 3 e, es ecir, se tiene que e e Por lo tanto ay que observar que la función e 3 e, así, es la composición e la función f ( ) 3 y la función g( ) e, es ecir, se tiene que 3 e g f ( ), por la regla e la caena se tiene lo siguiente: 3 Ejemplo: Calcular e e e e e 3 3 Solución: Para calcular e 4 5 composición e la función f ( ) 4 5 ay que observar que la función 3 y la función ( ) e g f ( ), por la regla e la caena se tiene lo siguiente: e es la g e, es ecir, se tiene que e e 4 5 e e Los ejercicios anteriores muestran que para erivar una eponencial basta multiplicar la eponencial por la erivaa el eponente Ejemplo: Calcular e 3 Solución: Hay que observar que la función la función g ) 3, en consecuencia: 3 Ejemplo: Calcular e e 3 e es el proucto e la función e e e 3e e 3 e 3 f ( ) y Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 4

25 Solución: Hay que observar que la función 3 y la función g ) f ( ) e e es la composición e la función 3, la regla e la caena trae como consecuencia: e e 3e 3 e 3 e 3e 3 3 3e 3 3 e e Aora toca el turno e presentar la función logaritmo natural, esta se obtiene a partir e la función eponencial el siguiente moo: Dao el logaritmo natural e es el número real ln( ) que satisface la siguiente relación: y ln( ) y si y sólo si e y Esta relación implica que el ominio e la función ln( ) es el intervalo, ya que e para toa y Aemás implica que ln( ) es continua en, ya que e es continua en La función ln( ) tiene la siguiente representación gráfica: Gráfica función ln() De la efinición anterior se tienen las siguientes propieaes: Lema 35 Para cuales quiera y, con y, se tiene lo siguiente: (i) ln() (ii) ln( y) ln( ) ln( y) n (iii) ln( ) nln( ) (iv) ln ln Demostración: Para i se obtiene e observar que para e ii sean u ln( ) y v ln( y) lo que implica que u v u v implica que u v e e e e lo que implica que ln() u e y v e, y, luego, la relación y, es ecir, se cumple que ln( y ) u v ln( ) ln ( y ) La Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 5

26 parte e iii se obtiene e observar que cuano u ln( ) implica que n n n e, por lo tanto nu u n observar que si u ln( ) implica que ln u ln ln nu nln( ) u e u e así Finalmente, para así la relación La erivaa e la función ln( ) se presenta en el siguiente resultao: Teorema 36 Para caa, se tiene ln Demostración: sea, Tomano e u iv basta implica que u e y aplicano la efinición e erivaa se tiene lo siguiente: ln ln ln ln lim lim lim ln lim ln n se tiene que si y sólo si n en consecuencia n n lim ln lim ln lim ln n n n n n lim ln n n Por la continuia e ln( ) se tiene lo siguiente: Por lo tanto ln n n lim ln ln lim ln e n n n n Ejemplo: Calcular ln 3 4 Solución: Hay que observar que la función ln 3 4 f ( ) 3 4 con la función g( ) ln( ) para calcular ln 3 4 es la composición e la función ln 3 4 g f ( ),, es ecir, se tiene que basta aplicar la regla e la caena el siguiente moo: Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 6

27 ln 3 4 ln( ) Ejemplo: Calcular ln e Solución: De manera similar al ejercicio anterior se tiene que la función ln 3 4 composición e la función 3 que f ( ) e 5 3 con la función g( ) ln( ) ln e 5 g f ( ), la regla e la caena se tiene: ln 5 ln( ) 5 5 es la, es ecir, se tiene 3 3 e e e 3 3 e 5 e 5 e 5 3 e 5 3 e 5 e 5 La regla e la caena muestra en los ejercicios anteriores muestran que para realizar e forma más rápia el cálculo e la erivaa el logaritmo natural e una función ay que iviir la erivaa e la función entre la función En mucas ocasiones las propieaes el logaritmo natural sirve para calcular la erivaa e una forma más óptima como lo muestran los siguientes ejercicios 3 Ejemplo: Calcular ln Solución: Por las propieaes el logaritmo natural se tiene que En consecuencia: ln ln ln ln ln ln Ejemplo: Calcular ln 5 Solución: Por las propieaes el logaritmo natural se tiene que 3 4 ln ln 3 4 ln 5 5 Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 7

28 En consecuencia: 3 4 ln ln 3 4 ln Para finalizar esta sección se presenta la función eponencial y logaritmo con base arbitraria a partir e las siguientes observaciones: De forma análoga a la eponencial e, la iea es presentar el valor uso el logaritmo natural el siguiente moo: Supóngase que tienen las siguientes relaciones: ln a ln y lna lna ln( a) ln y e e y a a Aplicano logarimo natural Por propieaes el logaritmo natural Por efinición e logaritmo natural Por ipótesis a para esto se ace y en consecuencia se Por otra parte, el logaritmo e base a se efine e forma similar al logaritmo natura vía las siguientes relaciones: Observa que tiene que log ( ) y y a si y solo si a y yln( a) a e por consiguiente ln( ) yln( a) ln log a ( ) ln a, luego ln( ) y por lo tanto se ln( a) En resumen la eponencial y el logaritmo en una base arbitraria son casos particulares e la eponencial y el logaritmo natural A partir e lo anterior se tiene lo siguiente: Definición 37 Sea a, el número, el número real log ( a ) la función eponencial con base a asigna a caa a y la función logaritmo e base a es la función que asigna a caa Ejemplo: Para cualquier, a a calcular Solución: Solo ay que aplicar la erivaa e una eponencial a la efinición e siguiente moo: a el Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 8

29 Ejemplo: Para cualquier, ln a lna a e e ln( a) a ln( a) log a ( ) a calcular Solución: Solo ay que aplicar la erivaa e una eponencial a la efinición e el siguiente moo: ln log ( ) ln a ln a ln a ln a log a 3 Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas tienen sus orígenes en las relaciones que ay entre los laos y sus ángulos en los triángulos rectángulos En un curso elemental e trigonometría se presenta que en un triángulo rectángulo, a partir e alguno e sus ángulos aguos, los catetos toman el nombre e cateto opuesto y cateto ayacente como se muestra en la siguiente figura: Triángulo rectángulo A partir e esta ubicar los catetos se efinen las funciones trigonométricas el ángulo señalao, el siguiente moo: Definición 38 Para el ángulo señalao la figura anterior, sus funciones trigonométricas son las siguientes: (i) (ii) (iii) (iv) (v) La función seno es la razón e iviir el cateto opuesto entre la ipotenusa La función coseno es la razón e iviir el cateto ayacente entre la ipotenusa La función tangente es la razón e iviir el cateto opuesto entre cateto ayacente La función cotangente es la razón e iviir el cateto ayacente entre cateto opuesto La función secante es la razón e iviir la ipotenusa entre el cateto ayacente Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 9

30 (vi) La función cosecante es la razón e iviir la ipotenusa entre el cateto opuesto En símbolos la efinición anterior se presenta el siguiente moo: cat opuesto cat ayacente cat opuesto sen cos tan ipotenusa ipotenusa cat ayacente cat ayacente ipotenusa ipotenusa cot sec csc cat opuesto cat ayacente cat opuesto Cabe mencionar que el Teorema e Tales (e la intersección) garantiza que las funciones trigonométricas no epenen e las imensiones el triángulo rectángulos De las relaciones anteriores se obtienen inmeiatamente las siguientes ientiaes: tan sen cos cos cot sen sec csc cos sen Razón por la cual solo se estuia etallaamente las funciones seno y coseno, aemás entre ellas se tiene la siguiente relación y cos sen 9 sen cos 9 Otra ientia importante se obtiene a partir e las efiniciones e las funciones seno y coseno y el uso el teorema e Pitágoras: cat opuesto sen cos ipotenusa cat opuesto ipotenusa ipotenusa ipotenusa cat ayacente ipotenusa cat ayacente ipotenusa Por lo tanto sen cos A partir e esta relación y utilizano las relaciones entre el seno y el cose con las restantes funciones trigonométricas se tiene las siguientes ientiaes: Por consiguiente sen sen sen cos sec tan cos cos cos cos cos cos cos sen csc cot sen sen sen sen tan sec y cot csc La relación sen cos tiene la siguiente interpretación geométrica: Consiera un círculo e raio centro en el origen e coorenaas y el triángulo rectángulo junto con el ángulo aguo presentao en la siguiente figura: Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 3

31 Función circular Hay que observar que sen y y cos, por tal motivo algunos autores las suelen llamar funciones circulares Esto permite etener las funciones seno y coseno para ángulos que se formen entro el círculo, colocano el signo aecuao epenieno el cuarante one se posiciona el lao final el ángulo, lo permite obtener la siguiente tabla: Primer cuarante 9 Seguno cuarante 8 Tercer cuarante 7 Cuarto cuarante sen cos tan No eiste No eiste cot No eiste sec No eiste csc No eiste No eiste No eiste No eiste Aora toca el turno e reinterpretar el concepto e un ángulo y su meición ya que el cálculo trabaja con funciones con ominio en los números reales y un ángulo claramente no es un número Para resolver esta situación consiera un triángulo rectángulo colocao en el sistema e ejes como se realizó anteriormente, a caa ángulo se le asocia la longitu el arco el círculo que inicia en el lao inicial y que termina en el lao final que también se enotará por y toma el nombre e raián, como lo muestra la siguiente figura: Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 3

32 Representación raián La relación que guaran los ángulos y los raianes es la siguiente: 8 Por convenio, se consiera que los arcos que se recorren contra e las manecillas el reloj son positivos y los que son a favor e las manecillas el reloj son negativos esto permite etener el concepto e ángulo a valores negativos, como lo muestra la siguiente figura: sentio positivo sentio negativo Sentio positivo-negativo Finalmente los números reales están ubicaos sobre la circunferencia e raio con centro en el origen one se ientifica con el punto,, este permite presentar a las funciones trigonométricas como funciones e variable real, asignánole el valor e la función trigonométrica que le correspone al ángulo que forme el arco e círculo, como se muestra en la siguiente figura: Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 3

33 Circunferencia e raio Dao que el círculo es una curva continua, intuitivamente las funciones trigonométricas son continuas salvo los puntos one no estén efinias, aemás espués e completar una vuelta las funciones seno y coseno repiten sus valores, en símbolos se tiene que y cos sen sen las funciones seno y coseno son las siguientes: cos Reforzano el comentario anterior, las gráficas e Función seno coseno Aora se presentan algunas ientiaes que se obtienen a partir e las observaciones anteriores, para ello consiere la siguiente figura: Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 33

34 Se tienen las siguientes relaciones: Ientiaes y n cos cos se sn e Por otro lao aos y, como se presentan en la siguiente figura: Ientiaes A partir e esta figura, la istancia es igual a cos cos y sen sen y Por otro lao, si rota la figura e tal manera que el lao final e y coincia con la parte positiva el eje orizontal se tiene la siguiente figura: Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 34

35 Gráfica istancia De manera similar, la istancia es igual a y y consecuencia se tiene las siguientes relaciones: cos sen, en y y y y cos cos y sen sen y cos y sen y cos cos cos y cos y sen y sen sen y sen y cos y cos y sen y cos cos y sen sen y cos y Por lo tanto cos y cos cos y sen sen y Tomano en cuenta que cos cos y sen sen se tiene que: cos cos sen sen cos sen cos y cos y cos cos y sen sen y cos cos y sen sen y De la relación sen cos se tiene que: sen y cos y cos y cos cos y sen sen y sen cos y cos sen y Finalmente sen y sen y sen cos y cos sen y sen cos y cos sen y Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 35

36 Para la erivaa e la función seno ay que aplicar la efinición erivaa e una función y algunas ientiaes trigonométricas sen sen sen cos cos sen sen sen lim lim cos sen lim sen cos cos sen sen lim cos lim lo anterior muestra que too se limita a calcular los siguientes límites: cos sen lim y lim sen Para calcular lim ay que observar la siguiente figura: Representación gráfica límite Para valores cercanos a la figura proporciona la siguiente información: El área el triángulo ABC es cossen El área el sector ADC es El área el triángulo ADE es tan cossen tan La última esiguala conuce a las siguientes relaciones: Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 36

37 cossen tan cossen tan cos sen cos Aemás, emás como la función cos es continua en se sigue que limcos lim, el Teorema 3 implica que lim Finalmente, utilizano cos sen la continuia e la función sen en y el límite antes calculao se tiene lo siguiente: cos cos cos cos lim lim lim cos cos Por lo tanto sen cos Ejemplo: Calcular cos sen sen sen lim lim cos cos Solución: Basta aplicar la fórmula sen cos a la relación cos sen el siguiente moo: cos sen cos cos sen Ejemplo: Calcular tan sen Solución: Hay que aplicar la erivaa e un cociente a la relación tan y utilizar cos ientiaes trigonométricas e la siguiente manera: cos sen sen cos sen tan cos cos cos cos sen sen cos sen cos cos sec cos Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 37

38 Ejemplo: Calcular cos3 4 Solución: Hay que aplicar la erivaa e un proucto a las funciones y cos 3 4, aemás para erivar la función cos3 4 ay que aplicar la regla e la caena a las funciones 3 4 y cos, en conjunto se tiene lo siguiente: cos3 4 cos3 4 cos3 4 sen 3 4 cos sen cos 3 4 cos sen Funciones iperbólicas En la sección anterior se presentó como las funciones seno y coseno e un número real se representa e manera gráfica como las componentes e un punto sobre la circunferencia con centro en el origen y raio, por tal motivo algunos autores las suelen llamar funciones circulares Las funciones iperbólicas se efinen a partir e la función eponencial y toman su nombre porque son representaas sobre un ipérbola De manera similar a las funciones a las funciones trigonométricas se comienza efinieno el seno iperbólico y el coseno iperbólico, el resto e las funciones e efinen en términos e ientiaes que involucren icas funciones El seno iperbólico y coseno iperbólico se efinen el siguiente moo: e e e e cos y sen Por efinición, ambas funciones son continuas y erivables en too que: e e e e cos sen e e e e sen cos, aemás se tiene Las gráficas e las funciones sen y cos se presentan en la siguiente figura: Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 38

39 Gráfica funciones sen y cos La razón por la cual toman el nombre e funciones iperbólicas es por la siguiente relación: e e e e cos sen e e e 4 4 De forma gráfica se tiene lo siguiente: e Función iperbólica Obsérvese que solo se toma la rama que esta e lao ereco porque cos para too Las restantes funciones iperbólicas se efinen e manera similar al caso e las funciones circulares: sen cos tan cot sec csc cos sen cos sen Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 39

40 El eco cos implica que el ominio e las funciones tan y sec es Para el omino e las funciones cot y csc ay que encontrar el conjunto e too los valores que satisface la ecuación sen, esto se obtiene a partir e las siguientes relaciones: sen e e e e e e e e Esto implica que el ominio e las funciones cot y csc es \ Ejemplo: Demostrar que sen( y) sen cos y cos sen y para cualesquiera y, Solución: Es conveniente partir el lao e la ientia que tenga más término, en este caso se tiene lo siguiente: y y y y e e e e e e e e sen cos y cos sen y y y y e e e y y y e y e e e e 4 4 y y e e sen y Ejemplo: Calcular tan sen Solución: Basta aplicar la erivaa e un cociente a la relación tan el cos siguiente moo: cos sen sen cos sen tan cos cos cos cos sen sen cos sen cos cos sec cos Ejemplo: Calcular sec y Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 4

41 Solución: De forma similar al ejercicio anterior basta aplicar la erivaa e un cociente a la relación sec el siguiente moo: cos cos cos sec cos cos cos sen sen cos cos sen sec tan cos cos Activia Derivaa e funciones trascenentes A través e esta activia, resolverás ejercicios e erivaas e funciones trascenentes Para ello Descarga el ocumento Act Derivaa e funciones trascenentes Resuelve los ejercicios que aí se presentan 3 Guara tu ocumento con la siguiente nomenclatura MCDI_U3_A_XXYZ Sustituye las XX por las os primeras letras e tu primer nombre, la Y por la inicial e tu apellio paterno y la Z por la inicial e tu apellio materno 4 Envía tu ocumento a tu Facilitaor(a) y espera su retroalimentación * Recuera consultar la Escala e evaluación e la activia para saber qué aspectos se tomarán en cuenta para su revisión 33 Derivaas e oren superior Daa un función f( ) efinia sobre un conjunto A, se enota por A el conjunto e toos los A tal que f '( ) eiste, luego, la erivaa inuce una nueva función llamaa la primera erivaa enotaa por f '( ) f () ( ) efinia en A one a caa se le asigna Ejemplo: Para la función f ( ) entonces la primera erivaa la función se tiene que para se tiene que f '( ) f () ( ), gráficamente se tiene lo siguiente: Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 4

42 Gráfica ela erivaa De manera similar, sea A el conjunto e toos A tales que inuce una función llamaa la seguna erivaa y enotaa por one a se le asigna f '( ) ' f () ( ) ' eiste, lo cual f () ( ) efinia por A Ejemplo: Para la función f '( ) e 4 f ( ) e se tiene que para se tiene que entonces la primera erivaa la función consecuencia () f ( ) e 4, en f '( ) ' e 4 ' 4e 4 para caa, por lo tanto la seguna () erivaa es f ( ) 4e 4, gráficamente se tiene lo siguiente: Gráfica ela erivaa De forma inuctiva, se efine la tercera erivaa como la función f (3) f () cuarta erivaa como la función que se efine por f (4) ( ) f (3) ( ) ' ( k) ( k) la k -ésima erivaa se efine por f ( ) f ( ) ', las funciones cuano eisten, son llamaas las erivaas e oren superior e f( ) ( ) ( ) ', la, así sucesivamente, ( k f ) ( ) para k, Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 4

43 Cabe mencionar que ao que el símbolo se utiliza para la erivaa e una función, k el símbolo utiliza, en caso e eistir, para enotar la k -ésima erivaa e una k función Aemás para las tres primera erivaas se utilizan los símbolos f '( ), f ''( ) y f '''( ) en vez e f () ( ), f () ( ) y f (3) ( ) respectivamente Ejemplo: Calcular las erivaas e oren superior e la función f ( 4 3 ) Solución: Solo ay que erivar sucesivamente las funciones que se obtienen a partir e la función original, el siguiente moo: f ( ) 4 5 f '( ) 3 f ''( ) 4 f '''( ) 4 ( k ) f ( ), para k Hay que tener en cuenta que no tienen por qué eistir toas erivaas e una función en eterminao punto Ejemplo: Consiera la función: si f( ) 3 si Para la primera erivaa si se tiene que f '( ) y para se cumple que f '( ) 3 Aemás cuano ereca son: 4 se tiene que las erivaas por la izquiera y la 3 3 lim lim y lim lim Por consiguiente f '(), en resumen se tiene lo siguiente: si f '( ) si 3 si Para la seguna erivaa si se tiene que f '( ) y para se cumple que f '( ) 6 De nuevo cuano se tiene que las erivaas por la izquiera y la ereca son: 3 3 lim lim y lim lim 3 Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 43

44 Por consiguiente f ''() no eiste, la seguna erivaa es la función: si f ''( ) 6 si Gráficamente se tiene lo siguiente: Gráfica ela erivaa 3 Ejemplo: Daa la función f( ) calcular f ''( ) para too Solución: Aplicano la primera erivaa se tiene lo siguiente: f '( ) Luego, erivano la función f '( ) 3 3 Ejemplo: Calcular 3 e se tiene lo siguiente: f ''( ) f '( ) Solución: Solo ay que erivar tres veces la función 3 e, el siguiente moo: Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 44

45 3 3 e e e Volvieno a erivar se tiene lo siguiente: f '( ) 3e e 3 3 e e 3 3e 3 e e Volvieno a erivar se tiene: 3 f ''( ) 4 e e e e e e e 34 Derivación implícita Hasta este momento toas las funciones que se an presentao tienen una forma eplícita e la regla e corresponencia, por ejemplo, la función f ( ) 4 5 Pero eisten funciones que no tiene esa característica por ejemplo supóngase que la variable y epene e la variable, en símbolos se tiene que y f ( ), aemás que y, se relacionan e la siguiente manera: y 4 Hacieno una pequeña a manipulación algebraica se tiene lo siguiente: y y 4 4 y 4 Dao que una raíz cuaraa tiene os signos, se tiene que ay os funciones que cumplen con la conición anterior: f ( ) 4 y f ( ) 4 Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 45

46 Así la función y f ( ) tiene una forma eplícita Sin embargo, no siempre es posible, por ejemplo consiera la siguiente relación: 3 y sen y y ln y 4 Intentar encontrar una epresión e la forma y f ( ) resulta técnicamente imposible, pero este tipo e relaciones se presentan e manera natural, por ejemplo, la ecuación e un círculo, e una elipse, una ipérbola, etc Una par e preguntas naturales que te tienen que surgir a partir e lo anterior son: eiste la erivaa e una función con esa característica?, en caso e ser afirmativo, Cómo se calcula la erivaa para este tipo e funciones? Definición 34 Una función e os variables que satisface f (, y) efine a y implícitamente como función e El ominio e la función f (, y ) efinia implícitamente está formao por el conjunto e toos los tales que eiste un único y que satisface f (, y) Ejemplo: Las siguientes epresiones efinen a y implícitamente como función e : 3y sen( y) 3 y y sen y Cuano y es una función implícita e efinia por la relación f (, y) su erivaa se calcula por alguna e las siguientes maneras: Métoo Métoo Resolver la ecuación en términos e y para presentar e forma eplícita la regla que etermina a y y calcular su erivaa irectamente, como se mencionó antes, este métoo puee no ser practico Se plantea el eco e que y epene e y aplicar la erivaa en ambo laos e la igual f (, y) y resolver la ecuación resultante en términos e la erivaa e y, cabe mencionar que en este métoo se utiliza la regla e la caena ya y es una función e Ejemplo: Daa la relación y 4, calcular y por ambos métoos Solución: Para el primer métoo, ay que resolver la relación y 4 en términos e la y, al inicio e la sección se presentó que siguiente: y 4, aplicano la erivaa se tiene lo Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 46

47 4 4 4 y Para el seguno métoo se comienza aplicano la erivaa a la relación aa: y 4 y y y y y 4 y Relación original Aplicano la erivaa Derivaa e una suma Regla e la caena Resolvieno y Ejemplo: Daa la función 3y y tan( y) calcular y Solución: Hay que observar que en la relación 3y y tan( y) no es fácil e resolver con respecto a y, así que se aplica el seguno métoo, e la siguiente manera: 3y y tan( y) y 3y y sec y y y 3 y y 3 y sec y y y y 3 3yy sec y y y y 3y sec y 3 y y 3y sec y 3 y y 3y sec y 3 y 4 3 Ejemplo: Daa la función implícita 3 y y y 5 cos( ) 5 calcular y Solución: Hay que observar que el Métoo no es fácil e aplicar a la función implícita cos( ) 5 y y y ya que resolver relación anterior con respecto a y requiere resolver una ecuación e grao 3 Utilizano el Métoo se tiene lo siguiente: Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 47

48 4 3 3 y y y 5 cos( ) y 3 y y 3 y y y sen( ) y y y 5 cos( ) 5 4 y 3 y 3 y 3 y 3y y y sen( ) 5 4 y 3 y 3 y 3 y 6y y y sen( ) 5 3 6y y 3 y sen( ) 5 y y 3 y sen() 5 y y 4 3 6y y Teorema e la función inversa Para finalizar esta unia se presenta el concepto e función inversa y su relación la erivaa e una función En la Unia se efine a una función como terna A, B, f one AB, y f es una regla e corresponencia one a caa elemento e A se correspone con uno y solo un elemento y B, e manera visual, una recta vertical no puee cortar os veces la gráfica e una función Después se mencionó que una función es inyectiva si y solo si la función no repite asignaciones, e manera visual, una recta orizontal no corta os veces a la gráfica e ica función Aemás, una función es sobreyectiva si y solo si too elemento el contraominio es asignao bajo la función, e manera visual, cualquier recta orizontal corta a la gráfica e esta función Finalmente una función es biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva Definición 35 Daa una función f : A B se ice que la función f es invertible si y solo si eiste f : B A tal que f ( ) y si y solo si f ( y) Equivalentemente, se tiene que ( ) f f ( y) f f y y para too y B f f f f para too A y El siguiente resultao se presenta en el estuio e la teoría e conjuntos, permite caracterizar a las funciones invertibles, el cual se enuncia sin emostración Lema 35 Una función es invertible si y solo si la función es biyectiva Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 48

49 Cuano el ominio y el contraominio e una función invertible son el mismo conjunto, la función y su inversa se puee graficar en la misma en el mismo sistema, aemás se observa que las gráficas e ambas funciones resultan ser simétricas esto es ebio a que la pareja y, gra f si y sólo sí y, gra f Ejemplo: Consiera la función f : a, e, i, o, u a, e, i, o, u regla e asignación: one se presenta la siguiente f ( a) o f ( e) a f ( i) u f ( o) i f ( u) e En consecuencia se tiene que: gra f a, o, e, a, i, u, o, i, u, e Gráfica regla e asignación La función inversa f : a, e, i, o, u a, e, i, o, u tiene la siguiente corresponencia: f ( a) e f ( e) u f ( i) o f ( o) a f ( u) i En consecuencia se tiene que: gra f a, e, e, u, i, o, o, a, u, i Gráfica regla e asignación Conjuntano las os gráficas se tiene lo siguiente: Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías 49