Elementos de la Aritmética y el Álgebra

Transcripción

1 GUÍA 1: Conjuntos Numéricos Profesores: Olg Peñloz y Víctor Plzzesi Alumno: Año 018

2 CONJUNTOS NUMÉRICOS INTRODUCCIÓN Aún en ls etps más primitivs de l evolución humn se h desrrolldo en el hombre el sentido del número y l cpcidd de contr. Est hbilidd le h permitido reconocer lo que h cmbido en un conjunto de elementos, por ejemplo, si se h extrído o ñdido lgún objeto. Cómo pudo un hombre, hce 5000 ños, sber que en su rebño no fltb ningun de sus 41 ovejs, si ni siquier sbí contr hst 10? Un simple solución es l siguiente: llevb consigo tnts piedrits como ovejs, y l terminr l jornd gurdb por cd ovej un piedrit en su bols; si sobrb lgun sbí que debí buscr un ovej. Estblecí un correspondenci biunívoc entre dos conjuntos de objetos. Mucho tiempo después, los romnos usron tmbién piedrits pr hcer sus cálculos; l plbr cálculo signific etimológicmente piedr, y de hí el origen de l plbr clculr. L ctividd de contr y l necesidd de simplificr l tre de hcer cálculos, implicó l necesidd de utilizr símbolos escritos pr representr lo que se hbí contdo. Fue sí que surgieron los distintos sistems de numerción. A trvés de l histori se hn usdo los distintos sistems, y en cd uno de ellos cd número se represent como un combinción de símbolos. En lgunos csos los símbolos representn cntiddes y un combinción de símbolos represent l sum de ests cntiddes; estos sistems emplen un descomposición ditiv. En otros csos, como el sistem deciml ctul, import l ubicción del símbolo en l representción del número. Por ejemplo, 1 signific veintiuno, mientrs que 1 signific doce. Estos sistems se llmn posicionles. Alguns culturs usron un bse de 0 símbolos, otros de 60, pero el sistem de numerción que h predomindo y es el que ctulmente se us tiene bse 10, y por eso se llm deciml. Eso signific que pueden escribirse números rbitrrimente grndes con tn solo diez símbolos: 0, 1,,, 9. Así como el número 10 h dejdo sus mrcs en nuestr form de contr y en ls plbrs pr nombrr los números. Así por ejemplo, dieciséis está compuesto por ls plbrs diez y seis, treint hce lusión tres veces diez. Los números que se usn pr contr se llmn nturles o enteros positivos: 1,,, Fueron los primeros números que precieron en l histori de l Mtemátic. Más delnte surgió l necesidd de gregr el 0 como un form de representr lo que no hy, los números negtivos pr poder resolver tods ls sustrcciones, ls frcciones pr resolver los cocientes, tmbién los números irrcionles y los imginrios. De est mner, quedron definidos los distintos conjuntos numéricos: los nturles, los enteros, los rcionles, los reles y los complejos. A continución se relizrá un recorrido por los distintos conjuntos numéricos, justificndo brevemente l necesidd de construir cd uno de ellos. Aclrción: en est guí de estudio se present l necesidd que conllevó l creción de cd conjunto numérico ntes de su construcción forml. El objetivo es que conozc los distintos conjuntos numéricos sí como ls operciones y sus propieddes que se definen en cd uno de ellos. Conforme vnce en su crrer estudirá l construcción forml de cd uno de ellos.

3 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES Los números que se utilizn pr contr se llmn números nturles. Al conjunto formdo por todos los números nturles se lo denot con l letr. Pr contr un elemento se utiliz el número 1, pr el siguiente el número, y sí sucesivmente. A cd número nturl le sigue otro número nturl que se obtiene gregndo 1 l nterior. Así prece l operción dición. Sumr 1 es nombrr l siguiente de un número nturl. Por ejemplo, el siguiente de 5 es 6, y por eso Los elementos que se dicionn reciben el nombre de sumndos o términos, y el resultdo de l operción recibe el nombre de sum. En símbolos:, b : c / b c (1) L operción de dición se extiende todos los números nturles. Así, por ejemplo, como 1 1, entonces 5 es el siguiente, del siguiente de 5, es decir 5 7. Se dice que un número nturl es menor que otro b, si y sólo si existe un número nturl c tl que l sum entre y c es b. En símbolos:, b, c : b c / b c Por otr prte, un número nturl es myor que otro, si y sólo si el segundo es menor que el primero. En símbolos:, b : b b L sum reiterd de un mismo número se llm multiplicción. Así, sumr 5 veces 8 es multiplicr 5 por 8, y coincidentemente, es lo mismo que sumr 8 veces 5. Esto es: y demás veces 8 veces Los elementos que se multiplicn reciben el nombre de fctores y el resultdo de l multiplicción se llm producto. Así, en el conjunto de los números nturles pueden definirse operciones: dición y multiplicción. Ests operciones son cerrds en números nturles es otro nturl., es decir l dición y l multiplicción de dos, b : b, b : b

4 Propieddes de l dición y multiplicción en. Ls operciones de dición y multiplicción cumplen con ls siguientes propieddes en el conjunto de los números nturles: Conmuttividd: est propiedd se refiere que el orden de los sumndos de un dición o de los fctores en un multiplicción no lter el resultdo. Por ejemplo, Es decir que: y ,. 6 y y... Asocitividd: est propiedd se refiere que l form de grupr los términos en un dición o en un multiplicción no lter el resultdo. Por ejemplo, Es decir que ( 4) 7 9 y ( ) ;.(.4).1 4 y (.) ( 4) ( ) 4 y.(.4) (.).4 Propiedd uniforme: si se sum o se multiplic en mbos miembros de un iguldd, un número nturl, l iguldd se mntiene. Propiedd cnceltiv: es l recíproc de l propiedd uniforme. Elemento neutro pr l multiplicción: el producto entre culquier número nturl y el 1 es igul dicho número nturl. Distributividd de l multiplicción respecto l dición: l multiplicción es distributiv respecto de l dición. Por ejemplo: ( 1).. 1. y.( 1)..1. Actividd ) Escrib en lenguje simbólico cd un de ls propieddes enuncids nteriormente en lenguje coloquil. b) Por qué l dición no tiene elemento neutro en? Conoce lgún número que no se nturl que cumpl con l definición de elemento neutro? Así como l multiplicción por un nturl es un sum reiterd de términos igules, se conviene en representr l multiplicción iterd como un potenci: En este cso, 8 se llm l bse y 4 el exponente. L operción recibe el nombre de potencición y el resultdo se llm potenci. El exponente indic el número de veces que se multiplic l bse por sí mism. Se puede observr por ejemplo que: , puesto que 4

5 (5.5).( ) veces 4 veces 6 veces Actividd ) Qué propieddes cumple est operción en el conjunto de los números nturles? Enúnciels coloquil y simbólicmente. b) Qué propieddes de l dición y l multiplicción no se cumplen en l potencición en el conjunto de los números nturles? Exhib un ejemplo que justifique por qué no es válid dich propiedd. Los ejemplos propuestos en l ctividd c) se conocen como contrejemplos. Propieddes del Con lo expuesto nteriormente pueden resumirse ls siguientes propieddes del : 1) Es un conjunto infinito, y totlmente ordendo por l relción. ) Todo número nturl tiene siguiente. ) Este conjunto tiene primer elemento, el 1. 4) No tiene último elemento (como consecuenci de )). 5) Entre dos números nturles existe un número finito de números nturles. Por ello se dice que es discreto. Posteriormente surgió l necesidd de definir un número que represente que no hy elementos que contr y es sí que surge el número 0. Al conjunto formdo por todos los números nturles y este nuevo número se lo simbolizó con 0 (se lee: sub cero): 0 {0} Este conjunto tiene ls misms propieddes que el conjunto de los números nturles excepción del primer elemento, que en este conjunto es el 0. Se definen ls misms operciones que se definieron en propieddes: y se gregn ls siguientes Elemento neutro pr l dición: Elemento bsorbente pr l multiplicción: : 0 / : 0 / Potenci con exponente 0: se conviene definir l potenci de un número nturl con 0 0 exponente 0, igul 1. Por ejemplo, 7 1 y ( 5) 1. 5

6 En símbolos: 0 : 1 Rect Numéric Fijd un rect, un punto o como origen, un segmento como unidd y un sentido prtir del punto origen (de izquierd derech), todo número nturl le corresponde un punto sobre l rect, pero existen puntos de l rect los que no les corresponden números nturles. Por ello, se dice que el conjunto no cubre l rect. 0 Crece A l hor de plnter expresiones que dn solución un problem surge el interrognte de qué operción se resuelve primero y cómo indicr l prioridd de un operción sobre otr. Resuelv l siguiente situción: Actividd El LOTER DOBLE y el LOTER son juegos de zr cuyos premios tienen en cuent ls tres últims cifrs del número sortedo por l Loterí Ncionl. En el primero, el gndor recibe un sum de dinero equivlente l doble de l terminción del número sortedo, más 100. En el otro, en cmbio, el premio consiste en l cntidd de dinero que result de hllr el doble de: l terminción del número sortedo más 100. ) Cuál de los dos juegos entreg myor cntid0d de dinero en un mismo sorteo? b) Cuál es el myor y cuál el menor monto que puede gnrse en cd uno de los juegos? Pr reflexionr sobre este problem, se necesit tener en cuent l importnci de los signos. Observe est otr situción: Un juez lee el siguiente testimonio: El myordomo declró el chofer es culpble. Según como se le, se puede interpretr que el chofer culp l myordomo o que éste cus l chofer: El myordomo, declró el chofer, es culpble El myordomo declró: el chofer es culpble En est orción, el signo de puntución determin el significdo. c) Si en un cálculo intervienen distints operciones, qué se resuelve primero? Y después? d) Cuándo es necesrio utilizr préntesis, corchetes y llves en el plnteo de un cálculo? 6

7 e) Explique el significdo de l expresión seprr en términos. f) Por qué debe respetrse est jerrquí en ls operciones l hor de resolver cálculos? Ejercicios y problems Resuelv justificndo con ls propieddes que utiliz. 1) En un florerí rmn rmos pequeños y rmos grndes. Cd rmo pequeño tiene ross y cd rmo grnde tiene 7 ross. Si usron 144 ross y rmron 0 pquetes pequeños, cuántos rmos grndes rmron? ) En l helderí Ailén compró cucuruchos. Pgó con un billete de $00 y recibió $5 de vuelto. Beto compró vsitos. Pgó con un billete de $100 y recibió $0 de vuelto. Crl compró dos cucuruchos y un vsito. Cuánto pgó Crl en totl? Seleccione el plnteo que permite hllr l respuest este problem y resuélvlo: o 00 5 : : o (00 5:) (100 0 : ) o 00 : : 0 o (00 5) : (100 0) : o (00 5) : (100 0) : ) En un bols hy crmelos de gustos: frutill, limón y nrnj. En totl hy 478 crmelos. Con los crmelos de frutill se rmron 16 pquetitos de 6 crmelos y sobrron. Con los crmelos de limón se rmron 5 pquetitos de 8 crmelos y no sobró ninguno. Con los crmelos de nrnj, cuántos pquetitos de 5 crmelos se pueden rmr? 4) Olivi perdió el contcto de un de sus migs y necesit llmrl con urgenci. Recuerd l crcterístic del número de teléfono y de ls otrs 7 cifrs recuerd que son 0, 5, 6, 7, 8 y 9 pero no recuerd en qué orden ni cuál es l que se repite. Cuál es el número de llmds que los sumo tiene que hcer Olivi pr que un de ells correspond l número correcto? 5) Coloque los préntesis, corchetes o llves necesrios pr que l siguiente iguldd se verdder: 0 9 : : EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Se consider el problem de hllr el número que sumdo 5 se igul. Este problem no tiene solución en el conjunto de los números nturles, y que si se sum un nturl 5 se obtiene otro nturl myor que 5, y es menor que 5. 7

8 L introducción de los números enteros negtivos y el cero sirvió pr resolver este tipo de problems. En primer lugr, como y se estudió, l dición entre culquier nturl y 0, es dicho nturl: 0, Así, qued definid l dición entre un número nturl y el 0, y l diferenci entre dos números nturles igules: 0, Se estblece un correspondenci biunívoc entre y + (conjunto formdo por los enteros positivos) es decir, cd número nturl le corresponde o se identific con un único número entero positivo y vicevers, cd número entero positivo le corresponde o se identific con un único número nturl. O se = { 1,,, 4, 5, 6, 7,... + = { +1, +, +, +4, +5, +6, +7,... Además, pr cd entero positivo se consider el opuesto como el número entero que sumdo él d como resultdo 0. Así, por ejemplo el número que sumdo +1 d como resultdo 0 se lo denot 1 y es el opuesto l número entero positivo +1. El opuesto de + es, el de + es y sí sucesivmente. Todos los opuestos de los números enteros positivos se denominn enteros negtivos y l conjunto formdo por todos los números enteros negtivos se lo denot con. Así, los enteros negtivos, los positivos y el cero dn lugr l conjunto de los Números Enteros. + = {+1, +, +, +4,... y - = {..., -4, -, -, - 1 = + - {0 Además, sí como es el opuesto de +, tmbién se dice que + es el opuesto de, y que el 0 es el opuesto de sí mismo. En símbolos: : / ( ) ( ) Ls operciones de dición y de multiplicción se extienden este nuevo conjunto. L diferenci entre dos números enteros se denot con el símbolo -, por ejemplo entre 10 (-). El número 10 en este cso recibe el nombre de minuendo, el - se llm sustrendo, l operción es l sustrcción y el resultdo se lo conoce como diferenci. 0 8

9 , b, c / b c b c Observe que l sustrcción en es un dición en dicho conjunto. En efecto, l sustrcción de dos números enteros se define como l dición entre el minuendo y el opuesto del sustrendo: ( 4), ( 15) En símbolos:, b : b ( b) Así como en existe un orden nturl: 1,, 4, etc., en tmbién hy un orden comptible con el que se define en. Los números enteros conformn un sucesión infinit de números, donde cd elemento tiene un sucesor que se obtiene sumndo 1 l número, y un ntecesor, que se obtiene sumándole 1. Por ejemplo, 7 es el ntecesor de 6 pues 6 ( 1) 7, y 5 es el sucesor de 6 pues 6 ( 1) 5. L siguiente es un list ordend de lgunos enteros: Propieddes del...,,, 1, 0, +1, +, +, +4, +5,... 1) Es un conjunto infinito y totlmente ordendo por l relción. ) Todo número entero tiene siguiente y un nterior. ) Este conjunto no tiene primer elemento, ni tiene último elemento (como consecuenci de )). 4) Entre dos números enteros existe un conjunto finito de números enteros. Por ello se dice que el conjunto es discreto. En el conjunto de los números enteros están definids entonces ls operciones de dición y de multiplicción, y stisfcen ls misms propieddes que se stisfcen en. Además, l dición en, cumple con l propiedd de existenci de elemento inverso. En efecto, y se estudió l existenci del opuesto de todo número entero. Tmbién l potenci de un número con exponente nturl se define como l multiplicción iterd del número tnts veces como lo indique el exponente. Por ejemplo: ( 5) ( 5).( 5).( 5) 15. Ls potencis con exponente negtivo no están definids en este conjunto, excepto pr 1 y -1. Pr multiplicr dos números enteros, se tiene en cuent l siguiente propiedd: Propiedd: El producto entre dos números enteros del mismo signo es positivo y el producto entre dos números enteros con distinto signo es negtivo. Clrmente, existen muchos puntos de l rect que no se corresponden con ningún número entero. L siguiente figur es un representción de lgunos números enteros: 9

10 Actividd ) Por qué l sustrcción no se define como operción en? b) Enuncie simbólic y coloquilmente ls propieddes que cumplen l dición, l multiplicción y l potencición en. c) Posee l multiplicción en elemento inverso? Por qué? Definición: Sen b,, b 0. Se dice que divide b, o que es divisor de b, o que b es múltiplo de, sí y sólo si existe k tlque b k. En símbolos: b k / b k Por ejemplo, 8 es divisible por 4, o bien 4 es divisor de 8, u 8 es múltiplo de 4. Ejercicios y problems Resuelv los siguientes problems justificndo con ls propieddes de ls operciones del conjunto de los números enteros utilizds: 6) Cuál será el cmino cuy sum se l menor pr ir desde l entrd l slid? Cuál será el cmino pr que l sum se l myor? 7) En l siguiente pirámide el número de cd csill debe ser l sum de los dos números de ls csills sobre ls que se poy. Complétel: 8) Si Pitágors murió en el ño 49.C y nció en el ño 580.C. Cuántos ños vivió? 10

11 9) El siguiente mensje cifrdo fue envido por un espí; el servicio de inteligenci h descubierto el código que lo descifr; este consiste en que cd letr tiene socid un operción de números enteros. Resuelv ls operciones de números enteros que se indicn y descifre el mensje ) Anlice si ls siguientes firmciones son verdders o flss, justificndo su respuest: ) Todos los números enteros son nturles. b) Todos los números nturles son enteros. c) Algunos números nturles son enteros. d) Algunos números enteros son nturles. e) Existen números nturles que no son enteros. 11) Resuelv el siguiente cálculo, justificndo con ls propieddes de ls operciones definids en : 5 : ( ( 45)) : ( 4) 11

12 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES Siempre que se mide lgo, longitudes, cpcidd, volumen, áres, tiempo, etc., se utilizn uniddes de medid. Así es que se mide cuánts veces cbe ciert unidd en quello que se quiere medir. Pero se cul fuer est unidd, no siempre ést cbe un cntidd enter de veces, y es necesrio frccionrl. Es sí como surgieron históricmente ls frcciones. Siglos más trde, ests frcciones se les dio un ctegorí de números y que sirvieron pr resolver problems numéricos como por ejemplo hllr el número que multiplicdo por 5 dé como resultdo. L solución de dicho problem es l frcción, y se lee dos quintos. Ls frcciones se 5 representn como cocientes entre dos números enteros, llmdos numerdor y denomindor respectivmente, siendo el denomindor distinto de 0. Por ejemplo: 7 0,,,, El producto entre tod frcción y su denomindor es igul l numerdor de dich frcción. Por ejemplo.5. 5 El conjunto formdo por tods ls frcciones, es decir quellos números que pueden expresrse como cocientes entre dos números enteros, se denomin el conjunto de los números rcionles y se lo denot con l letr. Se puede observr que todo número entero o nturl puede escribirse como el cociente entre dicho número y 1. Por ejemplo: se lo puede escribir como 1, -5 como 5, 0 1 como 0 1. Por este motivo, tod frcción con denomindor 1, se comport lgebricmente como un número entero o nturl en cd cso. Es decir, existe un correspondenci biunívoc entre los números enteros y un subconjunto de, * formdo por tods ls frcciones de denomindor 1. {..., 4,,, 1,0, 1,,,...} Actividd 1 * {...,,,,,,,,,...} ) Qué entiende por número rcionl? Elbore un definición coloquil y simbólic. b) Investigue por qué se simboliz l conjunto de los números rcionles con? c) Por qué es posible identificr los enteros como números rcionles? d) Vlen ls propieddes de ls operciones y estudids pr este conjunto numérico? Qué se pueden gregr? 1

13 Operciones definids en L dición de dos frcciones con el mismo denomindor es otr frcción con el mismo denomindor y cuyo numerdor es l sum de los numerdores. Por ejemplo: y En prticulr, se tiene que: 0 0 Por ello se deduce que. Observe, demás, que se definió los números rcionles como quellos que pueden expresrse como el cociente de dos números enteros, por ejemplo. Tmbién se sbe que el cociente de dos números enteros con distinto signo es negtivo. De est mner, es intuitivo pensr que. En prticulr, puede verse demás que denomindor positivo., pero por convención se elige el Si los denomindores son distintos el problem de sumr se resuelve buscndo frcciones con el mismo denomindor, equivlentes ls dds. Por ejemplo, pr sumr y 1, pueden utilizrse ls frcciones 4 6 y 6 : Tmbién, En símbolos: c c d bc, : b d b d bd L multiplicción entre dos números rcionles se obtiene multiplicndo numerdores entre sí y denomindores entre sí. Por ejemplo: 4 ( 4)

14 Observe que ls siguientes multiplicciones tienen el mismo resultdo: 6 1, En símbolos: c c c : b d b d b d Propieddes de ls operciones: L dición y l multiplicción de números rcionles cumplen con tods ls propieddes definids en y demás en l multiplicción se define el inverso multiplictivo. Un número rcionl es el inverso multiplictivo de otro si el producto entre mbos es igul 1. En símbolos: Actividd b b b {0}: {0}/ b b b 1 ) Enuncie coloquilmente y simbólicmente ls propieddes de l dición y multiplicción en. b) Todo número rcionl tiene inverso multiplictivo? Justifique. Con l introducción de los números rcionles se mplí l definición de potencición con exponentes enteros negtivos. Se define l potenci de un número rcionl con exponente negtivo como otr potenci cuy bse es el inverso multiplictivo de l bse dd y cuyo exponente es el opuesto del ddo. b En símbolos: {0}, n {0}: b b Por ejemplo: n n 5 5 1, Observción: en l definición se excluye el cso en que l bse y el exponente sen simultánemente nulos, puesto que dich potenci no está definid. En el cso que l bse se nul y el exponente un entero no nulo, l potenci será nul. En cso de que el exponente se nulo y l bse un rcionl no nulo, l potenci será 1 tl como se definió en. 14

15 En símbolos: n n {0}: 0 0 {0}: 1 b b 0 L división de un número rcionl por otro se define como el producto entre el primer fctor y el inverso multiplictivo del segundo fctor. Por ejemplo, l división del número rcionl por 5 4 consiste en obtener el producto entre y 4. L operción de división se 5 simboliz con : o con l líne de frcción: : o En símbolos: c c c d,, 0 : : b d d b d b c Propieddes de l potencición en 1) Distributiv de l potenci respecto de l multiplicción y de l división:, b n : ( b) b n n n, b n : ( : b) : b x ) Ley Uniforme: x : b b x x ) Ley Cnceltiv x : b b x n n n Propieddes especiles de l potenci 1) Producto de Potencis de igul Bse: n m n m ) Cociente de Potencis de igul Bse: : n m n m n ) Potenci de otr Potenci: m n m Actividd ) Enuncie coloquilmente ls propieddes de l potencición definids nteriormente. b) Por qué en ls definiciones de potencis de exponente negtivo, l bse de dichs potencis no puede ser 0? 15

16 Representción de los números rcionles en l rect numéric Los números rcionles tmbién pueden representrse en l rect. Ls frcciones 1, 1, 1, que son prtes de un unidd, se representn precismente frccionndo el 4 segmento unidd en tnts prtes como indic el denomindor. L frcción se represent como veces 1. Es muy importnte notr que si dos frcciones son equivlentes se representn por un mismo punto en l rect numéric. Entre dos números enteros existen sólo un número finito de números enteros. Por ejemplo, entre 5 y 4 hy solo 8 números enteros; pero cuántos números rcionles hy? Actividd Represente en l rect numéric los números rcionles 5 4 y ) Escrib tres números rcionles comprendidos entre 5 4 y y represéntelos en l rect numéric. b) Pueden obtenerse más números rcionles entre 5 4 y, demás de los y escritos? c) Cuántos rcionles es posible encontrr entre dos números rcionles? d) Los números rcionles completn l rect numéric? e) Definición: si entre dos números distintos de un conjunto numérico, existen infinitos números de dicho conjunto, se dice que el conjunto es denso. De cuerdo con l definición nterior: es denso? Y y? Pr responder l ítem d) bst tomr el promedio entre dos rcionles y l resultdo promedirlo con lguno de ellos, repitiendo el proceso indefinidmente. Por ejemplo, si se tomn el 0 y el, se tiene que mbos son números rcionles. Su promedio es el número que está entre mbos y equidist de los dos, y es igul l semisum de los dos números: 0 1. El número 1 está entre 0 y y es rcionl. Si se clcul hor el promedio entre 16

17 0 y 1: Nuevmente se obtiene un número rcionl; y repitiendo este proceso se obtiene un sucesión infinit de números rcionles distintos, todos entre 0 y : ,,,, Signific esto que si se representn todos los números rcionles en un rect, se hbrá llendo tod l rect? Se verá que no es sí, que culquier se el segmento unidd que se use, siempre quedrán puntos en l rect que no corresponden con ningún número rcionl. Tmbién, puede definirse en l relción como: p r p r, : ps qr q s q s En síntesis, pueden enumerrse ls siguientes propieddes del conjunto : Propieddes del conjunto 1) es un conjunto infinito y totlmente ordendo por l relción. ) No tiene primero ni último elemento. ) es un conjunto denso, es decir, entre dos números rcionles existen infinitos números rcionles. Expresión deciml Los números rcionles suelen expresrse tmbién en notción deciml, por ejemplo: 5 0,5 10 Aquells frcciones que son equivlentes un frcción con denomindor 1, 10, 100 u otr potenci de 10 tienen un expresión deciml finit, y se denominn frcciones decimles. Por ejemplo, 7 8 es equivlente, por lo tnto es un frcción deciml y se expres en notción deciml como 0, 8 y se lee veintiocho centésimos. Si no son equivlentes un expresión con denomindor que se potenci de 10 tienen un expresión deciml infinit periódic. Esto signific que en l prte deciml existe un secuenci de uno o más números que se repite indefinidmente. A dich secuenci se l denomin periodo. Por ejemplo, 9 se expres como 0,..., y su periodo es. Pr denotr el periodo se lo suele mrcr con un rco sobre él. Así, se tienen los siguientes ejemplos de números rcionles y su representción deciml: 17

18 6 0, ; 6 0, ,6 9 ; 540, , Por otro ldo, tods ls frcciones decimles tmbién tienen un representción deciml infinit periódic. Pr ver esto, note que 1 0, y tmbién 1. Por lo tnto: 1 1 0, 0,9 Así se tiene tmbién que 4,5 4,59 y 1,9 1,89. L importnci de l notción deciml es que tods ls frcciones equivlentes tienen un mism representción, finit o periódic. Así, por ejemplo: ,,, son frcciones equivlentes, y tods con l mism representción deciml 1,75 o 1,749. Si se quiere expresr un frcción en su expresión deciml, sólo bst con resolver l división plnted entre el numerdor y el denomindor de dich frcción. Supong hor que se quiere expresr l número,45 como frcción: p, (1) Si se multiplic en mbos miembros por 10, de cuerdo con l propiedd uniforme de l multiplicción en, se obtiene: 10 p, () Multiplicndo en mbos miembros de (1) por 1000, de cuerdo con l propiedd uniforme de l multiplicción en, se obtiene: 1000 p 45, Restndo miembro miembro l iguldd () de l () se obtiene: 990 p Multiplicndo mbos miembros por : p

19 Como puede observr, el objetivo de este procedimiento es eliminr l prte deciml periódic de ls expresiones decimles, multiplicndo en mbos miembros de igulddes como l (1) por dos potencis de 10 decuds que permitn obtener l mism prte deciml de mner que l restr miembro miembro mbs igulddes se nule l prte deciml pr poder despejr el vlor de p y hllr l expresión frccionri buscd. Ejercicios y problems 1) Represente en l rect numéric los siguientes números rcionles: ) 5 b) c) 7 4 d) 9 e) ) Ubique en l rect numéric los siguientes números rcionles: 1 ; 4 75 ; 1000 y 0, ) Determine l expresión deciml de los siguientes números rcionles: ) 7 b) c) d) e) ) Exprese como frcción los siguientes números decimles: ) 1, 5 b) 1,5 c) 1,5 d) 0, e) 1,119 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES Si se pudier mrcr sobre l rect numéric todos los puntos correspondientes los números rcionles se dvertirí que quedrín ún infinitos números sin mrcr. Es decir, un vez elegido un segmento unidd, existen puntos en l rect que no se corresponden con ningún número rcionl. Dos problems sencillos: determinr l longitud de l digonl de un cudrdo de ldo igul 1, y determinr l longitud de un circunferenci de rdio 1, revelron l existenci de mgnitudes que no tenín lugr dentro del conjunto de números rcionles. Como se sbe, plicndo el Teorem de Pitágors, l digonl de un cudrdo de ldo 1 es un número x tl que: x 1 1 Sin embrgo, no existe ningún número rcionl que cumpl l propiedd de que su cudrdo se igul. Esto signific, que no es posible medir l longitud de l digonl con un número entero de ldos, ni tmpoco frccionndo dicho ldo en subuniddes tn 19

20 pequeñs como se quisier. Sin embrgo, es l medid de un segmento y por lo tnto puede pensrse como un número. Este número se llm ríz cudrd de y se lo denot. Más ún, es comprble con los números rcionles, en el sentido que se puede determinr qué números rcionles, son menores y cuáles myores que él. L siguiente figur muestr l correspondenci entre y un punto de l rect numéric: el rco de l circunferenci indic que l medid de l digonl se corresponde con. A continución se demuestr que no es rcionl: L demostrción rrnc suponiendo que es rcionl y se llegrá un contrdicción. Si es rcionl, entonces puede expresrse como el cociente de dos números enteros: p, con p, q y q 0 q Se puede suponer que el máximo común divisor de p y q es 1, es decir que no tienen otros divisores comunes y p q es un frcción irreducible. Elevndo l cudrdo mbos miembros y multiplicndo por Por lo tnto, p q q p (*) q se obtiene: p es múltiplo de y esto implic que p es múltiplo de (puede demostrrse ést firmción). Es decir, p k, k. Si se reemplz p en (*) se obtiene: deduce que ( k) q. Resolviendo y simplificndo: 4k q k q, de donde se q es múltiplo de y por lo tnto q tmbién es múltiplo de, lo cul es un contrdicción puesto que se hbí supuesto que p y q no tenín divisores comunes y según este nálisis es un divisor común. Por lo tnto no es rcionl. Actividd ) Qué propieddes de l dición, multiplicción y potencición se cumplen en el conjunto de los números irrcionles? b) Qué otros números irrcionles conoce? Cómo puede vlidr su respuest? 0

21 c) Se puede estblecer un correspondenci biunívoc entre los conjuntos numéricos estudidos y el de los irrcionles? Los números irrcionles tienen tmbién un representción deciml, y est expresión deciml es infinit no periódic. Por ejemplo, un número cuy prte deciml está formd por infinitos ceros y unos, en el cul el primer 0 está seguido de un 1, el segundo de dos unos, el tercero de tres unos, y sí sucesivmente: 5, Este número represent un número irrcionl porque no puede identificrse un periodo en l prte deciml del mismo. Si bien precerí poco frecuente estos tipos de números, los mismos constituyen, como se dijo, un conjunto infinito. Algunos de los números irrcionles que se utilizn con frecuenci son : rzón entre el perímetro de un circunferenci y su diámetro, e : número de Neper y bse del logritmo nturl y M : logritmo en bse 10 del número e. Los primeros dígitos decimles de estos números se listn continución:, e, M 0, EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES El conjunto de los números reles se simboliz con números que son rcionles o irrcionles. y está formdo por todos los Existe un correspondenci biunívoc entre los elementos del conjunto de los números reles y los puntos de un rect numéric. Es decir, cd punto de l rect numéric le corresponde un único número rel y cd número rel se represent por un único punto en l rect numéric. Est propiedd se conoce con el nombre de xiom de completitud. Además, entre dos números reles culesquier existen infinitos números reles, es por esto que es un conjunto denso. El conjunto de los números reles es un conjunto ordendo por l relción es menor que. Se dice que es menor que y se escribe, si es un número positivo. Desde el punto de vist geométrico, esto quiere decir que qued l izquierd de en l rect numéric. Es equivlente decir que es myor que y escribir. El símbolo (o ), quiere decir que o y se lee es menor o igul que 1

22 Propieddes de l dición 1) L dición de números reles es cerrd, es decir l sum de dos números reles es un número rel:, b : b ) L dición de números reles es socitiv:, b, c : ( b) c ( b c) ) L dición de números reles es conmuttiv:, b : b b 4) El 0 es elemento neutro pr l dición de números reles:, b : 0 / 0 0 5) El opuesto de un número rel es elemento inverso pr l dición de números reles: : ( ) / ( ) ( ) 0 6) Propiedd uniforme de l dición de números reles:, b, c : b c b c 7) Propiedd cnceltiv de l dición de números reles:, b, c : c b c b Propieddes de l multiplicción 1) L multiplicción de números reles es cerrd, es decir el producto de números reles es un número rel:, b : b ) L multiplicción de números reles es socitiv:, b, c : ( b) c ( b c) ) L multiplicción de números reles es conmuttiv:, b : b b 4) El 1 es elemento neutro pr l multiplicción de reles: : 1 / 1 1 5) El inverso multiplictivo de un número rel no nulo es elemento inverso pr l multiplicción de reles: {0}: {0}/ 1 6) El 0 es elemento bsorbente pr l multiplicción de reles: : ) Propiedd uniforme pr l multiplicción de reles:, b, c : b c b c 8) Propiedd cnceltiv pr l multiplicción de reles:, b, c c 0 : c bc b

23 Propiedd distributiv de l multiplicción respecto l dición: Propieddes de los opuestos ditivos 1) : ( 1) ) : ( ) ), b : ( ) b ( b) ( b) 4), b : ( ) ( b) b 5), b : ( b) b 6), b : ( b) b, b, c : ( b c) b c ( b) c c bc Propieddes de l comptibilidd de l dición y l multiplicción de reles con l relción < 1), b, c : b c b c ), b, c : b c 0 c b c ), b, c : b c 0 bc c Potencición y rdicción L potenci de un número rel con exponente entero se define de l mism mner que pr los números rcionles. Ls potencis con bse no nul y exponente pr son siempre positivs, por ejemplo: 4 4 ( ) 9, ( ) 16, 81 En prticulr, culquier número y su opuesto elevdos un exponente pr dn el mismo resultdo. Por lo tnto, si se quiere hllr el número que elevdo l cudrdo se igul 16 se tendrán dos soluciones: 4 y 4. Pr distinguir entre ells, se utilizrá un notción diferente pr cd un. Esto es se escribirá: 16 4, 16 4 y 16 4 En generl, pr culquier número rel positivo, se define l ríz cudrd positiv de como el número rel b tl que b, y se lo denotrá De mner nálog se define l ríz curt positiv, l ríz sext positiv, y demás ríces con índice pr. Así por ejemplo: b , 64, Por otro ldo, ls ríces de índice impr están definids pr todos los números reles, y tienen el mismo signo que el rdicndo. Por lo tnto, no es necesrio hcer l distinción entre l ríz positiv y l negtiv. Así por ejemplo:

24 64 4 y 64 4 En símbolos: p r n n pr: p r r n p, q s q s s q p r,, n n impr: p r r n p, q s q s s q El número n se llm índice de l ríz (en l rdicción) y exponente en l potencición. p q es el rdicndo (en l rdicción) y l potenci (en l potencición). r es l ríz s n n n-ésim de p q (en l rdicción) y l bse (en l potencición). Se define l potenci con exponente frccionrio de l siguiente mner: m n n m con,, m n Z Por ejemplo: , 8 8 y Además, es posible definir l potencición de un número rel positivo con culquier exponente rel, tem que excede los objetivos de est guí de estudio. L potencición con bse rel negtiv no siempre d como resultdo un número rel, y sólo se puede dr un definición generl en el cmpo de los números complejos. Es importnte notr que l potencición y l rdicción no son distributivs con respecto l dición. Por ejemplo: 5 64 y por lo cul L siguiente propiedd es conocid como diferenci de cudrdos: l diferenci entre los cudrdos de dos números es igul l producto entre l diferenci y l sum de éstos números: b b b ( ) ( ) Est propiedd surge fácilmente plicndo l propiedd distributiv de l multiplicción respecto l dición en el segundo miembro, y suele ser muy útil l hor de relizr cálculos. Así por ejemplo: (81 80) (81 80) Entonces es más sencillo resolver el segundo miembro que clculr l diferenci entre los cudrdos de 81 y 80. 4

25 Propieddes de l potencición Si, b, m y n son números reles culesquier, de mner que ls siguientes potencis estén definids, se cumplen ls siguientes propieddes: 1) Producto de potencis de igul bse: m n m n ) Cociente de potencis de igul bse: : m ) Potenci de otr potenci: n mn m n m n 4) Propiedd distributiv de l potencición respecto l multiplicción: n n n b b 5) Propiedd distributiv de l potencición respecto l división: n n n : b : b Demuestre ls siguientes propieddes de l rdicción ) n k nk b) k n k n con 0 y nk,. con 0 y nk,. c) nk mk n m con 0 y n, k, m. Intervlos Otr mner de representr en símbolos conjuntos de números reles definidos por desigulddes es utilizndo l notción de intervlos. Los mismos se presentn con much frecuenci en el cálculo y corresponden geométricmente segmentos lineles. Est notción es un form más sencill de representr subconjuntos de l rect numéric. Se utilizn préntesis pr indicr que un extremo no pertenece (ese número no pertenece l intervlo) y corchetes pr indicr que el extremo pertenece (ese número pertenece l intervlo). Por ejemplo, pr, en l notción de intervlo el número menor se escribe siempre l izquierd del myor: A continución se resumen los posibles intervlos que pueden definirse, junto con su notción como conjunto y su representción gráfic en l rect numéric. Notción de conjunto Notción de intervlo Representción gráfic { } Intervlo cerrdo de. { } Intervlo bierto de 5

26 { } Intervlo semibierto derech. Abierto en. { } Intervlo semibierto izquierd. Abierto en. { } Intervlo semicerrdo. Cerrdo en. { } Intervlo semibierto. Abierto en. { } Intervlo semicerrdo. Cerrdo en. { } Intervlo semibierto. Abierto en. Los símbolos y no representn números; son símbolos que nos indicn que el intervlo no tiene un vlor máximo o un vlor mínimo. Por lo tnto, siempre se escribe un préntesis junto l símbolo. Vlor bsoluto El vlor bsoluto de un número rel se define como l distnci entre dicho número y el 0 en l rect numéric. Se denot escribiendo el número entre brrs. Por ejemplo:, 4 4 y 0 0. De est mner:, si 0 :, si 0 Propieddes del vlor bsoluto 1) El vlor bsoluto de culquier número rel es no negtivo : 0 ) El vlor bsoluto de dos números opuestos es el mismo: : 6

27 ) El vlor bsoluto del producto de dos números reles culesquier es igul l producto de los vlores bsolutos de dichos números:, b : b b 4) El vlor bsoluto del cociente de dos números reles culesquier es igul l cociente de los vlores bsolutos de dichos números:, b : : b : b 5) El vlor bsoluto de l sum de dos números reles culesquier es menor o igul que l sum de los vlores bsolutos de dichos números (desiguldd tringulr):, b : b b 6), k : k k k 7), k : k k k Notción científic Los científicos utilizn notción exponencil como un form compct de escribir números muy grndes o muy pequeños. Por ejemplo, l estrell más cercn, demás del Sol, Próxim Centuri, está proximdmente de km de distnci. L ms del átomo de hidrógeno es lrededor de 0, g. Estos números resultn difíciles de escribir y de leer, de modo que los científicos por lo generl los expresn en notción científic. Se dice que un número rel positivo x está escrito en notción científic si está expresdo como sigue: x 10 n donde 1 10 y n De est mner, l distnci de l Tierr l estrell Próxim Centuri puede escribirse medinte notción científic de l siguiente mner: Y l ms del átomo de hidrógeno: , , Rdicles Como no es posible convertir frcción un número irrcionl, se trbj con rdicles: expresiones formds por el signo rdicl y un expresión numéric o literl como rdicndo y demás ríces no excts. Anlizndo rdicndo e índices: Si n impr ríz rel únic y del mismo signo que el rdicndo Si n pr y rdicndo positivo dos ríces reles opuests. 1 7

28 Si n pr y rdicndo negtivo solución en. -1 no tiene solución, pues ningún número rel elevdo un potenci pr, d por resultdo un número negtivo. Pr evitr estos inconvenientes, se trbj con Rdicles Aritméticos, quellos donde + n. 1) Multiplicción o División del índice y el exponente por un mismo número nturl: El vlor de un rdicl no se lter si se multiplic o divide exctmente por un mismo número, el índice y el exponente. n t np t p np t p n t (este proceso se llm simplificción) ) Extrcción de fctores fuer del rdicl: En lgunos csos l simplificción no puede efecturse de modo directo, sin embrgo, si el exponente del rdicndo es myor que el índice, después de descomponer convenientemente el rdicndo, es posible utilizr l simplificción pr relizr extrcciones de fctores fuer del rdicl.. =. =. No es posible relizr extrcciones de fctores cundo el exponente del rdicndo es menor que el índice, en este cso se dice que el rdicl es irreducible. ) Rdicles Semejntes: Los rdicles ritméticos irreducibles que tienen el mismo índice y el mismo rdicndo, se llmn rdicles semejntes. Operciones con rdicles En ls expresiones m n, con mn,, n0, 0, se deben verificr ls siguientes condiciones pr operr de mner más sencill: L bse debe estr expresd como producto de fctores primos. El exponente m n : m o debe ser positivo: 0 n. o el numerdor debe ser menor que el denomindor: m n. o ser un frcción irreducible: mcd( m, n) 1. Ests condiciones tienen su justificción en dos teorems mtemáticos muy importntes: 8

29 El Teorem Fundmentl de l Aritmétic que firm que todo número entero, distinto de 1, -1 y 0 se puede representr de form únic como un producto finito de números primos. El otro nos sever que si p es un número primo y mcd(m, n) 1 ( m y n primos entre sí), entonces m n p es un número irrcionl. Adición y Sustrcción: l sum lgebric de rdicles semejntes es otro rdicl semejnte los ddos cuyo coeficiente es l sum lgebric de los coeficientes ddos. Pr determinr si rdicles no semejntes pueden trnsformrse en rdicles semejntes equivlentes los ddos, se extren los fctores posibles de cd rdicl: Cundo los rdicles no pueden reducirse rdicles semejntes, l operción qued indicd. Multiplicción: el producto de rdicles de igul índice, es otro rdicl de igul índice los ddos y rdicndo, el producto de los rdicndos fctores. El producto de rdicles de distinto índice se busc el común índice, o se el múltiplo común menor de los índices ddos, pr trnsformr dicho producto en rdicles de igul índice. O simplemente se los expres como potencis de exponente frccionrio y se plicn ls propieddes estudids de ls potencis

30 División: de rdicles de igul índice: de rdicles de distinto índice: : 4 : : : Pero esto sólo es posible si los rdicndos son posibles de dividir. : : 1 1 Aún l división no quedó resuelt por lo que se debe encontrr otr frcción equivlente ell en cuyo denomindor no figure un rdicl, o se un número rcionl, por ello este procedimiento se llm rcionlizción. 1) El denomindor es un rdicl único: Se multiplic numerdor y denomindor por un rdicl de mner tl que en el denomindor quede un número rcionl. 0

31 ) El denomindor es un binomio: Se multiplic numerdor y denomindor por l expresión conjugd del denomindor, pr que en el denomindor quede expresd un diferenci de cudrdos y sí obtener un número rcionl como divisor Observe que con l rcionlizción de denomindores, se está resolviendo un división plnted en el conjunto de los números irrcionles. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS A pesr de l definición del conjunto de los números reles, se presentron trvés de l histori cuestiones como hllr l solución de ecuciones como: x 1 0 l cul no tiene solución rel, es decir no existe ningún número rel cuyo cudrdo umentdo en 1 unidd se igul cero. Por este motivo surge l necesidd de mplir el conjunto de los números reles pr poder dr solución este problem y otros que verá lo lrgo de su crrer. Pr comenzr con l construcción de este nuevo conjunto numérico se define l unidd imginri i de l siguiente mner: i 1 A prtir de est definición se construye el conjunto de los números complejos siguiente mner: de l 1

32 { z bi /, b } De est mner, existe un correspondenci biunívoc entre los números complejos de l form z 0i y los números reles. Es decir, se cumple que. Este conjunto numérico se estudirá en myor profundidd en el espcio curriculr de Problemátic del Álgebr II. Ejercicios y problems 16) Resuelv y ubique el resultdo en el siguiente digrm de los conjuntos numéricos: ) 7 7 b) ( 7) : ( 8 ) c) 4 ( 16) : ( 1 ) d) 81 e) 5 :16 f) g) 64 h) 5 (6 ) i) 10 8 R C N0 Z Q I N 17) Todos los triángulos de l figur son rectángulos. El más pequeño tiene ctetos unitrios y, en los restntes, uno de los ctetos tienen medid igul 1. Clculá l medid de l hipotenus de los triángulos y trzá ls circunferencis con centro en 0 y rdio cd hipotenus. Qué números representn ls intersecciones de cd circunferenci con l rect numéric?

33 18) Represente en l rect numéric los siguientes números, construyendo triángulos rectángulos decudos como en el problem nterior: ) 5 b) 8 c) 10 d) 9 e) f) 19) Escrib: ) los dos números nturles más próximos entre los que se encuentr 67. b) los dos números decimles más próximos con un cifr deciml entre los que se encuentr 67. c) los dos números decimles más próximos con tres cifrs decimles entre los que se encuentr 67. 0) Trnsforme ls expresiones decimles en expresiones frccionris y resuelv: ) 0,... 0,6 0,06 5 b) (0, ) 0,5 4 c) 0,8 1 1, d) , (0,) 1) Indique si ls siguientes firmciones son verdders o flss, justificndo su respuest: 58 9 ) b) 0, c) ) Escrib tres números rcionles que se encuentren entre 1,4 y. ) Invente un número irrcionl myor que pero menor que,1. 4) Los siguientes números irrcionles fueron inventdos siguiendo un regl. Descubr dich regl y escrib ls 8 cifrs siguientes: ) 0, b) 0,

34 5) Encuentre un número irrcionl que esté entre y. Podrá encontrr otro? Justifique. 6) En el conjunto de todos los números x tles que x 8 ) Cuántos números nturles hy en este conjunto? Por qué? b) Cuántos números rcionles hy en este conjunto? Por qué? c) Cuántos números irrcionles hy en este conjunto? Por qué? d) Cuántos números reles hy en este conjunto? Por qué? 7) Extre todos los fctores que pued fuer del rdicl: ) b c 4 d 6 b) 8 b 5 c) 81 d) 5 64 b 5 c 8 8) Resuelv: ) b) c) d) e) f) (1 7) 9) Si l rist de un cubo mide 5. Clcule el perímetro y el áre de un cr del cuerpo. Luego el volumen de dicho cuerpo. 0) Clcule l medid de l digonl de un cubo de rist uniddes. 1) Resuelv ls siguientes operciones: ) b) c) d) f) g) e) 4

35 ) Exprese cd conjunto como intervlos y represéntelos en l rect numéric: A { x / 0 x } C x / x 10 1 B x / x 1 D x / x 1 5 E x / x G { x / x } 1 F x / x ) Escrib en notción científic el número indicdo en cd enuncido: ) El diámetro de un electrón es lrededor de 0, centímetros. b) Un got de gu contiene más de trillones de moléculs. c) L ms de l Tierr es de unos mg d) Tu edd en segundos. e) L ms de un molécul de oxígeno es de unos 0, mg. 4) Con l informción obtenid en el problem nterior, Cuánts moléculs de oxígeno llenrín el Plnet Tierr? 5) Un sl selld de un hospitl con medids 5m de ncho, 10m de lrgo y m de lto, está llen de oxígeno puro. Un metro cúbico contiene 1000L y,4l de culquier gs contienen 6, 0 10 moléculs. Cuánts moléculs de oxígeno hy en l sl? Bibliogrfí Demn, F. Precálculo. Séptim Edición. Ed. Person. (007). Kisbye, P. & Merlo, D. Cálculo Algebrico. Series C FMAF. (010). Lrson, R. Precálculo. Octv Edición. Ed. Cengge. (011). López, A. Mtemátic Modern Curt Edición. Ed. Stell. Rojo, A. Álgebr I. Noven Edición. Ed. El Ateneo Stewrt, J. Precálculo. Sext Edición. Ed. Cengge. (01). 5