5 REPASO Y APOYO OBJETIVO 1
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- Miguel Ángel Coronel Parra
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1 5 REPASO Y APOYO OBJETIVO 1 RECONOCER EL GRADO, LOS TÉRMINOS Y EL TÉRMINO INDEPENDIENTE DE UN POLINOMIO Nombre: Curso: echa: monomio coeficiente parte literal grado monomios semejantes ACTIVIDADES 1 Completa la tabla. Monomio Coeficiente Parte literal Grado 5x 3 5 x 3 3 2x 4 2x 3 y xy 2 Determina si son o no semejantes estos monomios. x 3 y 3 x 2 y 3 xy 2 7xy 2 x 3 y 14x 3 POLINOMIOS polinomio términos término independiente reducido grado 3 Determina los términos, el término independiente y el grado. Polinomio Términos Término independiente Grado P(x 4x 2 5x 2 Q(x 2x 3 40 R(x 10x 2 20x 40 S(x 40 T(x x 3 x MATEMÁTICAS 3. ESO
2 5 REPASO Y APOYO OBJETIVO 1 RECONOCER EL GRADO, LOS TÉRMINOS Y EL TÉRMINO INDEPENDIENTE DE UN POLINOMIO Nombre: Curso: echa: Dado el polinomio P(x) 5x 2 3x 2x 1 3: a) Obtén el polinomio reducido. b) Determina el grado del polinomio. c) Cuántos términos tiene el polinomio? Cuál es su término independiente? a) Para reducir un polinomio hay que resolver las operaciones que se puedan: P(x) 5x 2 3x 2x 1 3 P(x) 5x 2 x 2 Polinomio reducido b) El grado del polinomio es 2: P(x) 5x 2 x 2. c) El polinomio tiene tres términos y el número 2 es el término independiente. P(x) 5x 2 x 2 2 es el término independiente. Tiene tres términos. 4 Calcula el polinomio reducido. a) P(x) 4 3x 2 x x 2 1 b) P(x) x 4 4 3x 2 x x 2 1 3x 4 3x 5 Calcula el polinomio reducido y ordena sus términos de mayor a menor grado. P(x) 3x 5 2x 4 3x 4x 4 3x 2x 2 5 P(x) Tiene... términos. El término independiente es... El grado del polinomio es... Cómo es el polinomio, completo o incompleto?... 6 Reduce el polinomio y ordena sus términos de mayor a menor grado. P(x) 3x 3 2x x 3x 2 2x 3 P(x) Tiene... términos. El término independiente es... El grado del polinomio es... Cómo es el polinomio, completo o incompleto?... DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L. 253
3 5 REPASO Y APOYO OBJETIVO 2 DETERMINAR EL VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO Nombre: Curso: echa: VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO El valor numérico de un polinomio P(x), para cierto valor de la variable x a, se obtiene sustituyendo x por a y operando. En un polinomio, por ejemplo, P(x) 2x 2 1, se puede dar cualquier valor a la x. Para x 2 P(2) 2? (2) 2 1 2? El valor numérico del polinomio para x 2 es 9. Para x 10 P(10) 2? (10) 2 1 2? El valor numérico del polinomio para x 10 es 201. ACTIVIDADES 1 Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para x 1. a) P(x) x 1 x 1 P( ) ( ) 1 b) P(x) x 2 1 c) P(x) x 3 1 d) P(x) x Calcula el valor numérico de cada polinomio para el valor de la variable indicado. a) A(x) x 1, para x 1 b) B(x) 4x 5 6x 2 3, para x 1 c) C(x) 9x 4 7x 2 5, para x 1 d) D(x) x 3 x 2 x 2, para x DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L.
4 5 REPASO Y APOYO OBJETIVO 3 REALIZAR SUMAS Y RESTAS CON POLINOMIOS Nombre: Curso: echa: SUMAS Y RESTAS DE POLINOMIOS suma de dos polinomios se calcula sumando los coeficientes de los términos del mismo grado. resta de dos polinomios se calcula restando los coeficientes de los términos del mismo grado. solo se pueden sumar y restar los términos del mismo grado. Suma los siguientes polinomios: P(x) 3x 3 2x 2 5x 3 y Q(x) 4x 2 3x 2. Se puede realizar de dos maneras: En línea: solo se suman los términos del mismo grado. P(x) Q(x) 3x 3 2x 2 5x 3 4x 2 3x 2 3x 3 2x 2 2x 1 P(x) Q(x) 3x 3 2x 2 2x 1 En columna: P(x) 3x 3 2x 2 5x 3 4x 2 3x 2 P(x) Q(x) 3x 3 2x 2 2x 1 Resta los siguientes polinomios: P(x) 3x 3 5x 2 5 y Q(x) 5x 2 2x 7. Se puede realizar de dos maneras: En línea: el signo negativo delante del paréntesis afecta a todos los términos. P(x) Q(x) 3x 3 5x 2 5 (5x 2 2x 7) 3x 3 5x 2 5 5x 2 2x 7 3x 3 10x 2 2x 2 P(x) Q(x) 3x 3 10x 2 2x 2 En columna: P(x) 3x 3 5x 2 2x 5 Q(x) (5x 2 2x 7) P(x) 3x 3 10x 2 2x 2 ACTIVIDADES 1 Dados los polinomios P(x) x 3 2x 1 y Q(x) x 2 3x 2, halla P(x) Q(x) y P(x) Q(x), resolviendo las operaciones en línea y en columna. MATEMÁTICAS 3. ESO 255
5 5 REPASO Y APOYO OBJETIVO 3 REALIZAR SUMAS Y RESTAS CON POLINOMIOS Nombre: Curso: echa: 2 Calcula la suma y resta de cada par de polinomios. a) 3x 2x 2 x 4 Q (x) x 3 x 2 9x 3 b) x 7 8x 4 3 Q (x) x 5 3x 3 6 c) 10x 4 x 2 1 Q (x) x 5 7x 2 x d) x 4 x 3 2 Q (x) 3x 4 2x 3 x 5 e) 3x 3 2x 2 2 Q (x) 6x 4 x 3 3x DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L.
6 5 REPASO Y APOYO OBJETIVO 4 REALIZAR MULTIPLICACIONES CON POLINOMIOS Nombre: Curso: echa: PRODUCTO DE POLINOMIOS producto propiedad distributiva Multiplica los siguientes polinomios: P(x) 7x 3 2x 2 x 7 y Q(x) x 2 3. P(x)? Q(x) (7x 3 2x 2 x 7)? (x 2 3) Se multiplican todos los monomios de un polinomio por los monomios del otro polinomio. 7x 3? x 2 7x 3? 3 2x 2? x 2 2x 2? 3 x? x 2 x? 3 7? x 2 7? 3 7x 5 21x 3 2x 4 6x 2 x 3 3x 7x x 5 2x 4 22x 3 x 2 3x 21 P(x)? Q(x) 7x 5 2x 4 22x 3 x 2 3x 21 Se suman los términos semejantes. ACTIVIDADES 1 Multiplica los siguientes polinomios. a) P(x) 5x 2 7x Q(x) 2x 2 1 P(x)? Q(x) (5x 2 7x 3)? (2x 2 1) Multiplicamos los monomios. P(x)? Q(x) Sumamos los términos semejantes. b) P(x) x 3 Q(x) 5x 2 x 2 MATEMÁTICAS 3. ESO 257
7 5 REPASO Y APOYO REALIZAR MULTIPLICACIONES CON POLINOMIOS OBJETIVO 4 Nombre: Curso: echa: Multiplica los siguientes polinomios: P(x) 7x 3 2x 2 x 7 y Q(x) x 2 3. Resolvemos el ejercicio multiplicando en columna: 7x 3 2x 2 x 7 3 x x 3 6x 2 3x 21 7x 5 2x 4 21x 3 7x 2 3x 21 P(x)? Q(x) 7x 5 2x 4 22x 3 7x 2 3x 21 Producto de 3 por 7 x 3 2 x 2 x 7 Producto de x 2 por 7 x 3 2 x 2 x 7 Suma de monomios semejantes 2 Multiplica los polinomios: P(x) 5x 2 3x 4 y Q(x) 3x 2. 5x 2 3x 4 3 3x 2 Producto de 2 por 5 x 2 3 x 4 Producto de 3 x por 5 x 2 3x 4 P(x)? Q(x) Suma de monomios semejantes 3 Calcula el producto del polinomio R(x) x 3 1 y el polinomio S(x) x 3, utilizando la propiedad distributiva. 4 Halla el producto de los siguientes polinomios. a) R(x) x 3 1 y S(x) x b) R(x) x 4 x 1 y S(x) x DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L.
8 5 REPASO Y APOYO OBJETIVO 5 REALIZAR DIVISIONES CON POLINOMIOS Nombre: Curso: echa: DIVISIÓN DE POLINOMIOS P(x Q(x P(x Q(x). P(x Q(x C(x R(x) P(x) Q(x)? C(x) R(x) P(x) dividendo. Q(x) divisor. C(x) cociente. R(x) resto. R(x) división exacta. P(x) es divisible por Q(x). Divide los siguientes polinomios: P(x) 5x 3 3x 2 5x 7 y Q(x) x x 3 3x 2 5x 7 x 2 5 Hay que elegir un monomio que multiplicado por 2 nos dé 5 3 :? x 2 5 x 3. En este caso, 5x. 5x 3 3x 2 25x 7 x 2 5 5x 3 3x 2 25x 5x 3 5x 3 3x 2 20x 72 Multiplicamos 5x por cada uno de los términos del polinomio cociente (x 2 5), cambiamos de signo los resultados y los colocamos en su columna. A continuación, sumamos. 5x 3 3x 2 25x 27 x 2 5 5x 3 3x 2 25x 5x 3 5x 3 3x 2 20x 272 5x 3 3x 2 20x 152 5x 3 3x 2 20x 22 P(x) 5x 3 3x 2 5x 7 Q(x) x 2 5 C(x) 5x 3 R(x) 20x 22 Hay que buscar un monomio que multiplicado por x 2 nos dé 3x 2, en este caso 3. Multiplicamos 3 por x 2 5, cambiamos de signo los resultados y los colocamos en su columna. A continuación, sumamos. Hay que buscar un monomio que multiplicado por x 2 nos dé 20x, pero no existe ninguno. Por tanto, la división finaliza. MATEMÁTICAS 3. ESO 259
9 5 REPASO Y APOYO REALIZAR DIVISIONES CON POLINOMIOS OBJETIVO 5 Nombre: Curso: echa: ACTIVIDADES 1 Calcula las divisiones de polinomios y señala si son exactas o enteras. a) P(x) x 1, Q(x) x c) P(x) x 2 1, Q(x) x 1 b) P(x) x 2 5x 6, Q(x) x 2 d ) P(x) x 3 3x 2 2x, Q(x) x 2 Haz las divisiones y comprueba que P(x) Q(x)? C(x) R(x). a) P(x) x 3 1, Q(x) x c) P(x) x 3 1, Q(x) x 2 2 b) P(x) x 3 1, Q(x) x 1 d ) P(x) x 3 1, Q(x) x DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L.
10 5 REPASO Y APOYO OBJETIVO 6 IDENTIICAR Y DESARROLLAR IGUALDADES NOTABLES Nombre: Curso: echa: CUADRADO DE UNA SUMA (a b) 2 a 2 2ab b 2 (a b) 2 (a b)? (a b) a? a a? b a? b b? b a 2 2ab b 2 (x 3) 2 (x? (x x 2 x x 9 x 2 x 9 (4x y) 2 x y)? x y) x 2 xy xy y 2 x 2 8xy y 2 1 Desarrolla estas igualdades. x 2y) 2 (x 2y)? (x 2y) x 2 x y) 2 a b 2 ) 2 CUADRADO DE UNA DIERENCIA (a b) 2 a 2 2ab b 2 (a b) 2 (a b)? (a b) a? a a? b a? b b? b a 2 2ab b 2 (2y 3) 2 (2y? (2y y 2 y y 9 y 2 12y 9 (x 2 2) (x 2 2)? (x 2 2) x 2x 2 2x 2 x x 2 2 Desarrolla las siguientes igualdades. x y) 2 x y)? x y) x 2) 2 x y) 2 x a 2 ) 2 MATEMÁTICAS 3. ESO
11 REPASO Y APOYO 5 IDENTIICAR Y DESARROLLAR IGUALDADES NOTABLES OBJETIVO 6 Nombre: Curso: echa: PRODUCTO DE UNA SUMA POR UNA DIERENCIA (a b)? (a b) a 2 b 2 (a b)? (a b) a? a a? b a? b b? b a 2 b 2 (3x 2)? (3x 2) x 2 6x 6x 4 x 2 4 (5x 3y)? (5x 3y) 25x 2 15xy 15xy y 2 25x 2 y 2 3 Desarrolla las siguientes igualdades. (7x x 4 )? (7x x 4 ) b) (y x 2 )? (y x 2 ) x x 3 )? (x x 3 ) a 4 b )? (a 4 b) 4 Desarrolla. (x 5) 2 b) (2y 7) 2 xy 2yz)? (3xy 2yz) abc 1) 2 3x) 2 v 2z)? v 2z) xy x 3 ) 2 5 Desarrolla las igualdades. x 2) 2 (5x 1)? (2x 3) b) (x 3) 2 (x 2) MATEMÁTICAS 3. ESO
12 REPASO Y APOYO OBJETIVO 7 5 ACTORIZAR UN POLINOMIO Nombre: Curso: echa: actorizar un polinomio consiste en escribirlo como producto de sus polinomios divisores de menor grado. Para factorizar un polinomio utilizamos técnicas como sacar factor común (cuando todos los términos tienen un divisor común), las igualdades notables y la regla de Ruffini actoriza estos polinomios: a) P(x) x 3 3x 2 b) Q(x) 4x 2 8x 4 c) R(x) x 3 4x 2 x 6 a) Sacamos factor común x 2 : P(x) x 2? (x 3) y ya no lo podemos descomponer más. b) Sacamos el 4 factor común: Q(x) 4? (x 2 2x 1), la expresión entre paréntesis no sabemos si se puede descomponer más. Lo comprobamos bien calculando sus raíces, bien diviendo por Ruffini o pensamos si es equivalente a alguna de las identidades notables, como es el caso: Q(x) 4? (x 1) 2. c) Usamos Ruffini: Así R(x) (x 1)(x 2)(x 3) ACTIVIDADES 1 actoriza las siguientes expresiones: a) P(x) x 5 4x 4 b) Q(x) 3x 10 9x 9 c) R(x) x 6 8x 7 2 actoriza usando las identidades notables las siguientes expresiones: a) P(x) 4x 2 4x 1 b) Q(x) 3x 2 18x 27 c) R(x) x 2 2xy y 2 3 actoriza los siguientes polinomios: a) P(x) 2x 4 8x 2 b) Q(x) x 4 10x 2 9 c) R(x) x 3 102x 2 120x DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L. 263
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