Fecha de elaboración: Agosto de Fecha de última actualización: Julio de 2010

Transcripción

1 PROGRAMA DE ESTUDIO Programa Educativo: Área de Formación : Licenciatura en Matemáticas Integral Profesional Programa elaborado por: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias II Horas teóricas: 3 Horas prácticas: 2 Total de Horas: 5 Total de créditos: 8 Clave: F1123 Tipo : Carácter de la asignatura Asignatura Optativa Dr. Gamaliel Blé González Dr. Víctor Castellanos Vargas Fecha de elaboración: Agosto de 2004 Fecha de última actualización: Julio de 2010 Seriación explícita Asignatura antecedente No Asignatura subsecuente Seriación implícita Si F1123 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias II 1/7

2 Conocimientos previos: Métodos básicos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias Presentación El descubrimiento del cálculo, hecho en forma independiente por Newton y Leibniz en el siglo XVII, proporcionó el ímpetu para los grandes avances que siguieron en las matemáticas, la física e ingeniería. Una de las más importantes y fascinantes ramas de las matemáticas que proporcionó el medio para las formulaciones matemáticas y soluciones de variados problemas en estas áreas son las ecuaciones diferenciales. Con ellas se puede modelar diversos fenómenos físicos que surgen en la naturaleza. Por ejemplo, la segunda ley de Newton y la ecuación de enfriamiento son ecuaciones diferenciales que modelan fenómenos físicos comunes en la naturaleza. Para obtener información útil de dicho fenómeno es necesario encontrar las soluciones de las ecuaciones; para ello, existe una diversidad de métodos analíticos, cualitativos y numéricos. En este segundo curso se adquirirán habilidades para aplicar los métodos anteriores en la solución de una ecuación diferencial. Objetivo General Resolver analíticamente sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Conocer las técnicas cualitativas básicas para comprender la dinámica local de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineal. Conocer modelos que involucran sistemas de ecuaciones diferenciales. Competencias que se desarrollaran en esta asignatura Habilidad para representar gráficamente el campo vectorial dado por una ecuación diferencial. Capacidad para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. F1123 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias II 2/7

3 Capacidad para comprender cualitativamente las soluciones de ecuaciones no lineales. Actitud Crítica y responsable Competencias del perfil de egreso que apoya esta asignatura Capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas. Capacidad para formular problemas en lenguaje matemático, de forma tal que se faciliten su análisis y su solución. Salón de clases, biblioteca y seminarios. Escenario de aprendizaje Perfil sugerido del docente Licenciado en Matemáticas, preferentemente con Posgrado en Matemáticas. Contenido Temático Unidad No. I Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Objetivo particular Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales usando resultados de álgebra lineal. F1123 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias II 3/7

4 Hrs. estimadas 30 Temas 1.1. Introducción 1.2. Sistemas lineales desacoplados 1.3. Diagonalización Sistemas lineales en R Operador exponencial 1.6. Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales 1.7. Valores propios reales distintos 1.8. Valores propios repetidos 1.9. Valores propios complejos Forma canónica de Jordan Teorema de estabilidad para sistemas lineales Aplicaciones. Resultados del aprendizaje Comprensión del método para resolver sistemas de ecuaciones lineales y conocimiento de modelos matemáticos que usan sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos en cada uno de los conceptos. Trabajar en la clase en grupos pequeños. Mostrar la fortaleza del álgebra lineal, aplicándola a resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Abordar ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados. Dirigir el planteamiento y las estrategias de solución a los problemas planteados. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades Estrategias y criterios de evaluación Resolución de problemas. Preguntas escritas. Preguntas orales. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos. F1123 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias II 4/7

5 Unidad No. 2 Teoría Local de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales no Lineales Objetivo particular Conocer los métodos básicos para analizar localmente las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales Hrs. estimadas 25 Temas Resultados del aprendizaje Sugerencias didácticas Estrategias y criterios de evaluación 2.1. Plano fase 2.2. Teorema de Existencia y Unicidad 2.3. Clasificación de puntos de equilibrio en el plano Linearización Teorema de Hartman- Grobman Sistemas hiperbólicos 2.7. Flujo de una ecuación diferencial Conocimiento del método de análisis local para entender el comportamiento de las soluciones de una ecuación diferencial no lineal. Identificación de los puntos de equilibrio de un sistema y su dinámica local en el caso hiperbólico Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos en cada uno de los conceptos. Aplicar el Teorema de Hartman-Grobman a sistemas que involucren dos o tres ecuaciones. Trabajar en la clase en grupos pequeños. Abordar ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados. Dirigir el planteamiento y las estrategias de solución a los problemas planteados. Asignar problemas y Resolución de problemas. Preguntas escritas. Preguntas orales. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos. F1123 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias II 5/7

6 ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades Unidad No. 3 Teoría Global de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales no Lineales Objetivo particular Conocer algunos métodos para analizar cualitativamente las soluciones globales de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales Hrs. estimadas 25 Temas 3.1. Funciones de Lyapunov 3.2. Sistemas gradientes y sistemas hamiltonianos Bifurcaciones 3.4. Aplicaciones Resultados del aprendizaje Conocimiento de las funciones de Lyapunov y de las estrategias para encontrarlas. Identificación de los sistemas gradientes y de los hamiltonianos. Dibujo del retrato fase de un sistema gradiente o hamiltoniano. Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor. Presentación de las ecuaciones de segundo orden y su deducción de los modelos físicos asociados. Trabajar en la clase en grupos pequeños. Abordar ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados. Dirigir el planteamiento y las estrategias de solución a los problemas planteados. Estrategias y criterios de evaluación Resolución de problemas. Preguntas escritas. Preguntas orales. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos. F1123 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias II 6/7

7 Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades Bibliografía básica 1. Blanchard, P., Devaney, R., Hall, G. (1999). Ecuaciones Diferenciales. México: International Thomson Editores. 2. Braun, M. (1990). Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones. México: Grupo Editorial Iberoamérica. 3. Hubbard, J.H., West, B. H. (1995). Differential Equations: A dynamical systems approach. New York: Springer Verlag. 4. Perko, L. (2001). Differential Equations and Dynamical Systems. Third Edition. USA: Springer. 5. Zill, D. G., Cullen, M. R. (2002). Ecuaciones Diferenciales con Problemas de Valores en la Frontera 7 a ed. México: 6. Thomson Learning. Bibliografía complementaria 1. Hirsch, M. W., Smale, S. (2004). Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. 2 nd ed. New York: Academic Press. 2. Norsett, S.P., Wanner G. (2000). Solving Ordinary Differential Equations, Vol. I, II. New York: Springer-Verlag. 3. Wiggings, S. (1990). An Introduction to Applied non Linear Dynamical Systems and Chaos. New York: Springer- Verlag. 4. Wiggings, S. (1988). Global Bifurcations and Chaos: Analytical Methods (Applied Mathematical Sciences). New York: Springer-Verlag. F1123 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias II 7/7