unidad 9 Problemas métricos en el plano

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Carmen Espejo Navarro
hace 6 años
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1 unidad 9 Problemas métricos en el plano Propiedades de los ángulo en los polígonos Página 1 Los ángulos de un triángulo suman 180. Los ángulos de un polígono de n lados suman 180 (n 2), pues se puede descomponer en n 2 triángulos. El ángulo de un polígono regular mide 180 (n 2). n El ángulo central de un polígono regular de n lados mide 360 n actividades 1 En un decágono regular (10 lados), calcula la suma de todos sus ángulos, y las amplitudes de uno de sus ángulos y de su ángulo central.

2 unidad 9 Problemas métricos en el plano La importancia de los triángulos rectángulos en las figuras planas Página 2 La altura de un triángulo determina dos triángulos rectángulos. B 1 2 A H C H B A C A BH y C BH son triángulos rectángulos. En muchos cuadriláteros, algunos de sus elementos se relacionan mediante triángulos rectángulos En los polígonos regulares, un triángulo rectángulo relaciona el lado y la apotema. Circunferencias y rectas también configuran interesantes triángulos rectángulos actividades 2 Determina un triángulo rectángulo y nombra sus lados en cada figura.

3 2. Ampliación teórica: demostración de esta propiedad Pág. 1 de 1 Propiedad La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del arco que abarca, es decir, a la mitad del ángulo central correspondiente. Por tanto, dos ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales. Demostración Para demostrar la afirmación anterior, se dan tres casos: 1. Si uno de los lados del ángulo pasa por el centro de la circunferencia: El triángulo VOQ es isósceles, pues OV y OQ son radios de la circunferencia. Por tanto, ➀ a. 2. Si el centro queda dentro de los dos lados del ángulo: Puesto que los ángulos de un triángulo suman 180 : ➁ 180 (a + ➀) 180 2a Puesto que ➂ es suplementario de ➁ : ➂ 180 ➁ 180 (180 2a) 2a ì Por tanto, ➂ 2a, es decir, PVQ es igual a la mitad del arco que a b a rc a. Trazamos una semirrecta r que pasa por V y por O. Dicha re c t a divide el ángulo en otros dos, cada uno de los cuales está en el caso anterior (1. ). Por tanto, cada uno de ellos es la mitad del arco que abarca: ) a a 1 + a 2 ; PQ 2a 1 + 2a 2 2(a 1 + a 2 ) 2a ì Es decir, PVQ a es igual a la mitad del arco que abarca. 3. Si el centro de la circunferencia queda en el exterior de los lados del ángulo: Trazamos una recta que pasa por V y por el centro de la circ u n f e- re n c i a. En este caso: a a 1 a 2 ; ) PQ 2a 1 2a 2 2(a 1 a 2 ) 2a 8 a P ) Q 2 Es decir, también en este caso, ì PVQ a es igual a la mitad del arco que abarca.

4 3. Ampliación teórica: teorema de Tales Pág. 1 de 3 Rectas paralelas que cortan a otras dos Las rectas a, b y c son paralelas y cortan a las rectas r y s. Si los segmentos AB y BC son iguales, entonces los segmentos A'B' y B'C' son iguales. AB BC ò A'B' B'C' También aquí las rectas a, b y c son paralelas y cortan a las rectas r y s. El segmento AB es doble que el BC. Por tanto, A'B' es doble que B'C'. AB 2 BC ò A'B' 2 B'C' El siguiente teorema generaliza estos resultados: Teorema de Tales Si las rectas a, b y c son paralelas y cortan a otras dos rectas, r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales: AB A'B' BC B'C' También ocurre lo recíproco: si los segmentos AB y BC son proporcionales a A' B' y B'C', y las rectas a y b son paralelas, entonces la recta c es paralela a ellas.

5 3. Ampliación teórica: teorema de Tales Pág. 2 de 3 Aplicaciones de este teorema 1. Tomando medidas sobre este dibujo, vemos que: AB 2,3 cm BC 1,5 cm B'C' 2,4 cm Sin tomar medidas, podemos averiguar la longitud de A ' B '. Puesto que las rectas a, b y c son paralelas, los segmentos que determinan en r y s son proporcionales. Por tanto: AB BC El segmento A'B' mide 3,68 cm. A'B' 2,3 8 A'B' 8 A'B' 2,3 2,4 3,68 cm B'C' 1,5 2,4 1,5 2. Para calcular B'C' x en esta figura, se puede aplicar el teorema de Tales. Para aplicar el teorema de Tales necesitamos, al menos, tres rectas paralelas. Las rectas b y c lo son. La tercera es la que corta a las dos rectas r y s en el mismo punto A. Por tanto: AB BC A'B' 8 2,5 4 8 x 4 1,5 2,4 cm B'C' 1,5 x 2,5

6 3. Ampliación teórica: teorema de Tales Pág. 3 de 3 Propiedad Dos triángulos en posición de Tales son semejantes. Demostración Para demostrar que esta propiedad es cierta, se ha de probar que si dos triángulos están en posición de Tales, entonces sus ángulos son respectivamente iguales y sus lados proporcionales. Sus ángulos son iguales: El ángulo A ì es común a los dos triángulos. B ì ' B ì y C ì ' C ì por ser ángulos correspondientes entre paralelas. Sus lados son proporcionales: Aplicando el teorema de Tales: c b Trazando por C ' una paralela a A B y aplicando nuevamente el teorema de Tales, se obtiene c' b' a b. a' b' Por lo tanto, se llega a demostrar lo que se quería, a b c. a' b' c'

7 4. Ampliación teórica: criterios de semajanza de triángulos Pág. 1 de 2 Para saber si dos triángulos son semejantes no es necesario comprobar en ellos todas las condiciones de semejanza. Será suficiente ver que se cumplen algunas de ellas. Primer criterio Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales. ABC es semejante a A'B'C' si: A ì A ì ' y B ì B ì ' Es así porque, en tal caso, también C ì C ì ' y los dos triángulos se pueden poner en posición de Ta l e s. Segundo criterio Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales. ABC es semejante a A'B'C' si: a' b' c' a b c Esto es así porque, en ese caso, podemos ponerlos en posición de Tales sobre cualquiera de sus vért i c e s. 10, ,5 1,5 4 5 SON SEMEJANTES

8 4. Ampliación teórica: criterios de semajanza de triángulos Pág. 2 de 2 Tercer criterio Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales. ABC es semejante a A'B'C' si: A ì A ì ' y b' b c' c E s así porque, en tal caso, se pueden poner en posición de Tales sobre el vértice A.

9 5. Ampliación teórica: rectas tangentes a circunferencias Pág. 1 de 2 Estas son las posiciones relativas de una recta y una circunferencia: Tangente desde un punto a una circunferencia Desde un punto exterior se pueden trazar dos tangentes a una circunferencia. Cada una de ellas es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Por tanto, el triángulo de lados d, r y t es rectángulo: d 2 r 2 + t 2 Veamos un ejemplo. Si se traza una circunferencia de 15 cm de radio con centro en un punto O, y desde un punto P que dista 39 cm de O se traza una recta tangente en T a la circunferencia, podemos hallar la longitud PT del siguiente modo: PT PT 36 cm

10 5. Ampliación teórica: rectas tangentes a circunferencias Pág. 2 de 2 Tangentes comunes a dos circunferencias Tanto si las circunferencias son exteriores como si son secantes, se pueden trazar dos rectas tangentes comunes exteriores a las dos circunferencias. El cuadrilátero TT'O'O es un trapecio rectángulo. Si las circunferencias son externas, tienen, además, dos tangentes comunes interiores. Las correas sinfín son una aplicación de las tangentes comunes a dos circunferencias. Cuando las ruedas han de girar en el mismo sentido, las correas serán tangentes exteriormente. Si las ruedas han de girar en sentido inverso, las correas serán tangentes interiormente. Veamos un ejemplo. En estas circ u n f e rencias, r 9 cm, r' 5 cm y t 1 19, 6 c m. Calculemos t 2 (tangente interior). OO' 20 cm, El triángulo sombreado en verde es rectángulo. La hipotenusa es d 20 cm. Los catetos son r + r' 14 cm y t 2, longitud del segmento buscado. t ,3 cm

11 6. Tramas de circunferencias Pág. 1 de 1

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