MATRICES Y DETERMINANTES CCNN

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1 NOCIONES BÁSICAS Ls mtrices precen como consecuenci de ordenr los números en form de fils y columns. Ls línes horizontles se llmn fils, mientrs que ls línes verticles se llmn columns. - fil - column Pr nombrrls, se utilizn letrs myúsculs: mtriz A, mtriz B, etc. Dimensión u orden de un mtriz: es el número de fils y columns que tiene l mtriz (se indic primero el número de fils). Ejemplos: A Dimensión ( x ) o tmbién (,). B Dimensión (x ) o (,). Pr referirnos un elemento de un mtriz, lo hcemos con l mism letr con l que se nombr l mtriz, pero en minúscul, indicndo con subíndices l fil y l column donde se encuentr como se ve en el ejemplo: M m ; m - ; m -, etc. Podemos clsificr ls mtrices en dos grndes grupos: ) Mtrices rectngulres: son quells en ls que el número de fils es distinto l número de columns. b) Mtrices cudrds: son quells en ls que el número de fils es igul l número de columns. En ls mtrices cudrds, en lugr de decir que l dimensión de l mtriz es ( x ), se dice que tenemos un mtriz de orden. Págin de

2 Mtriz trspuest de otr mtriz A: Se nombr A t y es quell mtriz que tiene como fils ls columns de l mtriz A (luego tendrá como columns ls fils de l mtriz A). Ejemplo: B ; B t Tipos de mtrices: ) Dentro de ls rectngulres, tenemos: - Mtriz fil: es quell que solo tiene un fil. C - dimensión (, ) - Mtriz column: es quell que solo tiene un column. A dimensión ( x ) b) Mtrices cudrds: digonl secundri digonl principl - Mtriz digonl: es quell que tiene todos sus elementos nulos, excepto los de l digonl principl. Págin de

3 Págin de - Mtriz esclr: es quell que tiene todos sus elementos nulos, excepto los de l digonl principl que son todos igules. - Mtriz unidd o identidd (I): es quell que tiene todos sus elementos nulos, excepto los de l digonl principl que son unos. I ; I - Mtriz simétric: es quell mtriz que es igul que su trspuest (A A t ). Ejemplo: A ; A t - Mtriz ntisimétric: es quell mtriz que es igul l opuest de su trspuest (A - A t ). Ejemplo: B ; B t

4 Págin de OPERACIONES CON MATRICES ) Sum (rest): pr que dos mtrices sen sumbles, tienen que tener l mism dimensión. L sum de dos mtrices es otr mtriz de l mism dimensión cuyos elementos se obtienen sumndo los elementos de ls dos mtrices que ocupn el mismo lugr. Ejemplos: A ; B A + B ) ( ) ( ) ( A - B ) ( ) ( ) ( b) Producto de un mtriz por un número: el producto de un mtriz por un número es otr mtriz de l mism dimensión que se obtiene multiplicndo todos los elementos de l mtriz por dicho número. Ejemplos: A A ; A A / / /

5 c) Producto de mtrices: - Pr que dos mtrices puedn multiplicrse, el número de columns de l mtriz de l izquierd tiene que ser igul l número de fils de l mtriz de l derech. - El producto de dos mtrices es otr mtriz que tiene igul número de fils que l mtriz de l izquierd e igul número de columns que l mtriz de l derech. - El producto de mtrices no es conmuttivo (A B B A). - Pr relizr el producto de dos mtrices, se multiplicn ls fils de l mtriz de l izquierd por ls columns de l mtriz de l derech como se ve en los siguientes ejemplos: A ; B Dimensión de A ( x ) ; dimensión de B ( x ), se puede relizr el producto A B, y que el número de columns de l mtriz de l izquierd coincide con el número de fils de l mtriz de l derech. No se puede relizr el producto B A, y que el numero de columns de l mtriz B () es distinto que el número de fils de l mtriz A (). L dimensión de l mtriz A B será ( x ). A B F C F C F C F C F C F C Otro ejemplo: M ; N Dimensión de M (,) ; dimensión de N (,) Págin de

6 F C + + M N F C + + d) Elevr un mtriz un número: pr elevr un mtriz un número, se multiplic l mtriz por si mism tnts veces como indique el exponente. Solo puede hcerse est operción en mtrices cudrds. Ejemplo: A A A A A DETERMINANTES El determinnte de un mtriz cudrd, es un número socido l mtriz. Solo tienen determinntes ls mtrices cudrds. Notción: A determinnte de l mtriz A. Ejemplo: Mtriz A ; Determinnte de A: A Propieddes: ) Si los elementos de un líne (fil o column) son todos nulos, el determinnte vle cero. Ejemplo: A, y que C ) Si en un determinnte, tenemos dos línes prlels igules, el determinnte vle cero. Ejemplo: A, y que F F Págin de

7 ) Si en un determinnte, tenemos dos línes prlels proporcionles, el determinnte vle cero. Ejemplo: A, y que F F ) Si en un determinnte, un de sus línes es combinción linel de ls otrs, el determinnte vle cero. Ejemplo: A, y que F F F (- - ) ( - ) ( -) De form generl, se puede expresr que un líne (por ejemplo, l fil ) es combinción linel de ls demás de l siguiente form: F α F + β F, donde α y β pueden ser culquier número rel (incluido el cero) ) Si en un determinnte sustituimos un de sus línes por un combinción linel de ls otrs, el determinnte no vrí. Ejemplo: A, y que F F + F F (- - -) (- ) + ( - ) ( ) En generl: F F + α F + β F Importnte: l ntigu fil (F ) no puede multiplicrse por ningún número. α y β pueden ser culquier número rel (incluido el cero). ) Si en un determinnte cmbimos dos línes prlels de orden, el determinnte cmbi de signo. Ejemplo: A -, y que C C Págin de

8 Págin de ) A t A ) Si en un líne los elementos están compuestos por un sum de dos sumndos, el determinnte se puede descomponer en l sum de dos determinntes como se indic en el ejemplo: MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO En un mtriz A, se llm menor complementrio de un elemento ij l determinnte de l mtriz que se obtiene suprimiendo l fil i y l column j en l mtriz A. El menor complementrio del elemento ij se designn por α ij. Ejemplo: Dd l mtriz A, clculr el menor complementrio del elemento., luego α El djunto de un elemento es el menor complementrio del mismo, si l sum de su fil y su column es pr y es el opuesto de su menor complementrio, si l sum de su fil y su column es impr. Al djunto del elemento ij se le llm A ij. A ij (-) i+j α ij

9 Ejemplo: Dd l mtriz A, clculr el djunto del elemento., luego A (-) + - DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR UNA DE SUS LÍNEAS Podemos desrrollr un determinnte por un de sus línes multiplicndo cd elemento de l líne por su djunto correspondiente. De est form conseguimos reducir en uno el orden de los determinntes clculr. Ejemplo: Vmos desrrollr este determinnte por l fil : A + A + A - + Con esto conseguimos psr de un determinnte de orden, tres determinntes de orden que son más fáciles de clculr como veremos más delnte. CÁLCULO DE DETERMINANTES ) De orden : el determinnte se obtiene como diferenci entre el producto de los elementos de l digonl principl menos el producto de los elementos de l digonl secundri. Ejemplo: B (-) (-) Págin de

10 ) De orden : dos métodos: - Método de Srrus: se obtiene el determinnte como sum de productos positivos menos productos negtivos como se ve en el ejemplo: (-) + (-) (-) (-) Método del pivote: Consiste en nulr todos los elementos de un líne plicndo l propiedd número y, continución, desrrollr el determinnte por dich líne. Ejemplo:, lo primero que hy que hcer es elegir l líne en l que vmos hcer los ceros. Son línes buens pr hcer ceros ls que tienen o. Si demás de y, l líne tiene y lgún cero hecho, pues mejor. En nuestro cso, podrímos elegir ls línes siguientes: fils y y column. De tods ells, nos quedmos con l fil, y que demás del, y tenemos un cero hecho. Un vez que hemos decidido l líne en l que vmos hcer los ceros, hy que sber que si l líne elegid es un fil, vmos trbjr con columns pr hcer los ceros. En nuestro cso, dejmos ls columns del y del como están y modificmos l column medinte l propiedd. Pr ello, tenemos que pensr por qué número multiplicmos l column del pr que l sumársel l column obtengmos un cero donde estb el. Pr logrrlo, hy que multiplicr dich column por., C C + C (propiedd ). Págin de

11 Con esto conseguimos que todos los elementos de l líne elegid (fil ) sen ceros, excepto uno de ellos. Ahor desrrollmos el determinnte por l fil : + - (-) + Con este método conseguimos reducir en uno el orden del determinnte clculr. En nuestro cso, en lugr de clculr un determinnte de orden, hemos reducido l cálculo de un determinnte de orden. Otro ejemplo: vmos clculr el mismo determinnte, pero hciendo ceros hor en l column. Como vmos hcer los ceros en un column, trbjmos con fils. En nuestro cso, vmos dejr l fil como está y vmos ver por qué número hy que multiplicrl pr que l sumársel l fil, obtengmos un cero donde está el. Hy que multiplicrl por. Análogmente, pr conseguir un cero donde está el, hy que multiplicr l fil por. ; F F + F () y F F + F (-) (propiedd ) Observr que pr obtener los ceros, trbjmos siempre con l líne del o del (en este cso con l fil ). Ahor desrrollmos el determinnte por l column : (-) (-) - + MATRIZ ADJUNTA DE UNA MATRIZ A Notción: Adj A: mtriz djunt de l mtriz A L mtriz djunt de un mtriz dd A, es l mtriz formd por los djuntos de los elementos de l mtriz A. Ejemplo: A A ; Adj A A A A A A A A A Págin de

12 A ; A -, A -, A -, A -, A -, A -, A -, A -, A -. Luego: Adj A MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ A (solo mtrices cudrds) Notción: A - : mtriz invers de l mtriz A L mtriz invers de l mtriz A es quell mtriz que cumple: A A - A - AI siendo I l mtriz unidd o identidd. Recordr que no tods ls mtrices cudrds tienen invers, pr que un mtriz cudrd teng invers, su determinnte h de ser distinto de cero (mtriz regulr). Cálculo de l mtriz invers por el método de los djuntos: Se plic l siguiente fórmul: A - ( AdjA) A t Ejemplo: Clculr l mtriz invers de l mtriz A ) Clculmos el determinnte de l mtriz A por el método del pivote. Hcemos ceros en l fil, luego trbjmos con l column del (column ): A - C C + C (-) C C + C (-) Págin de

13 Págin de ) Clculmos hor l mtriz djunt de l mtriz A: Adj A, (Adj A) t ) Aplicmos l fórmul: A - A A Adj t ) ( ) Comprobción: A A - Not: (Adj A) t Adj A t MENOR DE UNA MATRIZ Es culquier determinnte que obtengmos de un mtriz suprimiendo ls fils y columns que quermos. Ejemplos: Dd l mtriz A, es un menor de orden de l mtriz A que se obtiene eliminndo ls fils y y ls columns, y. A, es otro menor de l mtriz A que se obtiene eliminndo l fil y ls columns y.

14 RANGO DE UNA MATRIZ MATRICES Y DETERMINANTES CCNN Se llm rngo de un mtriz l orden del myor menor no nulo. Ejemplo: A. Est mtriz es de dimensión ( x ). Esto quiere decir que el rngo de est mtriz estrá comprendido entre y (y que no podemos formr determinntes de orden l ser el número de fils). Si encontrmos un menor de orden distinto de cero, el rngo de l mtriz será myor o igul que. Si encontrmos un menor distinto de cero de orden, el rngo será myor o igul que. Y sí sucesivmente. Método generl pr clculr el rngo de un mtriz: se l mtriz:. Este método consiste en prtiendo de un determinnte de orden, orlrlo determinntes de orden hst que encontremos uno distinto de cero. Luego se orl el determinnte de orden uno de orden y sí sucesivmente. Este método nos permite no tener que clculr todos los menores que se pueden obtener de l mtriz correspondiente. Lo primero, hy que buscr un determinnte de orden uno que se distinto de cero. Culquier de los elementos nos servirí en este cso. Elegimos el elemento. Ahor lo vmos convirtiendo en determinntes de orden utilizndo l fil siguiente. Tenemos posibles mpliciones:,,,, Supongmos que los determinntes fuesen nulos (en relidd, ninguno de ellos lo es). Podrímos eliminr entonces l fil, con lo que l mtriz quedrí: Págin de

15 . Repetimos el proceso nterior, mplindo hor con los elementos de l ntigu fil. Tendrímos ls siguientes mpliciones:,,. Supongmos que estos determinntes son tmbién nulos (en l relidd no lo son). Podrímos eliminr l ntigu fil, con lo que l mtriz quedrí: ( ). Por tnto, concluirímos diciendo que l mtriz A es de rngo, y que no puede ser l tener solo un fil y no poder formr menores de orden. Supongmos hor, que en l primer mplición, el determinnte nos sle distinto de cero, es decir:. Como hemos encontrdo un menor de orden distinto de cero, podemos decir que el rngo de l mtriz A es por lo menos, es decir, Rg(A). Ahor, tomndo como bse este menor, lo orlmos con l fil siguiente hst obtener menores de orden. Tenemos posibles mpliciones: y, Supongmos que estos dos determinntes fuern nulos. Podrímos eliminr l fil, por lo que concluirímos diciendo que el rngo de l mtriz A es, y que hemos encontrdo un menor de orden distinto de cero y y no podemos mplir menores de orden puesto que solo nos quedn dos fils. En cmbio, si lgun de ls dos mpliciones fuer distint de cero, concluirímos diciendo que el rngo de l mtriz A es, y que hbrímos encontrdo un menor de orden distinto de cero y no podrímos formr menores de orden y que solo tenemos dos fils. Págin de

16 Regls generles pr el cálculo del rngo de un mtriz: ) Si en un líne todos los elementos son nulos, podemos eliminr dich líne pr el cálculo del rngo. ) Si un líne es igul o proporcionl otr (prlel), podemos eliminrl pr el cálculo del rngo. ) Si un líne es combinción linel de ls otrs, podemos eliminrl pr el cálculo del rngo. Ejemplo: clculr el rngo de l mtriz A - Rg(A). Ahor orlmos este menor pr convertirlo en uno de orden con l siguiente fil: - Rg(A). A continución, orlmos este menor hst convertirlo en uno de orden. Solo tenemos un posibilidd: (-) Rg(A), y que hemos encontrdo un menor de orden que no es cero y el único menor de orden que podemos formr es igul cero. ECUACIONES MATRICIALES Son nálogs ls ecuciones ordinris de primer grdo, pero quí los dtos y ls incógnits son mtrices. Se resuelven nálogmente ls ecuciones de primer grdo, excepto cundo hy que dividir, y que en mtrices no existe l división. Ejemplo: Resolver l ecución mtricil: A X + B C, donde A, B y C son mtrices conocids y X es l mtriz que queremos clculr. Págin de

17 Al igul que en ls ecuciones ordinris, cundo queremos despejr l incógnit, l dejmos sol en un miembro. Pues quí hcemos lo mismo, psmos l mtriz B l otro miembro (psrá restndo): A X C B Si fuer un ecución de primer grdo, hor psrímos l A dividiendo y y tendrímos despejd l X, pero quí no podemos porque no existe l división de mtrices. Pr slvr esto, multiplicmos los dos miembros por l izquierd (recordr que el producto de mtrices no es conmuttivo) por l invers de l mtriz A: A - A X A - (C B) Sbemos que A - A I, luego: I X A - (C B) y como I X X, nos qued que: X A - (C B) Otros ejemplos: ) A X B C A - A X B A - C I X B A - C X B A - C Ahor multiplicmos los dos miembros por l derech por l invers de l mtriz B: X B B - A - C B - X I A - C B - - X A - C B b) A X + B X C Scmos fctor común en el primer miembro: (A + B) X C y hor multiplicmos por l izquierd por l invers de l mtriz (A + B): (A + B) - (A + B) X (A + B) - C I X (A + B) - C X (A + B) - C c) Dds ls mtrices A y B A X + X B Est ecución mtricil es igul que est otr: A X + I X B, y que I X X Scmos fctor común en el primer miembro: (A + I) X B y multiplicmos por l invers de l mtriz (A + I):, resolver l ecución mtricil Págin de

18 Págin de (A + I) - (A + I) X (A + I) - B I X (A + I) - B X (A + I) - B Por tnto: A + I + A + I Adj(A + I) (Adj(A + I)) t, luego: (A + I) -, por tnto: X

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