VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R 2 Y R 3

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Eugenio Díaz Hernández
hace 6 años
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Profesionl en Técnics de Ingenierí VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R Y R 3 1. Puntos en R y R 3 Un pr ordendo (, ) y un tern ordend (,, c) representn puntos de IR y IR 3, respectivmente.

1 Profesionl en Técnics de Ingenierí VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R Y R 3 1. Puntos en R y R 3 Un pr ordendo (, ) y un tern ordend (,, c) representn puntos de IR y IR 3, respectivmente.,, c, se denominn coordends del punto. P(, ) c P(,, c) IR IR 3. Vectores en R y R 3 Un pr (, ) no solmente design un punto, tmién design un vector cuy representción gráfic es un flech. Pr grficrl, se escoge un punto culquier del plno (punto inicil) y de llí se recorren dos direcciones: uniddes prlels l eje X y uniddes prlels l eje Y, según el signo de ls componentes. Se unen el punto inicil y finl del recorrido con un flech con el cezl en el punto finl. punto finl punto inicil De mner similr se grficn vectores de IR 3. v =(,, c) v c

2 Profesionl en Técnics de Ingenierí Los puntos se denotn por un letr simple (P) mientrs que los vectores se denotn por un letr con un flech encim ( v ) Not. Ddos los puntos inicil A y finl B, de un vector (de R o R 3 ). El vector entre ellos se determin como: A AB = B - A B Punto finl menos punto inicil Ej. Determinr el vector AB, si A= (-, 3,1) y B= (3, 0 -) AB = (3, 0 -) (-, 3,1) =(5, -3, -3) 3. Rdio vector Cd punto, del plno o del espcio, tiene socido un vector llmdo rdio vector o vector posición r, como se muestr en l siguiente figur. P = (, ) P = (,, c) Su punto inicil es el origen de coordends. r r = (, ) r = (,, c) 4. Operciones con vectores. Ls siguientes operciones se definen pr vectores de IR pero, slvo 4.4, son igulmente válids pr vectores de IR 3 Sen = ( 1, ), = ( 1, ) 4.1 Sum de vectores: s = + = (1, ) + ( 1, ) = ( 1 + 1, + ) s

3 Profesionl en Técnics de Ingenierí 4.. Producto por un esclr r IR: r(, ) = (r, r) r Ej. 3(4, 5) = (3x4, 3x(-5))= (1, 15) 4.3 Producto esclr: ( 1, ).( 1, ) = Ej. Si = (-,3), = (5,), clculr.. (-,3).(5,)= (-)x5 +3x = 10+6 = Producto vectoril (sólo pr vectores de IR 3 ): ( 1,, 3 ) ( 1,, 3 )= ( 3 3, , 1 1 ) Ej. Si = (-,3,1), = (5,,0), clculr x. Un mner fácil de recordr est operción es disponiendo los vectores como se muestr, luego multiplicmos y restmos en l dirección de ls flechs Producto y diferenci de flechs zules: 0 = Producto y diferenci de flechs rojs: 0 5 = Producto y diferenci de flechs negrs: 4 15 = 19 x =(, 5, 19) L coordend del centro cmi de signo

4 Profesionl en Técnics de Ingenierí 5. Módulo. Ddo un vector = ( 1, ) se define su módulo como: = + 1 Pr un vector = ( 1,, 3 ) l definición es similr: = El módulo represent l longitud de l flech. Ej. Clculr el módulo de = (-, 3, 1) = ( ) = Vector unitrio. Es un vector cuyo módulo es igul l unidd. u = 1 Ej. 1.. u = (0, 1) es unitrio porque u = u = (senα, cosα) es unitrio porque u = = 1 = 1 sen α + cos α = 1 = 1 Not. Los vectores (1, 0), (0, 1) se denotn por ı, ȷ, respectivmente. Esto es: ı, = (1, 0) ȷ = (0, 1). Similrmente, en R 3 : ı, = (1, 0, 0) ȷ = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1).

5 Profesionl en Técnics de Ingenierí 7. Dirección. Ddo un vector = ( 1, ) se define su dirección como el ángulo θ tl que θ θ = rctg ( / 1 ) Ej. Clculr l dirección del vector = (1, 3) Progrmmos l clculdor en modo pol : Tenemos, simultánemente: el módulo r =3, 163 y l dirección θ =1,490 rd<> 71,565º Not 1. Ddo el módulo y l dirección de un vector, éste se puede determinr de l siguiente mner: = (cos θ, sen θ) 7.1 Not. L dirección θ + π es l dirección opuest de θ. θ +π θ Pr un vector v = (v 1, v, v 3 ) se definen sus ángulos directores medinte sus respectivos cosenos directores:

6 Profesionl en Técnics de Ingenierí γ β α v = (v 1, v, v 3 ) v1 v v3 cos α =, cosβ =, cosγ = v v v cos α + cos β + cos γ = 1 Ej. Clculr los ángulos directores de = (-, 3, 1). = cos -1 - =11,09º 15 β= cos -1 3 =39,3º Vector unitrio. γ= cos -1 1 =75,04º 15 Si no es unitrio y 0 se define el vector unitrio en l dirección de como: u = Ej. Clculr el vector unitrio en l dirección de = (-, 3, 1). (-, 3, 1) = 15 = ( 15, 3 15, 1 15 ) 9. Vectores prlelos. Dos vectores, son prlelos ( // ) si existe r IR tl que: = r Ej. (4, 0) // (-, 0) porque: (4, 0) = -(-, 0)

7 Profesionl en Técnics de Ingenierí Not 1. Si = ( 1, ), = ( 1, ) y ningun componente es cero se tiene: // 1 = L mism propiedd se puede hcer extensiv pr vectores de IR Vectores ortogonles. Not. Si, IR 3 : // = 0 8. Dos vectores, son ortogonles ( ) si: = 0 Ej. (-3, 4 ) (1, 9) porque (-3, 4 ).(1, 9)= = = 10. Si = ( 1, ), se define el vector ortogonl de como: = (, 1 ) 90º Ej. (- 3, 4) = (- 4, - 3) 11. Rects en R y R 3 L representción vectoril de rects en IR 3 es igulmente válid pr rects en IR, con ls slveddes del cso. P o P L P = P o + t, t IR 11.1

8 Profesionl en Técnics de Ingenierí L: rect de IR 3, P o : punto de pso de L. : vector director o dirección de L. t se denomin prámetro de l rect. Ej. Determinr l ecución vectoril de l rect que ps por P o =(,5) y prlel con =(-, 7) Usmos 11.1: P= (,5) + t(-, 7), t IR Not. Si se elimin el prámetro de un rect en IR se otiene l ecución generl de l rect; y, en IR 3 se otiene l ecución simétric. 1. Plnos en IR 3. P o P P P = P o + r + s ; r, s IR 1.1 P: plno en IR 3, P o : punto de pso de P., : vectores genertrices de P. r, s se denominn prámetros del plno P. P: punto culquier de P Ej. Un plno que ps por (, 4, -1) cuys genertrices son (0,, 5) y (3, -3, 4) tiene por ecución P = (, 4, -1)+r(0,, 5) + s(3, -3, 4) r, s IR

9 Profesionl en Técnics de Ingenierí 13. Norml Todo vector perpendiculr l plno se denomin norml del plno. En prticulr el vector es un norml. Culquier otr norml es prlel ( = r n ). n = (n1, n, n 3 ) 14. Ecución generl Ls componentes de l norml formn prte de l ecución generl del plno: n 1 x + n y + n 3 z + k = Ej. Clculr l ecución generl del plno del ejemplo en 1. Clculmos l norml sd en el producto vectoril de los generdores: = (0,, 5), = (3, -3, 4), = (3, -15, -6) L ecución del plno, momentánemente, es: 3x 15y 6z + k = 0 (1) Clculemos k, pr ello usmos el punto (, 4, -1), lo reemplzmos en (1): 3() 15(4) 6(-1) + k = 0 k = 7 Finlmente tenemos l ecución complet del plno: 3x 15y 6z + 7 = 0

10 Profesionl en Técnics de Ingenierí I. Efectur: 1. (1,, 3) + 3(1, 3, 1) 5(, 3, 4).. (1, 0, 3) (1, 4, 5) 3(,, 1). 3. [(, 5, 3) (1,, 3)] (4, 5, 1). 4. [(, 5, 3) (1,, 3)] (4, 5, 1). 5. [(1,, 0) 3(, 3, 1)] (1, 0, ) (1, 1, 5) II. Clculr los módulos indicdos: EJERCICIOS PROPUESTOS 1.,. (, 5, 3) 3. (1,, 3) + 3(1, 3, 1) 4. [(, 5, 3) (1,, 3)] (4, 5, 1) 5. (1, 1, 3) (, 3, 1) (0, 0, ) III. Hllr los vectores ortogonles correspondientes, luego clcule los respectivos módulos. ) ( 3,) ) (4,5) c) (, 1) d) ( 6, 7) IV. 1. Si A =(8, 6), B =(, 3), hllr el vector AB, y el vector BA.. Si A = (8, 6) y AB = (5, 3), hllr B. 3. Si B = (1, 4) y AB = (4, 0), hllr A. V. Determinr el módulo y l dirección correspondiente cd vector: 1. (5, 6). ( 3, ) 3. ( 3, 5) 4. (4, 7). VI. Determinr los cosenos y ángulos directores correspondientes cd vector: 1. (, 6, 5). ( 3,, 1) 3. ( 1,, 1) 4. (4,, 0). VII. Determine cuáles de los siguientes vectores son unitrios, en el cso que no lo sen determine el correspondiente unitrio en es dirección 1. ( 3,4). (0, 1) 3. (5, 6) 4. ( 3, ) 5. (, 5, 3) 6. ( /, /,0) 7. ( 1,, 1) 8. (4,, 0).

11 Profesionl en Técnics de Ingenierí VIII. Determinr ls componentes del vector correspondiente, ddos su módulo y dirección: 1. 8; 45º. 7; 15º 3. 6; 300º 4. 10; 30º IX. ) Hllr el vlor de x si los vectores ddos son prlelos: 1. (x, 6); (x 1, 4). (x+1, 3); (x 1, ) ) Hllr el vlor de x si los vectores ddos son ortogonles: 1. (x, 6); (x 10, 4). (x+1, 3); (x 1, ) X. 1. Hllr l ecución de l rect que ps por el punto (0, 1, ) y que es prlel l vector (, 0, 9).. Hllr l ecución de l rect que ps por los puntos: (, 1, 4) y (3, 5, 1). 3. Hllr l ecución de l rect que ps por (, 1, 4) y que es prlel l rect L= {(4,, 3) + t (1, 1, 0) / t IR} 4. Hllr l ecución de l rect que ps por (, 1, 4) y que es ortogonl l rect L= {(4,, 3) + t(1, 1, 0) / t IR}. 5. Hllr l ecución de l rect que es ortogonl ls rects L 1 = {(1,, 1) + t(1, 1, 1) / t IR} y L = {(3,, 1) + t(1,, 3) / t IR}. XI. 1. Hllr l ecución generl del plno que ps por los puntos: ( 3,, 1), ( 1,, 1) y (4,, 0).. Hllr l ecución generl del plno que ps por el punto: ( 1, 3, 4) y que es ortogonl l rect L = {(, 3, 5) + t(4,, 5) / t IR}. 3. Hllr l ecución generl del plno que ps por el punto ( 3, 5, ) y que es prlelo l plno x +3y z +1 = Hllr l ecución generl del plno que ps por el punto ( 3,, ) y que es prlelo ls rects L 1 = {(1,, 1) + t (1, 1, 1) / t IR} y L = {(3,, 1) + t(1,, 3) / t IR}.

12 Profesionl en Técnics de Ingenierí 5. Hllr l ecución del plno OPQR. P O Q 4 3 R XII. 1. Hllr l ecución de l rect que ps por el punto (0, 0, 5) que es ortogonl l plno 3x +4y +5z 9 = 0.. Hllr l intersección de l rect que ps por los puntos ( 1,, 1), (3,, 0) con el plno 3x + 6y z 4 = 0.

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