Estimación de incertidumbres en calibración de Osciladores

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1 Estmacón de ncertdumbres en calbracón de Oscladores J. Maurco López R. Dvsón de Tempo Frecuenca Centro Naconal de Metrología Resumen La frecuenca de salda de los oscladores debe ser consderada como un mensurando dependente del tempo. Las señales de frecuenca son contamnadas por rudo cuo espectro puede ser caracterzado de manera drecta por medcones en el domno de la frecuenca o ben por medcones en el domno del tempo. Los resultados de medcón para un valor específco de la frecuenca de Fourer en las medcones en el domno de la frecuenca están relaconados con la varanza de Allan estmada para un tempo de premedacón específco cuando se utlzan los métodos de medcón en el domno del tempo. La ncertdumbre de medcón en oscladores está íntmamente relaconada con la establdad del msmo, la cual es caracterzada en el domno del tempo por la varanza de Allan.. Introduccón Abordamos en estas notas algunos comentaros sobre uno de los puntos centrales en la metrología de tempo frecuenca, la estmacón de ncertdumbres. Para tal efecto, comenzaremos ctando a manera de ejemplo un caso que audará a entender los aspectos más mportantes nvolucrados en la estmacón de ncertdumbres en la calbracón de oscladores. La fgura presenta un gráfco de las medcones de dferenca de fase. Dchas medcones fueron tomadas por espaco de 5 días realzando una medcón cada 0 segundos. La referenca de frecuenca utlzada en este caso fue un reloj atómco de ceso de alto desempeño. Independentemente de los oscladores nvolucrados, el ejemplo lustra las consderacones en el análss de las medcones de un proceso de calbracón para determnar la desvacón de frecuenca de un osclador así como su establdad en últma nstanca las ncertdumbres de medcón. Encuentro Naconal de Metrología Eléctrca 007

2 Fgura. Gráfco de la dferenca de fase entre un reloj atómco de rubdo un reloj atómco de Ceso de alto desempeño. Cómo puede observarse en el gráfco, la dferenca de fase entre ambos oscladores muestra una dependenca con el tempo que puede ser modelada, en prmera aproxmacón, por una funcón lneal en el tempo. La pendente que presenta dcha funcón es una medda del promedo de la dferenca fracconal de frecuencas entre ambos oscladores. En el ejemplo que nos ocupa tenemos que: f f o =, () Dé esta relacón encontramos que la desvacón fracconal de frecuenca del osclador bajo calbracón puede ser consderada en una prmera aproxmacón, como constante, esto es, ndependente del tempo. Sn embargo, hacendo un análss de los resduos de las medcones respecto al ajuste de una recta por mínmos cuadrados se tene que dchos resduos son de la forma que ndca la fgura. Fgura. Resduos entre los resultados de la medcón el ajuste a una recta. Encuentro Naconal de Metrología Eléctrca 007

3 Por un lado, la pendente de la línea que resulta del ajuste de las medcones a una recta arroja nformacón sobre el valor promedo de la desvacón fracconal de frecuenca del osclador bajo calbracón, mentras que por otro los resduos dan nformacón sobre la caldad del ajuste por lo tanto están de alguna manera relaconados con la ncertdumbre en la determnacón de la desvacón fracconal de frecuenca.. Establdad en frecuenca varanza de Allan Es mu mportante notar que la nformacón contenda en los resduos consdera todos los efectos sstemátcos que nfluen sobre el desempeño del osclador bajo calbracón. Entre tales efectos se encuentran los producdos por: temperatura, humedad, presón, vbracones, etc. Por lo anteror, es de suma mportanca realzar una correcta evaluacón de la nformacón contenda en este tpo de medcones. La desvacón fracconal de frecuenca mostrada en la ecuacón () es un efecto sstemátco, por lo tanto predecble, en consecuenca susceptble de ser corregdo. Supóngase que prevamente a la calbracón se utlzó algún método para corregr en osclador la desvacón fracconal de frecuenca representada por la ecuacón (3.5), en tal caso es claro que los resultados de la medcón serían los resduos mostrado en la fgura anteror. Dchos resultados de medcón no mostrarían un comportamento predecble, de alguna manera sstemátco, sno que mostrarían un comportamento aleatoro. En tal caso la determnacón de la desvacón fracconal de frecuenca se converte en una tarea mu nteresante. Es claro que la desvacón fracconal de frecuenca dependería del nstante de medcón, por ejemplo, s se mde en el prmera qunta parte del tempo de calbracón se encontraría un resultado mu cercano a mentras que s se mde en la últma qunta porcón se tene un valor próxmo a La fgura sguente lustra tal caso: Fgura 3. La desvacón fracconal de frecuenca de un osclador en general es funcón del tempo. En el prmer ntervalo de tempo mostrado en la fgura la desvacón fracconal de frecuenca es del orden de + 0 -, mentras que en el segundo segmento tene un valor cercano a Encuentro Naconal de Metrología Eléctrca 007

4 Tal como se puede observar, para este caso ( en general para todos los casos de las medcones de tempo frecuenca) no exste una determnacón únca de la dferenca fracconal de frecuenca para los datos ndcados en la fgura 3. Más aún, la desvacón fracconal de frecuenca depende del tempo de promedacón ó ventana de observacón. Resulta clara la necesdad de recurrr a un método estadístco que permta hacer la evaluacón de los corrmentos de frecuenca que están nvolucrados en la fgura 3.. El estmador estadístco para evaluar las desvacones fracconales de frecuenca como funcón de la ventana de observacón (o tempos de promedacón) es justamente la varanza de Allan (o varanza modfcada de Allan, según corresponda), la cual a se ha ntroducdo en seccones anterores. Es mportante hacer notar aquí la clara relacón entre la varanza de Allan la estmacón de ncertdumbres en los procesos de calbracón de oscladores. 3. Incertdumbre de calbracón Resulta claro que las desvacones fracconales de frecuenca, que son funcones de la ventana de observacón, determnadas a partr del análss de los resduos mostrados en la fgura 3 deben ser nterpretadas como factores de ncertdumbre en la dferenca fracconal de frecuenca promedo. De esta manera está justfcado escrbr que: f f o f = f ± σ (τ ), () f donde el térmno representa a la desvacón fracconal de frecuenca promedo, la f cual es constante (ndependente del tempo). Mentras que el térmno (τ ) representa la desvacón de Allan (la desvacón de Allan es la raíz cuadrada de la varanza de Allan). La relacón anteror es mu mportante en los procesos de calbracón de oscladores a que por un lado aporta nformacón sobre la desvacón fracconal de frecuenca promedo por otro ndca la establdad en frecuenca del osclador nterpretada como ncertdumbre en la determnacón de la desvacón fracconal de frecuenca total del osclador. La relacón (3.6) puede ser consderada como válda s la funcón (τ ) está plenamente especfcada. Dcha especfcacón puede darse de σ manera gráfca, analítca o en tablas. Para el ejemplo que nos ocupa, la desvacón fracconal de frecuencas total está dada por: σ f f o =, ± σ ( τ ) (3) donde σ (τ ) está dada por la tabla sguente. 4 Encuentro Naconal de Metrología Eléctrca 007

5 Tabla Establdad en frecuenca del osclador bajo calbracón denotada por la raíz de la varanza de Allan, AVAR τ(s) Raíz de Barras de Incertdumbre AVAR Inferor Superor 0 6,7X0-6,X0-6,3X0-0 4,9X0-4,5X0-4,33X0-40 3,00X0 -,95X0-3,04X0-80,09X0 -,99X0 -,0X0-60,46X0 -,06X0 -,34X0-30,04X0-9,56X0-3,5X ,65X0-3 7,X0-3 8,7X ,X0-3 6,7X0-3 7,8X ,55X0-3 7,89X0-3 9,34X0-3 50,05X0-9,54X0-3,6X0-000,3X0 -,0X0 -,9X0-0500,40X0 -,X0 -,64X ,95X0-3 8,37X0-3,3X ,83X0-3 6,3X0-3,05X ,94X0-3,83X0-3 6,5X0-3 Tabla 3.. Establdad en frecuenca del osclador bajo calbracón denotada por la raíz de la varanza de Allan, AVAR. Al rescrbr la relacón anteror para expresar la frecuenca del osclador bajo calbracón como funcón de la frecuenca del osclador patrón, se tene que: 0 f = (,56 0 ± σ ( τ )) f o (4) donde f es la frecuenca del nstrumento bajo calbracón, f0 es la frecuenca patrón. Nótese de esta relacón que la ncertdumbre en la estmacón de σ (τ ) es una ncertdumbre de segundo orden (ncertdumbre de la ncertdumbre) en la estmacón de la frecuenca del osclador bajo calbracón. Tal ncertdumbre en (τ ) es rara vez consdera en los procesos de calbracón. Conclusones La frecuenca de los oscladores debe ser consderada como un mensurando dependente del tempo. Las señales de frecuenca son contamnadas por rudo cuo espectro puede ser caracterzado de manera drecta por medcones en el domno de la frecuenca o ben por medcones en el domno del tempo. La ncertdumbre de medcón en oscladores está íntmamente relaconada con la establdad del msmo, la cual es caracterzada en el domno del tempo por la varanza de Allan. La estmacón de la establdad del osclador bajo calbracón por medo de la varanza de Allan toma en cuenta el total de los factores de nfluenca que actúan sobre el osclador. La varanza σ 5 Encuentro Naconal de Metrología Eléctrca 007

6 de Allan es nterpretada como la ncertdumbre de medcón la cual depende tambén del tempo de premedacón τ. Apéndce. Defncón de la varanza de Allan En este apéndce se defne el estmador de dspersón para la dferenca fracconal de frecuenca más mportante en la metrología de tempo frecuenca; la varanza de Allan. En prmer térmno presentamos la defncón matemátca, posterormente, se dscute su dependenca con el tempo de promedacón τ. Consdérese las N- submuestras de medcones { }, {, }, {, },..., { N }, 3 3 4, N (A.) de la muestra {, } M que es el conjunto de medcones de =, 3,..., N dferenca fracconal de frecuenca. Denotaremos por σ a la varanza estándar de la submuestra {, + }. La varanza de Allan, σ, de la muestra M está defnda por la relacón: σ = (A.) σ donde sgnfca promedo. En térmnos de las varanzas fracconales de frecuenca,, la varanza de Allan puede ser escrta en la forma σ = ( ) (A.3) donde = +, o en térmnos de las dferencas de fase x = τ ( ) σ x (A.4) 0 con = + = x+ x+ x + x, es decr: N = σ ( x+ x+ + x ) (A.5) τ 0 ( N ) = σ es una medda de la establdad en frecuenca para tempos de observacón (o premedacón) de τ 0. De la muestra M x se puede obtener la establdad en frecuenca del En la defncón estrctamente formal de la varanza de Allan el promedo,, se consdera sobre nfntas varanzas σ. Por supuesto, esto tene sus obvas restrccones expermentales. 6 Encuentro Naconal de Metrología Eléctrca 007

7 osclador bajo prueba para tempos de promedacón τ que son múltplos enteros de τ 0, τ=mτ 0 con m=,, 3,..., N/3, de la sguente manera. De la muestra { x x x } M =,..., (A.6), x, 3 x N se toma una de las m submuestras de la forma { x x, x x } M x = k, k+ m k+ m,..., k + lm (A.7) con k m- (N-m-k)/m l (N-m)/m (por facldad se puede tomar k=, en consecuenca, l es la parte entera del cocente (N-)/M. La varanza de Allan calculada a partr de esta muestra es una estmacón de la varanza de Allan para tempos de promedacón de τ=mτ 0 de la muestra M x. Es mu nteresante consderar la dependenca funconal de la varanza de Allan respecto al tempo de promedacón τ. En la tabla sguente se resume la correspondenca entre los térmnos de la densdad espectral de frecuenca la varanza de Allan para los cnco tpos de rudo más comunes en los oscladores. Tpo de rudo S (f) σ (τ) Whte phase modulaton h f 3f h h /4π τ ln(πf h τ ) Flcker phase modulaton h f 4π h τ Whte frequenc modulaton h 0 h 0 /τ Flcker frequenc modulaton h - f - h - ln Ramdom walk frequenc modulaton h- f - 4πh - τ/6 Tabla.. Correspondenca entre los térmnos de la densdad espectral de frecuenca la varanza de Allan para los cnco tpos de rudo mas mportantes en los oscladores de alta exacttud. Por razones de convergenca, se ha supuesto que para frecuencas maores a la frecuenca de corte f h la densdad espectral de frecuenca es cero. La dependenca funconal de σ respecto al parámetro τ es de la forma σ τ µ, de manera que σ es funcón de τ por lo tanto, la notacón σ (τ) está justfcada. Los Nótese que de la muestra M x sólo se puede obtener la establdad en frecuenca del osclador bajo prueba para tempos no menores que τ 0. En el caso que sea necesaro calcular la establdad para tempos de promedacón τ <τ 0 será necesaro realzar un expermento para obtener una muestra de medcones x =x(t ) con la condcón t + -t < τ /k, donde k es un entero postvo. 7 Encuentro Naconal de Metrología Eléctrca 007

8 cnco tpos de rudo presentes en los oscladores corresponden a dferentes valores del parámetro µ en la varanza de Allan de acuerdo a la sguente relacón: ) µ = - Random walk frequenc modulaton ) µ = - Flcker frequenc modulaton 3) µ = -/ Whte frequenc modulaton 4) µ = 0 Flcker phase modulaton 5) µ = +/ Whte phase modulaton En la fgura sguente se muestra una gráfca típca de establdad de frecuenca medda en térmnos de la varanza de Allan. Obsérvese la dependenca de dependenca lneal por ntervalos de logσ repecto de la varable logτ. En la fgura se ndca que σ tene la msma dependenca funconal de τ tanto para el rudo whte phase modulaton como para el rudo flcker phase modulaton, en este sentdo decmos que la varanza de Allan no dstngue tales rudos entre sí. En el caso en que es necesara hacer dstncón entre estos dos tpos de rudo se requere la ntroduccón de un nuevo estmador para la dferenca fracconal de frecuenca. En la sguente seccón se presenta la varanza de Allan modfcada, denotada por Modσ, la cual tene la mportante propedad de dstngur los rudos whte phase modulaton flcker phase modulaton Whte PM o flcker PM logσ Whte FM Flcker PM logτ Random walk FM Fgura.. Dependenca típca de la establdad en frecuenca de oscladores de alta exacttud, medda en térmnos de la varanza de Allan, como funcón del tempo de observacón τ. Resulta claro que la nterpretacón de la varanza de Allan debe darse en el marco de la estadístca. Una vez defnda la varanza de Allan los cnco tpos de rudo presentes en los oscladores estamos en condcones de hacer una comparacón de las dferencas en el cálculo de la establdad de frecuenca utlzando por un lado la varanza estándar por otro la varanza de Allan. Este es un punto mu mportante a que a menudo no se entende la mportanca de utlzar la varanza de Allan como estmador de la establdad en frecuenca de los oscladores. En el únco caso en el cual el resultado de evaluar la 8 Encuentro Naconal de Metrología Eléctrca 007

9 establdad de frecuenca utlzando la varanza estándar la varanza de Allan es el msmo es aquel en el que la señal de frecuenca está contamnada con rudo blanco de frecuenca (whte frequenc nose). Para el caso en que la contrbucón de rudo en la señal es del tpo random walk frequenc nose la dferenca entre la varanza estándar la varanza de Allan crece rápdamente en la medda que el número de medcones aumenta, específcamente se tene que: σ ( N, τ ) σ (, τ ) N (A.8) donde σ ( N, τ ) representa la varanza estándar calculada para tempos de promedacón τ, σ (, τ ) es la varanza de Allan calculada para tempos de promedacón τ N es el número de medcones. La constante de proporconaldad es cercana a. La σ ( N, τ ) dependenca de cocente respecto al número de medcones para el caso de los σ (, τ ) otros tpos de rudo se muestra gráfcamente en la fgura., en donde el coefcente µ está dado por la relacón σ (, τ ) τ µ (A.9) µ= µ= σ ( N, τ ) σ (, τ ) 0 µ=0 0 0 µ=- µ= N (número de medcones) 9 Encuentro Naconal de Metrología Eléctrca 007

10 σ ( N, τ ) Fgura. Dependenca del cocente respecto al número de medcones N. σ (, τ ) Donde σ ( N, τ ) representa la varanza estándar calculada para tempos de promedacón τ, σ (, τ ) es la varanza de Allan calculada para tempos de promedacón τ 0 Encuentro Naconal de Metrología Eléctrca 007

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