15. Cristales clásicos: modos normales.

Transcripción

1 Mecáica Cuática Avazada Carlos Pea Cristales clásicos: modos ormales. [Yd 7] Motivació Los cristales puede ser utilizados como modelos prototípicos de u sistema de muchos cuerpos, e el que los grados de libertad físicos relevates para la diámica (e.g. los fooes) emerge como propiedades colectivas a las que cotribuye muchas iteraccioes a ivel microscópico etre los costituyetes fudametales (átomos, y, e e el caso de materiales (semi)coductores, electroes libres). u cristal bidimesioal, desde el puto de vista de los úcleos u cristal bidimesioal, desde el puto de vista de los electroes Más allá de revisitar aspectos eseciales de la diámica de u cristal desde u puto de vista de física fudametal, os cocetraremos e cómo tratar la diámica de u sistema de muchos cuerpos (i.e. muchos operadores {(ˆx 1, ˆp 1 ),..., (ˆx N, ˆp N )) usado campos ˆφ(x, t). 1 Esto se puede hacer de dos maeras diferetes: (i) Se defie u campo clásico que cotiee las vibracioes de muchos sitios de ua red, y a cotiuació se defie amplitudes cuáticas usado ua (geeralizació de la) itegral de camio. Partiedo de dichas amplitudes, es posible defiir estados cuáticos de ua partícula (fooes). (ii) Se defie estados de ua partícula e el espacio de Fock, y a cotiuació, usado u procedimieto llamado cuatizació caóica, se defie u campo cuático. Esta costrucció (que, como veremos, está basada e el tratamieto del oscilador armóico co operadores de destrucció y aiquilació) es llamada formalismo de seguda cuatizació. Nuestra estrategia cosistirá e estudiar primero e detalle el problema e el límite clásico, y a cotiuació aplicar el segudo procedimieto (cuatizació caóica) 1 Para teer ua medida de comparació, recuérdese e.g. cómo e la hidrodiámica clásica se describe u fluido o e térmios de las posicioes {x i, i = 1,..., N de sus costituyetes, sio de la desidad ρ(x, t) = P N i=1 δ(3) [x x i(t)].

2 15- Mecáica Cuática Avazada Carlos Pea para estudiarlo a ivel cuático. El formalismo de itegral de camio será ilustrado a u ivel elemetal usado el ejemplo del codesado de Bose-Eistei. Hamiltoiao: cosideracioes geerales Cosideremos ua cadea uidimesioal co espaciado a y átomos e las posicioes x, y desplazamietos q := x x,0 alrededor de sus posicioes de equilibrio. Co el fi de elucidar alguos coceptos, cosideraremos tato ua cadea ifiita como ua co u úmero fiito N de átomos (y por lo tato ua logitud fiita L = Na) y codicioes de cotoro periódicas. E ambos casos los úmeros de oda k del sistema está restrigidos al itervalo [, π/a], debido al espaciado fiito de la cadea; pero para la cadea ifiita k es cotiuo e el itervalo, mietras que para la cadea fiita k está cuatizado e uidades de π L. Estas codicioes, obviamete, implica restriccioes sobre los valores posibles de las eergías y frecuecias características del sistema. = π Na N 1... a a La eergía ciética total será T = k 1 m ẋ = k 1 m q := k p m. (15.1) La eergía potecial total V será, e geeral, ua fució de todos los desplazamietos {q. Si las iteraccioes etre átomos cercaos so lo suficietemete débiles, será razoable desarrollar V e serie de Taylor, V (q 1, q,...) = V 0 + V q + 1 V q q + O(q 3 ) V 0 := V (0, 0,...) ; V := V ; V := V q q q Supodremos que qk =0 k qk =0 k. (15.)

3 Mecáica Cuática Avazada Carlos Pea 15-3 (i) El potecial es real; e particular, V R,. (ii) Las iteraccioes so simétricas, i.e. el potecial o cambia si se itercambia dos putos de la cadea. Esto implica, e particular, V = V. (iii) El sistema es ivariate bajo traslacioes; esto implica, e particular, V = 0. Si cosideramos ua cadea fiita, V será ua matriz N N. Al ser dicha matriz real y simétrica, sus autovalores será o egativos, y existirá u sistema de coordeadas Q = R m q, co R T R = 1, e el que V = diag(ω 1, Ω,...). Ua vez realizado este cambio de variables, y despreciado los térmios O(q 3 ) e el desarrollo de V, el hamiltoiao del sistema se podrá escribir como H = H + V 0, H = 1 Q + 1 Ω Q = N α, α (t) := Ω { Q + i N Ω Q, (15.3) i.e. ua suma de hamiltoiaos de oscilador armóico para cada uo de los átomos de la cadea. {Q se llama coordeadas ormales, y {α (aquí defiidos salvo ua ormalizació N, de cuyo valor os ocuparemos más tarde), se llama modos ormales. Es trivial ver que estos últimos satisface la ecuació de movimieto α (t) = iω α (t) α (t) = α (0)e iωt, (15.4) dode α (0) está fijado por las codicioes iiciales. El valor de V 0 es físicamete irrelevate, y sirve para fijar el cero de eergías. E el caso de ua cadea ifiita la úica diferecia es que la matriz V tiee dimesió ifiita, y el espectro de frecuecias asociado será cotiuo e lugar de discreto. A cotiuació veremos u ejemplo explícito. Este ejercicio os ha eseñado que, para iteraccioes suficietemete pequeñas, el sistema se puede describir como ua superposició de osciladores armóicos idepedietes, y toda la iformació diámica está coteida e el espectro de frecuecias {Ω. Evidetemete, ecotrar {α y {Ω, que depede del potecial de iteracció cocreto, es u problema e geeral complicado. Para seguir covecioes habituales, hemos reescaleado co u factor m para pasar a coordeadas ormales, de maera que e este último hamiltoiao o aparece masas.

4 15-4 Mecáica Cuática Avazada Carlos Pea Sistema de osciladores idepedietes El caso trivial de potecial de iteracció específico es ua combiació de osciladores idepedietes co masas y frecuecias idéticas, descrita por H = { p m + 1 mω q + V 0. (15.5) E este sistema las coordeadas ormales so, simplemete, Q = mq, y Ω = ω. Los modos ormales so (p = m q ) α (t) = mω { q + i mω p, (15.6) dode la ormalizació N de (15.3) ha sido fijada de ua forma que resultará coveiete a la hora de cuatizar el sistema. 3 La relació iversa etre modos ormales y variables caóicas es q (t) = mω [α (t) + α(t)], p (t) = i mω [α (t) α(t)], Sustituyedo e (15.9) co λ = 0 se obtiee imediatamete (15.7) H = ω α (t) + V 0, (15.8) y la ecuació de movimieto es α (t) = α (0)e iωt. Cadea ifiita co iteracció a primeros vecios: solució e modos ormales Ahora resolveremos explícitamete el caso o trivial más secillo: u sistema co todos los átomos iguales (m = m ) y u potecial de iteracció a primeros vecios que sólo depede de dos parámetros positivos (ω, λ), H = { p m + 1 mω q + 1 λ(q +1 q ) + V 0, (15.9) 3 Obviamete, el sistema clásico o sabe ada sobre!

5 Mecáica Cuática Avazada Carlos Pea 15-5 y cuyas correspodietes ecuacioes de Hamilto so q (t) = 1 m p (t), ṗ (t) = mω q (t) + λ [q +1 (t) + q 1 (t) q (t)]. (15.10) Para ecotrar los modos ormales, pasamos al espacio de mometos y propoemos como asatz ua expasió e modos de Fourier de la forma 4 α(k, t) = A(k) e ika {q (t) + i m p (t). (15.11) E esta expresió los coeficietes de la expasió tiee la misma forma que α, co la sustitució ω, dode es el espectro de autofrecuecias; y A(k) es u factor de ormalizació que ajustaremos de maera coveiete. Nuestro objetivo es ecotrar el valor de que hace que la ecuació de movimieto para el modo ormal tega la forma correcta Para ello calculamos α(k, t): α(k, t) = A(k) { e ika i q (t) + m ṗ(t) = (ecuacioes de Hamilto) α(k, t) = i α(k, t). (15.1) = A(k) e ika { 1 m p i [ (t) + mω q (t) + λ (q +1 (t) + q 1 (t) q (t)) ] m = A(k) { e ika 1 m p (t) i(ω + λ m ) q (t) + i λ m [q +1(t) + q 1 (t)] (15.13). Ahora bie: e ika q ±1 = e ik( 1)a q = e ±ika e ik a q :=+1 = := e ±ika e ika q, (15.14) 4 Nótese que x = a so las posicioes de los átomos.

6 15-6 Mecáica Cuática Avazada Carlos Pea y por lo tato = cos ka α(k, t) = A(k) {{ { 1 e ika m p (t) i ω + λ m [ (e ika + e ika )] q (t) = ia(k) [ ω + λ m (1 cos ka)] e {q ika m (t) + i ω + λ m (1 cos ka) p (t), (15.15) expresió que es trivialmete proporcioal a α(k, t) si impoemos que el coeficiete de p sea igual a i[m] 1, lo que ocurre para Ω (k) = ω + λ (1 cos ka) (relació de dispersió). (15.16) m Co esta elecció α(k, t) = iα(k, t) α(k, t) = α(k, 0)e it, (15.17) como queríamos. Obviamete, el resultado para λ = 0 está icluido de maera trivial. Si hubiéramos cosiderado la cadea fiita periódica, la solució sería algo más complicada, pero el resultado es el mismo a meos de térmios de orde O(1/N), que se puede despreciar si N es suficietemete grade. (Por ejemplo, (15.14) o se cumple, ya que aparece térmios extra debidos al carácter fiito de la cadea, lo que modificará la relació de dispersió.) Recuérdese, además, que e ese caso el úmero de odas k o es cotiuo e [, π/a], sio que está cuatizado e uidades de π Na e ese mismo itervalo. Normalizació caóica del hamiltoiao Los resultados que acabamos de obteer so idepedietes del valor de la ormalizació A(k). Para fijar A(k) impoemos que el hamiltoiao, escrito e térmios de los modos ormales, tega la forma H = dk α(k, t) + V 0. (15.18)

7 Mecáica Cuática Avazada Carlos Pea 15-7 Para realizar el cálculo, empezamos por sustituir (15.11) e la itegral de (15.18), dk α(k, t) = dk A(k) e ika( ), q i q + m [q 1 p q p ] + {{ m Ω (k) p p = β m =0 bajo la suma dk { e ika( ) p p m + 1 mω (k)q q,, (15.19) dode e el peúltimo paso hemos itroducido el asatz A(k) = β, co β ua costate idepediete de k. Ahora comutamos las sumas sobre k y (, ) e itroducimos la fórmula explícita de la relació de dispersió (15.16); lo que queda bajo la suma es 1 Usado { dk e ika( ) p p [ ] m + mω + λ λ(e ika + e ika ) q q. (15.0) la itegral se reduce a dk e ika(m ±η) = π a δ m, η, η = 0, 1, (15.1) π { p p δ a m + [ (mω + λ)δ λ(δ, 1 + δ, +1) ] q q, (15.) lo que permite elimiar la suma e, y cocluir, después de redefiir coveietemete los ídices de suma, dk α(k, t) = 4π β { p am m + 1 mω q + 1 λ(q +1 q ). (15.3) Por lo tato, basta elegir el valor adecuado de β para que el resultado reproduzca (15.9): a meos de ua fase arbitraria, que fijamos a la uidad, [ ] 1 am A(k) =. (15.4) 4π

8 15-8 Mecáica Cuática Avazada Carlos Pea E el caso de ua cadea fiita periódica, de uevo, estos resultados so válidos sólo a meos de correccioes O(1/N). E ese caso la itegral sobre k debe ser reemplazada por ua suma sobre los N valores permitidos (supoemos por simplicidad que N es par) k = π l,, l = N/ + 1,..., N/, (15.5) Na y despreciado los térmios O(1/N) se obtiee A(k) = [ ] 1 m. (15.6) N Relació iversa etre modos ormales y variables caóicas Ua vez fijado A(k), es trivial ivertir la relació (15.11) realizado la trasformació de Fourier iversa; para la cadea ifiita a q (t) = 4πm a m p (t) = i 4π dk {e ika α(k, t) + e ika α (k, t), dk { e ika α(k, t) e ika α (k, t). (15.7)