Problemes de Geometria per a l ESO 98

Transcripción

1 Ricrd Peiró i Estruch Problemes de Geometri per l ESO Determineu l relció entre els volums dels dos cossos formts per l secció d un piràmide regulr qudrngulr per un plànol que pss pels punts migs de cos costts contigus de l bse perpendiculrment quest Sig ABDS l piràmide regulr de bse el qudrt ABD Sig O el centre de l bse Sig AB rest de l bse OS h ltur El volum de l piràmide ABDS és: VABDS h 3 Sig M el punt mig de l rest B Sig N el punt mig de l rest D L secció que determin el plànol que pss pels punts M, N i és perpendiculr l bse és el tringle MNL L secció nterior form el tetredre MNL, tl que perpendiculr l bse MN Sig P el punt mig del segment MN PL és l ltur del tetredre MNL M N Els tringles BSD, MLN són semblnts i de ró : Aplicnt el teorem de tles: PL OS h El volum del tetredre MNL és: MNL és h VMNL h L proporció entre el volum del tetredre MNL i el que rest del tetredre inicil és: h VMNL 4 V rest 5 h h 3 48

2 Ricrd Peiró i Estruch 97- En un plànol es trob el tringle equilàter AB de costt En les perpendiculrs, en els punts B i l plànol, un per cd costt, s gfen els punts D i E, respectivment, tl que BD, E Demostreu que el tringle DAE és rectngle lculeu l seu àre i l ngle diedre que form el plànol DAE i el plànol que conté el tringle AB L rect DE tll el costt B en el punt mig M Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle 3 AE AD Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle 3 ME MD DE MD 3 Notem que DE rectngle AE L seu àre és: 3 SDAE AD AE 4 AD, leshores, el tringle AE : ME : DAE és Notem que l rect AM és l rect intersecció dels plànols DAE, AB L ngle diedre dels dos plànols és l ngle ME Aplicnt rons trigonomètriques l tringle rectngle E tg M rctg 54º44'8" ME :

3 Ricrd Peiró i Estruch 973- S hn dispost qutre rectngles iguls formnt un qudrt exterior i un qudrt interior (veure figur) Si el perímetre del qudrt interior és igul l perímetre d un rectngle, determineu l proporció entre les àrees dels qudrt exterior i el qudrt interior KöML K387 Siguen AB x, AD y les dimensions del rectngle ABD I H El costt del qudrt DEFG mesur: DE x y El costt del qudrt BHIJ mesur JB x y El perímetre del qudrt interior és igul l perímetre del rectngle, leshores: 4(x y) (x y) Simplificnt: x 3y L proporció entre les àrees del qudrt exterior i el qudrt interior és: S S BHIJ DEFG (x y) (4x) 4 (x y) (x) J D G A E F B

4 Ricrd Peiró i Estruch 974- En el plànol crtesià s h dibuixt un circumferènci de centre l origen de coordendes i rdi 5 En el plànol s h dibuixt un grell qudriculd de costt unitt Els punts de l grell determinen un polígon en l circumferènci Determineu l seu àre KöML 83 Solució : Utilitzrem en teorem de Pick E D Teorem de Pick Si els vèrtexs d un polígon pertnyen un grell qudrngulr l àre del polígon en funció de l àre de qudrt menut de l grell és: B S I, on I és igul ls punts interiors l polígon B els punts que pertnyen l vor A B Notem que l circumferènci de rdi 5 conté en el primer qudrnt 4 punts de l grell: B (5, 0), (4, 3),D(3, 4),E(0, 5) Sig A (0, 0) centre de l circumferènci L àre del polígon és igul 4 vegdes l àre del polígon ABDE En quest polígon: I 3, B 3 E Aleshores l àre del polígon és: 3 S D E D Solució : Notem que l circumferènci de rdi 5 conté en el primer qudrnt A4 punts de l grell: B B (5, 0), (4, 3),D(3, 4),E(0, 5) Sig A (0, 0) centre de l circumferènci Siguen P (3, 0), Q(4, 0) L àre del polígon és igul 4 vegdes l àre del polígon ABDE L àre del polígon ABDE és igul l sum de les àrees dels trpezis APDE, PQD i el tringle S 4 S ABDE 4 S 5 4 QB : S S APDE PQD QB A P Q B

5 Ricrd Peiró i Estruch 975- Enrotllt un sector circulr s h construït un superfície cònic tl que l ltur del con és qutre cinquenes prts del rdi del sector Determineu l mesur de l ngle centrl del sector circulr 6 KöML 88 Solució Sig el centre del sector (vèrtex del con) i Sig O ltur del con: 4 O g 5 Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle OA : 3 OA g, rdi del con 5 L rc que brç el sector és igul l longitud de 3 l circumferènci de rdi OA g 5 L longitud de l rc és: A g rdi del sector (genertriu del con A' A 3 AA' g 5 Sig AA ' ngle centrl del sector L longitud de l rc és: AA' g 360º Igulnt les dues expressions: 3 g g Resolent l equció: 5 360º 6º O A

6 Ricrd Peiró i Estruch 976- En un piràmide regulr qudrngulr el plànol que pss per un de les restes de l bse i l líni mitjn de l cr lterl oposd form un ngle de 60º mb l bse lculeu el volum si l rest de l bse és Sig ABDS l piràmide regulr de bse el qudrt ABD de costt Sig EF l prl lel mitjn de l cr DS, Siguen M, N, els punts migs de les restes AB, D, respectivment Sig K el punt mig del segment EF KMN 60º Sig O el centre de l bse Sig OS h ltur de l piràmide Sig P l projecció de K sobre l bse ABD h PK OS, PN ON 4 3 MP 4 Aplicnt rons trigonomètriques l tringle rectngle h Aleshores, h El volum de l piràmide és: V ABDS h 3 3 MPK

7 Ricrd Peiró i Estruch 977- Per un dels vèrtexs de l bse d un piràmide regulr qudrngulr s h dibuixt un plànol perpendiculr l rest lterl oposd Determineu l àre de l secció si l rest de l bse és i l rest lterl és Sig ABDS l piràmide regulr de bse el qudrt ABD de costt Sig l secció AKPL tl que AP és perpendiculr l rest S AK AL, PK PL A BD 4 OS L àre del tringle S AS AS és: AOS S AP 4 Aleshores, AP 7 AP Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle P 3 PS Sig Q l projecció de P sobre l bse ABD Sig O el punt mig del segment KL OS, AP : QP són semblnts i l ró de semblnç és 4: Els tringles Aleshores, PQ OS Q O A Els tringles Aleshores, AOO ', OO' AQP són semblnts i l ró de semblnç és 4:7 4 PQ OS 7 7 BDS, Els tringles 6 6 Aleshores, KL BD 7 7 L àre de l secció AKPL és: S AKPL LKS són semblnts i l ró de semblnç és 7: APKL 7 4

8 Ricrd Peiró i Estruch 978- L rest de l bse d un piràmide tringulr regulr és i les restes lterls b Determineu l ngle diedre de dues cres lterls Sig l piràmide tringulr regulr ABS, de bse el tringle equilàter Sig AB, AS BS b Sig P l projecció de B sobre l rest AS L ngle de les cres ABS, AS és Sig M el punt mig de l rest AB BP Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle 4b MS L àre del tringle S AB AB és: MS b PB 4b 4b PB b b PB Resolent l equció: Aplicnt el teorem del cosinus l tringle 4b b b cos 4b 4b b b rccos 4b BP : 4b b AMS : cos AB

9 Ricrd Peiró i Estruch 979- En un piràmide ABDS regulr qudrngulr de bse el qudrt ABD de costt, dibuixem el plànol que conté l rest AD i és perpendiculr l cr Aquest plànol divideix l cr BS en dues prts que tenen l mteix àre Determineu l àre totl de l piràmide Sig O el centre de l bse ABD El plànol tll l cr BS en el segment KL Sig M el punt mig de l rest AD Sig N el punt mig del segment KL Sig P el punt mig de l rest B MNP 90º Sig SP b Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle OS b 4 Les àrees dels tringles Aleshores, BS, SOP : KLS estn en proporció : SN PN b SP Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle MN b L àre del tringle b MSP és: S MSP MP OS SP MN b MN () 4 Aleshores, MN 4b b MN 4b () 4b Igulnt les expressions () (): MNP : b 4b Resolent l equció en l incògnit b: 4b b L àre totl de l piràmide ABDS és: S ABDS SABD 4SBS 4 BS

10 Ricrd Peiró i Estruch 980- En un piràmide regulr qudrngulr, per un rest de l bse es dibuix un plànol perpendiculr l cr lterl oposd lculeu l àre de l secció si l rest de l bse mesur i l ngle diedre de l bse i un cr lterl és Sig l piràmide regulr qudrngulr ABDS de bse el qudrt ABD de costt Sig O en centre de l bse Sig M el punt mig del costt AD El plànol tll l cr SMO BS en el segment KL Sig N el punt mig del segment KL Aplicnt rons trigonomètriques l tringle rectngle OS tg, MS cos Sig P el punt mig de l rest B L àre del tringle tg MN cos MN sin MSP és: S MSP PS cos MOS : MP OS SP MN Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle NP sin cos NP cos SN cos cos Els tringles KL BS, cos SN cos SP cos KL cos MNP : KLS són semblnts Aplicnt el teorem de Tles: cos L àre de l secció és l àre del trpezi ADLK: AD KL cos 3 S ADLK MN sin sin