PRÁCTICA 1 Sucesiones y series de números reales
|
|
- Consuelo Moya Gallego
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 practica.b PRÁCTICA Sucesioes y series de úmeros reales El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales. Utilizaremos las órdees: Limit, para calcular límites de alguos tipos de sucesioes y Sum para calcular la suma de ua serie. Veremos u estudio detallado de la covergecia de ua serie aplicado criterios de covergecia así como ua aplicació de las órdees NSum y EulerSum.. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES à EJEMPLO.. Cosideremos la sucesió 8a < = 8 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + < e Defiimos el térmio geeral de la sucesió I[]:= a@_d := + Geeramos ua tabla co los primeros térmios de la sucesió
2 practica.b I[]:= term = Table@a@D, 8,, 00<D Out[]= 9, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 30, 3, 3, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 4, 4, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 5, 5, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 6, 6, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 7, 7, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 8, 8, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 9, 9, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 00, 0 = Tambié podemos visualizar alguos térmios I[3]:= a@d Out[3]= I[4]:= a@7d Out[4]= 8 Los represetamos gráficamete mediate I[5]:= ListPlot@term, PlotStyle PoitSize@0.0DD;
3 practica.b 3 Gráficamete podemos observar que la sucesió es decreciete, está acotada etre 0 y y tiee de límite 0. Para probar el decrecimieto vemos si a + a I[6]:= a@ + D < a@d êê Simplify Out[6]= > 0 Podemos forzar a Mathematica para trate de deciros si la desigualdad aterior es cierta, para ello le idicaremos que es u úmero atural (etero positivo). I[7]:= FullSimplify@a@ + D < a@d, Itegers fl > 0D Out[7]= True Para la acotació comprobamos si es cierto que 0 y so las cotas iferior y superior respectivamete I[8]:= FullSimplify@0 < a@d <, Itegers && > 0D Out[8]= True El símbolo && e la expresió aterior idica el operador lógico "y" que tambié puede idicarse co el símbolo fl de la paleta BasicImput. Por último, calculamos el límite I[9]:= Limit@a@D, IfiityD Out[9]= 0 o tambié I[0]:= Limit@a@D, D Out[0]= 0 Mathematica tambié soporta el empleo de subídices (véase la paleta BasicImput). De esta forma podríamos haber defiido uestra sucesió mediate la expresió I[]:= a _ := +
4 practica.b 4 ü EJEMPLO.. Estudiemos las sucesioes {c } = 8H ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ L< y {d 3 + e } = 8H-L + ÄÄÄÄ < e Observació: Hay veces que la fució Limit o os proporcioa el límite de determiadas expresioes. Esto suele depeder de la versió del programa que estemos utilizado. Podemos ampliar el repertorio de expresioes para las cuales el programa Mathematica puede calcular su límite cargado el paquete Calculus`Limit`. Defiimos el térmio geeral de la sucesió y calculamos el límite I[]:= c _ := 3 + I[3]:= Limit@c, D Out[3]= 0 Si hacemos lo mismo co la sucesió {d } I[4]:= d _ := H L + I[5]:= Limit@d, D Iterval@80,π<D Out[5]= Mathematica o os da el límite. E este caso es debido a que se trata de ua sucesió oscilate, puede probarse que admite dos sucesioes parciales que tiee diferete límite. I[6]:= d Out[6]= H L + Observemos quemathematica o recooce que H L =, dado quemathematica o recooce a como u umero atural. I[7]:= FullSimplify@d, ItegersD Out[7]= + I[8]:= Limit@FullSimplify@d, ItegersD, D Out[8]=
5 practica.b 5 I[9]:= Limit@%, D Out[9]= I[0]:= d Out[0]= H L I[]:= FullSimplify@d, ItegersD Out[]= + + I[]:= Limit@FullSimplify@d, ItegersD, D Out[]= ü EJEMPLO.3. Sucesioes recurretes Podemos defiir la sucesió recurrete x =, x = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!! + x -, > de la forma siguiete: I[3]:= x = ; x _ := è!!!!!!!!!!!!!!!!! + x ; Podemos ver alguos térmios de la sucesió {x } I[5]:= x 3 Out[5]= "################ + è!!! I[6]:= x 4 Out[6]= $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + "################ + è!!! I[7]:= x 0 ) ) ) ) Out[7]= ( + ( + ( + ( + ( + &''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' + $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + "################ + è!!! Podemos utilizar la istrucció For para geerar los cico primeros térmios
6 practica.b 6 I[8]:= For@ =, 0, ++, Prit@x DD è!!! "################ + è!!! $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + "################ + è!!! &''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' + $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + "################ + è!!! ( +&''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' + $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + "################ + è!!! ) ( + ( + &''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' + $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + "################ + è!!! ) ) ( + ( + ( +&''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' + $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + "################ + è!!! ) ) ) ( + ( + ( + ( +&''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' + $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + "################ + è!!! ) ) ) ) ( + ( + ( + ( + ( + &''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' + $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + "################ + è!!! Los valores ateriores so poco útiles si lo que pretedemos es estudiar la mootoía y la acotació. Geeramos los valores aproximados
7 practica.b 7 I[9]:= For@ =, 0, ++, Prit@N@x DDD Si represetamos los térmios podemos observar que la sucesió es moótoa y acotada. I[30]:= ListPlot@Table@x, 8,, 5<D, PlotRage 80, <, PlotStyle PoitSize@0.05DD; La sucesió es covergete. Si embargo, si tratamos de calcular su límite mediate la istrucció Limit, el programa queda imerso e u proceso recursivo ifiito y o es capaz de mostraros el valor del límite. Pero si otamos por L al límite de la sucesió, e el caso de exista debe cumplirse L= è!!!!!!!!!!!! +L, por lo que podemos pedir al programa que resuelva la ecuació.
8 practica.b 8 I[3]:= SolveAL è!!!!!!!!!!! + LE Out[3]= 99L I +è!!! 5M== Luego el límite es ÅÅÅÅ I +è!!! 5M E el siguiete ejemplo cosideramos la sucesió de Fiboacci: I[3]:= x = ; x = ; x _ := x + x I[34]:= term = Table@x, 8,, 5<D Out[34]= 8,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, 377, 60< I[35]:= ListPlot@term, PlotStyle PoitSize@0.05DD; E la represetació gráfica podemos observar que la sucesió es moótoa creciete y o mayorada.. SERIES DE NÚMEROS REALES I[36]:= Clear@D; ü EJEMPLO. Estudio de la serie = ÄÄÄÄÄÄ Se puede hacer el estudio de la serie desde distitos putos de partida:
9 practica.b 9 A) Comprobado si se cumple la codició ecesaria de covergecia y aplicado, e su caso, u criterio de covergecia Defiimos el térmio geeral de la serie y calculamos su límite I[37]:= a _ := Vemos si cumple la codició ecesaria de covergecia de series, es decir, si lim Ø ÅÅÅÅÅ = 0. I[38]:= Limit@a, D Out[38]= 0 Aplicamos el criterio de D'Alembert o del cociete I[39]:= LimitA a +, E a Out[39]= El límite obteido es meor que, por lo que dicho criterio os permite afirmar que la serie = ÅÅÅÅÅ es covergete; auque de esta forma sólo podemos afirmar que es covergete pero o obteemos el valor de la suma. B) Calculado directamete la suma de la serie mediate la istrucció Sum I[40]:= Sum@a, 8,, <D Out[40]= De este resultado podemos asegurar que la serie es covergete (su suma es ) La istrucció aterior puede escribirse usado la paleta basiciput I[4]:= a = Out[4]= C) Otra forma de estudiar el carácter de ua serie y hallar su suma es a partir de la sucesió de sumas parciales. E este ejemplo, el programa Mathematica os da la expresió explícita del térmio geeral de la sucesió de sumas parciales de la serie
10 practica.b 0 I[4]:= A _ = k= a k Out[4]= H + + L La suma de la serie vedrá dada por el límite de la sucesió de sumas parciales obteida ateriormete I[43]:= Limit@A, D Out[43]= Como el resultado es, la sucesió de sumas parciales de la serie es covergete (sumable) y su suma es. ü EJEMPLO. Estudio de la serie = Defiimos el térmio geeral : ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ HLogHLL I[44]:= a _ := HLog@DL Codició ecesaria de covergecia I[45]:= Limit@a, D Out[45]= 0 Aplicamos el criterio de la raíz -ésima I[46]:= LimitA è!!!!!! a, E Out[46]= 0 Al ser el límite meor que el criterio de la raiz os permite afirmar que la serie es covergete. Si itetamos calcular el térmio geeral de la sucesió de suma parciales de la serie para hallar el valor de la suma de la serie, el programa o lo calcula I[47]:= A _ = a k k= Out[47]= Log@kD k k=
11 practica.b Tampoco os da el valor de la suma de la serie I[48]:= a = Out[48]= Log@D = Por los resultados vemos que, e este caso, Mathematica o os proporcioa i el térmio geeral de la sucesió de sumas parciales i la suma directamete. à Si embargo podemos obteer u Valor aproximado de la suma de ua serie de varias formas: co el comado N o co las fucioes NSum y EulerSum. La fució EulerSum está icluida e el paquete NumericalMath`NLimit` y opera co gra eficacia cuado la serie es alterada o cuado el térmio geeral es del tipo p() r, siedo p() u poliomio e. ) Utilizado el comado N (os da u valor aproximado) I[49]:= NA a E = Out[49]= 3.46 I[50]:= NA a, 0E = Out[50]= ) Utilizado la istrucció NSum (os da u valor aproximado de la suma de la serie) I[5]:= NSum@a, 8,, <D Out[5]= ) Utilizado la istrucció EulerSum (icluida e el paquete NumericalMath`NLimit`) I[5]:= << NumericalMath`NLimit` I[53]:= EulerSum@a, 8,, <D Out[53]= 3.46
12 practica.b ü Ejemplo.3 Estudiar la serie H = L H 3 + L º) Escribimos el térmio geeral de la serie I[54]:= a _ := i k j y z { H 3 + L Como se trata de ua serie alterada estudiamos su covergecia absoluta (estudiamos la serie de los valores absolutos y aplicamos el criterio del cociete) I[55]:= LimitA Abs@a +D Abs@a D, E Out[55]= Como el límite obteido es meor que, la serie es absolutamete covergete. Calculamos su suma: I[56]:= NA a E = Out[56]= Y u valor aproximado: I[57]:= EulerSum@a, 8,, <D Out[57]= ü Ejemplo.4 Probar que la serie = H L se H π Les covergete. 3 Obteer u valor aproximado de la serie co ua precisió de 3 cifras decimales. º) Escribimos el térmio geeral de la serie I[58]:= a _ := H L SiA π 3 E º) Aplicamos el criterio de Leibiz y vemos si se cumple las dos codicioes: a) lim Ø»a» = 0 b) La sucesió {»a»} es decreciete I[59]:= Limit@Abs@a D, D Out[59]= 0
13 practica.b 3 I[60]:= FullSimplify@Abs@a D > Abs@a + D, Itegers fl > 0D Out[60]= SiA π 3 E > SiA π H + L 3 E Luego Mathematica o es capaz de resolver la desigualdad aterior. Utilizado la represetació gráfica de los térmios de la sucesió {»a»} I[6]:= ListPlot@Table@Abs@a D, 8,, 00<DD; Se observa que la sucesió {»a»} es decreciete y tiede a cero. Por tato se cumple las codicioes de Leibiz y la serie dada es covergete. Si otamos por {A } a la sucesió de sumas parciales y por S a la suma de la serie, se cumple que»s-a» <»a +». Por tato si queremos coseguir ua aproximació co 3 cifras decimales exactas basta lograr que»a +» < ÅÅÅÅ 0-3. Esto puede hacerse de la siguiete forma: I[6]:= = ; WhileATrue, IfAAbs@a + D < 0 3, Prit@"=", D; Break@D, = + EE =8 Luego basta sumar los 8 primeros térmios. El valor aproximado será I[64]:= Clear@D; 8 NA a k E k= Out[65]= El valor aproximado que os da el programa es
14 practica.b 4 I[66]:= NSum@a, 8,, <D Out[66]= EJERCICIOS PROPUESTOS: Dada la sucesió {a }={ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ } Se pide: a) Geerar los 50 primeros térmios y represetarlos gráficamete. b) Estudiar la mootoía y la acotació. c) Calcular el límite.. Dada la sucesió de úmeros reales {b }=9I + ÄÄÄÄ M cosh pl= Se pide: Estudiar la covergecia 3. Estudiar el carácter de la serie ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ y, si es posible, calcular la suma. H4 -L H4 +3L 4. Hallar u valor aproximado de la suma de la serie H-L seh ÄÄÄÄ p L =
Práctica 3 Sucesiones y series
Práctica 3 Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y Sum que os permitirá, e la
Más detallesPráctica 1.- Sucesiones y series
Práctica.- Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y, que os permitirá, e la mayoría
Más detallesPráctica 1.- Sucesiones y series
Práctica.- Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y, que os permitirá, e la mayoría
Más detallesSeries de números reales
Tema 6 Series de úmeros reales 6. Series de úmeros reales. Defiició 6. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió {S }, defiida por S = a + a + + a, para cada IN, que llamaremos sucesió
Más detalles6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES
6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,
Más detallesSeries alternadas Introducción
Sesió 26 Series alteradas Temas Series alteradas. Covergecia absoluta y codicioal. Capacidades Coocer y aplicar el criterio para estudiar series alteradas. Coocer y aplicar el teorema de la covergecia
Más detallesHoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series)
Depto. de Matemáticas Cálculo (Ig. de Telecom.) Curso 23-24 Hoja de Problemas Tema 3 (Sucesioes y series) Sucesioes de úmeros reales. Sea {a } N, {b } N sucesioes de úmeros reales. Demostrar o refutar
Más detallesIES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11
IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como
Más detallesSucesiones de números reales
Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54
Más detallesAMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga
Más detallesCAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS
CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS SECCIONES A. Series de térmios de sigo variable. B. Series depedietes de parámetros. C. Ejercicios propuestos. 193 A. SERIES DE TÉRMINOS DE SIGNO VARIABLE. E
Más detallesSERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio
Más detallesSucesiones y series de números reales
38 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Capítulo Sucesioes y series de úmeros reales Sucesioes Defiició 37- Llamaremos sucesió de úmeros reales a cualquier aplicació f: N R y la represetaremos por { a,
Más detallesNegativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18
Los úmeros reales.. Los úmeros reales El cojuto de los úmeros reales está formado por los úmeros racioales y los irracioales. Se represeta por la letra Los úmeros racioales so los úmeros eteros, los decimales
Más detallesuna sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:
Tema 8 Series de fucioes Defiició 81 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Formemos ua ueva sucesió de fucioes {S } de A de la forma siguiete: S (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f (x) = f k (x) Al par de sucesioes
Más detallesPrograma de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Series
Programa de Acceso Iclusivo, Equidad y Permaecia PAIEP Uiversidad de Satiago de Chile Series Sea {a } N ua sucesió de úmeros reales, etoces a la expresió a + a 2 + a 3 + + a + se le deomia serie ifiita
Más detallesEJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES
EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. Determiar el campo de covergecia de la serie 2 se x. Aplicado el criterio de la raíz, la serie es absolutamete covergete cuado:
Más detallesLa sucesión de Fibonacci y el número Φ Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos:
SUCESIONES Págia 50 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Cuátas parejas de coejos? Cuátas parejas de coejos se producirá e u año, comezado co ua pareja úica, si cada mes cualquier pareja egedra otra pareja,
Más detallesTEMA 4. Series de números reales. Series de Potencias.
TEMA 4 Series de úmeros reales. Series de Potecias.. Sucesió de úmeros reales Las sucesioes de úmeros reales so ua buea herramieta para describir la evolució de ua magitud discreta, y el ite surge al estudiar
Más detallesTema 5 Series numéricas
Tema 5 Series uméricas Objetivos 1. Defiir series co wxmaxima. 2. Calcular sumas parciales de ua serie. 3. Iterpretar la defiició de suma de ua serie. 4. Calcular la suma de ua serie geométrica. 5. Calcular
Más detalles6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES
6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:
Más detalles4. Sucesiones de números reales
4. Sucesioes de úmeros reales Aálisis de Variable Real 2014 2015 Ídice 1. Sucesioes y límites. Coceptos básicos 2 1.1. Defiició de sucesió... 2 1.2. Sucesioes covergetes... 2 1.3. Sucesioes acotadas...
Más detallesEvaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad
Evaluació NOMBRE APELLIDOS CURSO GRUPO FECHA CALIFICACIÓN Calcula el térmio geeral de ua progresió geométrica que tiee de térmio a y por razó /. a) b) c) El 6 es: a) b) 0 c) / 6 7 El es: a) b) c) 0 El
Más detallesDefinición 13.1 Llamamos serie trigonométrica a una serie de funciones reales, de la forma. + n +ib n
ema 3 Series de Fourier. Hemos visto, e el tema 8, que alguas fucioes reales puede represetarse mediate su desarrollo e serie de potecias, lo que sigifica que puede aproximarse mediate poliomios. Si embargo,
Más detallesINSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R
P á g i a INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA GUIA Nº 3: Sucesioes, Límite de Sucesioes y Límite de Fucioes e R GRADO: º AREA: MATEMÁTICAS PROFESORA: Ebli Martíez M. ESTUDIANTE: PERIODO: III
Más detallesSeries infinitas de números reales. Series convergentes
Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Las sucesioes de úmeros reales se itrodujero co la iteció de poder cosiderar posteriormete sus sumas
Más detallesRESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES
RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES MATE 3032 - DR. UROYOÁN R. WALKER. Sucesioes Teorema.. Sucesioes mootóicas acotadas coverge. Ejemplo.2. Sea {a } la sucesió deida recursivamete
Más detallesSucesiones. f : {1,2,...,r} S. Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10: 2,3,5,7
Sucesioes. Defiició Sucesió Matemática Ua sucesió fiita (a k ) (de logitud r) co elemetos perteecietes a u cojuto S, se defie como ua fució y e este caso el elemeto a k correspode a f(k). f : {,,...,r}
Más detallesSucesiones 6º Ing, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weinberger - Marcelo Valenzuela 2010
Sucesioes 6º Ig, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weiberger - Marcelo Valezuela 200 Itroducció: Así como f es ua fució y f(x) = 2x es la image de cada x, dode f(0) = 0 y f(3) = 6, e ua sucesió la aotaremos:
Más detallesSUCESIONES. Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos:
SUCESIONES Págia REFLEXIONA Y RESUELVE Cuátas parejas de coejos? Cuátas parejas de coejos se producirá e u año, comezado co ua pareja úica, si cada mes cualquier pareja egedra otra pareja, que se reproduce
Más detallesCriterios de Convergencia
Semaa - Clase 3 0/0/0 Tema : Series Criterios de Covergecia La preguta que os plateamos es la siguite: Si hacemos que N etoces la suma N k= a k, tiee u límite? Existe alguas formas de averiguarlo, a pesar
Más detalles( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7
LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.
Más detallesSeries de números reales
Series de úmeros reales Covergecia de series uméricas Ejercicio. series: a) ) + b) 3 3 ) c) +) Aplicar el criterio de la raíz para estudiar la posible covergecia de las siguietes Solució. a) Aplicamos
Más detallesTema 4 Sucesiones numéricas
Tema 4 Sucesioes uméricas Objetivos 1. Defiir sucesioes co wxmaxima. 2. Calcular elemetos de ua sucesió. 3. Realizar operacioes co sucesioes. 4. Iterpretar la defiició de límite de ua sucesió. 5. Calcular
Más detallesTEMA IV. 1. Series Numéricas
TEMA IV Series uméricas. Ídice. Series uméricas. 2. Propiedades geerales de las series. 3. Series de térmios positivos. Covergecia. 4. Series alteradas. 5. Series de térmios arbitrarios. 6. Ejercicios
Más detallesProblemas de Sucesiones
Capítulo Problemas de Sucesioes Problema. Calcular los siguietes ites: l se i e + 3 ii 5 iii l iv + + + Solució: l se i [ escala de iitos se acotada ] 0 acotada 0. e + e ii 5 + [ úmero meor que uo 5 ]
Más detallesSERIES POTENCIALES. 1.- Hallar el campo de convergencia de la serie potencial: 3 2 n. n n. 2 n = = ( ) ( 1)
Escuela de Igeieros de Bilbao Departameto Matemática Aplicada SERIES POTENCIALES.- Hallar el campo de covergecia de la serie potecial: ( + ) 3 y Realizado el cambio de variable, + 3 = y, teemos la serie:
Más detalles1. a) Mostrar que los siguientes conjuntos están acotados. x b) Mostrar que los siguientes conjuntos no están acotados superiormente
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 3 1. a) Mostrar que los siguietes cojutos
Más detallesCálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detallesL lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2
Calcula: L L a Dada ua sucesió que tiede a idica a partir de qué térmio se cumple la codició que se idica: a a Si a a Si 7 Si a partir del térmio 9 Si Hallar: d) 7 a partir del térmio 97 d) Deduce los
Más detallesFunciones Exponencial y Logaritmo
. 9th May 2007 La fució expoecial Itroducció. Recuerdo Sabemos lo siguiete para la sucesió a = + h ) Si lim h 2, 0) etoces lim a = 0. 2 Si lim h / [ 2, 0] etoces lim a o existe. 3 Si lim h = 0 y lim h
Más detallesSeries de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de
Más detallesSUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES
www.matesxroda.et José A. Jiméez Nieto SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. TÉRMINO GENERAL E las siguietes figuras observa el proceso que lleva a la creació de uevos
Más detallesEl tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.
Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,
Más detalles1. Sucesiones y series numéricas
ITINFORMÁTICA CÁLCULO INFINITESIMAL BOLETÍN CON SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS CURSO 005-06 Sucesioes y series uméricas Escribir ua expresió para el -ésimo térmio de la sucesió: +, + 3 4, + 7 8, + 5 6, 3,
Más detallesÁlgebra I Práctica 2 - Números naturales e inducción
FCEyN - UBA - Segudo Cuatrimestre 203 Álgebra I Práctica 2 - Números aturales e iducció. Reescribir cada ua de las siguietes sumas usado el símbolo de sumatoria (a) + 2 + 3 + 4 + + 00, (b) + 2 + 4 + 8
Más detallesConvergencia absoluta y series alternadas
Tema 11 Covergecia absoluta y series alteradas Ua vez que dispoemos de diversos criterios de covergecia para series de térmios o egativos, abordamos el estudio de la covergecia de series de úmeros reales
Más detalles(finitas o infinitas)
Series ifiitas. SUCESIONES: Es u cojuto de úmeros: a,a a, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de formació, que se expresa por ua formula Sucesió fiita: umero itado de térmios:, 5,8-5.
Más detallesPreguntas más Frecuentes: Tema 2
Pregutas más Frecuetes: Tema 2 Pulse sobre la preguta para acceder directamete a la respuesta 1. Se puede calcular la media a partir de las frecuecias absolutas acumuladas? 2. Para calcular la media aritmética,
Más detallesSucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2,
Más detalles1. Serie de Potencias
. Serie de Potecias Recordemos que dada ua sucesió {b } N, podemos defiir ua serie: E el caso particular e que b = a (x c) b la serie tedría la forma b = a (x c) y es llamada serie de potecias cetrada
Más detallesTema 8 Límite de Funciones. Continuidad
Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)
Más detallesPrueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11)
Prueba Itegral Lapso 016-1 175-176-177 1/7 Uiversidad Nacioal Abierta Matemática I (Cód 175-176-177) Vicerrectorado Académico Cód Carrera: 16 36 80 508 51 54 610 611 61 613 Fecha: 19 11 016 MODELO DE RESPUESTA
Más detallesSeries de términos no negativos
Tema 0 Series de térmios o egativos Vamos a presetar aquí alguos criterios útiles para estudiar la covergecia de series de térmios o egativos. Empezamos co u método básico que cosiste e comparar la serie
Más detallesSeries Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:
Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.
Más detallesSeries de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de
Más detallesEJERCICIOS DE RECURRENCIA
EJERCICIOS DE RECURRENCIA (co alguas solucioes) Resolver la recurrecia = 5 6 =, = y tambié ésta: = =, = Resolvamos la primera E primer lugar otamos que es ua recurrecia lieal, pues pasado todos los térmios
Más detallesCAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO VIII CONVERGENCIA DE SUCESIONES SECCIONES A Criterios de covergecia B Ejercicios propuestos 347 A CRITERIOS DE CONVERGENCIA Ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales se dice sucesió
Más detalles8. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS DEFINICIÓN Y EJEMPLOS SUCESIÓN CONVERGENTE TEOREMAS Y EJEMPLOS
ÍNDICE 8. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6 8.. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS......................... 6 8.. SUCESIÓN CONVERGENTE........................ 6 8.3. TEOREMAS Y EJEMPLOS......................... 63 8.4.
Más detallesSUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
CAPÍTULO XV. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES SECCIONES A. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. B. Series de potecias. Itervalos de covergecia. C. Desarrollo de fucioes e series de potecias. D. Aplicacioes
Más detallesEste documento es de distribución gratuita y llega gracias a El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!
Este documeto es de distribució gratuita y llega gracias a Ciecia Matemática www.cieciamatematica.com El mayor portal de recursos educativos a tu servicio! Cálculo: Series Fucioales. Taylor y Fourier Atoio
Más detalles1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)
1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :
Más detallesT ema 6 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD. x 1. x 2 = 1 = 2. x 3 = 3. x 4. Variable aleatoria: definición y tipos:
T ema 6 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Variable aleatoria: defiició y tipos: Ua variable aleatoria es ua fució que asiga u úmero real, y sólo uo, a cada uo de los resultados de u eperimeto aleatorio.
Más detallesMATEMÁTICAS 3º ESO - SUCESIONES. Una sucesión es un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero
ucesioes Ua sucesió es u cojuto de úmeros dados ordeadamete de modo que se pueda umerar: primero, segudo, tercero Ejemplos: a), 3, 5, 7, 9, b), 4, 9, 6, 25, 36 c) 2, 4, 8, 6, 32, 64 e llama térmios a los
Más detallesLímite y Continuidad de Funciones.
Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por
Más detallesLIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la función F(x) = 3X 2, evalúe la función para valores de X cercanos a 2, es decir
PRECONCEPTO. LIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la fució F() = X, evalúe la fució para valores de X cercaos a, es decir X se acerca hacia el umero por la izquierda ( - ) X,,7,5,47,68,89,9,96,99,99,995,
Más detallesTema 2. Sucesiones de números reales
Tema 2. Sucesioes de úmeros reales 2.1.- Cocepto de sucesió y oció de covergecia. Álgebra de límites. Sucesioes parciales. 2.2.- Acotació y covergecia. Sucesioes moótoas de úmeros reales. 2.3.- Cálculo
Más detallesCurso: 3 E.M. ALGEBRA 8
Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: POLINOMIOS Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad,
Más detallesIntroducción básica a series
Itroducció básica a series Gearo Lua Carreto * 2 Noviembre de 206, 8 pm. Series: u caso particular de sucesió Supoga que tiee ua sucesió cualquiera a. Explicaremos la forma de geerar ua sucesió s, muy
Más detallesIngeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.
CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió
Más detallesConstrucción de los números reales.
B Costrucció de los úmeros reales. E el cojuto C de las sucesioes de Cauchy de úmeros racioales defiimos la relació siguiete: si (x ) =1 e (y ) =1 so dos sucesioes de C etoces (x ) =1 (y ) =1, si lím (x
Más detallesPrácticas Matlab ( 1) Práctica 7. Objetivos
PRÁCTICA SERIES DE POTENCIAS Prácticas Matlab Práctica 7 Objetivos Estudiar la covergecia putual de ua serie de potecias. Estimar gráficamete el itervalo de covergecia de ua serie de potecias. Aproimar
Más detallesApuntes sobre series numéricas: preguntas frecuentes y ejemplos resueltos. 1) Preguntas frecuentes. Conceptos, teoremas y ejemplos básicos
Cálculo I ( o de Grado e Iformática, 202-3) Aputes sobre series uméricas: pregutas frecuetes y ejemplos resueltos ) Pregutas frecuetes. Coceptos, teoremas y ejemplos básicos P-. Ua serie ifiita es ua suma
Más detallesSucesiones numéricas.
SUCESIONES 3º ESO Sucesioes uméricas. Ua sucesió es u cojuto ordeado de úmeros reales: a 1, a 2, a 3, a 4, Cada elemeto de la sucesió se deomia térmio, el subídice es el lugar que ocupa e la sucesió. El
Más detallesR = a) En el caso de la primera serie, 1/n sines impar a n = 0 sines par
298 Series de potecias y fucioes elemetales 8.4. Ejercicios 8.4.. Ejercicios resueltos 8.4. Calcule las sumas de las siguietes series: a) x + x3 3 x5 5 +x7 7... b) x 3 3 x5 3 5 + x7 5 7 x9 7 9... Solució:
Más detalles( ) 1.8 CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES (1.8_CvR_T_061, Revisión: , C8, C9, C10) INTRODUCCIÓN. Forma general de una serie: + a 1
.8 CRITERIOS DE COVERGECIA PARA SERIES (.8_CvR_T_6, Revisió: -9-6, C8, C9, C).8.. ITRODUCCIÓ. Forma geeral de ua serie: S = = a = a + a + a +...+ a Suma de térmios. Si es fiito, la suma (S ) tambié es
Más detallesLos números complejos
Los úmeros complejos Los úmeros complejos Forma biómica Defiició z = a + bi, o bie, z = (a, b) siedo a la parte real y b la parte imagiaria. a = r cos α b = r se α Opuesto z = a bi Cojugado z = a bi Represetació
Más detallesMATEMÁTICA D Módulo I: Análisis de Variable Compleja
MATEMÁTICA D Módulo I: Aálisis de Variable Compleja Uidad 4 Series Mag. María Iés Baragatti - Sucesioes Sea A u cojuto o vacío, ua sucesió defiida e A es simplemete u cojuto de elemetos de A escritos e
Más detallesLAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO
LA ERIE GEOMÉTRICA Y U TENDENCIA AL INFINITO ugerecias al Profesor: Al igual que las sucesioes, las series geométricas se itroduce como objetos matemáticos que permite modelar y resolver problemas que
Más detallesCálculo de límites. 8.1. Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detallesPROGRESIONES ARITMETICAS
PROGRESIONES ARITMETICAS DEF. Se dice que ua serie de úmeros está e progresió aritmética cuado cada uo de ellos (excepto el primero) es igual al aterior más ua catidad costate llamada diferecia de la progresió.
Más detallesTema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1
Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los úmeros racioales: Se caracteriza porque puede expresarse: E forma
Más detallesEscuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre
Escuela Pública Eperimetal Descocetrada Nº Dr. Carlos Jua Rodríguez Matemática º Año Ciclo Básico de Secudaria Teoría Nº Primer Trimestre Cojuto de los úmeros racioales Los úmeros racioales so aquellos
Más detallesINTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Matemáticas II - º Bachillerato INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla
Más detalles1) Considera el sistema de ecuaciones:
SESIÓN 4: Álgebra lieal umérica ) Cosidera el sistema de ecuacioes: x + aa aa y a) Calcula las matrices iterativas de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. b) Para qué valores de a coverge el método de
Más detallesAPLICACIONES INFORMÁTICAS EN QUÍMICA. Problemas Tema 2.3: Series, representación de funciones y construcción de tablas en HC.
APLICACIONES INFORMÁTICAS EN QUÍMICA Problemas Tema 2.3: Series, represetació de fucioes y costrucció de tablas e HC Grado e Química º SEMESTRE Uiversitat de Valècia Facultad de Químicas Departameto de
Más detallessi G es abierto. La función del conjunto m tiene las siguientes propiedades: de partes de se dice que es una , entonces E.
LA INTGRAL D LBSGU PARA FUNCIONS D UNA SOLA VARIABL RSULTADOS TÓRICOS LA MDIDA D LBSGU CONJUNTOS MDIBLS Dado u couto abierto o vació G de la recta real, existe ua amilia iita o umerable {V: œl}, ormada
Más detalles- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura
- Ferado Sáchez - - 5 Números Cálculo I complejos 14 10 2015 E el cuerpo de los úmeros reales ecuacioes como x 2 + 1 = 0 o tiee solució: el poliomio x 2 + 1 o tiee raíces reales. Hace falta exteder el
Más detallesTEMAS 1 y 3.- NÚMEROS REALES Y ÁLGEBRA- 1
1º Bachillerato - Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Motes Orietales (Izalloz)-Curso 2011/2012 TEMS 1 y 3.- NÚMEROS RELES Y ÁLGEBR- 1 1.- TIOS DE NÚMEROS. ROXIMCIONES DECIMLES 1.1.- Tipos de úmeros
Más detalles4.- Series. Criterios de convergencia. Series de Taylor y Laurent
4.- Series. Criterios de covergecia. Series de Taylor y Lauret a) Itroducció. Series de fucioes reales. b) Covergecia de secuecias y series. c) Series de Taylor. d) Series de Lauret. e) Propiedades adicioales
Más detallesMATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA. Cálculo Diferencial Ejercicios y Problemas resueltos
MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA Cálculo Diferecial Ejercicios y Problemas resueltos Juliá Rodríguez Ruiz (Catedrático de Ecoomía Aplicada. UNED) Mariao Matilla García (Profesor Titular
Más detalles3. Volumen de un sólido.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Itegrales y aplicacioes.. Volume de u sólido. E esta secció veremos cómo podemos utilizar la itegral defiida para calcular volúmees de distitos tipos
Más detallesALGEBRA 9. Curso: 3 E.M. Progresiones aritméticas y geométricas. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO:
Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: Progresioes aritméticas y geométricas Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/
Más detallesEXÁMENES PARCIALES Y FINALES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANUAL - Primer Parcial TURNO MAÑANA APELLIDO NOMBRE:...CURSO:...
EXÁMENES PARCIALES Y FINALES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANUAL - Primer Parcial TURNO MAÑANA APELLIDO NOMBRE:CURSO: CORRIGIÓ:REVISÓ: 4 5 NOTA Todas sus respuestas debe ser justificadas
Más detallesINTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 2 1+ x dx
INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla de itegrar que la primera.
Más detallesResumen que puede usarse en el examen
Resume que puede usarse e el exame ema. Optimizació Irrestrigida. Codicioes ecesarias y suficietes de optimalidad. Proposició (C. Necesarias) Sea x* u míimo local irrestrigido de f :!! y supogamos que
Más detallesCapítulo 2 Convergencia de sucesiones y series.
This is page Priter: Opaque this Capítulo Covergecia de sucesioes y series... La defiició de sucesió y ejemplos El cocepto matemático riguroso para estudiar procesos de aproximació es el cocepto de sucesió:
Más detallesEjemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi
u_miii.doc EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No eiste u úmero real que satisfaga la ecuació +0 Para resolver este tipo de ecuacioes es ecesario itroducir el cocepto de úmero complejo. U úmero complejo
Más detallesα β la cual puede presentar
5.4 Covergecia de ua serie de Fourier 8 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier Teorema de covergecia de las series de fourier Ua serie de Fourier es ua fució ( ) f x cotiua e [, ] α β la cual puede presetar
Más detallesLOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En
LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)
Más detalles