NIVELACIÓN DE ESTADISTICA. Carlos Darío Restrepo

Transcripción

1 NIVELACIÓN DE ESTADISTICA

2 Qué es la probabilidad? La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento. Por ejemplo: tiramos un dado al aire y queremos saber cual es la probabilidad de que salga un 4, o que salga un número menor que 5. Los experimentos pueden ser: Aleatorios No aleatorios. PROBABILIDAD

3 Experimento aleatorio Se da cuando pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto aún realizando el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, a priori no se conoce cual de los resultados se va a presentar. Por ejemplo: cuando lanzamos un dado, no sabemos cual va a ser el resultado. Experimentos no aleatorios Son aquellos en los cuales se conoce el resultado y por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la probabilidad. Por ejemplo: cuando tenemos una moneda con la misma cara en ambos lados.

4 Suceso Son las posibles soluciones que se pueden presentar en el experimento aleatorio. Por ejemplo: los posibles resultados al lanzar un dado son el 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Espacio Muestral PROBABILIDAD Es el conjunto de los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Se representa por E o Ω. Por ejemplo: el experimento consiste en lanzar una moneda al aire dos veces, entonces Ω = C, C, C, S, S, C, (S, S)

5 Cómo se mide la probabilidad? Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles. P A = N Casos Favorables N Casos Totales Por ejemplo: se lanzan dos monedas al aire, Cuál es la probabilidad de que ambas sean cara? Casos totales: Ω = C, C, C, S, S, C, (S, S) = 4 Casos favorables: A = C, C = 1 P A = 1 4 = 0,25 = 25%

6 Axiomas de probabilidad 0 P A 1 P Ω = 1 PROBABILIDAD Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, P A B = P A + P B Si A c es el evento complemento de A, entonces P A = 1 P A C Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces P A B = P A + P B P(A B)

7 Probabilidad Condicional Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. Dado un espacio muestral Ω y dos eventos A, B ε Ω con P B > 0, la probabilidad condicionada se define como: P A B = P(A B) P(B)

8 Probabilidad Condicional Ejemplo: Las enfermedades A y B son muy comunes entre las personas de una región. Suponga conocido que el 10% de las personas contraerá la enfermedad A, 5% la enfermedad B y 2% ambas enfermedades. Encuentre la probabilidad que una persona contraiga la enfermedad A dado que ya contrajo B?

9 Probabilidad Condicional Solución: A: "la persona contrae la enfermedad A" B: "la persona contrae la enfermedad B" P A B = PROBABILIDAD P(A B) P(B) = 0,02 0,05 = 0,4 = 40% Existe una probabilidad del 40% de contraer la enfermedad A dado que primero contrajo la enfermedad B.

10 Teorema de Probabilidad Total Sea A 1, A 2,, A k una partición del espacio muestral Ω y sea B un suceso cualquiera, k P B = P B A i P(A i ) i=1

11 Teorema de Bayes PROBABILIDAD Sea A 1, A 2,, A k una partición del espacio muestral Ω y sea B un suceso cualquiera tal que P B > 0, P A j B = P B A j P(A j ) k P B A i P(A i ) i=1 El Teorema de Bayes describe cómo es posible revisar la probabilidad inicial de un evento o probabilidad a priori P A i para reflejar la información adicional que nos provee la ocurrencia de un evento relacionado. La probabilidad revisada se denomina probabilidad a posteriori.

12 Teorema de Bayes Ejemplo: Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a las que se les denomina A, B y C. La máquina A produce tabique, la B adoquín y la C losetas. La máquina A produce el 50% de la producción total de la fábrica, la B el 30% y la C el 20%. Los porcentajes de artículos defectuosos producidos por las máquinas son, respectivamente, 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar y se observa que es defectuoso, encontrar la probabilidad de que sea un tabique.

13 Teorema de Bayes Solución: PROBABILIDAD Definamos primero los eventos: A: "articulo producido por maquina A B: "articulo producido por maquina B C: articulo producido por maquina C D: "articulo defectuoso P A = 0,5 P D A = 0,03 P B = 0,3 P D B = 0,04 P A = 0,2 P D A = 0,05

14 Teorema de Bayes Solución: P A D = P A P(D A) P A P D A + P B P D B + P C P(D C) P A D = 0,5 0,03 0,5 0,03 + 0,3 0,04 + 0,2 0,05 = 0,015 0,037 P A D = 0,4054

15 Ejercicios PROBABILIDAD 1. A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación Cuál es la probabilidad de que sea mujer? 2. En la evaluación de un programa de capacitación de ventas, una empresa descubrió que de los 50 vendedores que recibieron un bono el año anterior, 20 habían acudido a un programa especial de capacitación en ventas. La empresa tiene 200 empleados. Sea B el suceso de que un vendedor recibiera un bono y S el suceso de que acudieron al programa especial. Hallar P(B), P(S B) y P(B S).

16 Independencia PROBABILIDAD Desde la perspectiva estadística se puede establecer que dos eventos están asociados de alguna manera. Esto lleva a definir uno de los conceptos más importantes de la estadística y que es el concepto de Independencia Estadística de la siguiente manera: Dos eventos A y B se dice que son independientes si P A B = P A P B A = P B P A B = P A P(B) Es decir que el conocimiento de la ocurrencia de B no afecta a la P A y viceversa

17 TABLA DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTA DE DOS VARIABLES ALEATORIAS. TABLAS DE CONTINGENCIA En algunos estudios estadísticos tomamos para cada unidad de información valores de dos variables estadísticas: La variable aleatoria X que toma los valores x 1, x 2,, x n, y la variable aleatoria Y, que toma valores y 1, y 2,, y n. Cuando todos o algunos pares se repiten, pueden escribirse como una tabla de doble entrada o tabla de contingencia.

18 TABLA DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTA DE DOS VARIABLES ALEATORIAS. TABLAS DE CONTINGENCIA La frecuencia relativa del par de valores respecto al total de datos frecuencia relativa doble, están dados por h ij. Los valores marginales (que representan los subtotales por columna o por fila) estan dados por f i o f j

19 TABLA DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTA DE DOS VARIABLES ALEATORIAS. TABLAS DE CONTINGENCIA

20 PROBABILIDAD MARGINAL Y CONJUNTA Una manera, muy usada en la práctica, de denominar la probabilidad un evento simple de un espacio muestral es como probabilidad simple o marginal, la cual hace referencia a la probabilidad de un evento simple, y se denota con P(A), siendo A el evento simple en cuestión. El nombre de probabilidad marginal se debe a que esta medida se puede obtener a partir de los totales marginales de una tabla de contingencia. La denominación de probabilidad conjunta se utiliza para referirse a la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos simples simultáneamente.

21 PROBABILIDAD MARGINAL Y CONJUNTA

22 PROBABILIDAD MARGINAL Y CONJUNTA Por ejemplo: Si en un estudio se hace una encuesta a 800 alumnos de una universidad sobre el grado de satisfacción con la carrera y el grado de satisfacción con el progreso en la misma. Los resultados de la encuesta se muestran en la siguiente tabla: Satisfecho en la carrera Satisfecho en su progreso Si No Total Si No Total

23 PROBABILIDAD MARGINAL Y CONJUNTA Probabilidad Marginal La probabilidad de que un alumno se encuentre satisfecho con la carrera, es decir, la probabilidad de que ocurra:» A = satisfecho con la carrera elegida P A = 712 = 0,89 = 89% 800 Probabilidad Conjunta La probabilidad de que ocurran simultáneamente los siguientes eventos simples:» A = el alumno está satisfecho con su carrera» B = el alumno está satisfecho con su avance en la carrera P A B = = 0,4525

24 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL Es la distribución de probabilidad continua mas importante, ya que la mayoría de los fenómenos que pueden suceder cotidianamente se adaptan a ella.

25 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL Definición: PROBABILIDAD Se dice que una variable aleatoria esta normalmente distribuida si su función de densidad de probabilidad esta dada por: f x = 1 σ 2π x μ 2 e 2σ 2 Donde μ y σ 2 son la media y la varianza poblacionales, respectivamente. Estos determinan la forma completa de la función de densidad.

26 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL Propiedades: PROBABILIDAD Es simétrica con respecto a la media. La media, la mediana y la moda son iguales. El área total bajo la curva es de 100%. Es una familia de distribuciones porque μ y σ 2 no son constantes. La distribución de los datos es:

27 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL La función de distribución acumulada viene dada por: P X x = 1 σ 2π x x e t μ 2 2σ 2 El calculo de esto es requiere de tiempo para hacerlo manualmente, por lo tanto la solución es el uso de la distribución normal estándar. dt

28 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL ESTANDAR Es una solución al calculo de las familias de distribuciones normales, puesto que todas ellas pueden ser llevadas a una media y varianza estándar para todas. Función de densidad f Z = 1 2π e Z2 2 Función de distribución acumulada F Z = 1 2π e Z2 2 dt

29 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL ESTANDAR Estandarización de una variable Para usar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N μ, σ en otra variable Z que siga una distribución N 0,1 Z = x μ σ

30 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL ESTANDAR Se pueden dar los siguientes casos: P X x = P Z x μ σ P X x = 1 P Z x μ σ P x 1 X x 2 = P Z x 2 μ σ P Z x 1 μ σ

31 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL ESTANDAR Ejemplo: PROBABILIDAD El salario medio de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media 5 millones de pesos y desviación estándar 1,5 millones de pesos. Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de pesos. μ = 5 σ = 1,5 P X < 7 = P Z < 7 5 1,5 = P Z < 1,33 = 0,9082

32 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL ESTANDAR Ejemplo: PROBABILIDAD Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo superior a 6 millones de pesos. μ = 5 σ = 1,5 P X > 6 = 1 P Z 6 5 1,5 = 1 0,7486 = 0,2514 = 1 P Z < 0,67

33 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL ESTANDAR Ejemplo: PROBABILIDAD Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo 4 y 5,5 millones de pesos. μ = 5 σ = 1,5 P 4 X 5,5 = P Z 5,5 5 P Z 4 5 1,5 1,5 = P Z 0,33 P Z 0,67 = 0,6293 0,2514 = 0,3779