Tema 12. Límites de sucesiones

Transcripción

1 Aálisis IES Complutese Tema Límites de sucesioes Resume Alguas características y propiedades de las sucesioes Sucesió creciete Ua sucesió es creciete si cada térmio es mayor o igual que el aterior: a a Esto es, cuado a a 0 Si a a la sucesió se llama estrictamete creciete Por ejemplo, la sucesió ;,;,; es (estrictamete) creciete Ejemplo: La sucesió a es creciete Para demostrarlo hay que ver que a + a 0 E efecto: ( ) a a ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ), expresió que siempre toma valores positivos ( )( ) Sucesió decreciete Ua sucesió es decreciete si cada térmio es meor o igual que el aterior: a a ; o lo que es lo mismo, cuado a a 0 Si a a la sucesió se llama estrictamete decreciete Por ejemplo, la sucesió ; /; /; /4; es estrictamete decreciete Ejemplo: La sucesió a es estrictamete decreciete ( ) 4 Para demostrarlo hay que ver que a a Esto es: a a ( ) E efecto, multiplicado e cruz: 4 4 6, que es cierto, pues 4 < 6 Sucesió costate Es aquella que tiee todos sus térmios iguales: a k, para todo Sucesió acotada Ua sucesió está acotada superiormete si existe ua costate k, tal que a k, para todo Ua sucesió está acotada iferiormete si existe ua costate k, tal que k a, para todo Notas: La cota superior más iteresate es la más pequeña de todas; se llama supremo La cota iferior más iteresate es la más grade de todas; se llama ífimo Ejemplo: La sucesió a está acotada superiormete por k Para demostrarlo hay que ver que a Esto es que, para todo Si 4 4, que efectivamete es cierto Matemáticas º de Bachillerato CT José María Martíez Mediao

2 Aálisis IES Complutese Itroducció al cocepto de límite de ua sucesió La sucesió,,, 7, toma cada vez valores más grades, y supera cualquier úmero arbitrariamete grade; esto es, o tiee cota superior Esta sucesió o tiee límite fiito; se podría decir que es iitada, o que su límite es ifiito (+ ) La sucesió,,,, va saltado idefiidamete de a Tampoco tiee límite Es ua sucesió oscilate La sucesió, 4, 6, 8 7, toma cada vez valores más grades, pero está acotada por el úmero Su térmio geeral es a, que siempre toma valores meores que (el umerador de la expresió es meor que su deomiador: ), pero cada vez más cercaos a, como puede verse dado valores cada vez mayores a : a 0, 0,9 0,9 0,99 0,99 0,999 a Esta sucesió está itada por el úmero ; se dice que tiede a o que su límite es (Observa que la diferecia del valor de la sucesió co es cada vez más pequeña: para 00, la diferecia es 0,00; para 000, la diferecia es 0,000 ) Para decir que el límite de esa sucesió vale se idica de cualquiera de las formas siguietes: ; ; E geeral, se dice que la sucesió a tiede a a, o que a a, si para valores grades de la diferecia a a es ta pequeña como se desee Así, por ejemplo, y como aproximació a ua demostració, puede verse que para a la diferecia 0,00 a partir del térmio a 00 Lo que cofirma que E efecto: 0, 00 0, 00 0, , 00 A partir del térmio a 00 todos los siguietes vale más que 0,999 Por tato, etre 0,999 y hay ifiitos térmios: Como, además, la sucesió es creciete, cada vez su valor se acercará más a A las sucesioes que tiee límite se las llama covergetes Propiedad Toda sucesió creciete y acotada superiormete tiee límite El límite coicide co la cota superior míima (Aálogamete, toda sucesió decreciete y acotada iferiormete tiee límite El límite coicide co la cota iferior máxima (la mayor de las cotas iferiores) Ejemplo: La sucesió a es creciete y acotada por k ; por tato tiee límite, y vale Matemáticas º de Bachillerato CT José María Martíez Mediao

3 Aálisis IES Complutese Límite de alguas sucesioes Las expresioes de alguas de las sucesioes que estamos estudiado so del tipo: ) a 4 ; ) a ; ) a ; 4) a ; ) a E todos estos casos, para determiar su límite basta co estudiar su tedecia Así: ) a 4 toma cada vez valores más grades y positivos: 4 ) a toma cada vez valores más próximos a cero: 0 Estas sucesioes recibe el ombre de sucesioes ulas (No es imprescidible idicar que ; ya se sabe) ) a tambié toma cada vez valores más próximos a 0: 0 4) a toma cada vez valores más próximos a : ) a toma cada vez valores más grades y positivos: E geeral: tiede a, depediedo del sigo del térmio de mayor grado (Los térmios de meor grado o afecta al resultado del límite) Las sucesioes de tipo poliómico a ) Ejemplos: a) b) So ulas las sucesioes del tipo a k / ), siedo k u úmero Ejemplos: a) 0 b) 0 4 P ( ) Sucesioes del tipo a Idetermiació Q ( ) ) a 0, si el grado de ) es mayor que el de ) ) ) a, si el grado de ) es meor que el de ) ) 7 Ejemplos: a) 0 b) 0 90 ) p a, si ) y ) so del mismo grado, siedo p y q los coeficietes ) q pricipales de ) y ), respectivamete 7 Ejemplos: a) b) La justificació de estos resultados puede hacerse trasformado la sucesió dada e otra equivalete cuyo límite sea más fácil Ua trasformació adecuada cosiste e dividir el umerador y el deomiador de la sucesió iicial por elevada al mayor grado presete e la sucesió E alguos de los ejemplos ateriores, dividedo por queda: Matemáticas º de Bachillerato CT José María Martíez Mediao

4 Aálisis IES Complutese Si e las expresioes aparece raíces (cuadradas o de cualquier ídice), cuado se presete la idetermiació /, se puede utilizar el mismo proceso, teiedo e cueta las leyes de itroducció de factores e u radical Así: ; 0 (el deomiador tiee mayor grado); 9 9 ; 4 Para hallar puede dividirse los térmios de la sucesió por, así queda: Idetermiació del tipo Aparece e diferecias de expresioes racioales o co raíces Alguas veces puede resolverse operado e las sucesioes dadas; trasformádolas e otras equivaletes E el caso de raíces suele dar resultado multiplicar y dividir por la expresió cojugada Ejemplos: a) Operado se tiee: b) se tiee: [ ] Multiplicado y dividiedo por la expresió cojugada Matemáticas º de Bachillerato CT José María Martíez Mediao

5 Aálisis IES Complutese c) 4 tiee: 4 / : 0 [ ] Multiplicado y dividiedo por la expresió cojugada se El úmero e: idetermiació [ ] El úmero e (de Euler) es la base de los logaritmos eperiaos Este úmero, que es irracioal, se defie como el límite de la sucesió a Esto es: Para hacerte ua idea de cuál es el valor de e puede estudiarse su tedecia Observa: 0 a ; a 0, ; a 00, ; a 000,7699 ; a e, e Aplicado la defiició de e, e, y las propiedades algebraicas de los límites, puede darse otros resultados relacioes co el úmero e Por ejemplo: ) k e k ) k k e k ) e k Otra forma de resolver estos límites (si so del tipo ) es aplicar la trasformació: a b b a e Ejemplos: ( ) a) e ; b) e ( ) ( /) ( ) / c) e ( ) ( ) d) e e e e 4 Matemáticas º de Bachillerato CT José María Martíez Mediao