CAPITULO 2. Aplicación de la mecánica cuántica a la resolución de problemas físicos sencillos

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1 CAPITULO. Aplicación d la mcánica cuántica a la rsolución d problmas físicos sncillos 1) Partícula n un foso d potncial infinito (caja d una dimnsión) I I V() V() V() X l d ( ) + m d d ( ) m + ( E V ( )) ( ) d Ec. [1.1]: V ( ) ( ) E ( ) d ( ) m Zonas I, I.: + (E ) () d [.1] d ( ) () d 1 d () () I () I () d d ( ) m Zona : + E () d [.] Ecuación difrncial, omogéna, linal d sgundo ordn y d coficints constants. Solución: 1/ 1/ i(me) / i(me ) / 1 + c c [.3] me ( ) A cos + B sn me [.4] La función d stado db sr continua I () () () A cos[] + B sn[] A () B sn me l (l) I (l) l me (l) B sn l me l me sn ± n (n 1,, ) Cap.. Aplicacions M.C. 1

2 n no s álido, ya qu me / anula la función [.5] 4 m E l n n E ( n 1,, ) [.6] 8 m l Sólo los alors d nrgía d [.6] prmitn qu () sa continua n l (Cuantiación d la nrgía). n () B sn ( n 1,, ) [.7] l La ct B s calcula normaliando la función. () d l n l B sn d B 1 l n () sn ( n 1,, ) [.8] l l E 4 16E 1 4 () ( 4 ) E 3 9E 1 3 () ( 3 ) E 4E 1 E 1 () ( ) 1 () ( 1 ) l l Principio d corrspondncia d Bor: n l límit d númros cuánticos lados, los rsultados proporcionados por la mcánica cuántica tindn a los d la mcánica clásica. Cap.. Aplicacions M.C.

3 Ejmplo.1. Son las funcions d stado tipo [.8] funcions propias dl oprador impulso? Solución: pˆ () i no s función propia. n sn l n n cos ct () l i l l Ejmplo.. Calcul l alor promdio dl impulso n un stado propio cualquira d Ĥ. Solución: D acurdo con l trcr postulado (c. [1.1]) y pusto qu () stá normaliada. l n n < p > sn sn d l l i l l Ejmplo.3. Son las funcions d stado tipo [.8] funcions propias dl oprador Solución: pˆ? pˆ n 4 l pˆ () () n Valor propio: p 4 l n p ± l ) Partícula libr n una dimnsión ( V() ct ) Ec. d Scrödingr dl sistma s igual qu [.] y por tanto tin la misma solución matmática [.3] 1 / 1 / i(me) / i(me) / 1 + c c [.9] () dbría sr finita cuando tind a ±; Si E< ; i(me) 1/ i i (m E ) 1/ - (m E ) 1/ Si - l primr sumando n [.9] tind a. Si l primr sumando n [.9] tind a. por tanto E (la nrgía no stá cuantiada) La función d onda d la partícula libr no s normaliabl n l sntido usual dl término. *() () d (s dirgnt) Cap.. Aplicacions M.C. 3

4 3) Partícula n un foso d potncial finito (caja d una dimnsión) I I IV V V V l 1 l d () m Zona I (V() V ) + (E V ) () d [.1] Ecuación difrncial qu tin solución análoga a [.3]. Si E > V partícula libr Si E < V ψ I () ψ (l 1 ) ψ I (l 1 ) (condición d ntorno) Efcto túnl: La partícula a atrasado la barrra d potncial, aun cuando su nrgía E s mnor qu la barrra d potncial Vo. Probabilidad d pntración: P 1/(1+G) G I a a I i(me) 1 / L / D L / D ( ) 16 ε (1 ε) / (m(v E)) + b 1 / / i(me) + b D I 1 / / (m(v E)) m(v E) ε E/V [.11] La probabilidad d qu ocurra dpnd d la altura (potncial), d la ancura d la barrra y d la masa d la partícula. Eidncias primntals: dsintgración nuclar por misión d partículas a, raccions d transfrncia lctrónica y protónica, microscopio d fcto túnl (1981). 1 / / mm 9, Kg, E1 cm -1,V cm -1 ε,5; D 5, m Ancura Probabilidad 1 Å Å Å,16 Cap.. Aplicacions M.C. 4

5 4) Partícula n una caja d trs dimnsions V(,y,) (<<a; <y<b; <<c) c a b y V(,y,) (n otras condicions) (,y,) fura d la caja. Dntro d la caja (método d sparación d ariabls) ˆ + + ˆ + ˆ y + ˆ m y (,y,) (,y,) f()g(y)p() f''() g(y) p() (,y,) f() g''(y) p() y La cuación d Scrödingr dl sistma s: (,y,) f() g(y) p''() + + E m y [.1] m E f' ' g p + f g'' p + f g p'' + f g p diidindo por f g p s obtin: Cap.. Aplicacions M.C. 5

6 f" g " p " m E f g p f" g" p" m E f g p [.13] El primr mimbro sólo dpnd d y l sgundo no dpnd d, así qu l primr y l sgundo mimbro dbn sr constants. Análogamnt para g y p. E E + E y + E Sustituyndo n [.1] y dscomponindo: f" f m E + [.14] g" g m E y + [.15] p" p m E + [.16] Ecuación difrncial parcial d trs ariabls [.1] s a conrtido n trs cuacions difrncials ordinarias, cuyas solucions son análogas a la ya ista n l primr apartado. f() g(y) p() n n sn a n sn b a b y y y y n sn c c n y E ( n 1,, ) 8 m a n E ( n y 1,, ) 8 m b E ( n 1,, ) 8 m c La nrgía total y función d onda dl sistma son: n n y n E + + [.17] 8 m a b c 8 n n y n (, y, ) sn sn sn [.18] a b c a b c La condición d normaliación s: - (,y,) d dy d a f() d Si la caja s un cubo ( a b c ) ( n + n n ) E y + 8 m a b g(y) dy c p() d 1 Cap.. Aplicacions M.C. 6

7 Las nrgías prmitidas para l sistma: n n y n E(8ma / ) Estados (11), (11) y (11) son dgnrados (grado d dgnración 3) Rprsntación d ψ y d ψ para los primros stados d una partícula n una caja cuadrada ( dimnsions) 5) Oscilador armónico V() dv F() k d V() 1/ k ν m -a a 1/ ν ( 1/ )(k / m) a sn( ν t + δ) E T + V 1/ k A ν m A El amiltoniano s igual a: Ĥ - m d d + ν m d - m d α ( α ν m / ) La cuación d Scrödingr dl sistma s: d () me + α d () [.19] Cap.. Aplicacions M.C. 7

8 Ecuación difrncial omogéna, linal, d sgundo ordn y coficints no constants. S pud dmostrar qu la solución s dl tipo: n -α / -α / n () f() c [.] n Cuando n tind a infinito, la función también tind a infinito. Para qu sto no ocurra l sumatorio no pud tnr un númro infinito d sumandos. Esto s cumpl cuando: m E - - α + α m E ( + 1) ν m 1 E + ν (, 1,, ) [.1] Las funcions propias dl oscilador armónico son: -1 -α / () N ( α ) (, 1, ) [.] N s la constant d normaliación. Polinomios d rmit (, s un númro ntro) (y) y y d ( 1) [.3] dy 1 1 y 4y - 3 8y 3-1y 4 16y 4-48y y 5-16y 3 + 1y 6 64y 6-48y 4 + 7y -1 Los polinomios d rmit satisfacn las cuacions: " - y'+ y ' dy (si ') Cap.. Aplicacions M.C. 8

9 La fórmula d rcurrncia s: 1/! (si ') [.4] +1 y - -1 Ejmplo.4. all la constant d normaliación d las funcions d onda dl oscilador armónico. Solución: * Sgún la condición d normaliación, ( ) d 1 N ( α ) α / ( α ) α / d 1 y α 1/ ; dy α 1/ d -1/ y N α (y) (y) dy 1 α N ( α ) ( α ) d 1-1/ 1/ d acurdo con [.4] N α! 1 N -1/ 1/4 (!) ( α/ ) [.5] Las funcions propias dl oscilador armónico son: -α / () N ( α ) (, 1, ) α 1 1/4 -α / 1/4 3 4α -α / α 4 3 α 3 9 1/4 1/4 ( α ( α 3-1) - 3) -α / -α / Cap.. Aplicacions M.C. 9

10 1 ν 1 Cap.. Aplicacions M.C. 1

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