Especialista en Estadística y Docencia Universitaria PRUEBAS DE NORMALIDAD MÉTODO DE KOLMOGOROV SMIRNOV

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1 Especalsta e Estadístca y Doceca Uverstara PRUEBAS DE NORMALIDAD MÉTODO DE KOLMOGOROV SMIRNOV Tal vez el método más recomedable para el caso e que F(x) es ua dstrbucó cotua es el método para ua muestra de Kolmogorov-Smrov o (K-S). Cosste e ua prueba de hpótess e el que la hpótess ula afrma que los datos sí se ajusta a la dstrbucó F(x) y la hpótess altera establece que o se ajusta. El estadístco de prueba está dado por {, } D = Max H F H F c este valor se compara co el valor crítco que se ecuetra e ua tabla. Se rechaza la hpótess ula s Dc es mayor que el valor de tabla para el vel de cofaza y el tamaño de muestra que se esté cosderado. DURACIONES DE LAS BATERIAS DE UN AUTOMOVIL Probar que los datos s se ajusta a ua dstrbucó ormal co µ = 3.5 y σ = 0.7

2 Especalsta e Estadístca y Doceca Uverstara METODO DE KOLMOGOROV Y SMIRNOV (K-S) OBSERVACION F.REL.ACM F() * H F H F D c = 0.068, Es el mayor valor de las dos últmas columas. D = 0.50, Para u vel de sgfcaca α = 0.05 y =40. T Como Dc p DT, o se rechaza la hpótess ula de que los datos se ajusta a ua dstrbucó ormal co µ = 3.5 y σ = 0.7

3 Especalsta e Estadístca y Doceca Uverstara EL CONTRASTE DE SHAPIRO Y WILKS Este cotraste mde el ajuste de la muestra al dbujarla e papel probablístco ormal a ua recta. Se rechaza la ormaldad cuado el ajuste es malo, que correspode a valores pequeños del estadístco. El estadístco es: = h W = a x x s = ( ) j, j+ j W = A s Dode: = ( ) s = x = h = S es par. S o, h = Los coefcetes a j, está tabulados (tabla 0), y x j es el valor ordeado e la muestra que ocupa el lugar j. La dstrbucó de w está tabulada (tabla ) y se rechaza la ormaldad cuado el valor calculado es meor que el valor crítco dado e las tablas. 3

4 Especalsta e Estadístca y Doceca Uverstara EJEMPLO Cotrastar la hpótess de que los datos sguetes provee de ua dstrbucó ormal: (0,, 4, 30, 3, 3, 38). Para aplcar el test calcularemos los valores a j, drectamete e la tabla 0, etoces: a 7 = a 7 = a 37 = 0.40 Por lo tato, A será: ( ) ( ) ( ) A = a x x + a x x + a x x = (8) (0) (7)=5.3 Como: s = , s = A = El estadístco resultate será: ω = = El valor de ω para =7 y u vel de sgfcacó de 0.05 es, 0.803, meor que el obtedo, por lo que aceptamos la hpótess de ormaldad. 4

5 Especalsta e Estadístca y Doceca Uverstara PRUEBA DE GEARY OBSERVACION ( ) ( ) -0,6653 0,446-0,6653 0,6653 0,446 -,505 6,359 -,505,505 6, ,3756 9,459-4,3756 4,3756 9, ,0860 0,0074-0,0860 0,0860 0, ,036 0,000-0,036 0,036 0, ,899 6,935 5,899 5,899 6, ,4480 0,007-0,4480 0,4480 0, ,7963 7,893 -,7963,7963 7, ,7830 0,63 0,7830 0,7830 0,63 0 0,638 0,407 0,638 0,638 0,407 3,33 9,8050 3,33 3,33 9,8050 0,4933 0,433 0,4933 0,4933 0, ,3485 0,5 0,3485 0,3485 0,5 4,550 6,57,550,550 6,57 5 -,308 4,9765 -,308,308 4,9765 0, ,5833 0,0000 6,7 83,5833 = 5 π = 6. 7 ( ) 5 µ = = = = ( ) 5 =

6 Especalsta e Estadístca y Doceca Uverstara µ = Z µ = = = = ( ) ( ) ( ) P = p z =.0 = p z =.0 = F Z =.0 P = ( 0.846) = ( 0.539) = H 0 = Las observacoes se ajusta a ua dstrbucó ormal. H a = Las observacoes o se ajusta a ua dstrbucó ormal 3. α = Estadístco de prueba: µ = π = 5 = = 5 = ( ) 5. Crtero de decsó: S P < α se rechaza H O 6. Gráfca: 6

7 Especalsta e Estadístca y Doceca Uverstara 7. Decsó: como P > α, o se rechaza HO 8. Coclusó: Las observacoes se dstrbuye e forma ormal 7

8 Especalsta e Estadístca y Doceca Uverstara PRUEBA DE ANDERSON DARLING Esta prueba es aplcada para evaluar el ajuste a cualquer dstrbucó de probabldades. Se basa e al comparacó de la dstrbucó de probabldades acumulada empírca (resultado de los datos) co la dstrbucó de probabldades acumulada teórca (defda por H0). Hpótess: Ho: La varable sgue ua dstrbucó Normal ( µ σ ) H : La varable o sgue ua dstrbucó Normal ( µ σ ) Estadístco de Prueba: A = S S = F Y + F Y = ( + ) ( ) l ( ) l ( ) Dode es el úmero de observacoes, F(Y) es la dstrbucó de probabldades acumulada ormal co meda y varaza especfcadas a partr de la muestra y Y so los datos obtedos e la muestra, ordeados de meor a mayor. Regla de Decsó: La hpótess ula se rechaza co u vel de sgfcaca α s A es mayor que el valor crtco A T. Auque la prueba de Aderso Darlg puede ser aplcada a cualquer dstrbucó, o se dspoe de tablas para todos los casos. A cotuacó se preseta ua tabla para la prueba a la dstrbucó ormal. α A Ejemplo: T Pruebe s los sguetes datos se dstrbuye o o e forma ormal Ho: Los datos sgue ua dstrbucó Normal ( 0,σ ) H: Los datos o sgue ua dstrbucó Normal ( 0,σ ) 8

9 Especalsta e Estadístca y Doceca Uverstara x x x = = = = = 0 S= = (-) Y Y+- F(Y) F(Y+-) -F(Y+-) l(f(y)) l(-f(y+-)) S TOTAL A = + = Este valor es meor clusve al valor crítco correspodete a 0.. Por lo tato se acepta el supuesto de ormaldad de los datos α = 9