IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = , es decir

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 008 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A 0 a b Sea las matrices A= y B= 0 6 a) ( 5 putos) Calcule los valores de a y b para que A B = B A b) ( 5 putos) Para a = y b = 0, resuelva la ecuació matricial X B A = I. 0 a b Sea las matrices A= y B= 0 6 ( 5 putos) Calcule los valores de a y b para que A B = B A 0 De A B = B A teemos a b a b = 0, es decir Igualado miembro a miembro teemos: = b b = = a a = a = a = b = b = Luego a = y b =. Para a = y b = 0, resuelva la ecuació matricial X B A = I. a b = b a 0 0 Para a = y b = 0 teemos A= y B= 0 6 Si la matriz B tiee matriz iversa B -, (podemos pasar de (B I ) mediate trasformacioes elemetales a (I B - ) ), podemos multiplicar la expresió matricial X B A = I por la derecha por la matriz B -. De X B A = I, teemos X B B - A B - = I B - X I A B - = B - X = A B - + B (B I ) = = (I B - ), por tato B - 0 =. 6 0 F- 6 F Luego X = A B - + B = + = + = EJERCICIO _A x si x < Sea la fució defiida de la forma f(x) = x- x -0x si x a) (0 5 putos) Halle el domiio de f. b) ( 5 putos) Estudie la derivabilidad de f e x =. c) ( 5 putos) Halle la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e el puto de abscisa x = 0. Halle el domiio de f. Si x <, f(x) = x y su domiio es R {}, e particular su domiio es (x < ) {} x- Si x, f(x) = x 0x que es u poliomio y su domiio es R, e particular su domiio es (x ). Por tato el domiio de f es R {}. Estudie la derivabilidad de f e x =. Sabemos que si f es derivable e x =, f es cotiua e x =. Estudiamos primero la cotiuidad. f es cotiua e x =, si f() = lim f(x) = lim f(x). x x + f() = lim f(x) = lim (x - 0x) =. x + x +

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua x lim f(x) = lim = / =. x x x- Como lim f(x) = = lim f(x), f o es cotiua e x =, por tato tampoco es derivable e x =. x + x c) Halle la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e el puto de abscisa x = 0. El puto x = 0 está e la rama x <, dode f(x) = x x- La ecuació de la recta tagete e x = 0 es y f(0) = f (0) (x 0). De f(x) = x, teemos f(0) = 0. x- (x-) - x - De f (x) = =, teemos f (0) = -/(-) = -. (x-) (x-) Luego la recta tagete e x = 0 es y 0 = - (x 0), es decir y = -x. EJERCICIO _A Parte I a) ( puto) Sea A y B dos sucesos de u mismo espacio muestral. Sabiedo que P(A)=0 5, que P(B)=0 y que p(aub ) = 0 8, determie p(a/b) b) ( puto) Sea C y D dos sucesos de u mismo espacio muestral. Sabiedo que p(c)=0, que p(d)=0 8 y que so idepedietes, determie p(cud) Sea A y B dos sucesos de u mismo espacio muestral. Sabiedo que p(a) = 0 5, que p(b) = 0 y que p(aub) = 0 8, determie p(a/b) ( B ) p A Sabemos que p(a/b) = = {**} = 0 /0 = 0 5. p(b) {**}, de p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) teemos p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = 0 Sea C y D dos sucesos de u mismo espacio muestral. Sabiedo que p(c)=0, que p(d)=0 8 y que so idepedietes, determie p(cud) Como C y D so idepedietes teemos p(c) p(d) = p(c D) = = 0. EJERCICIO _A El úmero de días de permaecia de los efermos e u hospital sigue ua ley Normal de media µ días y desviació típica días. a) ( puto) Determie u itervalo de cofiaza para estimar µ, a u ivel del 97%, co ua muestra aleatoria de 00 efermos cuya media es 8 días. b) ( puto) Qué tamaño míimo debe teer ua muestra aleatoria para poder estimar µ co u error máximo de día y u ivel de cofiaza del 9%? σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es:

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua σ I.C. (µ) = x z α/,x + z α/ dode z -α/ y z α/ = - z -α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,) que verifica p(z z -α/ ) = - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z α /, para el itervalo de la media, de z - α/. dode el tamaño míimo de la muestra es = E. El úmero de días de permaecia de los efermos e u hospital sigue ua ley Normal de media µ días y desviació típica días. a) Determie u itervalo de cofiaza para estimar µ, a u ivel del 97%, co ua muestra aleatoria de 00 efermos cuya media es 8 días. Datos del problema: σ = ; = 00; x = 8 ; ivel de cofiaza = 97% = 0 97 = - α, de dode α=0 0, co la cual α/ = 0 05 De p(z z -α/ ) = - α/ = = 0 985, mirado e las tablas de la N(0,) la probabilidad vemos que está y correspode a z -α/ = 7, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ I.C. (µ) = x z α/,x + z α/ = 8' '7,8'+ '7 = (7 9, 8 75) b) Qué tamaño míimo debe teer ua muestra aleatoria para poder estimar µ co u error máximo de día y u ivel de cofiaza del 9%? Datos del problema: σ = ; error = E < ; ivel de cofiaza = 9%. De ivel de cofiaza = 9% = 0 9 = - α, de dode α=0 08, co la cual α/ = 0 0 De p(z z -α/ ) = - α/ = = 0 96, mirado e las tablas de la N(0,) la probabilidad 0 96 vemos que o está y el valor más próximo es que correspode a z -α/ = 75. Sabemos que dode el tamaño míimo de la muestra es = tamaño míimo es = 8. z - α/. E > ' , luego el OPCIÓN B EJERCICIO _B a) ( putos) Represete gráficamete la regió determiada por las siguietes restriccioes: x + y 6; x + y 0; - x + y ; x 0; y 0 y determie sus vértices. b) ( puto) Calcule el máximo de la fució f(x,y) = x + y e el recito aterior e idique dóde se alcaza. Represete la regió defiida por las siguietes iecuacioes x + y 6; x + y 0; - x + y ; x 0; y 0 y determie sus vértices. Las desigualdades x + y 6; x + y 0; - x + y ; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, x + y = 6; x + y = 0; - x + y = ; x = 0; y = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x + 6; y = -x + 0; y = x + ; x = 0; y = 0. Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas.

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0; teemos el puto de corte es A(0,0) De x = 0 e y = x + ; teemos el puto de corte es B(0,) De y = x + e y = -x + 6; teemos x + = -x + 6, de dode x =, de dode x = e y =, y el puto de corte es C(,) De y = -x + 0 e y = -x + 6; teemos -x + 0 = -x + 6, de dode = x, de dode x = e y =, y el puto de corte es D(,) De y = -x + 0 e y = 0; teemos -x + 0 = 0, de dode 0 = x, de dode x = 5 e y = 0, y el puto de corte es E( 5,0) Fijádoos e la resolució de las ecuacioes, los vértices del recito so: A(0,0); B(0,); C(,); D(,) y el E( 5,0). b) Calcule el máximo de la fució f(x,y) = x + y e el recito aterior e idique dóde se alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e alguo de los vértices del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(-,-); B(-,) y el C(,-). F(0,0) = (0) + (0) = -, F(0,) = (0) + () =, F(,) = () + () = 9 F(,) = () + () = 9, F(,-) = ( 5) + (0) = 7 Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 9 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el segmeto determiado por los vértices C(,) y D(,). EJERCICIO _B x +ax+b si x < Sea la fució f defiida mediate f(x) = L(x) si x a) ( 5 putos) Determie a y b sabiedo que f es cotiua y tiee u míimo e x = - b) ( 5 putos) Para a = - y b =, estudie la derivabilidad de f e x = - y x =. Estudie la mootoía y la curvatura de f. Como f es cotiua e R, f es cotiua e x =, teemos f() = lim f(x) = lim f(x). x x + f() = lim f(x) = lim L(x) = L() = 0. x + x + lim f(x) = lim (x +ax+b) = +a+b. x x Como f es cotiua e x =, teemos 0 = +a+b.

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua Como dice que tiee u míimo e x = -, teemos f (-) = 0 Vemos que x = - está e x <, dode f(x) = x + ax + b, por tato f (x) = x + a. De f () = 0 teemos (-) + a = 0, de dode a =. Etrado co a = - e 0 = +a+b, teemos 0 = +a+b, de dode b = -. Los valores pedidos so a = y b = -. b) Para a = - y b =, estudie la derivabilidad de f e x = - y x =. Hemos visto que f es cotiua e x = si a = y b = -, por tato para a = - y b = la fució o es cotiua e x =, y por tato f o es derivable e x =. Vemos que x = - está e x <, dode f(x) = x - x +, por tato f (x) = x -. Por tato f (-) = (-) =. EJERCICIO _B Parte I Se sabe que el 0% de los idividuos de ua població tiee estudios superiores; tambié se sabe que, de ellos, el 95% tiee empleo. Además, de la parte de la població que o tiee estudios superiores, el 60% tiee empleo. a) ( puto) Calcule la probabilidad de que u idividuo, elegido al azar, tega empleo. b) ( puto) Se ha elegido u idividuo aleatoriamete y tiee empleo; calcule la probabilidad de que tega estudios superiores. Se sabe que el 0% de los idividuos de ua població tiee estudios superiores; tambié se sabe que, de ellos, el 95% tiee empleo. Además, de la parte de la població que o tiee estudios superiores, el 60% tiee empleo. a) Calcule la probabilidad de que u idividuo, elegido al azar, tega empleo. Llamemos S, S C, A y A C, a los sucesos siguietes, teer estudios superiores, "o teer estudios superiores", " teer empleo " y " o teer empleo ", respectivamete. Además teemos p(s) = 0% = 0, p(a/s) = 95% = 0 95, p(a/s C ) = 60% = 0 60 Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale ). Elegida, al azar, ua persoa de la població activa de esa provicia, calcule la probabilidad de que esté e paro. Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la bola extraída sea egra (N) es: p(e paro) = p(a C ) = p(s).p(a C /S) + p(s C ).p(a C / S C ) = = 0 ' 95. Se ha elegido u idividuo aleatoriamete y tiee empleo; calcule la probabilidad de que tega estudios superiores. 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( S A ) p( S).p(A/S ) 0' 0'95 p(s/a) = = = 0 0. C p(a) - p(a ) - 0'95 EJERCICIO _B Parte II Sea la població {,,,}. a) ( puto) Costruya todas las muestras posibles de tamaño, mediate muestreo aleatorio simple. b) ( puto) Calcule la variaza de las medias muestrales. y A partir de ua població de elemetos,,, se seleccioa, mediate muestreo aleatorio simple, todas las muestras de tamaño. Escriba dichas muestras y calcule la variaza de las medias muestrales. Costruyamos la distribució muestral de medias y, para ello, calculamos la media de todas las muestras posibles co reemplazamieto de tamaño que so 6. Los resultados puede verse e la tabla siguiete: MUESTRAS Elemetos Media de la muestra x i La distribució muestral de medias puede verse e la tabla que sigue. x i i i x i i (x i ) N=6 0 0 La media de la distribució muestral de medias (media de las medias muestrales) es: k x i i i= µ = x = = 0 N 6 = 5/ La desviació típica de la distribució muestral de medias es: σ i i = (x ) - x N = = 5 8 =