Progresiones Aritméticas: Apunte teórico-práctico

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Alba Maidana Rodríguez
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1 Progresioes Aritméticas: Apute teórico-práctico Ua progresió aritmética (P.A.) es ua sucesió tal que cada térmio de obtiee sumado u úmero costate al aterior. Este úmero costate se llama razó de la P.A. ) La sucesió,, 8,,,, 0, es ua P.A. de razó r. Esta sucesió puede escribirse por compresió así: a a a + > Vemos que el térmio geeral es + ( ) a ) La sucesió,, 0, -, -, -6, es ua P.A. de razó r. Esta sucesió puede escribirse por compresió así: a a a > Vemos que el térmio geeral es + ( )( ) a Fórmula del térmio eésimo de ua P.A. i a ) { a } a, a, a, L a, a, L ( + es ua P.A. etoces el térmio eésimo o térmio geeral es igual a: a + r ( ) a Observació: e alguos casos se cosidera P.A. co u úmero fiito de térmios, o sea, podemos tomar ua parte de la sucesió. ) E ua P.A. de razó el primer térmio es. Cuál es el sexto térmio? Como a a + r ( ) y a, r y 6 teemos que a 6 (6 ) ) E ua P.A. de oce térmios los dos últimos so y. Cuál es el primer térmio? 0 Como la razó es la diferecia etre dos térmios cosecutivos, teemos que r 0 Además: y a. Etoces: a a r( ) ( ) 9 ) El primero y el quito térmios de ua P.A. so y. Calcular la razó. 0 Como a a + r ( ) etoces a a r r Apute Prof. Mabel Chrestia Matemática II (Lic. e Turismo, Hotelería, Admiistració) UNRN Año 00

2 8 ) Cuátos térmios tiee ua P.A. de razó sabiedo que el segudo térmio es cero y el último es? i a 0 y r etoces a a r a a Como a a + r ( ) etoces + r 8 + Problemas de aplicació (I) Depreciació de ua máquia Ua fábrica compra ua maquiaria a 00 dólares. El valor de la máquia se deprecia aualmete e 0 dólares y su valor de desecho es de 00 dólares. Cuál es la vida útil de la máquia? olució: Debemos hallar el úmero de años después de los cuáles el valor de la máquia se ha reducido a u valor de desecho de 00 dólares. Dado que el valor de la máquia se deprecia 0 dólares cada año, su valor al fializar el primer año será ( 00 0) 0, al fializar el segudo año será ( 00 0) 00, al fializar el tercero será 00 0, y así sucesivamete. ( ) 0 Podemos formar ua P.A. co estos valores, siedo a 0, a 00, a 0, La razó es la diferecia etre dos térmios cosecutivos. Por ejemplo: r a a El térmio geeral es: a a + r ( ) 0 0( ) Para hallar la vida útil de la máquia debemos averiguar e cuátos años se covertirá e desecho, es decir, cuado a 00. Etoces: 0 0( ) 00 a Despejado de esta expresió obteemos: 0. Por lo tato, la vida útil de la máquia es de 0 años. (II) Iterés imple upogamos que dispoemos de u capital y lo depositamos e u baco que os otorga u tato por cieto aual de itereses y podemos optar por la capitalizació o o de los itereses. E el caso del Iterés imple sigifica que optamos por la o capitalizació de los itereses. upogamos que uestro capital iicial es C. Etoces: - al cabo de u año tedremos u capital C C + CI - al cabo de dos años tedremos u capital C + C I C + C I C C C + CI C + C - al cabo de tres años tedremos u capital I - y así sucesivamete. Apute Prof. Mabel Chrestia Matemática II (Lic. e Turismo, Hotelería, Admiistració) UNRN Año 00

3 Al cabo de años tedremos u capital C ) C + ( C I que es ua P.A. de razó C I. Por ejemplo, supogamos que dispoemos de 0.000$ y lo depositamos e u baco a ua tasa del 8 % aual. Cuáto diero tedremos al cabo de años? E este caso el primer térmio es C y la razó C I , Al cabo de años tedremos: C C + ) C Ejercicios: ( I ) Escribir los seis primeros térmios de las siguietes P.A.: a) a ; r b) a ; r c) a ; r ) Calcular la razó si: a) a 8 ; a8 b) a ; a6 6 ) Calcular el térmio eésimo si: a) a ; r ; b) a ; r ; 0 ) Calcular el primer térmio si: a) a 9 ; r ; b) ; r ; 9 ) Calcular la razó si: a) a ; a ; b) a,8 ; a, ; 0 8 6) Calcular la catidad de térm. si: a) a 0 ; a 8 ; r b) a ; a ; r ) La suma de tres térmios cosecutivos e ua P.A. es 0, y la suma de sus cuadrados es 8. Cuáles so los úmeros? (Rta:, 0 y ) a uma de los primeros térmios de ua P.A. La suma de los primeros térmios de ua P.A. es igual a la semisuma del primer y eésimo térmios, por la catidad de térmios. ( a + a ) ai a + a + L + a Demostració) i i es la suma de los primeros térmios de la P.A. etoces: + a a + a + a + L + a + a Por la propiedad comutativa podemos escribir que: a + a + a + + a + a + a L umado ambas igualdades miembro a miembro: + ( a + a ) + ( a + a ) + ( a + a ) ( a + a ) + ( a + a ) + ( a + a ) (*) Veamos que cada térmio etre parétesis de la expresió (*) es igual a ( a + a ): Apute Prof. Mabel Chrestia Matemática II (Lic. e Turismo, Hotelería, Admiistració) UNRN Año 00

4 El térmio ( a + a ) se puede escribir como: ( a + + a ) El térmio ( a + a ) se puede escribir como: ( a + + a ) El térmio ( a a ) se puede escribir como: ( a a ) E geeral: el térmio ( a + ) se puede escribir como: ( a ) k a h + h + a h Ahora, aplicado la fórmula del térmio geeral que dice que a a + r ( ) teemos que: a + h a + r ( + h ) a h a + r h a + r ( h ) a + r ( ) Etoces: a [ + r h]+ + h + a h r h a [ a + r ( ) r h] + [ a + r ( ) ] a a + a Por lo tato, todos los térmios etre parétesis de la expresió (*) equivale a ( a + a ). Luego, la expresió (*) os queda: ( a + a ) ( a + a ) ) Calcular la suma de los primeros térmios de ua P.A. cuyos dos primeros térmios so y,8. Primero hallamos la razó, que es igual a la diferecia etre los dos primeros térmios. Es decir r,8 0, Luego hallamos el último térmio. Como a a + r ( ) etoces a + ( 0,)( ) 0, 8 Etoces ( a + a ) ( + 0,8) ai a + a + L+ a, 8 i ) Escribir los doce primeros térmios de la P.A. aterior y verificar que la suma obteida es la correcta. Los doce primeros térmios so: ;,8 ;,6 ;, ;, ; ;,8 ;,6 ;, ;, ; ; 0,8 La suma es: +,8 +,6 +, +, + +,8 +,6 +, +, + + 0,8,8 Gauss y las progresioes aritméticas A los ueve años Carl Friedrich Gauss (-88) asiste a su primera clase de Aritmética. El profesor propoe a su cetear de pupilos u problema terrible: calcular la suma de los cie primeros úmeros eteros. Nada más termiar de propoer el problema, el jovecito Gauss traza u úmero e su pizarró y lo deposita e la mesa del maestro. Había escrito.00. La respuesta correcta. Ate los ojos atóitos del profesor y del resto de sus compañeros, Gauss había aplicado, por supuesto si saberlo, el algoritmo de la suma de los térmios de ua progresió aritmética. e había dado cueta de que la suma de la primera y la última cifra daba el mismo resultado que la suma de la seguda y la peúltima, etc., es decir: Como hay 0 parejas de úmeros de esta forma el resultado se obtedrá multiplicado Apute Prof. Mabel Chrestia Matemática II (Lic. e Turismo, Hotelería, Admiistració) UNRN Año 00

5 Ejercicios: ) Hallar la suma de los siete primeros térmios de ua P.A. de razó cuyo primer térmio es. (Rta: ) ) Los primeros térmios de ua P.A. de razó r 0, suma. Calcular el primer y último térmios. (Rta:, y 0,6) ) Para ua empalizada se utiliza trocos, de los cuales el más bajo es de 90 cm, y los otros va siedo, sucesivamete, 0 cm más alto que el aterior. Expresar e metros la logitud total de trocos que se utiliza. (Rta: mts) ) Ua persoa saca u préstamo e u baco. Debe pagar cuotas mesuales. Los pagos forma ua PA. i sus pagos sexto y décimo so de $.00 y $.00, respectivamete, De qué moto será la última cuota? Cuáto pagó al baco e total? (Rta:.800$ y 08.00$). ) Cuátos años debe u señor depositar e u baco u capital de 0000$ a ua tasa del % aual para obteer 00000$? (Rta: años y meses) 6) Ua señora retira el diero depositado tras años e u baco a ua tasa del % aual. El capital retirado asciede a 000$. Cuál fue el capital que depositó? (Rta: 060$) ) U señor tiee ua deuda de 6000$. e compromete a pagarla e 0 cuotas mesuales. Cuado 0 de los 0 pagos se ha cubierto, el deudor fallece dejado ua tercera parte de la deuda si cacelar. Cuál fue el valor de primer pago? (Rta: 0$) 8) Calcular cuátos días estuvo trabajado u camarero e u establecimieto sabiedo que el primer día recibió ua propia de 0 $, y que cada día que pasaba recibía $ más de propia, llegado a cobrar el último día $. (Rta: 6 días) 9) i cosideramos diez térmios cosecutivos de ua P.A. y sabemos que los dos extremos suma y el producto de tercer y cuarto térmios es 8, hallar todos los térmios de la progresió. (Rta:,, 6, 8, 0,,, 6, 8, 0) 0) i cosideramos doce térmios cosecutivos de ua P.A., la diferecia etre el último térmio y el primero es, y la suma del cuarto y octavo térmios es 6, hallar los extremos. (Rta: y 8) ) Calcular la suma de: a) los seseta primeros úmeros aturales. b) los treita primeros úmeros pares. c) los oveta primeros úmeros impares. d) los cicueta primeros múltiplos de. e) los múltiplos de meores que 00. f) los múltiplos de compredidos etre 0 y 00. Apute Prof. Mabel Chrestia Matemática II (Lic. e Turismo, Hotelería, Admiistració) UNRN Año 00

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