I.E.S. Historiador Chabás -1- Juan Bragado Rodríguez

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1 Polinomios Operciones Regl de Ruffini Ríces o ceros Descomposición Frcciones lgebrics Ecuciones rcionles

2 Repso de polinomios Ejercicios Ddos los polinomios P(, Q( R( clculr: P( Q( Q( R( P( Q( R( d P( Q ( P( R( e P ( Q( R( f g Q( Q( Soluciones: e 0 9 g C( 7 9 d 0 9 R( 0 f C( R( Ejercicios Desrrollr ls siguientes epresiones: ( ( ( d ( 9 e t f g ( ( Soluciones d b 8b e 9t t 9 f g Vlor numérico de un polinomio utilizndo l Si tenemos que clculr el vlor numérico de un epresión pr un cierto vlor de l vrible, el primer pso es introducir el número en l memori de l clculdor posteriormente trer l pntll dicho vlor cd vez que tengmos q ue sustituir l vrible. Ejercicios Clculr el vlor del polinomio P( 7 cundo. (Sol: 9 Clculr P( 0 8 si P( 7. (Sol: 8808 L regl de Ruffini Con frecuenci, tendremos que hcer divisiones cuo divisor es de l form, donde l letr represent un número. Son binomios de este tipo: ( Ests divisiones se pueden hcer en l form hbitul, pero es más sencillo rápido usr l Regl de Ruffini, que utiliz sólo los coeficientes. I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez

3 Vemos en l práctic cómo se reliz est división, primero en l form hbitul luego usndo l regl de Ruffini pr el siguiente ejemplo: ( 8 :( L regl de Ruffini resume el método de obtención de los coeficientes del cociente del resto, l hcer l división de un polinomio por. Podemos describirl sí: Se orden el dividendo en form decreciente se colocn ordendos sus coeficientes. Si en el polinomio dividendo fltn términos, como en este cso que es incompleto, se ponen ceros en los lugres de los términos que fltn. Debjo, desplzdo l izquierd, se coloc el término independiente del divisor cmbido de signo. El primer coeficiente del cociente es igul l primer coeficiente del dividendo. Cd uno de los demás coeficientes del cociente se obtiene multiplicndo el coeficiente nterior por sumndo este producto l coeficiente siguiente del dividendo. El resto es igul l producto del último coeficiente del cociente por más el término independiente del dividendo El grdo del cociente es un unidd menos que el grdo del dividendo. Estos prtdos, pr el ejemplo de l división nterior, quedn reflejdos en los siguientes psos: Un vez se obtienen los coeficientes del cociente, como sbemos que es de un grdo menor que el dividendo tenemos: c( El resto es el último número obtenido: r( 7 Clculr el resto el cociente de l división entre utilizndo l regl de Ruffini cociente c( resto r( 0 Ejercicios Utiliz l regl de Ruffini pr dividir los polinomios D entre d: I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez

4 D D d d D d D 8 d d Soluciones: c( 0 r( 0 c( r( c( r( 0 d c( 8 r( 77 8 Teorem del resto El vlor que tom un polinomio P( cundo hcemos es decir P(, coincide con el resto de dividir P( entre. Demostrción Al hcer l división del polinomio ser de grdo cero es un número. P( entre el cociente es C( el resto es R, que por P ( Si hcemos qued: C ( P( ( C( R P( ( C( R 0 C( R R Por lo tnto, pr hllr el vlor numérico de un polinomio, bst plicr l regl de Ruffini tomr el resto. El vlor numérico de un polinomio pr, es igul l resto que se obtiene l dividir ese polinomio por. Decir que P( es divisible por es lo mismo que decir que P( 0 Es ect l división de por? Hll el resto de l división por dos procedimientos comprueb que obtienes el mismo resultdo. Hciendo l división El resto es cero, por lo tnto l división es ect. Hllmos el vlor de pr 0 Re sto 0 En este cso, h sido más sencillo este último cmino. I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez

5 Ddo el polinomio k queremos clculr el vlor de k pr que el vlor numérico del polinomio pr se 8. Ríces o ceros de un de un polinomio k 8 k Diremos que el número es un ríz o cero del polinomio pr es cero, es decir P ( 0. P( si el vlor numérico del polinomio n Si un número es un ríz enter del polinomio P( n... 0, entonces es un divisor del término independiente. Si el vlor es un cero del polinomio P(, tmbién es un cero de todos los polinomios obtenidos l multiplicr P( po r un número. Si el número es un ríz del polinomio P(, éste es divisible por Clcul ls ríces enters del polinomio Ls posibles ríces enters son los divisores de, es decir ± ± Comprobmos directmente cuál de estos números es ríz: Pr 0 es un ríz. Pr ( ( ( 0 tmbién es ríz. Pr 0 no es ríz. Pr ( ( ( 0 es ríz. Clcul ls ríces enters del polinomio Se sc fctor común ( Un ríz es 0. Se clculn hor ls ríces del polinomio. Ls posibles ríces enters son los números ± ± Comprobmos directmente cuál de estos números es ríz: Pr 0 es ríz Pr ( ( ( 0 es ríz Pr 8 0 no es ríz I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez

6 Pr ( ( ( 0 es ríz. Clculr ls ríces enters del polinomio Ddo que el término independiente es, ls posibles ríces enters son: ±, ±, ±, ±, ±, ± Pr es ríz. Pr ( 7( 8( ( 8( 0 es ríz. Descomposición fctoril n n Ddo un polinomio de grdo n: p( n... reles distints r, r,...,, se puede demostrr que: rn n 0 que tiene n ríces El polinomio se puede descomponer en form únic en el producto de su coeficiente principl por n fctores que resultn de restr cd un de ls n ríces. n p( n ( r ( r ( r...( rn El producto n r r r... r n es igul l término independiente del polinomio. Ls ríces enters son divisores del término independiente entero. n Si un número es un ríz enter del polinomio P( n... 0 entonces es un divisor del término independiente. ( 0, Fctorizr el polinomio q( Ls posibles ríces enters son: ±, ±, ± ±. Tntemos pr ver cuál de ells es: Pr q( 8 0 Pr q( ( ( ( ( 0 Pr q( 0 Como es un ríz, el polinomio es divisible por 0 ( ( Como es un fctor de er grdo, trtmos de descomponer en fctores el polinomio cociente, pr lo cul hemos de encontrr un ríz del mismo. I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez

7 Los divisores del son ± ±. Los números no pueden serlo porque tmpoco lo ern de q(. Pr 0 0 P r ( ( 0 es un ríz. 0 ( ( 0 0 De mner que el polinomio primitivo qued fctorizdo sí: ( ( ( Podemos intentr repetir el proceso con, pero es inútil. L ecución 0 crece de ríces, porque ningún número l cudrdo más puede dr 0. Prácticmente se disponen los cálculos sí: Ejercicios Descomponer utilizndo l regl de Ruffini P( Ls posibles ríces enters son:. Tntemos pr ver cuál de ells es: Pr P( 0 Pr El polin omio P( no se puede descomponer. P( ( ( ( 0 0 Ejercicios Descomponer utilizndo l regl de Ruffini R( El primer pso en este tipo de epresiones en ls que no eiste el término independiente es scr fctor común descomponer l epresión resultnte. R( ( Descomponemo s. Ls posibles ríces enters son: ± ±. Tntemos pr ver cuál de ells es: I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez

8 Pr 8 0 Pr ( ( 0 es un ríz. ( ( 0 R( ( ( Ejercicios Fctorizr el polinomio Q(. En este cso, si nos dmos cuent que l epresión se puede descomponer en un sum de dos términos por l diferenci de los mismos términos no tendremos necesidd de plicr l regl de Ruffini. Q( ( ( ( ( ( E jemplo Fctorizr los polinomios: Como es fctor común ( Si hor fctorizmos el polinomio de º grdo del préntesis (cus ríces son: tenemos: ( ( ( Como es fctor comú n ( Ls ríces del polinomio de º grdo del préntesis son:, por lo que: ( ( Fctorizr los polinomios: 0 9 ( ( ( ( 8 ( 8 ( 8 Fctorizr los polinomios: 9 ( ( ( I.E.S. Historidor Chbás -7- Jun Brgdo Rodríguez

9 9 ( ( ( ( ( ( ( Problems propuestos con soluciones Fctoriz los siguientes polinomios clculndo previmente sus ríces: 7 8 d 0 0 e 8 f g 9 8 h 7 i Soluciones:, ( ( (, ( ( ( ( 7 8 ( ( d,, 0 0 0( e,, 8 8( f, g, ( ( h,,, 7 ( ( i 0,, ( I.E.S. Historidor Chbás -8- Jun Brgdo Rodríguez

10 Máimo común divisor mínimo común múltiplo Ls definiciones de máimo común divisor (m.c.d. mínimo común múltiplo (m.c.m. de polinomios son similres ls dds pr los números, lo mismo que el proceso pr clculrlos. El m.c.d. de vrios polinomios es el polinomio de mor grdo divisor de todos ellos que se obtiene multiplicndo los fctores comunes elevdos l menor eponente. El m.c.m. de vrios polinomios es el polinomio de menor grdo múltiplo de todos ellos que se obtiene multiplicndo los fctores comunes no comunes elevdos l mor eponente. Pr el cálculo del m.c.d. del m.c.m. de dos polinomios p( q( siempre se verific que: p( q( m.c.d. [ p(, q( ] m.c.m. [ p(, q( ] Clculr el m.c.d. el m.c.m. de los números m.c.d.(0, 0 0 m.c.m.(0, Clculr el m.c.d. el m.c.m. de los polinomios. En los polinomios, l descomposición en productos de fctores primos se reliz medinte l regl de Ruffini. ( ( ( m.c.d.(, m.c.m.(, ( ( I.E.S. Historidor Chbás -9- Jun Brgdo Rodríguez

11 Clculr el m.c.d. el m.c.m. de los polinomios 9 Problems propuestos con soluciones mcd... ( mcm... ( ( ( 9. Oper simplific en ls epresiones siguientes: (b c b ( c c ( b ( (b [ ( (b ] 7b c bc b c d ( ( ( e Sol: b c b b 70 b c 7 9 d e En ls siguientes relciones h errores mu grves en l utilizción de los signos, cuáles son? 9 ( (. En ls siguientes relciones h errores mu grves en l utilizción de l propiedd distributiv, cuáles son? ( ( ( b ( ( b. Complet ls siguientes epresiones pr que sen cudrdos perfectos escribe continución su relción: Scr fctor común en ls siguientes epresiones lgebrics: b c bc b b d c cd bc bd Sol: ( ( ( ( ( d ( b ( d. Fctoriz ls siguientes epresiones lgebrics con los términos que se pued: b b c b bc c Sol: ( b ( b ( b ( b 7. Escribe un polinomio cus ríces sen,. 8. Cuáles de los siguientes polinomios son irreducibles? 9 d e I.E.S. Historidor Chbás -0- Jun Brgdo Rodríguez

12 9. Eiste lgún polinomio c( tl que su producto por q( se el polinomio p( Encuentr el polinomio p( que, l ser dividido por q(, d lugr l cociente c( 8 l resto r(. Sol: c( 0 0. De los números 0,,,, di cuáles son ríces cuáles no, de cd uno de los polinomios: p( q( 0 8 t( d ( ( r( e s( Sol: Son ríces 0, Sólo h un ríz, el Sólo h el 0 d Son ríces e Sólo el cero. Efectú ls divisiones entre los siguientes polinomios: p( 7 q( p( q( Sol: c( r( 7 c( r( Utiliz l regl de Ruffini pr dividir los siguientes polinomios D d: D 0 d D 8 d D d d D d Sol: c( 0 r( 0 c( r( c( r( 0 77 d c( r( 8 8. Fctoriz los siguientes polinomios clculndo previmente sus ríces: 7 8 d 0 0 e 8 f 9 g 8 h 7 i Sol:, ( ( (, ( ( ( ( 7 8 ( ( d, 0 0 0( e,, 8 8( f I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez

13 g 0, ( ( h,, ( ( ( ( ( ( ( ( i 0, ( ( (. Hll el m.c.d. el m.c.m. de los polinomios: P Q P Q P 8 z ; Q z ; R d P 8 Q e P 7 Q f P g P ( ( ( Q ( ( ( ( Sol: mc.. d.( P, Q ( ( mc.. m.( P, Q ( ( ( ( m. c. d.( P, Q ( ( m. c. m.( P, Q ( ( ( 0 mcd...( PQ, mcm...( PQ, 8z d mcd PQ mcm PQ...(,...(, ( ( e m. c. d.( P, Q ( m. c. m.( P, Q ( ( ( 0 0 f mcd...( PQ, mcm...( PQ, g m. c. d.( P, Q ( ( ( mcm...( P, Q ( ( ( (. Hll el vlor numérico del polinomio P( 7 pr Clcul el vlor de m sbiendo que el polinomio m es divisible por. Sol: m ' 8. Prueb que ls siguientes divisiones son ects sin hcer l división: ( 9 8:( ( :( ( :( 7 7. Prueb sin hcer ls divisiones que: El polinomio es múltiplo de El binomio es divisor del polinomio El polinomio P( es múltiplo de, pero no de 8. Hll el vlor de k m pr que: El polinomio k se divisible por El polinomio m k se divisible por I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez

14 Sol: k k m 9. Clcul m, n p en el polinomio m n p sbiendo que ( (m n p 9 8 Sol: m, n p 0. Siendo ( ( (, puedes decir sin hcer cálculos pr qué vlores de el vlor numérico de dicho polinomio es 0? Rzon l respuest. Sol:,.. Hll un polinomio de primer grdo que dividido por d de resto respectivmente. Hll el vlor de m pr que el polinomio 7 m teng resto 0 l dividirlo por. Un polinomio de segundo grdo tiene por primer coeficiente, se nul pr tom el vlor pr. Hálllo. d Qué número m se h de ñdir l polinomio pr que se divisible por? e Determin un polinomio b sbiendo que es divisible por que los restos obtenidos l dividirlo por son igules. f Determin los coeficientes b pr que el polinomio b se divisible por. g Se el binomio P( b. Los vlores numéricos de P( pr son, respectivmente, 7. Hllr b. Sol: m 9 d e b f b g b Escribe un polinomio de grdo que teng por ríces, cuo coeficiente de se. Escribe un polinomio p( tl que: p(0 p( 0, p( grdo. Sol: ( ( 7 7. Determin el polinomio de segundo grdo que stisfce ls condiciones siguientes: Su coeficiente principl es El término independiente es Al dividirlo por los binomios se obtiene el mismo resto. Sol: I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez

15 Frcciones lgebrics L epresión formd por l división de dos polinomios recibe el nombre de frcción lgebric, siendo el denomindor un polinomio no nulo. Simbolizremos ls frcciones lgebrics en l P( form. Ddo que un polinomio puede escribirse en l form Q( P( P(, los polinomios tmbién se considern frcciones lgebrics. Son frcciones lgebrics ls siguientes epresiones lgebrics: t ; ; ; ; ; t Ls frcciones numérics son un cso prticulr de ls frcciones lgebrics. Frcciones equivlentes Se dice que dos frcciones lgebrics A B C D son equivlentes, se escribe A B polinomios AD BC son igules. C, si los D Ls frcciones son equivlentes porque, como en el cso de ls frcciones numérics, los productos cruzdos son igules: ( ( ( Ls frcciones son equivlentes que ( ( Propiedd fundmentl Si se multiplicn o dividen el numerdor el denomindor de un frcción lgebric por un denomindor distinto de 0, l frcción resultnte es equivlente l dd. En efecto, ls frcciones A B AP son equivlentes, que A BP BP ( B( AP por ls propieddes conmuttiv socitiv del producto de polinomios. ( Ls frcciones son equivlentes, pues l segund se obtiene multiplicndo el numerdor denomindor de l primer por el polinomio I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez

16 Simplificción de frcciones Simplificr un frcción es dividir el numerdor denomindor por un mismo fctor no nulo. Un frcción es irreducible cundo no puede simplificrse más. En este cso se dice que el numerdor denomindor son primos entre sí. Pr simplificr un frcción, se descomponen en fctores el numerdor el denomindor luego se suprimen los fctores comunes. Simplificr ls frcciones: 9 0 d ( 9 ( ( ( ( ( ( ( ( ( d 0 ( ( ( Simplificr ls frcciones: 8 d m m ( ( ( ( ( ( ( 8 ( ( ( d m m ( ( m ( m Simplificr ls frcciones: b b c b bcc d ( ( ( ( ( c b b c b bcc ( c ( b ( b ( b ( b ( b b c bc I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez

17 d ( ( ( Es irreducible Reducción de frcciones común denomindor Reducir dos o más frcciones lgebrics común denomindor es hllr otrs frcciones, equivlentes ls primers, que tengn tods ells el mismo denomindor. Pr reducir vris frcciones común denomindor, se suele tomr como denomindor común el mínimo común múltiplo de los denomindores. Después, se multiplic el numerdor de cd frcción por el cociente de dividir el m.c.m. por el denomindor de cd frcción. Reducir común denomindor ls frcciones: ; ; Fctorizmos los denomindores pr hllr el m.c.m. ( mcm...(,, ( ( ( ( ( ( Reducir común denomindor ls frcciones: ; Fctorizmos los denomindores pr hllr el m.c.m. ( ( ( ( mcm...(, ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Sum rest de frcciones lgebrics L sum o diferenci de dos frcciones que tienen igul denomindor es otr frcción que tiene por numerdor l sum o diferenci de los numerdores por denomindor el denomindor común. A B A B C C C A C B A B C C I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez

18 Si ls frcciones no tienen el mismo denomindor, pr poder sumrls o restrls h que reducirls previmente común denomindor, luego se procede como ntes. L sum o diferenci no depende de ls frcciones prticulres elegids pr l dición o sustrcción; por eso, si es posible conviene simplificrls ntes de operr. Clculr l sum de ls siguientes frcciones lgebrics El m.c.m.(,, por tnto multiplicmos el numerdor denomindor de cd un de ls frcciones por un fctor tl que los denomindores coincidn con el m.c.m. Clculr l sum de ls siguientes frcciones lgebrics El m.c.m.(,, por tnto multiplicmos el numerdor denomindor de cd un de ls frcciones por un fctor tl que los denomindores coincidn con el m.c.m. Clculr l sum de ls siguientes frcciones lgebrics El m.c.m.(, ( (. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 9 ( ( 9 ( ( Clculr l sum de ls siguientes frcciones lgebrics El m.c.m.(, ( (. ( ( ( ( 8 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Clculr l sum de ls siguientes frcciones lgebrics Primero se descomponen en fctores los denomindores. ( ( I.E.S. Historidor Chbás -7- Jun Brgdo Rodríguez

19 El m.c.m.(, m.c.m. (( (,( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0 ( ( ( ( Clculr l sum de ls siguientes frcciones lgebrics: 7 ( ( ( El m.c.m.(,, m.c.m. (, (,( ( 7 7 ( 7 7 ( ( ( 7( ( ( ( ( 9 ( 0 Antes de clculr el m.c.m. observmos que l primer frcción se puede simplificr. ( ( El m.c.m.(, ( ( ( ( Relizr ls siguientes operciones simplificr el resultdo: ( I.E.S. Historidor Chbás -8- Jun Brgdo Rodríguez

20 ( ( ( ( ( ( Producto cociente de frcciones lgebrics 0 El producto de dos frcciones es otr frcción que tiene por numerdor el producto de los numerdores por denomindor el producto de los denomindores. El cociente de dos frcciones es otr frcción que se obtiene multiplicndo l primer por l invers de l segund A C AC A C A D AD : B D BD B D B C BC En ocsiones, puede ser útil descomponer mbos términos de ls frcciones, con objeto de fcilitr l simplificción. Clculr los productos cocientes que se indicn: : d : ( ( ( ( ( ( ( ( ( d Clculr los productos cocientes que se indicn: 7 7 : 9 d :( d ( ( I.E.S. Historidor Chbás -9- Jun Brgdo Rodríguez

21 E jemplo Clculr los productos que se indicn: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( c E jemplo Clculr los productos cocientes que se indicn: d : 9 e : f : g : b 9 ( ( ( ( ( ( ( d ( ( : ( ( ( e : ( ( ( f ( : g : Clculr los productos cocientes que se indicn: ( : b : b b d : I.E.S. Historidor Chbás -0- Jun Brgdo Rodríguez

22 ( : ( b : b b 9b b : b b ( ( b b b b ( ( ( d : ( ( ( ( : ( ( ( ( ( ( : ( ( ( ( Multiplicndo el numerdor denomindor por, podemos simplificr ( ( ( I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez

23 Problems propuestos con soluciones. Clcul ls siguientes operciones simplific el resultdo si es posible: t h t t t t ( h t Sol: t t ( ( ( h. Determin el vlor de h k pr que Sol: k h 0 h k. Determin pr qué vlor, o vlores de m se puede simplificr l frcción: Sol: m m. Efectú l siguiente operción Clcul el vlor de l epresión resultnte pr 8 0 Sol: 9 Pr m 7 0 pr Imposible. Efectur ls siguientes operciones: ( Sol: 8 7. Si A (, B C, clculr: AC A BC (A B C B Sol: ( ( ( ( 7. Escribe l siguiente frcción como sum de un polinomio más otr frcción cuo numerdor se de menor grdo que el denomindor: 8 Sol: 8. En ls siguientes relciones h errores mu grves, cuáles son? I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez d

24 e f ( ( ( g h Sol: Lo correcto es lo siguiente: b ( ( ( ( d f e g ( ( ( h ( 9. Oper simplific Sol: ( 8 0. Simplific ls frcciones: ( ( ( ( : 9 ( ( d e 8 Sol: b c d ( e Simplific l siguiente frcción sbiendo que es ríz de mbos términos: en sum de tres frcciones con denomindor de pri- Sol:. Descomponer l frcción mer grdo. Sol: 8 8. Oper simplific cundo se posible: I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez

25 : ( 9 : 8 9 d Sol: b c d I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez

26 Ecuciones Rcionles Es mu importnte comprobr que ls soluciones que se obtienen verificn l ecución originl. Resolver l ecución Multiplicndo en cruz se obtiene ( Comprobción: Resolver l ecución Multiplicmos todos los términos por que es el m.c.m. 0 ( ( ( Comprobción: 0 0 L ecución no tiene solución Resolver l ecución 0, m.c.m.( ( ± ± ± Comprobción: ( ( Resolver l ecución ( ( ( ( ( (,.c.m.( m 8 8 ( ( ( ( I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez 0 8

27 ( ± Comprobción: ( ( ± ± 0 0 Resolver l ecución 9 m.c.m.(,, 9 ( ( ( ( ( ( 9 ( ( Comprobción: L ecución no tiene solución que pr se nuln dos de los denomindores. Resolver l ecución Fctorizndo los denomindores multiplicndo en cruz se obtiene ( ( ( ( ( ( ( ± Comprobción: ( ( 0 ± 80 ± No es solución 0 0 I.E.S. Historidor Chbás -- Jun Brgdo Rodríguez

28 8 ( 8( ( ( ( 9 Resolver l ecución 9 9 Pr clculr el denomindor común descomponemos en fctores cd uno de los denomindores. ( 9 ( 9 ( m.c.m.(, 9, 9 ( ( ( ( ( ( ( 8 ( ( ( ± 0 0 Comprobción: ( ( 0 ± Resolver l ecución Opermos por prtes, comenzndo por el denomindor. ( ( L ecución resultnte es: ( ( Volvemos operr en el denomindor del primer término pr simplificr l epresión. I.E.S. Historidor Chbás -7- Jun Brgdo Rodríguez

29 ( ( ( ( ( L ecución resultnte es: 9( ( Multiplicndo en cruz se obtiene: ( ( 7 ( 7 ( ± ± ± Comprobción: 9 9 I.E.S. Historidor Chbás -8- Jun Brgdo Rodríguez

30 Problems propuestos con soluciones. Resolver ls ecuciones: 0 7 Sol:. Resolver ls ecuciones: 7 Sol: 0. Resolver ls ecuciones: d Sol: d. Resolver ls ecuciones: 0 Sol: c 0 No tiene solución I.E.S. Historidor Chbás -9- Jun Brgdo Rodríguez

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