ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA

Transcripción

1 ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA ASIGNATURA: CÁLCULO EN VARIABLE COMPLEJA DEPARTAMENTO: MATEMÁTICAS PLANES DE ESTUDIO: Mnemónico CAVC Numérico CÓDIGO: 1. OBJETIVOS GENERALES Conocer, comprender y manejar las técnicas del cálculo en variable compleja. Comprender los conceptos de diferenciación e integración para funciones en variable compleja, Desarrollar en el estudiante un pensamiento matemático, en el que vayan a la par la comprensión clara de los diferentes conceptos y una experiencia importante en la modelación y resolución de problemas utilizando las técnicas estudiadas en el curso. Involucrar al estudiante de manera activa en el proceso de aprendizaje mediante lecturas previas de los diferentes temas a tratar y mediante la asignación de problemas que deben ser sustentados en el aula. Propiciar que el estudiante aprenda a trabajar adecuadamente en grupo y también de manera individual. Posibilitar que el estudiante aprenda a usar eficientemente las herramientas tecnológicas a su alcance, en la solución de los problemas. 2. JUSTIFICACIÓN En este curso se presenta la variable compleja y las transformadas integrales como una herramienta matemática para resolver problemas. Es un curso a nivel introductorio en el cual se proporcionará al estudiante las herramientas necesarias que más tarde le permitan abordar problemas de distintas áreas como la Física y la Ingeniería. 1/5

2 3. REQUISITOS ACADÉMICOS: Ecuaciones diferenciales 4. CRÉDITOS ACADÉMICOS: 3 INTENSIDAD SEMANAL Teórica 3.0 Práctica 0.0 Independiente 6.0 Total de horas/semana BIBLIOGRAFÍA Texto principal: 1. Brown Churchill R. Variable compleja y aplicaciones. Mc Graw Hill Otras referencias: 1. Zill D. y Dewar J. Cálculo vectorial, Análisis de Fourier y Análisis complejo. Tercera edición.mc Graw Hill CONTENIDO PROGRAMÁTICO RESUMIDO Generalidades de los números complejos. Funciones Complejas. Funciones trascendentes básicas. Mapeos definidos por funciones elementales. Integración en el plano complejo. Series infinitas en una variable compleja. Residuos y su uso en la integración. 7. CONTENIDO PROGRAMÁTICO DETALLADO 1. Generalidades de los números complejos 1.1 Números complejos. Operaciones y propiedades. 1.2 Los números complejos y el plano de Argand. 1.3 Potencias enteras y fraccionarias de un número complejo. 1.4 Lugares geométricos, puntos, conjuntos y regiones en el plano complejo. 2. Funciones complejas 2.1 Límites y continuidad. 2.2 La derivada compleja. 2.3 La derivada y la analiticidad. 2.4 Funciones armónicas. 2.5 Algunas aplicaciones físicas de las funciones armónicas. 2/5

3 3. FUNCIONES TRASCENDENTES BÁSICAS 3.1 La función exponencial y sus propiedades. 3.2 Funciones trigonométricas y sus propiedades. 3.3 Funciones hiperbólicas. 3.4 La función logarítmica y sus propiedades. 3.5 Rama de logz. 3.6 Exponentes complejos. 3.7 Funciones trigonométricas inversas. 4. MAPEOS DEFINIDOS POR FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 Funciones lineales. La función 1/z. Transformaciones lineales fraccionarias. 4.2 Transformaciones lineales especiales. 4.3 La función z n. 4.4 La función z. 4.5 Otras funciones irracionales. 4.6 La transformación w = e z. 4.7 La transformación w = senz. 4.8 Transformaciones iteradas. 5. INTEGRALES DE FUNCIONES COMPLEJAS 5.1 Integrales definidas. 5.2 Contornos. 5.3 Integrales de línea. 5.4 Teorema de Cauchy-Goursat. 5.5 Dominios simples y múltiplemente conexos. 5.6 Integrales indefinidas. 5.7 Fórmula de la integral de Cauchy. 5.8 Derivadas de funciones analíticas. 5.9 Teorema de Morera Módulos máximos de funciones Teorema fundamental del álgebra. 6. SERIES COMPLEJAS 6.1 Convergencia de sucesiones y series. 6.2 Series de Taylor y de Laurent. 6.3 Propiedades adicionales de las series. 6.4 Convergencia uniforme. 6.5 Integración y diferenciación de series de potencias. 6.6 Unicidad de representaciones. 6.7 Multiplicación de Cauchy y división. 6.8 Ceros de funciones analíticas. 7. RESIDUOS Y POLOS 7.1 Residuos y el teorema del residuo. 7.2 Parte principal de una función. 7.3 Polos. 7.4 Cocientes de funciones analíticas. 7.5 Cálculo del valor de integrales impropias. 7.6 Integrales impropias que contienen funciones trigonométricas. 7.7 Integrales definidas de funciones trigonométricas. 7.8 Integración alrededor de un punto ramal. 3/5

4 9. METODOLOGÍA Un estudiante de la Escuela debe estar en permanente búsqueda del perfeccionamiento en su formación académica, ser un apasionado por el conocimiento, buscar constantemente la excelencia y su independencia intelectual. El estudiante entonces será el principal responsable de su aprendizaje. De acuerdo con estas características, la metodología de los cursos de matemáticas busca involucrar al estudiante de manera activa en el proceso de aprendizaje mediante lecturas previas a los diferentes temas a tratar y la asignación de problemas que deben ser discutidos en el aula. Se privilegia una metodología que propicie el dominio adecuado de los conceptos matemáticos estudiados y el desarrollo tanto de habilidades de pensamiento como de competencias para la resolución de problemas. Así mismo, debe permitir la incorporación del uso de la tecnología computacional al currículo de matemáticas, para facilitar los procesos de comprensión y representación de los temas matemáticos, y para potenciar el desarrollo de algunas habilidades cognitivas. Teniendo en cuenta las características del grupo se da inicio al curso desde lo que los estudiantes conocen, con el fin de facilitarles la conexión de los nuevos conocimientos con los previos. Simultáneamente a lo largo del mismo se evalúa permanentemente el desempeño del estudiante con el fin de tomar las decisiones pertinentes para el buen desarrollo del curso. Dentro de las actividades didácticas desarrolladas en los cursos se incluyen los talleres y/o laboratorios (cursos de Cálculo diferencial e integral). Los primeros van dirigidos a la práctica y refuerzo de los temas vistos en las sesiones teóricas y se desarrollan completamente en el aula con la guía del profesor. Los segundos apuntan al desarrollo de habilidades en la modelación, resolución de problemas, trabajo en equipo y presentación de informes, una parte del trabajo se realiza en el aula con la guía del profesor y otra de manera independiente. 10. EVALUACIÓN La gestión universitaria en la Escuela está enmarcada por la evaluación continua de sus actividades y es de acuerdo con los Lineamientos Curriculares integral, coherente, flexible e interpretativa. La evaluación del desempeño de los estudiantes es un proceso permanente que valora el cumplimiento de los objetivos propuestos y los compromisos adquiridos en cada asignatura. Se tienen en cuenta tres tipos de evaluación del aprendizaje de los estudiantes: la sumativa de los avances en el aprendizaje, la del proceso para reflexionar sobre la marcha del proceso educativo y el cumplimiento de las responsabilidades asumidas, y la comprensiva para valorar la calidad del trabajo realizado por el estudiante al finalizar el curso. 4/5

5 xi. VIGENCIA Y MODIFICACIONES Contenidos vigentes desde: Contenidos vigentes hasta: Última fecha de actualización: Penúltima fecha de actualización: 15/12/2008 Nueva modificación EDGARD OBONAGA GARNICA Aprobado: Firma: 5/5