( ) 2 +( 1) 2. BLOQUE III Geometría analítica plana. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto

Transcripción

1 Pág. de Dados los vectores u, y v0,, calcula: a u b u + v c u v u, v0, 5 a u = = = + b u + v =, + 0, =, + 0, 6 =, c u v = u v = 0 + = Determina el valor de k para que los vectores a, y b6, k sean ortogonales. a b ï a b = 0 a b =, 6, k = 6 + k = 0 k = 5 Dados los vectores u, 0 y v, : a Expresa el vector w, 6 como combinación lineal de u y v. b Calcula proy v. u c Calcula el ángulo que forman u y v. k + s = a w = k u + s v, 6 = k, 0 + s, = k + s, 5 s =, k = s = 6 w = u + v v u u v v b proy v = v cos a = = = = u u v u ì u 5 ì v 5 c cos u, = = = u, = arc cos v v = 6 ' 5'' u v Determina el valor de y para que los puntos A0,, B, y C, y estén alineados. Para que A, B y C estén alineados, AB y BC deben tener la misma dirección, es decir, deben ser proporcionales. AB, BC, y y = y = y =

2 Pág. de 5 Halla en forma paramétrica e implícita la ecuación de la recta que pasa por P0, y x + es perpendicular a la recta s: = y. x + x + y s: = y =. Vector dirección de s: v, Un vector perpendicular a v es u,. Buscamos una recta r que pasa por P 0, y tiene como vector dirección a u, : Ecuaciones paramétricas: x = t y t = x = t y = t + y x = x = y x y + = 0 Ecuación implícita: x y + = 0 6 Se consideran las rectas r: x + y = 0 y s: kx y + 5 = 0. Determina k en cada uno de los siguientes casos: a r y s son paralelas. b r y s se cortan en el punto P,. a r: x + y = 0 s: kx y + 5 = 0 r y s son paralelas si sus vectores de dirección, u, y v k,, lo son: k = t v = t u k, = t, t =, k = = t b Comprobamos que P, es un punto de r = 0 Buscamos ahora el valor de k para el que P también pertenece a s: k + 5 = 0 k + = 0 k = 7 Obtén la expresión analítica del haz de rectas al que pertenecen r: x + y = 0 y s: x + y = 0. Halla la recta de ese haz que pasa por P,. Expresión analítica del haz: k x + y + t x + y = 0 Como la recta que buscamos ha de pasar por el punto,, k + + t + = 0 k + t = 0 Cualquier par de valores de k y t que cumplan la igualdad anterior dan lugar a la misma recta. Tomamos, por ejemplo, k = y t =. Así: x + y x + y = 0 6x + y 9 x y + = 0 x y = 0 es la recta del haz que pasa por el punto,.

3 Pág. de Solo una de las siguientes ecuaciones corresponde a una circunferencia. Señala cuál y determina su centro y su radio: C : x + y x + 6y + 6 = 0 C : x + y xy + 6y + 6 = 0 C : x + y x + 5x + = 0 La ecuación de una circunferencia es de la forma: x + y + Ax + By + C = 0, con A B + C > 0 A B A B Su centro es, y su radio es r = C no es una circunferencia, pues tiene un término en xy. C no es una circunferencia, ya que: A B 5 + C = + = < 0 C sí es una circunferencia. 6 Su centro es, =,. 6 Su radio es r = = =. 9 Escribe la ecuación de una elipse de centro 0, 0 y focos en el eje de abscisas, sabiendo que su excentricidad es igual a /5 y que uno de sus focos es F, La ecuación debe ser de la forma + = a = b + c F, 0 = c, 0 c = c c exc = = exc = = = a = 0 5 a a 5 a 5 F, 0 = c, 0 a = b + c b = a c = 00 6 = 6 x a Por tanto, la ecuación buscada es: + = 00 6 x y b + C 0 Sin resolver el sistema formado por sus ecuaciones, estudia la posición relativa de la circunferencia C: x + y + = y la recta r : x y = 0. Calculamos la distancia de la recta al centro de la circunferencia, C, : 0 dist r, C = = = + 5 Esta distancia coincide con el radio de la circunferencia. Por tanto, son tangentes. y

4 Pág. de Determina las coordenadas de un vector unitario ax, y sabiendo que forma un ángulo de 60 con el vector u, 0. a u = a u cos 60 x = x = = = x + y a x + y = + y = y = ± Existen, por tanto, dos soluciones: a, y a', Sean a 5, 5 y b,. Expresa a como suma de dos vectores, uno con la misma dirección que b y otro perpendicular a b. Los vectores paralelos a b son de la forma k,, k éá. Los vectores perpendiculares a b son de la forma s,, s éá. k + s = 5 a = 5, 5 = k, + s, s =, k = k + s = 5 Por tanto, a =, 6 +, Halla el simétrico del punto A0, 0 respecto a la recta r: x + y = 0. Buscamos la ecuación de la recta s que pasa por A y es perpendicular a r: s: x y = 0 Y Punto de intersección de r y s: M, x y = 0 y = El punto A'x, y que buscamos es el simétrico de A respecto a M: x + y = 0 x + 0 x = x = y + 0 x =, =, A', y = A0, 0 A', M, s r X Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas x + y 5 r: x y + = 0 y s: = y forma un ángulo de 5 con la recta r. Hallamos el punto de intersección de r y s:

5 Pág. 5 de x y + = 0 x + y 5 = La pendiente de r es. = tg 5 = Hay dos soluciones: t: y = x t': y = x m + m Resolviendo el sistema obtenemos el punto P,. m = + m m = m = m m = 5 Halla los puntos de la recta y = 0 que distan unidades de la recta x y = 0. Los puntos de la recta y = 0 son de la forma P x, 0, x é Á. r: x y = 0 x 0 x dist P, r = = = + 5 x = 5 x = 5 x = 5 x = 5 x = 5 Hay dos puntos que cumplen la condición pedida: P5, 0 y P' 5, 0. 6 En el triángulo ABC de la figura, calcula: a El ortocentro. b El área del triángulo. Y A X B C a Ortocentro: R = h A» h B» h C, donde h A, h B y h C son las alturas del triángulo desde A, B y C, respectivamente. A, B, C, Calculamos las ecuaciones de dos de las alturas: a BC =, 0 a = 0, x = h A h A : h A : x = A, é h y = t + A

6 BLOQUE III Geometría analítica plana Pág. 6 de b AC =, b =, x = t h B h B : B, é h y = t B x + t = t = y + x + = y + x + = y + x y 7 = 0 h B : x y 7 = 0 Calculamos ahora h A» h B : x = x y 7 = 0 R = h A» h B =, y 7 = 0 y = BC AM b Área del triángulo ABC =, donde M = h A» r BC y r BC es la recta que contiene al lado BC. h A : x = r BC : y = h A» r BC =, = M BC =, 0 BC = AM = 0, AM = Área del triángulo ABC = = 6 u 7 Identifica las siguientes cónicas, calcula sus elementos característicos y dibújalas: a y x = 0 b x + y = 6 c 5x + y = 00 x y + d 6 9 = a y x = 0 y = 6x Es una parábola. Foco F, 0 Recta directriz r: x = Vértice 0, 0 F b x + y = 6 x + y = Es una circunferencia. Centro 0, 0 Radio r =

7 Pág. 7 de x y c 5x + y = 00 + = 5 Es una elipse con los focos en el eje Y. x y x y + = + = b a 5 a = 5; b = ; c = 5 = Constante: k = a = 0 Focos: F 0, y F'0, Semieje mayor: 5 Semieje menor: c Excentricidad: exc = = 0,9 a 5 x y + d = 6 9 Es una hipérbola. Centro:, Semiejes: a =, b = c = + c = 5 c 5 exc = = =,5 a r: y = x Asíntotas: r': y = x Focos: F 6,, F', F F' Y O X F' F Halla la ecuación de la parábola de vértice V, y directriz r: x =. Puesto que el vértice tiene que equidistar del foco y de la directriz, ha de ser F,. Los puntos P x, y de la parábola han de cumplir: dist P, F = distp, d x +y + = x +. Elevamos al cuadrado ambos miembros: y + + x + x = x +6x +9 y + = x + y + = x + La ecuación de la parábola es y + = x +. 9 Dado un segmento AB de longitud, halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos P del plano que verifican: AP + BP = Toma como eje X la recta que contiene al segmento, y como eje Y la mediatriz de AB.

8 Pág. de Tomamos como eje X la recta que contiene al segmento AB, y como eje Y, la mediatriz de AB. En este caso, será A, 0, B, 0. Y Sea Px, y un punto genérico del plano que verifica: AP + BP = x + + y + x + y = x + x + +y +x x + +y = x +x + +y + x x + +y = x + y + x + = La ecuación pedida es x + y + x 6 = 0. A B X